Las ecuaciones de estas rectas pueden venir dadas de las formas siguientes:

Transcripción

1 Geometría Analítica 8-9 RECTAS EN EL ESPACIO En la figura se muestran varias rectas en el espacio, cuas posiciones son las siguientes: a) r r3 se cortan en un punto P cuas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema formado por sus respectivas ecuaciones. b) r r se cruan. Al resolver el sistema formado por sus respectivas ecuaciones veríamos que no son paralelas que el sistema sería INCOMPATIBLE c) r r4 son paralelas no coincidentes. Coincidentes o no, veríamos que sus vectores directores son proporcionales Las ecuaciones de estas rectas pueden venir dadas de las formas siguientes: q s. u p t. v a).- r q s. u s p t. v q3 s. u 3 p3 t. v3 - Primero veríamos si los vectores son proporcionales, de serlo, sus coordenadas serían proporcionales por ello paralelas. - Si además el vector PQ es proporcional a los vectores u v, las rectas serían coincidentes - Si no existe proporcionalidad igualaríamos los valores de x,, de ambas ecuaciones, obteniendo un sistema de tres ecuaciones con s t como incógnitas. Si rango matri sistema rango matri ampliada > las rectas se cortan en un punto Si rango matri sistema rango matri ampliada > las rectas se cruan. Ejemplo- : 76 pág 74 libro texto Calcular el valor de a para que las rectas r s sean coplanarias. - -

2 Geometría Analítica r: a x s: x Expresamos la recta r en paramétricas: r a x μ μ Identificamos coordenadas de r s: μ μ a Si resolvemos este sistema encontramos, de la ª 3ª ecuaciones, que μ Llevamos estos valores a la ª ecuación encontramos que para exista solución se necesita que: a > a - Si a - las rectas se cruan porque es evidente que los vectores de ambas rectas no son proporcionales Si a las rectas se cortan en el punto P x serían coplanarias b) La ecuación del plano que determinan será π x a) Si las ecuaciones de las rectas vienen dadas como intersección de dos planos r d c b x a d c b ax r h p n m x h p n mx (ver la figura con los 4 planos que se cortan dos a dos para obtener r r ) con las cuatro ecuaciones obtendríamos un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas: Si rango matri ampliada 3, el sistema tiene solución única las rectas se cortarían en un punto cuas coordenadas se obtienen resolviendo el sistema (ver figura)

3 Geometría Analítica 8-9 Si rango matri ampliada 4, el sistema no tendría solución las rectas se cruarían. Los otros casos posibles conviene estudiarlos con algún ejemplo. Ejemplo - 9 pag 3 x x Determina, raonadamente, si las rectas r s se cortan o se x x cruan Las cuatro ecuaciones nos da un sistema cua matri ampliada es: Se puede comprobar que el desarrollo del determinante de (A/B) - lo que significa que: Rango A/B 4 rango A 3 > sistema incompatible. Las rectas se cruan. En la figura adjunta se muestra la interpretación geométrica del problema. Como rango matri incógnitas 3 significa que tres de los 4 planos ( α, γ δ ) se cortan en el punto A, mientras que el plano β no pasa por el citado punto Planos en el espacio La ecuación de un plano es de la forma α ax b c d, donde (a,b,c) son las coordenadas de un vector perpendicular al plano α La maor parte de los problemas, relacionados con propiedades afines de los planos, se resuelven aplicando las propiedades relativas a la resolución de sistemas de ecuaciones e interpretando la respuesta obtenida. En numerosas ocasiones es mu útil aplicar el concepto de HAZ DE PLANOS cua definición es conjunto de planos que tienen un recta común r La idea de un ha de planos puede dártela la figura de la derecha. La ecuación de cualquier plano del ha es de la forma: r. α s.β - 3 -

4 Geometría Analítica 8-9 Ejemplo 48 pág 76 Encuentra la ecuación del plano que determinan el punto A(,, ) la recta r x La recta dada viene dada como intersección de dos planos ( supongamos α β ). El plano pedido ( supongamos δ ) pertenece al ha que determinan los dos primeros por ello su ecuación será de la forma: r.(x-) s(x-) dicho plano ha de pasar por el punto A, luego sus coordenadas verifican la ecuación: r.(-) s(-.) > r 6.s > r - 6s Sustituendo, el valor encontrado, en la ecuación del ha resulta: - 6.s.(x-) s(x-) > - 6.(x-) (x-) > -4 x que es la ecuación del plano pedido. º.- Ejerc 9 () 4 Determina la perpendicular común a las rectas: r s x 7 3 Expresemos ambas rectas en paramétricas 7. r s 3 3 x μ Las coordenadas de P son P (7 -,, 3- ) Las coordenadas de Q son Q(, - 3, μ ) El vector PQ ( - 5, - 3 -, μ 3 )es perpendicular a los vectores directores de ambas rectas: d(-,, - ) d(,, ) o PQ. d -6. μ ; 6. μ () o PQ. d μ 3 ; μ 3 () 7 8 De la resolución del sistema anterior resulta: μ 5 5 Los puntos de contacto son: P( 5, 5 7, 5 8 ) Q(, -3, 5 8 ) La recta pedida pasa por Q tiene la dirección de PQ( -, -, ) v(,, ) v(,, )

5 Geometría Analítica 8-9 x Recta º.- Ejerc () 3 Dada la recta r el plano π x 3 halla la ecuación de una recta s, situada en el plano π, que pase por el punto P(,, - ) sea per- 4 pendicular a r Expresemos r s en paramétricas. r 3 4 s aμ bμ cμ El vector d(a, b, c) de s, es perpendicular a a d(,, ) n (,, 3) por lo que:.d. d a b c d. n a b 3c c 5c Sistema indeterminado cua solución es: d(,, c ) v( c, -5 c, 3 c ) v(, -5, 3 ) 3 3 Recta s 5 3 3º.- Ejerc 3 ( ) Los vértices del triangulo ABC son los puntos de corte del plano x 3 6 con los ejes de coordenadas. Halla la ecuación de la altura que parte del vértice B que está en el eje OY. Coordenadas de A(3,, ) Coordenadas de B(, 6, ) Coordenadas de C(,, - ) 3 3 Recta AC ( determinada por dos puntos ): punto A vector AC Plano BOP: pasa por B es perpendicular a AC: nos vale el vector AC como asociado al plano obteniendo que plano BOP 3 x 9 Punto P, de corte de la recta AC con el plano anterior: 3(3-3).(- ) > de donde: 3-5 -

6 Geometría Analítica P( 3 3.,, -. ) P(,, ) La ecuación de la recta pedida será la que pasa po B P 4º.- Ejerc 4 () Halla un punto P de la recta r :. α : x 3 β : x 3 μ 6 μ Expresamos β en forma implícita resolviendo: que equidiste de los planos: 3 En forma genérica las coordenadas de P son: P( t, - t, 3 t ) x x 3 ( t) ( t) 3t 3 ( t) ( t) 3t 3 La condición pedida es: d(p, α ) d(p, β ) Resolviendo encontramos que 3t - 3t > 6t > t El punto buscado es P(, -, ) Pero tenemos otra posibilidad d(p, α ) - d(p, β ) de la que obtenemos 6 t 3-3 > t - por lo que el punto sería P( -, -, - 3 ) 5º.- Ejerc 8 (3) Halla la ecuación del plano cuo punto más próximo al origen es P(,, 3 ) Del enunciado se deduce que: El vector OP es perpendicular al plano buscado por lo que su ecuación será x 3 d Este plano debe pasar, evidentemente por P por lo que. 3.3 d > d - 4 El plano pedido es x 3 4 6º.- Ejerc 3 (3) a) Encuentra los puntos de r : x Expresemos r en paramétricas r : que disten 3 del plano π x - 6 -

7 Geometría Analítica 8-9 Los puntos pedidos son de la forma P(, -, ) teniendo en cuenta que Dis(P, r ) 3 ( ) > 3 de donde - siendo P(-,,- ) Dis(P, r ) - 3 procediéndose de igual manera. b) Obtén los puntos de π que distan - 3 de los puntos hallados en el apartado anterior Estos puntos serán los de intersección con π, de las recta que pasa por P es perpendicular a ese plano. 7º.- Calcula el volumen de un cubo que tiene aristas sobre cada una de las rectas r s r: t 6t t x 8 s : Sugerencia Se trata de hallar la mínima distancia entre dos rectas que se cruan. Esa distancia es PQ Una ve encontrado su valor el volumen será: Vol PQ 3 8º.- Ejerc 39 (4 ) Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta 3x x 3 5 r : otro sobre s : x a) Calcula el área del cuadrado Obtengamos las ecuaciones paramétricas de r que son: t t t Donde vemos que r pasa por el origen O que r s son paralelas por lo que basta con hallar la distancia de O a la recta s OT T - O (3,, -5)- (,, ) (3,, -5 ) OT ^ d s ( -7, ) > OT ^ d s 9 3 d s 3-7 -

8 Geometría Analítica 8-9 D(P,s) OT d d s s 3 3 > el área será A b) Encuentra cuatro puntos, dos en r dos en s, que puedan ser los vértices de un cuadrado, si uno de ellos es Q(,, ) Punto T Supongamos que el punto T ( perteneciente a la recta s ) es uno de los puntos buscados. Sus coordenadas son T ( 3s, -s, - 5 s ) El vector OT es perpendicular a d s por lo que su producto escalar es cero OT. d s (3 s). ( s). ( - 5 s). > s -, obteniendo así T( -,, - ) Punto R El vector OR tendrá como módulo ( longitud del lado del cuadrado) OR ( ) t 3t t ) ( t > > t 3 A partir de aquí podemos encontrar las coordenadas de R sustituendo en las ecuaciones paramétricas de la recta r Punto S Se determina sabiendo que las diagonales se cortan en el punto medio M ( propiedad que necesitas aplicar dos veces ) 9º.- Ejerc 45 (4) Halla el punto del plano π de ecuación x 3 que está más cerca del punto P(3,, 4 ), así como la distancia entre el punto P el plano dado El punto más cercano será el pié de la perpendicular al plano π que pasa por P. Determinemos el punto Q Recta que pasa por P es perpendicular a π. De ella conocemos: P(3,, 4 ) Dirección n(,, - ) 3 t Ecuación. Las coordenadas de Q son ( 3 t,, 4 t). Este punto por pertenecer al plano, sus 4 t coordenadas, cumplen su ecuación ( 3 t) ( 4 t ) 3 > t de donde Q(5,, ) La distancia pedida puedes hallarla de dos maneras: PQ ó d( P, π) - 8 -

9 Geometría Analítica 8-9 º.- 47 ( 4 ) a) Halla el volumen del paralelepípedo de bases ABCD EFGH sabiendo que A(,, ), B(, 3, ) C( 4,, 5 ) E( 7, 6, 3) M es el punto medio de la cara superior. Aplicando dos veces esta propiedad obtienes que D( 3, - 3, 5 ) Teniendo en cuenta que AE DH obtienes H puedes repetir el procedimiento para conseguir F G b) Halla su volumen Vol [ AD, AB, AE] es decir el producto mixto de tres vectores concurrentes en el mismo vértice º.- Ejerc 49 ( 4) Dadas las rectas r : x 3 s : μ μ 4 μ Halla los puntos que dan mínima distancia determina la ecuación de la perpendicular común a r a s Expresemos r en paramétricas: r : 3 Coordenadas de P( 3,, ) de Q( μ, - μ, 4 μ ) El vector PQ( μ - 3, - μ -, μ 3 ) es perpendicular a los vectores directores de ambas rectas por lo que, los respectivos productos escalares, serán nulos. ( μ - 3, - μ -, μ 3 ). (,, ) > ( μ - 3, - μ -, μ 3 ). (, -, - ) > μ Obtenidos los valores de μ podemos obtener las coordenadas de Q P > distancia PQ ecuación de la ecuación de la perpendicular común. º.- Ejerc 5 (5) Considera un cuadrado cuo centro es el punto C(,, - ) tiene uno de x sus lados en la recta r : a) Ecuación del plano que contiene al cuadrado Este plano contiene al punto C, al vector (,, ) al vector CP siendo - 9 -

10 Geometría Analítica 8-9 P(,, ) perteneciente a r. Plano x x b) Longitud del lado del cuadrado: La distancia de C a la recta r es la mitad de la longitud del lado del cuadrado. Halla esta distancia ( a se ha resuelto este problema anteriormente) multiplicas su resultado por dos. EXAMEN FEBERO 9 º.- Dada la ecuación de la esfera x 6x 4 5 se pide: a) Coordenadas de su centro su radio ( pto) b) Distancia de su centro al plano 3x 5 3 ( pto) c) El plano corta a la esfera? (,5 ptos) a) Si (a, b, c) son las coordenadas del centro de la esfera r su radio tenemos que la ecuación de la esfera es: x a x b c a b c r Por comparación con la ecuación dada podemos obtener que: - a - 6 > a 3 - b > b - - c - 4 > c a b c - r - 5 de donde r 9 centro C( 3, -, ) b) Nos piden la distancia de C al plano dado: d 3.3.( ) c) Como r 9 > podemos afirmar que el plano corta a la esfera. 38 º.- Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta r x es perpendicular al plano π x (,5 ptos) El plano pedido contiene al punto O es paralelo a los vectores u, de la recta r, v del plano π x de donde resulta - x - -

11 3º.- Dados el punto A(3, 5, - ) la recta r x se pide: Geometría Analítica 8-9 a) Expresa r en paramétricas ( pto) b) Hállese un punto B de la recta r tal que el vector AB es paralelo al plano π de ecuación 3x 5 (,5 ptos) a) La recta r pasa por (, -, - ) su dirección es u (,, ) > r t t t b)un punto genérico de la recta es B( t, - t, - t) Consideremos el vector AB ( - t, - 7 t, t) que debe ser perpendicular al vector v por lo que: 4 v. AB > ( 3, -, ). ( - t, - 7 t, t) > encontrando que t 3 5 Sustituendo el valor hallado en las coordenadas de B tenemos que: B (, -, ) º.-Se consideran los puntos A( 3, 5, 7 ), B(,, - ) C( 7, -, 4 ) D(, 4, - 6) como vértices de un paralelepípedo se pide: a) Ecuación del plano de la base que determinan los puntos A, B C (,5 ptos) b) Área de la base del paralelepípedo (,5 ptos) c) Altura del paralelepípedo (,5 ptos) d) Calcular el valor de m para que el volumen del paralelepípedo de vértices A, B, C D(, 4, m) sea ( punto) En la figura se muestra una posible representación del paralelepípedo a)el plano de la base viene determinado por los puntos A, B C. De ellos obtenemos como punto de referencia B los vectores BA (, 5, 8 ) BC(6, -, 5 ). Su ecuación será: x 5 8 de donde plano ABC > 33 x

12 Geometría Analítica 8-9 b) Área de la base BA BC Calculemos primero BA BC i 6 j 5 k i 38 j 3 k Área de la base ( 3) ,64 c) Altura del paralelepípedo distancia del punto D al plano de la base ( 6) altura d) Volumen [BA, BC, BD] m 8 de donde m