Unidad 2: Resolución de triángulos

Transcripción

1 Ejercicio 1 Unidad : Resolución de triángulos En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados por letras (ambos triángulos son rectángulos en A): cm 16'5 7'5 cm a ; a 36'3 cm n a m ; n 8'8 cm Por el teorema del altura: ; h 14'7 cm h 7'5 cm 8'8 cm ; c 3'33 cm c 8'8 cm 36'3 cm cm cm a ; a 98 cm m 48 cm ; b 68'59 cm b 48 cm 98 cm Ejercicio Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las proyecciones y la altura sobre la hipotenusa: 4 cm n 5 cm ; n 3' cm Por el teorema de la altura: La hipotenusa, a, se obtiene por Pitágoras: a 5 cm (Es una terna pitagórica) 3 cm m 5 cm ; m 1'8 cm ; h '4 cm h 1'8 cm 3' cm

2 Ejercicio 3 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 cm y 5 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos: Hipotenusa: m n 41cm Por el Teorema de la altura: Por el Teorema del cateto: Cateto pequeño: Cateto grande: h m n; h 0cm a 16 41; a 5'61cm b 5 41; b 3'0cm Ejercicio 4 Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro lo divide en dos segmentos, uno de los cuales (el más alejado del centro) mide 0 cm. Calcula la medida de la cuerda. Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia La resolución de este ejercicio es muy sencilla. Lo complicado está en entender qué se pide. La longitud de la cuerda es x. EL valor de la incógnita forma parte de una terna pitagórica. La cuerda mide: 40cm 40cm 80cm Ejercicio 5 Demuestra estos teoremas utilizando tus conocimientos de álgebra y el teorema de Pitágoras: a h c m ; a b m c cm m ; a b c cm a h c m ; a b m c cm m ; a b c cm

3 Ejercicio 6 En un triángulo cualquiera, se tienen los siguientes datos: b 6'6 cm y las proyecciones de los lados b y a sobre c miden: m 4'6 cm y n 13'4 cm. Calcula el lado a: El ejercicio se resuelve por aplicación directa del Teorema generalizado de Pitágoras para un ángulo agudo: a b c cm ; a 6' '6 01'96cm ; a 14'1cm Ejercicio 7 En el ejercicio resuelto anterior, y una vez hallado el lado b, por qué no lo hemos escogido junto con el ángulo de 45º para resolver el ejercicio? Porque el lado b es un dato calculado por nosotros y, por tanto, podría ser erróneo. Siempre que sea posible, usaremos los datos de los enunciados, no los nuestros. Ejercicio 8 Resuelve el triángulo del que conocemos C 30º, b 5 cm, c 18 cm : sen 30º sen B sen 30º sen B Teorema del seno: ; c b 18cm 5cm 5cm sen B sen 30º ; 5 B arcsen.. B 18cm 43'98º 36 A 180º B 30º ; A 106'0º a c Teorema del seno: sen A sen A ; a 18cm ; a 34'6cm sen 30º sen 30º Ejercicio 9 Dos amigos parten de un mismo punto A, siguiendo direcciones que forman entre sí un ángulo de 35º. Después de caminar 10 km y 8 km, respectivamente, cuál es la distancia que los separa? Teorema del coseno: d cos35º d 5'74km

4 Ejercicio 10 Completa: Datos Para triángulos rectángulos: Dos de los tres lados Ambas proyecciones sobre la hipotenusa Proyección e hipotenusa Un lado y un ángulo agudo cualquiera Lado y su proyección Altura sobre la hipotenusa y una proyección Hipotenusa y un lado Para triángulos cualesquiera: Dos lados y el ángulo que forman Dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados Dos lados y la proyección de uno sobre el otro Dos ángulos y un lado Tres lados Teorema... de Pitágoras y razones trigonométricas de la altura o del cateto del cateto razones trigonométricas del cateto de la altura de Pitágoras o razones trigonométricas del coseno del seno generalizado de Pitágoras del seno del coseno Ejercicio 11 Resuelve el triángulo del que se conoce a 0 A 180º 45º 30º; A 105º m, B 45, C 30º : Teorema del seno: 0 m c sen 30º ; c sen 30º 0 m c 10'35 m 0 m b sen 45º ; b sen 45º 0 m ; b 14'64m

5 Ejercicio 1 En un triángulo se conocen los lados a Calcula el ángulo A y el lado b: cm, c 3 cm y el ángulo C 60º. Una primera dificultad es construir el triángulo que se indica. sen A sen 60º Teorema del seno: cm 3 cm sen A sen 60º ; A 30º 3 cm B 180º 60º 30º; B 90º ; Se trata de un triángulo rectángulo. cm cm cos 60º ; b ; b 4cm b cos 60º Ejercicio 13 Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido es de 60º. Calcula los otros dos ángulos: (Pista: piensa en un objeto de uso común que tiene esas características) Por construcción, observamos que el triángulo debe ser rectángulo, pero necesitamos realizar otras demostraciones para estar seguros. Como no sabemos a ciencia cierta que se trate de un triángulo rectángulo, aplicaremos el Teorema de coseno, siendo x el otro cateto: x l l l l cos 60º ; teniendo en cuenta que el coseno de 60º es x 4l l l 3l ; por tanto x l 3 1/5, tenemos:. Ahora aplicamos el Teorema del Seno para averiguar el ángulo opuesto al lado mayor, que llamaremos : sen sen 60º ; se despeja sen ; sen l l 3 3 l l 3 Se trata de un cartabón: el ángulo que falta es el de 30º l l ; es decir, 90º Ejercicio 14 En un triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado b 4 cm sobre el lado c 8 cm. El tercer lado mide a 6 cm. Dibújalo a escala 1:1. Teorema generalizado de Pitágoras: a b c cm ; m '75cm b c a m c

6 Ejercicio 15 Calcula el radio (r) y la apotema (ap) de un octógono regular de lado 10 cm: (Pista: conoces algún ángulo?) 360º 45º ; 8 '5º ; ahora podemos usar las razones Nos fijamos en el ángulo central: trigonométricas: 5cm tg ; ap 5cm ap ; ap 1'07 cm tg '5º 5cm sen ; r 5cm r ; r 13'07 cm sen '5º Ejercicio 16 Calcula el área del triángulo siguiente sabiendo que a 10 Recuerda la definición de altura. cm, B 30º y C 45º. El área de un triángulo se calcula como (base x altura)/. Cada uno de sus tres lados puede actuar de base. La elección de una u otra altura será lo que determine la dificultad del ejercicio. El lado a es conocido, por tanto parece lógico escoger su altura correspondiente, h. Para calcularla necesitamos el valor del lado b y utilizar el seno de 45º (también hubiera valido obtener c y el sen de 30º). Para obtener b calculamos previamente el tercer ángulo desconocido y aplicamos el Teorema del seno ; b a A A 105º ; sen 30º ; Al tratarse de un resultado no exacto, se reserva en la calculadora. sen 30º b 10 m h Aplicando la razón trigonométrica del seno: sen 45º ; por tanto, h b sen 45º ; b sen 30º sen 45º Base h Calculamos el área del triángulo: Área sen 30º sen 45º Área 50 ; Área 18'3cm

7 Ejercicio 17 En el ejercicio 10 hemos dicho que, con sólo tres datos y con los teoremas del seno y el coseno, se puede averiguar el resto de elementos de cualquier triángulo. Cuántos datos se necesitarán para el caso de los triángulos rectángulos? datos: un ángulo agudo y un lado, o bien, dos lados. Ejercicio 18 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 8 cm y 4 5 cm. Calcula la medida de los catetos y el área del triángulo (no utilices el teorema de Pitágoras): c m n 1'5cm ; Teorema del cateto: a 7 '5cm a m c 56'5cm b nc 100cm ; b 10cm calculados: ; para el cálculo del área, utilizaremos los catetos Base h a b 7'510 Área ; Área 37'5cm Ejercicio 19 En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es de 3º y el perímetro es 100 cm. Halla sus tres lados. La suma de los ángulos de un triángulo es 180º: 180º 3º ; 7º Sistema de ecuaciones: 100 x x cos 74º x y 100 y 100 x y y cos 74º cos 74º x x ; 100 x cos 74º x x cos 74º 1 ; 100 x cos 74º 1 ; x 39'cm ; y 1'61cm

8 Ejercicio 0 Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada uno de los lados iguales es de 33º. (Sin Pitágoras). (área del trapecio: Área del trapecio: A 73'65cm ( B b) A h ) Usamos razones trigonométricas: h sen 33º ; h 30 sen 33º 30 x cos33º ; x 30 cos33º b x ; b 70 x cos33º 30 sen 33º cos33º 15 sen 33º cos33º A Ejercicio 1 Calcula x: La incógnita está situada en un triángulo con pocos datos. Tan solo con un ángulo y un lado conocidos, en un triángulo no rectángulo, no es suficiente para averiguar la incógnita. Debemos apoyarnos en el triángulo inferior para conseguir disponer de más información. Conocidos los tres lados del triángulo no rectángulo inferior, y utilizando el Teorema del coseno, podemos obtener el ángulo α, que por semejanza, coincide con el ángulo superior perteneciente al triángulo donde está la incógnita cos α; cos α ; 109 α arccos 196 No nos debe sorprender que de un resultado negativo; los cosenos de ángulos comprendidos entre 90º y 70º son negativos, y a la vista del dibujo, alfa es claramente obtuso. Ya en el triángulo superior, conocidos α y el ángulo de º, obtenemos : º º arccos 196 x 96 sen ; x 96 sen sen α sen α ; Y por último, por el Teorema del seno se calcula x: x 64'95 m

9 Ejercicio Un edificio y un árbol tienen 1 y 4 m de altura respectivamente y sus pies están situados a 0 m de distancia. En qué punto situado entre los pies del árbol y del edificio se debe colocar un recipiente con comida para que los pájaros que están en la copa del árbol y los que están en la cima del edificio lo tengan a igual distancia? (Puedes utilizar cualquier teorema) Disponemos de dos triángulos rectángulos y dos incógnitas, x y H. Las distancias que deben recorrer los pájaros, H, deben ser iguales. Se establece una ecuación para cada triángulo (Teorema de Pitágoras) y se igualan las hipotenusas, es decir, se resuelve el sistema por el método de Igualación: H H 1 x 4 0 x 1 x 4 0 x x x x ; 40x , para que se cumplan las condiciones del problema, hay que x m situar el recipiente a 6'8 del edificio.