Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización

Transcripción

1 Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

2 Polinomios de grado 2 Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo grado. En esta parte del curso resolveremos ecuaciones cuadráticas en una variable. Ejemplos: 2w 2-8w + 3 = 0 3x - x = 2x - 6 5x 2-3 = 6x = 5y 2

3 Ecuación cuadrática en forma general Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue ax 2 + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales; y a 0 a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado 2). b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.) c es la constante.

4 Escribir en forma general Ejemplo: Escriba 4 = 2x (3x + 5) en forma general. Solución: 4 = 6x x 4 4 = 6x x 4 0 = 6x x 4 por la propiedad reflexiva, 6x x - 4 = 0

5 Ejemplo Escriba 3x x = 2x 6 en forma general. Solución: 3x x = 2x 6 3x x 2 + x = 2x 6 + x 2 3x + 4 = 2x 6 + x 2 3x 3x + 4 = 2x 3x 6 + x 2 4 = -x 6 + x = -x x 2 0 = -x 10 + x 2 x 2 x 10 = 0 ordenar, luego usar propiedad reflexiva

6 Ejemplo Escriba (5x 3) (4x + 2) = 3x + 9 en forma general. Solución: 5x (4x + 2) 3 (4x + 2) 20x x 12x 6 = 3x x 2 2x 6 = 3x x 2 2x 3x 6 = 3x 3x x 2 5x 6 9 = x 2 5x 15 = 0 propiedad distributiva

7 Soluciones de una ecuación Las soluciones de una ecuación cuadrática son aquellos valores de la variable que hacen que la expresión cuadrática tenga un valor de 0. Ejemplo: Determine si x = 2 es solución de 5x 2 6x 8 = 0. Solución: =5(2) 2 6(2) 8 = =0 2 ES solución de la ecuación.

8 Ejemplo Determine si x = -3 es solución de 5x 2 6x 8 = 0. Solución: = 5(-3) 2 6(-3 ) 8 = 5(9) = = 63 8 = 55 0 Por lo tanto, x = -3 NO es solución de la ecuación.

9 Soluciones de una ecuación Una ecuación cuadrática puede tener Dos (2) soluciones reales Una (1) solución real Ninguna (0) solución real

10 Resolver ecuaciones cuadráticas Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Método de factorización Método de raíz cuadrada Método utilizando la fórmula cuadrática

11 Método de factorización Factorizamos la ecuación cuadrática y luego aplicamos el principio del factor cero que establece que: Si a * b = 0 entonces a = 0 ó b = 0 En otras palabras, si un producto de dos números es cero, es porque por lo menos uno de los números es cero.

12 Pasos en el método de factorización 1. Escribir la ecuación de la forma general: ax 2 + bx + c = 0 2. Factorizar el polinomio cuadrático ax 2 + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución.

13 Principio del factor cero Según este principio, si tenemos: (x + 2)(x + 3) = 0 podemos decir que x + 2 = 0 ó x + 3 = 0 por lo que x = -2 ó x = -3 Estas son las soluciones de la ecuación..

14 Ejemplo: Determine las soluciones de 2 11x = 12x 2. Paso 1. Escribir la ecuación en forma general. 12x 2 11x + 2 = 0 Paso 2. Factoriza el polinomio cuadrático. Necesitamos factores de 24 que sumen 11, 12x 2 8x 3x + 2 = 0 4x(3x 2) (3x 2) = 0 (4x 1)(3x 2) = 0

15 Ejemplo (cont) (4x 1)(3x 2) = 0 Paso 3. Se utiliza la propiedad del factor cero. 4x 1 = 0 ó 3x 2 = 0 Paso 4. Resolver las ecuaciones lineales. 4x 1 = 0 ó 4x = 1 3x 2 = 0 3x = 2 x = 1/4 x = 2/3 El conjunto solución es 1, 2 4 3

16 Ejemplo Hallar el conjunto solución : 3x 2 5x = 0 Solución: Esta ecuación cuadrática tiene solo dos términos que tienen un factor común. x(3x 5) = 0 Ahora, usamos el principio del factor cero y establecemos que: x = 0 ó 3x 5 = 0 3x 5 = 0 3x = 5 El conjunto solución es 0, 5 x = 5/3 3

17 Ejemplo Hallar el conjunto solución de 5x 2 6x 8 = 0 Solución: Factorizar la expresión cuadrática. Necesitamos factores de -40 que sumen -6. Usemos -10 y 4 5x 2 10x + 4x 8 = 0 5x(x 2) + 4(x 2) = 0 (x 2)(5x + 4) = 0

18 Continuación del ejemplo Ahora, usamos el principio del factor cero y establecemos que: x 2 = 0 ó 5x + 4 = 0 por lo que: x = 2 ó x = -4/5 El conjunto de soluciones de la ecuación son: {2, -4/5}

19 Cuidado El principio del factor cero funciona solo con cero, y no con otros números. Es común cometer el error de aplicar una versión similar de este principio con otros números, Por ejemplo si, (x + 4)(x 3) = 5 NO podemos concluir que x + 4 = 5 ó x 3 = 5 En ese caso, tendríamos que multiplicar los binomios y escribir la ecuación en forma general antes de empezar a factorizar.

20 Ejemplo Hallar el conjunto solución de 2x 2 + 4x 9 = 0 Solución: Factorizar la expresión cuadrática. Necesitamos factores de -18 que sumen 4. Los posibles son: (- 2)(9) = -18 (2)(-9) = -18 (3)(-6) = -18 (-3)(6) = -18 (1)(-18) = -18 (-1)(18) = -18 (- 2) + (9) = 7 (2) + ( -9) = -7 (3) + ( -6) = -3 (-3) + ( 6) = 3 (1) + ( -18) = -17 (-1) + ( 18) = 17 La ecuación NO factoriza sobre los reales. Habría que utilizar OTRO método para resolver.

21 Ejemplo Resolver: 4x 2 9 = 0 Solución: Factorizar la expresión cuadrática. Esto es una diferencia de cuadrados, por lo tanto factoriza (2x 3) (2x + 3) = 0 Por el principio del factor cero tenemos que 2x 3 = 0 2x = 3 x = 3/2 2x + 3 = 0 2x = -3 x = -3/2 El conjunto solución es 3, 3 2 2

22 Ejemplo Resolver: Solución: Factorizar la expresión cuadrática. 2x 2 + 8x 3x 12 = 0 2x(x + 4) 3(x + 4) = 0 (x + 4)(2x 3)=0 Por el principio del factor cero tenemos que x + 4=0 x= -4 2x 3 = 0 2x = 3 x = 3/2 El conjunto solución es 4, 3/2

23 Ejemplo Resolver: Solución: Factorizar la expresión por factor común. x 3 8x x = 0 x(x 2 8x + 16) = 0 Factoriza el trinomio cuadrático x(x 4)(x 4) = 0 x 4 = 0 x= 4 x = 0 Aplicar el principio del factor cero. El conjunto solución es 0,4

24 Ejemplo Resolver: 16x 2 9x 4 = 0 Solución: Factorizar la expresión por factor común. 16x 2 9x 4 = 0 x 2 (16 9x 2 ) = 0 Factorizar la diferencia de cuadrados x 2 (4 3x)(4 + 3x) = 0 4 3x = 0 x= 4/ x = 0 x= - 4/3 x 2 = 0 x = 0 El conjunto solución es 0, 4 3, 4/3 Aplicar el principio del factor cero

25 Ejercicios A. Escriba en forma general 1) 3x - 5 = 2x ) (4x - 5)(3x + 2) - 3x = 5 3) 7x - 3x 2 = 4-6x B. Determine si el número a la derecha es solución o no de la ecuación. 1) x 2-5x - 24 = 0 {8} 2) 2x 2-4x + 5 = 0 {2} 3) 3x 2 + x - 2 = 0 {-1}

26 Soluciones A. Escriba en forma general 1) -2x 2-3x + 15 = 0 2) 12x 2-10x - 15 = 0 3) -3x x - 4 = 0 B. Determine si el número a la derecha es solución o no de la ecuación. 1) cierto 2) falso 3) cierto

27 Ejercicios

28 Soluciones