9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

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1 Prácicas de Maemáicas II con DERIVE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. En ese aparado vamos a analiar los conenidos básicos para la discusión resolución de sisemas de ecuaciones lineales. 9.1.DISCUSIÓN DE SISTEMAS LINEALES: TEOREMA DE ROUCHÉ- FRÖBENIUS. La discusión de un sisema lineal, consise en deerminar previamene la eisencia o no de soluciones. Para la discusión de sisemas se uilia el Teorema de Rouché- Fröbenius que nos deermina las condiciones necesarias suficienes para clasificar el sisema en - sisema incompaible - sisema compaible deerminado - sisema compaible indeerminado Todo ello en función del rango de la mari de coeficienes, de la mari ampliada el número de incógnias. Veamos a coninuación algunos ejemplos. EJEMPLO 9.1 Discuir el siguiene sisema de ecuaciones lineales --4u4 --5u1 --7u7 ---u-7 Solución. Definimos en DERIVE la mari ampliada ediando la epresión Mediane la función DELETE_ELEMENT, es fácil consruir la mari de coeficienes ediando la epresión siuación que podemos comprobar ediando a obenemos Para aplicar el Teorema de Rouché-Fröbenius, debemos calcular los rangos ano de la mari de coeficienes como de la mari ampliada. El rango de la mari de coeficienes se obiene ediando rank(a) resula El rango de la mari ampliada ediando rank(ma) resula Por ano se raa de un SISTEMA COMPATIBLE. Como el número de incógnias es 5 enonces se raa de un sisema compaible INDETERMINADO.

2 Sisemas de ecuaciones lineales. 17 EJEMPLO 9.. Discuir el sisema Solución: Definimos la mari ampliada ediando la mari de coeficienes se puede obener a parir de ésa eliminando la úlima columna mediane la epresión Para discuir el sisema únicamene nos resa calcular los rangos, mediane Por ano el sisema es COMPATIBLE DETERMINADO. EJEMPLO 9.. Esudiar en función de los parámeros k la compaibilidad del sisema 1 0 k -1 Solución: En ese caso enemos una mari con dos parámeros., que se puede definir de igual forma, únicamene debemos ener cuidado de que los parámeros k no engan asignado previamene ningún valor. Esa circunsancia se comprueba fácilmene sin más que ediar las variables simplificándolas: Se edia k resulan Una ve hecha la comprobación ediamos la mari ampliada igual que en los ejemplos aneriores con la salvedad de que será una mari dependiene de dos parámeros, es decir ediamos la mari de coeficienes se define en DERIVE de igual forma dependiene de los parámeros k como

3 Prácicas de Maemáicas II con DERIVE-5 18 Para esudiar los rangos de esas marices NO PODEMOS APLICAR LA FUNCION RANK; a que puede darnos errores al conener parámeros. Calculemos en primer lugar los casos en los que el sisema es INCOMPATIBLE; es decir en los que el rango de la mari ampliada sea 4. Eso se puede calcular si obenemos el deerminane de dicha mari ediando de(mc(,k)) que al simplificar da que claramene es nulo únicamene si k-1 no nulo en el oro caso. Por ano si k 1 el sisema es INCOMPATIBLE. Veamos ahora el caso k-1. En ese caso la nueva mari ampliada se obiene mediane la mari de coeficienes con Esudiemos el rango de esa úlima. Es claro que a lo sumo iene rango. Si esudiamos el menor formado por las primera, segunda cuara columnas mediane Es nulo, por ano el rango de la mari de coeficienes depende del valor de k. Esudiemos el menor formado por las res primeras filas mediane Por ano si k-1 - el rango de la mari de coeficienes es < (puede comprobarse fácilmene que es ) si k-1 el rango es. Veamos qué sucede con la mari ampliada para esos casos: Si - k-1, el rango de la mari ampliada se obiene efecuando en cuo caso el sisema es INCOMPATIBLE. Si k-1, el rango de la mari ampliada coincide con el de la mari de coeficienes por ano solo en ese caso el sisema es COMPATIBLE DETERMINADO. 9..RESOLUCION DE SISTEMAS Para la resolución de sisemas lineales se pueden uiliar varios méodos: (a) Uiliando la función ROW_REDUCE; es decir aplicando riangulación de Gauss-Jordan.

4 Sisemas de ecuaciones lineales. 19 (b) Uiliando el comando SOLVE (c) Uiliando el comando SOLUTIONS (d) Uiliando la mari inversa. Veamos algunos ejemplos: EJEMPLO 9.4. Resolver el sisema del ejemplo 9.1 del aparado anerior, es decir: --4u4 --5u1 --6u7 ---u-7 Solución. Como a enemos definido en DERIVE su mari de coeficienes en la variable a únicamene nos falaría definir el vecor de incógnias ediando inc:[,,,,u] el de érminos independiene mediane (a) Resolución por TRIANGULACIÓN DE GAUSS. La función ROW_REDUCE calcula la mari reducida de Gauss-Jordan. Esa función admie dos formas o bien inroducir como argumenos la mari de coeficienes el vecor columna de érminos independienes, es decir ediando row_reduce(a,in) se obiene o bien incluendo como único argumeno el de la mari ampliada, que en ese caso endríamos que volver a reediar:

5 Prácicas de Maemáicas II con DERIVE-5 10 ahora ediando row_reduce(ma) se obiene el mismo resulado que anes: que proporciona como sisema equivalene: 1/ -1-1/- -1/ u- es decir las soluciones : -11/, 1/, 1/, u-. (b) Uiliando el comando Resolver-sisema. Para aplicar ese comando, debemos ener epresado el sisema epresado de forma eplícia. En consecuencia enemos que inroducir el sisema con la secuencia Resolver-Sisema Si aplicamos ahora se obiene

6 Sisemas de ecuaciones lineales. 11 si aplicamos ahora se obiene eso quiere decir que no iene soluciones el sisema? Si observamos cómo hemos inroducido el sisema nos podemos fijar que en el campo Variables, hemos sombreado las variables,,,, hemos pedido al sisema que resuelva respeco de esas variables dejando como parámero la variable u. Si ahora pedimos que resuelva respeco de las variables,,,u deje como parámero, obendremos: Qué ha sucedido? Que hemos pedido en el primer caso obener una variable con parámero u, siuación que es imposible. En el segundo caso hemos indicado un parámero correco. Para eviar esos problemas en la uiliación del comando SOLVE, lo que se suele hacer es añadir una ecuación rivial, para que DERIVE elija auomáicamene el parámero. Eso se suele hacer añadiendo al sisema de ecuaciones anos 0 como sean necesarios para complear el número de ecuaciones con el de incógnias. En nuesro ejemplo con un solo 0 sería suficiene. Aplicando nuevamene Resolver-Sisema

7 Prácicas de Maemáicas II con DERIVE-5 1 Si aplicamos ahora se obiene Obsérvese que aunque no aparece la ecuación 0, esá ediada basa observar en el íulo de la venana Resolución de un sisema de 5 ecuaciones. Pues bien, si aplicamos ahora resula:

8 Sisemas de ecuaciones lineales. 1 que es un sisema equivalene cuas soluciones son: -11/, 1/, 1/, u-. (C) Uiliando la función SOLVE: Debido a la incomodidad que original ener que manejar esa secuencia Resolver- Sisema, suele ser más cómodo aplicar la función SOLVE. Esa función iene dos argumenos, en el primer debemos indicar el vecor de ecuaciones a resolver (ediar las ecuaciones enre corchees) en el segundo se indica el vecor de incógnias respeco de las cuales queremos realiar la resolución. Así por ejemplo para resolver el sisema anerior, podemos ediar la epresión solve([ecuación 1, ecuación, ecuación, ecuación 4], [,,,]) si queremos resolver respeco de las variables,,, se obiene que al simplificar con resula es decir no ha soluciones, sin embargo si ahora reedio la epresión SOLVE omando ahora como variables de resolución [,,,u] se obiene Si por el conrario lo que deseamos es obener la resolución omando odas las variables que aparecen, reediano la epresión que al simplificar nos da que es un sisema equivalene cuas soluciones son: -11/, 1/, 1/, u-. En realidad ese es el COMANDO que se uilia cuando se aplica Resolver- Sisema. Eso se puede observar si una ve ediadas las ecuaciones

9 Prácicas de Maemáicas II con DERIVE-5 14 si ahora aplicamos el boon se obiene es decir la esrucura de una insrucción que coniene el comando SOLVE. (D) Uiliando la función SOLUTIONS: Ora función que sirve para resolver sisemas en la función SOLUTIONS. Si en ve de usar la función SOLVE, usamos la función SOLUTIONS omando como variables de resolución [,,,u] se obiene que al simplificar Obsérvese que la función SOLUTIONS genera una lisa de punos mienras que cuando se usa la función SOLVE lo que se obiene es una represenación del puno inersección que no puede ser ni dibujada ni usada para realiar operaciones ales como la suma de vecores. Si ahora lo que deseamos es obener la resolución omando odas las variables que aparecen, reediando la epresión

10 Sisemas de ecuaciones lineales. 15 que al simplificar nos da que es el conjuno de soluciones parameriado donde en ese caso el parámero es el Mienras que la función SOLVE nos da un sisema equivalene. decir EJEMPLO 9.5. Resolver el sisema de ecuaciones dado en el ejemplo 9. del aparado anerior, es Solución: Si inenamos resolver uiliando el comando SOLVE, aprovechando que eníamos definida en la variable b la mari de coeficienes, el sisema se obiene ediando simplificando la epresión b.[,,][-,0,8,6] uiliando ese dao anerior podremos ahora ediar la epresión solve(b.[,,][-,0,8,6],[,,]) que al simplificar nos da la solución del sisema planeado: Como el número de ecuaciones es superior al de incógnias, no es necesario añadir ninguna ecuación rivial. Si uiliamos la función ROW_REDUCE, como a enemos definida en la variable mb la mari ampliada, basará ediar simplificar row_reduce(mb) resulando

11 Prácicas de Maemáicas II con DERIVE-5 16 de donde se deducen fácilmene las soluciones. 1, -,. La úlima fila de ceros es debida a que la cuara ecuación era redundane. 9..SISTEMAS HOMOGÉNEOS. Los sisemas homogéneos ienen un raamieno más sencillo ano en su discusión como en su resolución. En cuano a la DISCUSIÓN, únicamene debemos deerminar si es COMPATIBLE DETERMINADO, en cuo caso la única solución es la nula, o si es COMPATIBLE INDETERMINADO. Para ambos casos es suficiene con efecuar la comparación enre el rango de la mari de coeficienes el número de incógnias: si rg(a) número incógnias enonces SISTEMA COMP. DET. si rg(a)<número incógnias enonces SISTEMA COMP. INDET. La resolución se realia como hemos viso en el aparado anerior. EJEMPLO 9.6 Discuir resolver el siguiene sisema según los valores del parámero : Solución: Ediemos en primer lugar la mari de coeficienes si ahora esudiamos el rango de la mari dada a ravés de RANK, resularía que es decir el sisema endría como única solución 0. Sin embargo, a hemos comenado que la función RANK NUNCA SE DEBE UTILIZAR EN MATRICES PARAMÉTRICAS, a que puede conducirnos a errores. Los errores se provocan porque no se consideran los casos en que el parámero puede dividir por 0. Esudiemos adecuadamene el rango, calculando el deerminane de dicha mari mediane Por ano si su rango es luego SISTEMA COMP. DETERMINADO; única solución 0. Si, el rango de la mari se obiene con

12 Sisemas de ecuaciones lineales. 17 es decir su rango es, luego SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. Las soluciones en ese caso se pueden calcular mediane ROW_REDUCE; ediando row_reduce(m()) por ano -, 0. También se podría resolver usando la función SOLUTIONS. Para lo cual debemos ediar la epresión SOLUTIONS( m().[,,][0,0,0], [,,]) que al simplificar nos da el conjuno de soluciones EJERCICIO 50. Discuir resolver, cuando sea posible, los siguienes sisemas (a) (b) u u u EJERCICIO 51. Esudiar según los valores del parámero a el siguiene sisema resuélvelo cuando sea posible 1) ( 4 a a a EJERCICIO 5. Discuir según los valores de a b el siguiene sisema resolverlo cuando sea posible b b a a 8 7 ) (