Álgebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales. Problemas Resueltos.
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- Victoria Gómez Guzmán
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1 Álgebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales. Problemas Resueltos. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato jrico@salamanca.ugto.mx 1 Introducción. En estas notas, se presentan algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales para ilustrar el método de solución. Intente resolverlo por si mismo y únicamente empleé estas notas para verificar el proceso de solución. Ejemplo 1. Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuación 1x 1 + 3x x 3 + 1x 4 = 5 x 1 1x + 3x 3 1x 4 = 1 3x 1 + 1x x 3 + x 4 = (1) 0x 1 + 3x 1x 3 + x 4 = 4 Donde la matriz augmentada del sistema está dada por A b = Añadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, A b, - veces la primera fila y añadiendo a la tercera fila de la matriz augmentada, A b, 3 veces la primera fila nos acercamos al objetivo de obtener una matriz augmentada del sistema de ecuaciones en forma escalonada. Al finalizar esta primera etapa, la matriz augmentada está dada por A b1 = En una segunda etapa, se añade a la tercera fila 10 7 veces la segunda fila de la matriz augmentada, A b1, y se añade a la cuarta fila 3 7 veces la segunda fila de la matriz augmentada, A b1. Al finalizar esta 1
2 etapa nos acercamos al objetivo de obtener una matriz augmentada del sistema de ecuaciones en forma escalonada, la matriz augmentada está dada por A b = 0 0 5/7 1/ /7 1/7 En una etapa final, se añade a la cuarta fila 1 veces la tercera fila de la matriz augmentada, A b. Al finalizar este proceso, la matriz augmentada está dada por A bf = 0 0 5/7 1/ Como puede observarse, la matriz de coeficientes A en su forma escalonada unicamente tiene 3 filas diferente de cero, el mismo número de filas diferente de cero de la matriz augmentada A b en su forma escalonada; por lo tanto, el sistema de ecuaciones es consistente y tiene solución. Mas aún el número de incognitas, 4, es mayor que el número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes A en su forma escalonada. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones además de ser consistente, tiene soluciones múltiples. El conjunto solución se determina mediante el proceso de sustitución inversa ilustrado a continuación. 1. De la tercera fila de la matriz augmentada, la ecuación correspondiente está dada por Por lo tanto, x x 4 = 1 7 x 3 = x 4. (). De la segunda fila de la matriz augmentada, la ecuación correspondiente está dada por 7x + 7x 3 3x 4 = 9, (3) Sustituyendo la solución dada por la ecuación () en la ecuación (3), se tiene que ( 1 7x ) 14 x 4 3x 4 = 9 o 7x 11 x 4 = 19 y la solución para x está dada por x = x (4) 3. Finalmente, de la primera fila de la matriz augmentada, la ecuación correspondiente está dada por 1x 1 + 3x x 3 + x 4 = 5. (5) Sustituyendo la soluciones dadas por las ecuaciones () y (3) en la ecuación (5), se tiene que ( x x ) ( ) 14 x 4 + x 4 = 5 o x x 4 = y la solución está dada por x 1 = 9 14 x (6)
3 Por lo tanto, el conjunto solución está dado por { ( 9 C S = 14 x , x , ) } 14 x 4,x 4 x 4 R (7) 3 Ejemplo. Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuación 1x 1 x + 3x 3 + x 4 = x 1 + 1x x 3 + 1x 4 = 1 (8) 1x 1 + 3x 5x 3 1x 4 = 4 La matriz aumentada correspondiente está dada por 1 3 A b = Añadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, A b, - veces la primera fila y añadiendo a la tercera fila de la matriz augmentada, A b, 1 vez la primera fila nos acercamos al objetivo de obtener una matriz augmentada del sistema de ecuaciones en forma escalonada. Al final de esta primera etapa, la matriz augmentada está dada por A b1 = En la etapa final, se añade a la tercera fila -1 veces la segunda fila de la matriz augmentada, A b1. Al finalizar este proceso, la matriz augmentada está dada por 1 3 A bf = Como puede observarse, la matriz de coeficientes A en su forma escalonada unicamente tiene filas diferente de cero, mientras que la matriz augmentada A b en su forma escalonada tiene 3 filas diferente de cero. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es inconsistente, y el conjunto solución es el conjunto vacio; es decir C S =. Para apoyar aún mas este resultado, debe notarse que la tercera equación del sistema, como se observa de la forma escalonada de la matriz augmentada, está dada por 0x 1 + 0x + 0x 3 + 0x 4 = 5 Es evidente que esta ecuación es inconsistente y su conjunto solución, así como el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales es el conjunto vacio. 3
4 4 Ejemplo 3. Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuación 1x 1 + 1x + 1x 3 + 1x 4 = 0 x 1 1x + x 3 1x 4 = 5 1x 1 + 0x + 1x 3 1x 4 = 1 (9) 3x 1 x 1x 3 x 4 = 6 La matriz aumentada correspondiente está dada por A b = Añadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, A b, - veces la primera fila, añadiendo a la tercera fila de la matriz augmentada, A b, 1 vez la primera fila y añadiendo a la cuarta fila de la matriz augmentada, A b, -3 veces la primera fila nos acercamos al objetivo de obtener una matriz augmentada del sistema de ecuaciones en forma escalonada. Al finalizar esta primera etapa, la matriz aumentada está dada por A b = Intercambiando la segunda y tercera fila de esta matriz, se tiene que A b1 = En una segunda etapa, se añade a la tercera fila 3 veces la segunda fila de la matriz aumentada, A b1, y se añade a la cuarta fila 5 veces la segunda fila de la matriz aumentada, A b1. Al finalizar esta etapa nos acercamos al objetivo de obtener una matriz aumentada del sistema de ecuaciones en forma escalonada. Al finalizar esta segunda etapa, la matriz aumentada está dada por A b = En una etapa final, se añade a la cuarta fila de la matriz aumentada A b, -1 veces la tercera fila de la matriz augmentada, A b. Al finalizar este proceso, la matriz aumentada está dada por A bf =
5 Como puede observarse, tanto la matriz de coeficientes A en su forma escalonada como la matriz augmentada A bf en su forma escalonada tienen 4 filas diferentes de cero. Por lo tanto, el sistema es consistente y tiene solución, mas aún el número de incógnitas, 4, es igual al número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes A en su forma escalonada. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones tiene una única solucion. El conjunto solución se determina mediante el proceso de sustitución inversa ilustrado a continuación. 1. De la cuarta fila de la matriz augmentada, A bf, la ecuación correspondiente está dada por x 4 = 1. Por lo tanto, x 4 = 1. (10). De la tercera fila de la matriz aumentada, A bf, la ecuación correspondiente está dada por 6x 3 3x 4 =. (11) Sustituyendo la solución dada por la ecuación (10) en la ecuación (11), se tiene que 6x = o x 3 = 7 1. (1) 3. De la segunda fila de la matriz aumentada, A bf, la ecuación correspondiente está dada por 1x + x 3 + 0x 4 = 1. (13) Sustituyendo la soluciones dadas por las ecuaciones (1) en la ecuación (13) se tiene que x = 1 o x = = 13 6 (14) 4. Finalmente, de la primera fila de la matriz aumentada, A bf, la ecuación correspondiente está dada por 1x 1 + 1x + 1x 3 + 1x 4 = 0. (15) Sustituyendo la soluciones dadas por las ecuaciones (14), (1) y (10) en la ecuación (15), se tiene que x = 0 o x 1 = Por lo tanto, el conjunto solución está dado por {( 13 C S = 1, 13 6, 7 1, 1 )} 5 Ejemplo 4 Si a,b,c,d R son todos mayores que 0, pruebe que el sistema de ecuaciones x + y + z + t = a x y z + t = b x y + z + t = c 3x + y 3z 7t = d (16) 5
6 no tiene soluciones. 1 La matrix augmentada está dada por A = b c d La primera etapa de reducción se realiza de acuerdo a B = stackmatrix(a1,evalm(a A1),evalm(A3 + A1),evalm(A4 + 3 A1)) y el resultado está dado por 0 0 b a B = 0 0 c + a d + 3a La segunda etapa de reducción se realiza de acuerdo a C = stackmatrix(a1,b,b3,evalm(b4 + B)) y el resultado está dado por C = 0 0 b a 0 0 c + a d + a + b La etapa final de reducción se realiza de acuerdo a D = stackmatrix(a1,b,c3,evalm(c4 + C3)) y el resultado está dado por D = 0 0 b a 0 0 c + a d + 3a + b + c Es evidente que la última ecuación está dada por 0x + 0y + 0z + 0t = d + 3a + b + c. De modo que si a,b,c,d son todos mayores que cero, el lado derecho de la ecuación es necesariamente diferente de cero y la ecuación y el sistema de ecuaciones es inconsistente. 1 Este ejemplo está tomado de Blyth, T. S. y Robertson, E. F. Algebra Through Practice, Cambridge: Cambridge University Press,
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