SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. TEMA 3. Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales

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1 TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles TEMA 3. Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles 3. Métodos tertvos: troduccó Aplcr u método tertvo pr l resolucó de u sstem S A=b, cosste e trsformrlo e lo que se deom u sstem de puto fjo, que se equvlete l ddo y cuy solucó se prom pso pso. Pr obteer el sstem de puto fjo equvlete l ddo se elge u mtrz M que se fácl de vertr y escrbmos l mtrz A como: etoces el sstem A=b se trsform e: A = M + (A M), (M + (A M)) = b M = (M A) + b S desgmos N = M A, os qued M = N + b (*). L promcó ésm de l solucó, (), se obtee, e l tercó, prtr de l promcó teror ( ) M () = N ( ) + b Cudo este proceso es covergete el límte de ls promcoes () cudo es l solucó del sstem de puto fjo pltedo y, e cosecuec, del sstem S cl. E cd tercó, el sstem (*) es fácl de resolver s M es dgol o trgulr. Por otro ldo, es coveete que M o se muy dferete de A. Ls tres opcoes pr M que preset mejores resultdos so: M = D, dode D es l mtrz dgol cuy dgol es l de A (Método de Jcob) M = L+D, dode L+D es l prte trgulr feror de A (Método de Guss Sedel) M = L+D/, dode es u úmero elegdo pr podercó (Método de Sobrerreljcó) El Método de Guss Sedel es u cso prtculr del de Sobrerreljcó cudo se tom =. El método de Sobrerreljcó co 0 < <, se utlz pr obteer l covergec cudo Guss Sedel o coverge. Se tom > pr celerr l covergec cudo Guss Sedel coverge. Observcoes: L resolucó tertv o es plcble todos los problems pero result muy útl pr certos tpos, por ejemplo, s el úmero de cógts es muy grde y l mtrz de los coefcetes dspers. L precsó de l solucó obted por u método tertvo depederá del úmero () de tercoes y de l covergec del método. Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS

2 TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles Todos los métodos tertvos requere u estmcó cl que desgmos por (0) comezr l tercó. pr (0) puede ser culquer vector ( úpl) rbtrro pero s se dspoe de u bue estmcó cl el proceso de covergec se celer. E cso de o dspoer de u bue estmcó cl se puede tomr (0) como el vector 0 3. Covergec de los métodos tertvos Como se h dcdo terormete los métodos tertvos solo se puede plcr quellos sstems de ecucoes leles cuys propeddes grtce l covergec, lo que e geerl o es posble Defcó Se dce que u sucesó de vectores { () } coverge respecto de cert orm y se escrbe lm, (o be, s ) cudo: lm 0, (o be, 0 s ) s respecto de l orm, s y solo s, lo hce compoete ( ) ( ) ( ) compoete, es decr,,,, cudo. Ls epresoes escrts so depedetes de l orm elegd Norms de vectores Se = (,,, ) R. E R ls orms más usules so: es l orm euclíde. Represet l ocó usul de dstc l orge e el plo o espco trdmesol e sstems crtesos rectgulres (plcdo el teorem de Ptágors) má Teorem S A es u mtrz es estrctmete dgolmete domte, etoces pr culquer estmcó cl (0), ls tercoes de Jcob y de Guss Sedel coverge l solucó del sstem cl S A=b. Pág 7 del tem Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS

3 TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles Teorem S A es u mtrz smétrc defd postv y 0<<, etoces pr culquer estmcó cl (0), ls tercoes obteds co el método de sobrerreljcó coverge l úc solucó del sstem cl S A=b Teorem S desgmos por B =M N y c= M b, etoces l promcó () e cd tercó se obtee medte l epresó () = B ( ) + c. Se verfc que el método tertvo coverge s y solo s el rdo espectrl de B, (B) <. E geerl, el método tertvo coverge s B, pr u orm culquer. Not: El coste opercol de cd pso e los métodos tertvos es del orde de opercoes. Recordemos (tem ) que l resolucó por métodos drectos collev u úmero de opercoes del orde de 3 por lo que los métodos tertvos result retbles s l solucó puede hllrse e bstte meos de psos. 3.3 Método de Jcob Ddo u sstem S A=b, el método de Jcob cosste e terr el sstem de puto fjo D = (D A) + b, es decr, D () = (D A) ( ) + b dode D es l mtrz dgol cuyos elemetos so los de l dgol de A. Observemos que equvle despejr ls cógts de los elemetos de l dgol e S. b 33 b b 33 b S b b El método de Jcob se plc sguedo l sguete secuec de psos: Prmer pso: se susttuye e el segudo membro ls cógts por l estmcó cl,,,,, Pág 7 del tem Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 3

4 TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles Los vlores obtedos e el prmer membro costtuye l prmer promcó () () =,, 3,, Segudo pso: se susttuye e el segudo membro ls cógts por l promcó obted e el pso teror,,,,, 3 3 Los vlores obtedos e el prmer membro costtuye l segud promcó () () =,, 3,, y sí sucesvmete. E geerl: b 33 b 33 b Cuádo prmos?: Crtero de covergec (crtero de prd) Se utlz como crtero u cot de l dferec e orm etre dos promcoes (terdos) cosecutvs. ( ) ( ) Tol (tolerc) O cluso mejor ( ) ( ) Tol Como orm hbtul se us l orm del supremo má, es decr ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercco: Pr el sstem lel Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 4

5 TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles Se pde clculr ls dos prmers tercoes pr el método de Jcob, tomdo como estmcó cl (0) =(,,) (Usr 3 cfrs decmles pr redodeo e ls opercoes) 3.4 Método de Guss Sedel Ddo S A=b, el método de Guss Sedel cosste e terr el sstem de puto fjo (L+D) = (L+D A) + b, Obsérvese que A (L+D) es l mtrz trgulr superor cuyos elemetos o ulos so los que está por ecm de l dgol superor, es decr, A (L+D)=U= Luego l ecucó teror qued de l form (L+D) = U + b, y ls sucesvs tercoes se obtee medte (L+D) () = U ( ) + b b 33 b b 33 b S b b L secuec de psos es semejte l segud e el método de Jcob co l dferec de que el vlores obtedos pr () se utlz pr promr + () Prmer pso: se susttuye e l prmer ecucó del segudo membro ls cógts e egro por l estmcó cl, 3 3,, pr obteer, A cotucó, se susttuye e l segud ecucó obteer,,, pr Segudmete sustturímos e l tercer ecucó,, 4 4,, pr obteer 3 y sí sucesvmete hst obteer () =,, 3,, 0 0 Segudo pso: se procede ecucó por ecucó del sstem gul que e el prmer pso pr obteer Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 5

6 TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles () =,, 3,, y sí sucesvmete. E geerl: b b ( ) ( ) ( ) 3 3 ( ) ( ) 3 3 ( ) ( ) b Se utlz el msmo crtero de covergec (o de prd) que e el método de Jcob. 3.4 Método de Sobrerreljcó S pr u sstem determdo, S A=b, el método de Guss Sedel coverge, etoces h de verfcrse, e geerl, que cd promcó de cd cógt solucó que ( ) pr cd =. estrá más cerc de l El método de sobrerreljcó se bs e l de de que el proceso de covergec puede celerrse poderdo l dferec etre los vlores y ( ) pr cd =, es decr, = ( ) + d pr cd =, dode ( ) ( ) ˆ d (deotmos por sobrerreljcó y por ( ) ˆ Susttuyedo y operdo: = + d = ( ) l promcó obted por el método de l que obtedrímos plcdo Guss Sedel) ( ) ( ) ( ) + ˆ ( ) ( ) = ω ωˆ pr cd = El proceso cosste, e cosecuec, hllr cd tercó de Guss Sedel y poderrl co el elegdo. L secuec de psos es l sguete: Prmer pso: prtedo de l estmcó cl (0) obteemos l prmer tercó de Guss Sedel como se h eplcdo e l pág 4 teror y l desgmos ˆ () ˆ ˆ ˆ ˆ,, 3,, A cotucó, hllmos l prmer tercó de sobrerreljcó segú l fórmul de dcho método Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 6

7 TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles ω ω ˆ ω ω ˆ () (0) () () (0) () ω ω ˆ () (0) () segud tercó co Guss Sedel y l deotmos ˆ () ˆ, ˆ ˆ, 3,, ˆ Segudo pso: co est promcó obted () =,, 3,, se clcul l y plcmos l fórmul de sobrerreljcó pr obteer l segud tercó () =,, 3,, ω ω ˆ ω ω ˆ () () () () () () ω ω ˆ () () () y sí sucesvmete. Es decr, e geerl: ω ω ˆ ω ω ˆ ω ω ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y desrrolládol completmete: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b 33 ω ω ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ b 33 ω ω ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) b ˆ ω ω L ecucó mtrcl del método se obtee prtr de l ecucó de sobrerreljcó () L solucó ( ) ( ) = ω ωˆ ( ) ˆ de Guss Sedel se obtee l despejr e l ecucó (L+D) () = U ( ) + b (ver pág 4 prtdo 3.4) Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 7

8 TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles Operdo: L () + D () = U ( ) + b D () = L () U ( ) + b () = D ( L () U ( ) + b) D = = ( ) ω ω D ( L U b) ( ) Dω ω DD ( L U b) D ω = ω ω ( ) D L U b D ω D U ( ) b L ω ω El crtero de covergec (o de prd) es el msmo que e los métodos terores. 3.5 Estmcó del error Recordemos que el sstem A= b se trsform e u sstem de puto fjo M=N+b (pg.). Despejdo =M N + M b y desgdo por B=M N qued =B + M b y e cd tercó () =B ( ) + M b co = Restdo membro membro: 0 B B B B 0 B Luego 0 B es u bue estmcó pr Ahor be, s prtmos de B( ) y como B( ) B 0 B B 0 B B B B 0 Udd Docete de Mtemátcs de l ETSITGC Asgtur: MÉTODOS MATEMÁTICOS 8