Geometria Computacional (I)

Transcripción

1 Geometria Computacional (I) Josep Blat Universitat Pompeu Fabra

2 Índex 1 Geometria afí i mètrica Espai afí i subespais Sistemes de referència afins Canvi de sistema de referència Operativa amb matrius ampliades Orientació de l espai Producte escalar i distància Ortogonalitat, projeccions i mètode de Gram-Schmidt Rotacions i matrius ortogonals Algunes aplicacions: projeccions i distàncies en 3D Producte vectorial en el espai 3D Objectes geomètrics bàsics al pla Objectes geomètrics bàsics a l espai Problemes Transformacions afins i canvis de variables Transformacions afins en general Transformacions afins en 2D Coordenades polars Transformacions afins en 3D Coordenades cilíndriques i coordenades esfèriques Problemes Corbes i superfícies Corbes paramètriques i vectors tangents Parametritzacions equivalents de les corbes, multiplicitat Longitud d una corba, parametrització canònica Curvatura i torsió Algunes corbes importants Superfícies en 3D i plans tangents Algunes superfícies importants Projeccions, geometria i calibratge de càmeres Introducció La projecció perspectiva en el sistema de referència càmera Transformació càmera-imatge Combinant projecció i transformació: els paràmetres intrínsecs La transformació a sistema objecte i els paràmetres extrínsecs La matriu de projecció perspectiva; la obtenció dels paràmetres a partir de la matriu Calibratge Reconstrucció 3D utilitzant estereoscopia Perspectiva cònica i perspectiva cilíndrica

3 Capítol 1 Geometria afí i mètrica 1.1 Espai afí i subespais Recordem que l espai IR n = { x = x 1 x 2. x n } : x 1, x 2,..., x n IR. amb les dues operacions suma de vectors i producte d un escalar per un vector és un espai vectorial i als seus elements els hi direm vectors. Definició 1.1 Un espai afí real de dimensió n és el parell (IR n, E) on E és un conjunt de punts i està definida una operació suma de punt P E i vector v IR n com un vector P + v que iverifica les propietats: 1. (P + v) + w = P + (v + w) (regla del paral.lelogram) 2. Donats dos punts P i Q hi ha un únic vector v tal que P + v = Q, el que també es denota com v = Q P = P Q La recta que passa per un punt P i té com a direcció la d un vector v es defineix com el conjunt de punts X de la forma X = P + λv λ IR Si únicament considerem els λ 0 tindrem una semirecta d origen P. Si tenim dos punts, P, Q, el segment d extrems P, Q és el conjunt de punts X de la forma X = P + (1 λ)p Q λ [0, 1] De forma semblant es defineixen els subespais afins, que són els punts suma d un punt donat i un subespai vectorial. Si el subespai vectorial és un hiperplà, tindrem un hiperplà afí. I també podem definir també semiespais... 2

4 CAPÍTOL 1. GEOMETRIA AFÍ I MÈTRICA 3 Problemes: És convenient començar per revisar les operacions matricials (p.e., amb els exercicis de l apartat 2.5 dels apunts de Geometria per a Sistemes Multimèdia, de V. Sacristan, números 13-20). 1.2 Sistemes de referència afins Recordem que una base d un espai vectorial és un conjunt de vectors v 1,..., v n que 1. Generen l espai vectorial. 2. Són linialment independents. i que llavors es verifica que per cada v existeixen uns únics escalars c 1,..., c n que compleixen v = c 1 v c n v n : De forma semblant, Definició 1.2 Un sistema de referència afí està constituït per 1. Un punt O que es denomina origen de coordenades 2. Una base de l espai vectorial, v 1,..., v n ; les rectes que passen per O amb les direccions d aquests vectors són els eixos de coordenades. Donat un punt qualsevol X, llavors les components del vector OX respecte a la base es denominen coordenades afins del punt. Quan està clarament definit un sistema de referència es poden identificar punts i vectors: el punt X s identifica amb el vector OX. Exemple 1: Escriure les equacions vectorial, paramètriques, implícites i explícites d una recta en 2D. Exemple 2: Escriure les equacions vectorial, paramètriques, implícites i explícites d una recta en 3D. Exemple 3: Escriure les equacions vectorial, paramètriques, implícites i explícites d un pla en 3D. En dimensió n, hi ha una única equació implícita d un hiperpla. Exemple 4: Demostreu que les diagonals d un paral.lelogram s intersequen mútuament en els punts mitjans. Exemple 5: Demostreu que les tres mitjanes d un triangle s intersequen en un punt, que es diu baricentre, i determinar les coordenades d aquest punt. Problemes: Els exercicis de l apartat 3.7 dels mateixos apunts de Geometria per a Sistemes Multimèdia són elementals d espais i subespais afins.

5 CAPÍTOL 1. GEOMETRIA AFÍ I MÈTRICA Canvi de sistema de referència Recordem que si {e 1,..., e n } i {v 1,..., v n } són dues bases de IR n, e j = n a ij v i i=1 i si (α 1,..., α n ) i (β 1,..., β n ) són les components d un vector qualsevol v IR n respecte de cada base, llavors es verifica que β 1 a a 1n α 1. =.... β n a n1... a nn α n Ho podem representar de forma més concisa com β = Aα, i direm que A és la matriu de canvi de base. De forma semblant, ens interessa estudiar el canvi de sistema de referència, que pot ser per: 1. canvi d origen de coordenades 2. canvi d eixos de coordenades 3. canvi de les dues coses Suposem el primer cas, que tenim dos sistemes de referència S = (O, {e 1,..., e n }) i S = (O, {e 1,..., e n }) i que les coordenades d O respecte a S són (w 1,..., w n ) - que són les components del vector OO -. Ens interessa la relació entre les coordenades d un punt qualsevol P respecte als dos sistemes. Recordem que seran les components del vector OP, que denotarem per X = (x 1,..., x n ) i les de O P, X = (x 1,..., x n). Com O P = OP OO i la base és la mateixa, podem traduir-ho en termes de components: x i = x i w i i = 1,..., n X = X W Si únicament canviem els eixos de coordenades, és a dir, tenim dos sistemes de referència S = (O, {e 1,..., e n }) i S = (O, {v 1,..., v n }), es tracta simplement d un canvi de base, i si utilitzem la terminologia anterior, el que tindrem és X = AX Si el canvi és tant d origen com d eixos, podem combinar els dos apartats anteriors i queda: X = A(X W ). Utilitzant la matriu inversa A 1 podem obtenir les fórmules de les transformacions de X a X. Exemple 6: Utilitzant canvi de sistema de referència, obtenir l equació de la circumferència centrada en el punt (3, 7) i radi 2.

6 CAPÍTOL 1. GEOMETRIA AFÍ I MÈTRICA 5 Exemple 7: Obtenir les equacions del canvi de sistema de referència en IR 2 quan es produeix una rotació d angle π 6 Exemple 8: Utilitzant canvi de sistema de referència, obtenir l equació de l el.lipse centrada en el punt (2, 3), de semieixos 3 i 2 i d eixos rotats π 6. Problemes: Els exercicis dels apunts de Geometria per a Sistemes Multimèdia permeten revisar els conceptes de canvis de sistema de referència. 1.4 Operativa amb matrius ampliades Recordem que un canvi de base és equivalent a una aplicació linial i, més concretament a un isomorfisme (transformació linial bijectiva de l espai vectorial en ell mateix); i que per a concatenar dos canvis de base, basta multiplicar (en l ordre correcte) les dues matrius respectives. De forma semblant, un canvi de sistema de referència és equivalent a un isomorfisme afí; per a facilitar la operativa (per exemple, en infografia), es pot representar de forma compacta el canvi de sistema de referència mitjançant una matriu ampliada; la concatenació de dos canvis de referència és el producte d aquestes dues matrius (encara que la matriu ampliada no representa la d una aplicació linial). Exemple 9: Determinar la matriu ampliada corresponent a la concatenació de dos canvis de sistema de referència a partir de les matrius ampliades respectives. Exemple 10: Determinar la matriu ampliada corresponent a la inversió d un canvi de sistema de referència, a partir de la matriu ampliada d aquest. 1.5 Orientació de l espai Suposem que considerem, com abans, dues bases de IR n, {e 1,..., e n } i {v 1,..., v n }, i que A és la matriu de canvi de base. Per al següent concepte és important recordar que hem de mantenir l ordre dels vectors. Definició 1.3 Direm que les dues bases tenen la mateixa orientació si det(a) > 0 Es pot mostrar que aquesta és una relació binària d equivalència, i que les bases queden partides en dues classes. Si a una d aquestes classes la definim com a orientació positiva, direm que hem definit una orientació de l espai. Usualment la orientació positiva és l antihorària en el cas de IR 2, i la que dóna la regla del tirataps en el cas de IR 3 (gràficament, l eix Z positiu està definit pel sentit del moviment del tirataps quan girem aquest de l eix X cap a l Y pel camí més curt). La orientació és conservada pels isomorfismes tals que el determinant de la seva matriu és positiu.

7 CAPÍTOL 1. GEOMETRIA AFÍ I MÈTRICA Producte escalar i distància Recordem la definició de producte escalar: Definició 1.4 Siguin x = (x i ) n, y = (y i ) n dos vectors d IR n o C n. El producte escalar euclidià d x i y és x, y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n si x, y IR n o x, y = x 1 ȳ 1 + x 2 ȳ x n y n si x, y C n. El producte escalar té les propietats següents, si x 1, x 2, x, y IR n o C n i λ IR o C: 1. x 1 + x 2, y = x 1, y + x 2, y i λx, y = λ x, y. 2. x, y = y, x si x, y IR n i x, y = y, x si x, y C n. 3. x, x Si x, x = 0 llavors x = (0), ja que x, x = x x 2 n. 5. (desigualtat de Cauchy-Schwartz) Si x, y IR n, llavors x, y x y. Les propietats 3 i 4 ens permeten definir la longitud d un vector x IR n : x = x, x, de manera que x 2 = x x 2 n. També es coneix com a norma euclidiana del vector x. Exemple 11: Mostrar la llei del paral.lelogram: la suma dels quadrats de les longituds de les diagonals és igual al doble de la suma dels quadrats de les longituds dels costats. La longitud ens permet definir la distància entre dos punts P i Q com la norma del vector P Q: d(p, Q) = P Q La distància té les propietats:: 1. d(p, Q) = d(q, P ). 2. d(p, Q) = 0 P = Q. 3. (desigualtat triangular) d(p, Q) d(p, R) + d(r, Q)

8 CAPÍTOL 1. GEOMETRIA AFÍ I MÈTRICA 7 La desigualtat de Cauchy-Schwartz permet definir l angle entre dos vectors x, y IR n {0} com l angle θ [0, π] que compleix cos θ = x, y x y. (1.1) ja que el membre de la dreta pren valors entre 1 i 1. En el cas de IR 2, si adoptem una orientació, podem definir la noció d angle orientat. 1.7 Ortogonalitat, projeccions i mètode de Gram- Schmidt Definició 1.5 Dos vectors x, y IR n o C n són ortogonals (o perpendiculars) si x, y = 0. Definició 1.6 Siguin a, b IR n o C n. Definim la projecció de b sobre a com δ = a, b a, a a. Recordem que una base v 1,..., v n d IR n o C n és ortogonal si v i, v j = 0 per tots i, j diferents (és a dir, els vectors de la base són ortogonals dos a dos). Si, a més, els vectors són unitaris ( v i, v i = 1 per tot i) llavors la base és ortonormal. Si la base del sistema de referència afí és ortonormal, direm que és un sistema de coordenades cartesianes. El mètode de Gram-Schmidt permet obtenir una base ortonormal a partir d una base qualsevol. Recordem-ho. Sigui v 1,..., v k un sistema de vectors linealment independents d IR n. Es construeix un sistema de vectors que generen el mateix subespai per inducció. Primer de tot definim w 1 = v 1 v 1 i llavors amb w 2 = v 2 v 2, w 1 w 1, w 2 = w 2 w 2 ; en general, si ja hem construït l vectors w 1,..., w l (l < k) que formen un sistema ortonormal, podem continuar fent: w l+1 = v l+1 P w1 (v l+1 ) P wl (v l+1 ) = i, finalment, = v l+1 v l+1, w 1 w 1 v l+1, w l w l w l+1 = w l+1 w l+1.

9 CAPÍTOL 1. GEOMETRIA AFÍ I MÈTRICA Rotacions i matrius ortogonals Definició 1.7 Una rotació és una aplicació lineal que conserva longituds. És a dir, Q : V V és una rotació si és aplicació lineal i Qx = x per tot x V. El següent teorema ens dóna propietats importants de les rotacions: Teorema 1.1 Sigui Q : V V una aplicació. Són equivalents: 1. Q és una rotació. 2. Per tots x, y V, Qx, Qy = x, y. 3. Q t Q = QQ t = I (si V = IR n ) o Q t Q = Q Q t = I (si V = C n ). La següent definició i proposició ens són molt útils operativament. Definició 1.8 Una matriu Q és ortogonal si QQ t = I (és a dir, si Q 1 = Q t ). En tal cas, det Q = ±1. Proposició 1.1 Siguin v 1,..., v n els vectors columna d una matriu quadrada Q d ordre n. Llavors, Q és ortogonal si i només si v 1,..., v n són una base ortonormal d IR n. 1.9 Algunes aplicacions: projeccions i distàncies en 3D Recordem que l equació implícita d un pla en l espai tridimensional és ax + by + cz d = 0 i es pot transformar en a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0; aquí podem observar 1. que el punt A = (x 0, y 0, z 0 ) és un punt del pla, 2. que si denotem per P = (x, y, z) un punt qualsevol del pla, el vector AP pertany al subesbai director del pla, 3. que el vector (a, b, c) és ortogonal al pla. Definim l angle entre dos plans com el que formen les normals respectives. Exemple 12: Donar l equació paramètrica de la recta que passa per un punt i és perpendicular a un pla prenent com a vector de direcció de la recta el normal al pla. Obtenir a continuació la projecció ortogonal d un punt sobre un pla. Utilitzar tant coordenades com fórmules vectorials i comparar. Exemple 13: Calcular la projecció d un punt sobre una recta, utilitzant tant coordenades com fórmules vectorials.

10 CAPÍTOL 1. GEOMETRIA AFÍ I MÈTRICA 9 Exemple 14: recta. Calcular les distàncies d un punt a un pla, i d un punt a una Exemple 15: Escriure les equacions de la circumferència en 2D. Calcular les interseccions d una circumferència i una recta utilitzant notació vectorial d aquesta. Exemple 16: en 3D. Escriure les equacions de la superfície esfèrica i de la cilíndrica 1.10 Producte vectorial en el espai 3D Donada una base ortonormal orientada positivament en IR 3 es pot mostrar que la definició següent és correcta: Definició 1.9 Donats dos vectors u, v IR 3 el producte vectorial u v respecte a aquesta base és el vector únic que verifica la identitat det (u, v, w) = (u v), w v IR 3 A partir d aquesta definició es pot mostrar la fórmula de les coordenades del producte vectorial coneguda i les propietats següents: Si u, v, u 1, u 2, v 1, v 2 IR 3 i λ R 1. Anticommutativitat: u v = v u i en particular u u = 0, 2. (λu) v = λ(u v) i u (λv) = λ(u v), 3. (u 1 + u 2 ) v = u 1 v + u 2 v i u (v 1 + v 2 ) = u v 1 + u v 2, 4. u v = 0 u, v són linialment dependents, 5. u v és ortogonal a u i a v, 6. Si u, v són linialment independents, {u, v, u v} és una base d orientació positiva, 7. Si θ és l angle dels vectors u i v, llavors u v = u v sin θ. Com exemple d aplicació del producte vectorial tenim: Exemple 17: Calcular l equació del pla que passa per tres punts donats.

11 CAPÍTOL 1. GEOMETRIA AFÍ I MÈTRICA Objectes geomètrics bàsics al pla Recordem que una recta queda definida per un punt i una direcció (un vector director); alternativament, dos punts també la determinen. Si el punt és P i el vector v, la recta és el conjunt de punts: {X = P + λv : λ IR} Si considerem únicament els λ 0, tenim la semirecta d origen P i sentit definit per v. Dos punts, anomenats extrems, defineixen un segment, que és una porció de recta delimitada per aquests. Una recta separa dues regions del pla, anomenades semiplans: dos punts no pertanyents a la recta són al mateix semiplà si es poden unir mitjançant una línia contínua que no talli la recta. Una poligonal queda definida per una successió finita de punts (vèrtexs), {P 0,..., P n }, i està formada pels segments consecutius ordenats P i 1 P i, i = 1,..., n, que es denominen costats o arestes. Un polígon és una poligonal tancada, és a dir: P 0 = P n ; direm que és simple si es compleix la condició que només els costats consecutius comparteixen punts en comú, concretament el vèrtex comú. Direm que és convex si és la intersecció afitada d un conjunt finit de semiplans, el que és equivalent a dir que és un polígon simple tal que els angles interiors que formen els costats consecutius són convexos (aguts). La circumferència de centre C i radi r > 0 és el conjunt dels punts del pla situats a distància r del punt C. El cercle està format pels punts a distància menor o igual que r de C. Recordem també l arc de circumferència, el sector circular i la corona circular Objectes geomètrics bàsics a l espai Recordem que un pla queda definit per un punt i dos vectors directors independents; tres punts no colineals també ho determinen. Si el punt és P i els vectors v, w, el pla és el conjunt de punts: {X = P + λv + µw : λ, µ IR} Un pla separa dues regions de l espai, anomenades semiespais: dos punts no pertanyents al pla són al mateix semiespai si es poden unir mitjançant una línia contínua que no talli el pla. Un políedre es un conjunt finit de polígons plans anomenats cares, de forma que: 1. cada dues cares o bé són disjuntes; o quan són adjacents o incidents tenen un únic vèrtex en comú o tenen dos vèrtexs en comú i per tant l aresta que els uneix també 2. no hi ha cares o arestes penjants 3. la superfície és connexa, tancada i afitada.

12 CAPÍTOL 1. GEOMETRIA AFÍ I MÈTRICA 11 De vegades es dóna una definició més restrictiva, que no considera la possibilitat de forats, de forma que cada aresta d una cara pertany exactament a una altra cara (les dues cares s anomenen adjacents ) i el políedre és topològicament equivalent a una esfera. Un políedre convex és la intersecció afitada d un conjunt finit de semiespais. Un políedre regular és un políedre convex que té totes les cares regulars i iguals, i tots els vèrtexs de mateix grau. Només hi ha cinc políedres regulars: tetràedre, cub (o hexàedre), octàedre, dodecàedre i icosàedre Problemes 1. Exercicis dels apunts de Geometria per a Sistemes Multimèdia. 2. Els exercicis del capítol 1 dels Problemes de Geometria Computacional permeten revisar tot el capítol.

13 Capítol 2 Transformacions afins i canvis de variables 2.1 Transformacions afins en general Definició 2.1 Una transformació afí és una aplicació de l espai afí en ell mateix f : E E, de forma que l aplicació associada, ϕ sobre l espai vectorial dels vectors definits per parells de punts, és una aplicació linial. Operativament, això significa que es pot expressar una transformació afí per f(x) = AX + B, i respecte a un sistema de coordenades com: f x 1 x 2. x n a 11 a a 1n = a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n b 1 + b 2. La imatge per una transformació afí d un subespai afí és un subespai afí, el que significa que es mantenen les propietats de dependència lineal i paral.lelisme. Vegem ara les transformacions afins principals. 1. Una translació és la que té com a matriu associada la identitat. 2. Si per a una base e 1,..., e n, es verifica que ϕ(e i ) = λ i (e i ) direm que tenim un canvi d escala, i si tots els λ i són iguals (a λ), direm que és una homotècia de raó vectorial λ. 3. Si es conserva la norma dels vectors, llavors direm que tenim una isometria, i, en funció del que hem vist anteriorment, la matriu A d una isometria serà ortogonal. Remarquem que, el mateix que la composició de funcions no és una operació commutativa, la concatenació de transformacions afins no és commutativa (en general, encara que hi ha excepcions) b n 12

14 CAPÍTOL 2. TRANSFORMACIONS AFINS I CANVIS DE VARIABLES Transformacions afins en 2D Les principals transformacions afins en 2D són: 1. Translació. Com hem dit abans, una translació té com a matriu associada la identitat; per tant tenim que f(x) = X + B Exemple 18: Escriure les equacions de la translació en el pla, donat el vector de translació. 2. Girs. Un gir ve definit per un centre de gir O, i un angle de rotació ω : en el gir f(ox) resulta de rotar amb aquest angle el vector OX. Exemple 19: l angle. Escriure les equacions del gir en el pla, donat el centre i La concatenació de girs, en general no és commutativa, però si són del mateix centre, sí ho és. La simetria respecte a un punt es pot considerar com un gir respecte a aquest centre i angle π. 3. Simetries axials. Una simetria axial ve definida per una recta que és l eix de simetria. Direm que X és el simètric del punt X respecte a una recta r si XX és perpendicular a r i el punt d intersecció és el punt mitjà del segment. Escriure les equacions de la simetria axial en el pla, don- Exemple 20: ada la recta. Altres transformacions són també aplicació directa de les generals, quan es dóna un punt que n és el centre: Exemple 21: Escriure les equacions de canvi d escala, i d homotècia en el pla, donat el centre. Exemple 22: el pla. Escriure les equacions de projecció ortogonal sobre una recta en 2.3 Coordenades polars Al pla hi ha un sistema de coordenades especialment important, les coordenades polars. Donat un origen de coordenades O, i una semirecta, que és l eix de les abscisses positives, les coordenades polars d un punt P són el parell (r, θ) on r = OP i θ és l angle que formen OP i l eix OX. La relació entre aquestes coordenades polars i les cartesianes d un punt ve donada per les fórmules: (x, y) = (r cos θ, r sin θ) Remarquem que, si r = 0, l angle no està unívocament determinat; i que aquest no és un canvi de sistema de referència tal com ho hem definit anteriorment. Fer l exercici 58 de Geometria per a Sistemes Multimèdia.

15 CAPÍTOL 2. TRANSFORMACIONS AFINS I CANVIS DE VARIABLES Transformacions afins en 3D Les translacions i homotècies són semblants a les que tenim al pla. transformacions afins interessants en 3D són: Altres 1. Gir o rotació axial. Donada una recta r, per a rotar un punt X respecte a aquest eix, calculem la projecció de X sobre la recta, O, i girem amb l angle corresponent el punt, amb centre O en el pla ortogonal a la recta que passa per X. Exemple 23: Escriure les equacions. En 3D, la simetria respecte a una recta es pot considerar com un gir respecte a aquest eix i angle π. 2. Simetries especulars. Una simetria especular ve definida per un pla de simetria. Direm que X és el simètric del punt X respecte a aquest pla π si XX és perpendicular a π i el punt d intersecció és el punt mitjà del segment. Exemple 24: Escriure les equacions de la simetria especular. També pot ser interessant la simetria central. 2.5 Coordenades cilíndriques i coordenades esfèriques A l espai 3D hi ha dos sistemes de coordenades especialment importants, les coordenades cilíndriques i les coordenades esfèriques. 1. Donat un sistema de referència cartesià, si les coordenades cartesianes d un punt P són (x, y, z), les seves coordenades cilíndriques són (r, θ, z) de forma que (r, θ) són les coordenades polars del punt projecció ortogonal de P sobre el pla OXY, en aquest pla. La relació entre aquestes coordenades cilíndriques i les cartesianes d un punt ve donada per les fórmules: (x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, z) 2. Donat un sistema de referència cartesià, les coordenades esfèriques d un punt P són (ρ, θ, φ), de forma que ρ = OP, θ és la longitud geogràfica de P - que coincideix amb la coordenada θ de les cilíndriques -, i φ és semblant a la latitud geogràfica de P, és l angle que formen OZ i OP. La relació entre les coordenades esfèriques i cartesianes d un punt ve donada per les fórmules: (x, y, z) = (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ) Remarquem de nou que aquests no són canvis de sistema de referència tal com hem definit al capítol anterior. Fer l exercici 67 de Geometria per a Sistemes Multimèdia.

16 CAPÍTOL 2. TRANSFORMACIONS AFINS I CANVIS DE VARIABLES Problemes 1. Els exercicis dels apunts de Geometria per a Sistemes Multimèdia són relativament elementals. 2. Exercicis del capítol 4 dels Problemes de Geometria Computacional.

17 Capítol 3 Corbes i superfícies 3.1 Corbes paramètriques i vectors tangents Si considerem una partícula que es mou en l espai al llarg del temps, la seva posició en cada instant es pot descriure com (x(t), y(t), z(t)). La trajectòria de la partícula és una corba en IR 3. En aquest exemple, la derivada respecte al temps és la velocitat (en cada instant), i la segona derivada és l acceleració, que en els dos casos són vectors: v(t) = (x (t), y (t), z (t)), a(t) = (x (t), y (t), z (t)). Més formalment, Definició 3.1 Sigui una funció de variable real i valors vectorials g : J IR IR N i t un punt interior de J; el vector derivada de g en el punt t és: g g(t + t) g(t) (t) = lim t 0 t Si tenim un sistema de referència, la funció g es pot imaginar també com el vector format per les N funcions components g(t) = (g 1 (t), g 2 (t),..., g N (t)). Llavors g (t) = (g 1(t), g 2(t),..., g N (t)) es pot considerar com una funció de variable real a valors vectorials de IR N, quan el vector derivada existeix en tots els punts de l interval. Suposem que J = [a, b], i g C (1 (J), és a dir, és contínuament derivable en J; denominarem corba paramètrica en IR N a g, sempre que g (t) 0 t [a, b]. Aquesta condició garanteix que no hi hagin punts singulars de la corba en l interval. Observacions: 1. Si g (t) 0, es diu que és un vector tangent a la corba en g(t). La recta (subespai afí) que passa pel punt g(t) i té com a vector director g (t) es diu recta tangent a la corba en el punt g(t). En el cas d una corba g : J IR 3, g(t) = (x(t), y(t), z(t)), la recta tangent a la corba en un punt g(t 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) = (x 0, y 0, z 0 ) té com a 16

18 CAPÍTOL 3. CORBES I SUPERFÍCIES 17 equacions: x x 0 x (t 0 ) = y y 0 y (t 0 ) = z z 0 z (t 0 ) 2. Si t representa el temps, la corba seria la trajectòria en l espai (IR N ) al llarg del temps. El vector tangent seria en aquest cas el vector velocitat (en cada instant). 3. Si (e i ) 1 i N és una base canònica de IR N, i g = N i=1 g ie i, tenim que g és derivable si i solament si les components g i, funcions reals de variable real, ho són. Es pot identificar el grau de diferenciabilitat de g amb el de les seves components. 4. En dues dimensions, l equació d una corba es diu expressada implicitament si té la forma F (x, y) = 0; es diu explícita si té la forma y = f(x). 3.2 Parametritzacions equivalents de les corbes, multiplicitat De vegades podem tenir la mateixa corba amb representacions diferents. En aquest cas es diu que tenim parametritzacions equivalents. Per exemple, l aplicació g : [0, 2π] IR 2 definida per g(t) = (a cos t, a sin t) és una corba paramètrica en IR 2. Una parametrització equivalent la tenim si agafem l interval [2π, 4π] en lloc de [0, 2π]. Altres conceptes importants són: 1. Sigui g : [a, b] IR N una corba paramètrica C (1 i x g([a, b]); definim multiplicitat de x com: mlt(x) = card({t [a, b] : g(t) = x}) 2. Un punt x g([a, b]) és un punt simple si mlt(x) = 1 i una corba g és una corba simple si tots els seus punts són simples. 3. Denominem extrem inicial de la corba parametritzada per g a g(a), i extrem final a g(b). Direm que g és tancada si g(a) = g(b), i que és tancada simple si és tancada i tots els seus punts són simples llevat dels extrems (que constitueixen un punt doble). 3.3 Longitud d una corba, parametrització canònica Definició 3.2 Definim longitud de la corba C (1 parametritzada per g : [a, b] IR N com: l = b a g (t) dt

19 CAPÍTOL 3. CORBES I SUPERFÍCIES 18 Aquesta definició de longitud és independent de la parametrització. Cal remarcar que, com g és contínua, la longitud sempre existeix i és finita. També es pot demostrar que si a = t 0 < t 1 <... < t n = b és una partició de l interval l = lim i g(t i+1 ) g(t i ). quan la norma de la partició tendeix cap a zero. Si considerem la corba definida de forma que el parámetre és la longitud (parcial) d aquesta, donada per l(t) = t a g (t) dt es diu que tenim la parametrització canònica o intrínseca. Això es pot conseguir utilitzant la funció inversa de la funció longitud. És a dir, tenim la funció t l(t), definida per la integral de longitud, i es pot mostrar que aquesta funció té una inversa l t, que podem representar com t = t(l). Com l (t) = g (t), per les propietats de la funció inversa, tenim que dt dl = 1 g (t). Recordem que, per definició de corba paramètrica, g (t) 0. Es pot comprovar, aplicant la regla de la cadena, que els vectors tangents en aquesta parametrització canònica són unitaris. Si utilitzem la parametrització canònica, que denominem γ(l), llavors γ (l) ja és 1 (ja que γ (l) = g 1 (t) g (t) ); denominarem T (l) a aquest vector unitari que és γ (l). Utilitzant altra parametrització es pot conseguir un vector unitari tangent dividint la tangent pel seu mòdul: T (t) = g (t) g (t) 3.4 Curvatura i torsió Utilitzant la parametrització canònica, i derivant respecte a l el vector unitari tangent T (l), obtenim un vector ortogonal al tangent (en general, sempre la derivada d un vector de mòdul constant és ortogonal a aquest vector). El mòdul d aquest vector ortogonal κ = γ (l) es denomina curvatura, i κ 1 es diu radi de curvatura. El vector unitari normal aquest es representa per N(l) i es denomina vector normal principal Si tenim altra parametrització, utilitzant 1. la regla de la cadena i 2. que la derivada de g (t) és <g (t),g (t)> g (t) (derivant la fórmula del mòdul en components, g (t) = g 1 (t)2 + g 2 (t)2 + g 3 (t)2 ) es pot mostrar que κ = g (t) g (t) 2 g (t) 3. La curvatura verifica les propietats esperades: per exemple, si la corba és una recta, la curvatura és zero i el radi de curvatura és infinit; si és una circumferència, la curvatura és constant, i el radi de curvatura el de la circumferència.

20 CAPÍTOL 3. CORBES I SUPERFÍCIES 19 Si fem el producte vectorial T (l) N(l) obtenim un tercer vector, que denominem binormal i denotem per B(l), que amb els altres, i el punt corresponent, forma un sistema de referència ortonormal orientat positivament i està especialment adaptat a la corba (en el cas d una corba plana, la obtenció d un sistema positiu es fa de forma lleugerament diferent). Es pot mostrar que db(l) dl és ortogonal a T i múltiple de N. Llavors, definim torsió de la corba, τ a l escalar que verifica: db(l) = τn(l). dl La torsió d una corba plana és zero. Si tenim altra parametrització, es pot mostrar que τ = < g (t) g (t), g (t) > g (t) g (t) 2. Exemple 25: Calculeu els vectors velocitat i acceleració, l equació de la tangent, la curvatura i la torsió, en cada punt, de la corba parametritzada g(t) = (t sin t, t cos t, 3t). 3.5 Algunes corbes importants Les còniques són corbes planes que tenen per equació implícita una equació polinòmica de segon grau. Es pot mostrar que les úniques possibles són: Circumferència, El lipse, Paràbola i Hipèrbola. Centrades a l origen de coordenades i eixos els de coordenades, les seves equacions implícites són, respectivament: x 2 + y 2 = r 2 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 y 2 = 2px x 2 a 2 y2 b 2 = 1 Possiblement, la parametrització més útil és mitjançant coordenades polars, com, per exemple, l el lipse x = a cos t y = b sin t L hèlix espiral és un exemple senzill de corba a l espai, que es pot parametritzar com: x = at cos t y = at sin t z = ct Problemes 1. Exercicis dels apunts de Geometria per a Sistemes Multimèdia. 2. Exercicis dels Problemes de Geometria Computacional.

21 CAPÍTOL 3. CORBES I SUPERFÍCIES Superfícies en 3D i plans tangents Suposem la funció g : J IR N IR M ; recordem que la gràfica de g és el subconjunt de R N+M definit per {(x, y) : y = g(x), x J}; si g és diferenciable en el punt a de l interior de J, el subespai (afí, i de dimensió N) de R N+M definit per {(a + x, g(a) + y) : y = dg(a)x, x IR N } és el tangent a la gràfica de la funció g en el punt (a, g(a)); el seu subespai director ve definit per l aplicació linial diferencial, i és de dimensió N. Intuïtivament, una corba té un paràmetre (és un subconjunt unidimensional), i una superfície, que és bidimensional, dos paràmetres independents. Si tenim una funció real de dues variables reals, z = f(x, y), la gràfica de la funció serà una superfície en 3D. Aquesta és la fórmula explícita de la superfície en 3D, i una fórmula implícita és F (x, y, z) = 0 (on F ha de verificar unes condicions determinades). Si tenim una superfície definida explícitament, en un punt d aquesta, que serà de la forma (x 0, y 0, z 0 = f(x 0, y 0 )), tindrem un pla tangent a la superfície en aquest punt. Observem que, a partir de la fórmula del subespai tangent, podem escriure l equació d aquest pla tangent com z z 0 = ( f x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) i per tant, l equació pot quedar també com o ) ( ) x x 0 y y 0 z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (z z 0 ) f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0 i aquí es veu que un vector normal al pla tangent ve donat per ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1) 3.7 Algunes superfícies importants Les quàdriques són superfícies que tenen per equació implícita en l espai 3D una equació polinòmica de segon grau. Es pot fer una classificació de les quàdriques, que no farem aquí, però, donem les diferents quàdriques i una equació tipus: 1. L equació de l esfera centrada a l origen és: x 2 + y 2 + z 2 = r 2 2. L equació de l el lipsoide centrat a l origen és: x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 3. L equació del paraboloide el líptic centrat a l origen és: z = x2 a 2 + y2 b 2

22 CAPÍTOL 3. CORBES I SUPERFÍCIES L equació del paraboloide hiperbòlic centrat a l origen és: z = x2 a 2 y2 b 2 5. L equació de l hiperboloide d un full centrat a l origen és: x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 6. L equació de l hiperboloide de dos fulls centrat a l origen és: x2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 7. L equació del con el líptic centrat a l origen és: x2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 0 8. També són interessants els cilindres el líptic, hiperbòlic i parabòlic, d equacions respectives: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 = 1 y 2 = 2px Remarquem que es poden permutar les variables, traslladar el centre, girar,... donant lloc a altres equacions. De forma semblant al cas 2D, les coordenades cilíndriques i esfèriquesla donen parametritzacions útils en 3D. Les superfícies de revolució són generades per una corba (plana) que gira al voltant d una recta fixa. La corba s anomena generatriu i la recta eix de revolució. L expressió més senzilla d una superfície de revolució és quan una corba parametritzada com (x(t), 0, z(t)) gira al voltant de l eix OZ. Llavors, en forma paramètrica, la superfície de revolució queda com: (x(t) cos θ, x(t) sin θ, z(t)) El tor de centre C, eix e (que passa per C) i radis R i r (amb R > r) és la superfície obtinguda per revolució al voltant de l eix d una circumferència coplanària amb ell, de radi r, centrada en un punt distant R de C. Les equacions paramètriques del tor, considerant C com origen de coordenades, i eix z l eix del tor, són: x = (R + r cos α) cos β y = (R + r cos α) sin β z = r sin α Problemes 1. Exercicis dels apunts de Geometria per a Sistemes Multimèdia. 2. Exercicis del capítol 3 dels Problemes de Geometria Computacional.

23 Capítol 4 Projeccions, geometria i calibratge de càmeres Si volem reconstruir objectes 3D a partir d imatges dels objectes obtingudes mitjançant càmeres, un procés de reconstrucció consisteix en fixar les càmeres en unes posicions; col locar un objecte que es diu calibrador i prendre n unes imatges a partir de les quals podem obtenir els paràmetres de les càmeres (calibratge); després llevar l objecte calibrador sense moure les càmeres i posar els objectes a reconstruir; amb les imatges que obtenim i els paràmetres de calibració podem fer aquesta reconstrucció 3D. Posteriorment, voldrem fer un moviment virtual d una de les càmeres i obtenir les imatges corresponents en forma de film, és a dir, un travelling virtual. 4.1 Introducció La projecció perspectiva ens permet obtenir la relació entre la imatge que dóna una càmera i l objecte corresponent. Per a obtenir la imatge d un punt B qualsevol d un objecte calculem la intersecció de la recta que passa pel punt B i pel centre de projecció (punt on es troba situada el centre de la lent de la càmera), i el pla on es forma la imatge. Per a donar aquesta projecció en forma de coordenades utilitzarem tres sistemes de referència: 1. Sistema càmera. És la millor referència per a fer la projecció perspectiva. El centre de coordenades és la posició de la càmera (el centre de projecció perspectiva) i el pla imatge és ortogonal a un dels eixos, que passa per aquest centre. 2. Sistema objecte. És un sistema de referència extern, adaptat a les posicions dels punts dels objectes, el calibrador, i els que es vol reconstruir. 3. Sistema imatge. És un sistema pla, com la imatge, a la qual s adapta i preferiblement donem les coordenades en píxels, a diferència dels altres sistemes on les unitats més adients són de longitud (per exemple mil límetres). 22

24 CAPÍTOL 4. PROJECCIONS, GEOMETRIA I CALIBRATGE DE CÀMERES23 La fórmula en coordenades més útil és la que permet passar del punt B, expressat en el sistema objecte ( extern ), a les coordenades del punt imatge b corresponent en el sistema imatge (en píxels). Farem les següents transformacions: 1. Transformar el punt B del sistema objecte al sistema càmera. 2. Aplicar la projecció perspectiva al resultat del pas anterior, passant de B a b en el sistema càmera. 3. Transformar al sistema imatge la projecció perspectiva b, que tenim referenciada en el sistema càmera. El resultat obtingut és una matriu que agrupa les transformacions anteriors, anomenada matriu de projecció, que, en principi, serveix per a obtenir la imatge de cada punt. El procés que s anomena calibratge de càmeres consisteix en calcular aquest conjunt de paràmetres a partir de coordenades conegudes de múltiples punts de l objecte calibrador en el sistema objecte i les seves coordenades píxel corresponents a la imatge (es necessiten al menys 6 punts). Així tenim, experimentalment, la matriu de projecció, que també serveix per a, partint d un píxel imatge, traçar una recta que passa per aquest i pel centre de projecció, i que utilitzem per a la reconstrucció 3D mitjançant la correspondència estereoscòpica: identifiquem un punt de l objecte a al menys dues imatges, el que ens permet calcular les rectes de projecció, i la seva intersecció ens dona les coordenades 3D del punt objecte. 4.2 La projecció perspectiva en el sistema de referència càmera L eix òptic passa pel punt F, centre de la projecció, i és ortogonal al pla imatge, al qual intersecta en O, punt principal. La distància f del punt F al pla imatge es denomina distància focal. Es pot col locar el centre de projecció davant o darrera el pla imatge, i nosaltres ho farem davant. El punt B es projecta en el pla imatge mitjançant una recta que passa per B i F. El sistema de coordenades càmera té com a origen el punt F, l eix Z és l eix òptic, i el pla XY és paral.lel al pla imatge. Si (x, y, z) són les coordenades de B, les de la seva projecció en el pla imatge són: x = f x z y = f y z z = f Aquesta transformació és no linial, però si utilitzem coordenades homogènies passa a linial, i es pot escriure en forma matricial: sx x sy sz = y z s /f 1

25 CAPÍTOL 4. PROJECCIONS, GEOMETRIA I CALIBRATGE DE CÀMERES24 Si la projecció de B és b, i denominem P a la matriu, ho podem escriure de forma compacta com: b = P B 4.3 Transformació càmera-imatge El sistema imatge, adaptat específicament a la visualització de la imatge per pantalla, té l origen a un cantó de la pantalla (per exemple, el superior a l esquerra), com a eixos els vertical i horitzontal, i dóna les mesures expressades en píxels. Per a transformar les coordenades del punt ja obtingudes en el sistema càmera a aquest sistema, necessitem: u 0, v 0, i w 0, (coordenades de F en el sistema imatge i per tant en píxels); i els factors d escala vertical k u i horitzontal k u, (en píxels/mil límetre), que són diferents ja que els píxels d una pantalla són rarament quadrats. Les coordenades de b referenciades en el sistema càmera ja utilitzades, són (x, y, z ); si en el sistema imatge les denotem per (u, v), la transformació ve donada pel canvi de sistema de referència, i queda com: u v w = k u k v x y z + i si ens quedem únicament amb les coordenades planes i utilitzem coordenades homogènies, ho podem re-escriure com: x su k u 0 0 u 0 sv = 0 k v 0 v 0 y z s Si denominem K a la matriu, ho podem escriure de forma compacta com: su x sv = K y z s Combinant projecció i transformació: els paràmetres intrínsecs Multiplicant les matrius K i P concatenem la projecció perspectiva i la transformació. Com estem utilitzant coordenades homogènies, podem multiplicar tots els coeficients de la matriu KxP per f i queda: su sv s = α u 0 u α v v x y z 1 u 0 v 0 w 0

26 CAPÍTOL 4. PROJECCIONS, GEOMETRIA I CALIBRATGE DE CÀMERES25 on α u = k u f, α v = k v f, que, juntament amb u 0 i v 0 constitueixen els paràmetres intrínsecs. Si denominem I c a la matriu, tenim, en forma compacta: su sv s = I c x y z La transformació a sistema objecte i els paràmetres extrínsecs Finalment, queda fer la transformació objecte-càmera on fem una translació de l origen i una rotació d eixos: x y = r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 X Y + t x t y z r 31 r 32 r 33 Z t z que es pot escriure utilitzant matrius ampliades com: x r 11 r 12 r 13 t x X y z = r 21 r 22 r 23 t y Y r 31 r 32 r 33 t z Z Els coeficients de la matriu ampliada (que denotem per A) es coneixen com a paràmetres extrínsecs. De vegades utilitzarem la notació r i = (r i1, r i2, r i3 ). 4.6 La matriu de projecció perspectiva; la obtenció dels paràmetres a partir de la matriu Finalment, multiplicant les matrius I c i A, tenim X su sv = I c A Y Z, s 1 que ens dóna l expressió que buscàvem. Coneixem la matriu 3x4 resultant I c A com matriu de projecció perspectiva M: M = m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 Si denotem per m i = (m i1, m i2, m i3 ), la matriu M es pot representar de forma més compacta com: M = m 1 m 14 m 2 m 24 m 3 m 34

27 CAPÍTOL 4. PROJECCIONS, GEOMETRIA I CALIBRATGE DE CÀMERES26 A partir dels coeficients de la matriu M també podem recuperar els paràmetres intrínsecs i extrínsecs, mitjançant les fórmules següents: r 3 = m 3 u 0 =< m 1, m 3 > v 0 =< m 2, m 3 > α u = m 1 m 3 α v = m 2 m 3 r 1 = 1 α u (m 1 u 0 m 3 ) r 2 = 1 α v (m 2 v 0 m 3 ) t x = 1 α u (m 14 u 0 m 34 ) t y = 1 α v (m 24 v 0 m 34 ) t z = m 34 Aquestes fórmules es poden utilitzar per al travelling virtual. 4.7 Calibratge Ara podem definir el procediment (experimental) del calibratge d una càmera. Si tenim una imatge obtinguda amb la càmera d un objecte adient (que es denomina calibrador), per a cada punt de l objecte (X i, Y i, Z i ) que es projecta en la imatge com (u i, v i ) tenim su i sv i s = m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 el que dóna dues equacions per a cada punt. Si volem calcular les 12 incògnites m ij de la matriu M, el mínim número de punts necessari és 6, però millor si tenim més, els resultats del calibratge seran més precisos. El sistema resultant, a més de sobredeterminat, és homogeni, i per a resoldre-ho, hi ha dues alternatives: X i Y i Z i 1, 1. Fixar un dels coeficients m ij. Usualment farem m 34 = 1 ja que és la component z del vector de translació entre els sistemes objecte i càmera. Aquesta és una solució una mica arbitrària. 2. Utilitzar el fet geomètric que en les rotacions els vectors són unitaris; en el nostre cas, m 3 = r 3, i per tant podem escriure que com m 3 2 = 1. En els dos casos utilitzarem mínims quadrats (i en el segon cas, extrems condicionats).

28 CAPÍTOL 4. PROJECCIONS, GEOMETRIA I CALIBRATGE DE CÀMERES Reconstrucció 3D utilitzant estereoscopia El procés de reconstrucció basat en correspondència estereoscòpica es basa en haver fet prèviament el calibratge d al menys dues càmeres. Suposem que tenim un punt de l objecte que es veu per les càmeres, i sabem les coordenades de les imatges del punt per les diferent càmeres, (u, v), (u, v ),... llavors cada càmera ens subministra 2 equacions, com abans, i per tant necessitem al menys dues càmeres per a les tres incògnites que són ara les coordenades del punt objecte (X, Y, Z). Si tenim més càmeres, millor. En tot cas, com el sistema és sobredeterminat, cal aplicar mínims quadrats. Aquesta és una reconstrucció punt a punt. Per altres procediments recuperem les superfícies que determinen. 4.9 Perspectiva cònica i perspectiva cilíndrica La projecció que hem vist és un cas particular de la perspectiva cònica, que és una projecció central: donat un centre, C, i un pla π, el punt projecció d un punt P és la intersecció de la recta que passa per C i P amb el pla π. Cal que es verifiqui C / π. També s utilitza de vegades la perspectiva cilíndrica, que és una projecció paral lela: donada una direcció, v, i un pla π, el punt projecció d un punt P és la intersecció de la recta que passa per P en la direcció de v amb el pla π. Cal que es verifiqui que v no és paral lela a π. En aquest cas és com si l observador està a distància infinita de l objecte.