75.12 ANÁLISIS NUMÉRICO I GUÍA DE PROBLEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 A. Métodos Directos 75. ANÁLISIS NUMÉRICO I FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES GUÍA DE PROBLEMAS 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Resolver el sistem linel A x = b utilizndo eliminción de Guss sin pivoteo, donde: A = b = Clculr l invers de l mtriz A resolviendo el sistem A X = I, utilizndo eliminción de Guss, siendo I l mtriz identidd y X l mtriz invers de A. Qué es lo que se obtiene si se utiliz pivoteo? A = Dd l siguiente descomposición LU de Doolittle de l mtriz A efectud utilizndo pivoteo prcil L = / / / 5 U 4 = 5/ 4 / 5 p = 3 ) resolver el sistem de ecuciones Ax = b siendo { } T b = 7 Menéndez-Cvliere-Trel Pág. /9 8/3/5

2 b) obtener l mtriz A y verificr l solución obtenid en ) 4. Resolver el siguiente sistem: x = y 74 ) Utilizr el método de eliminción de Guss sin pivoteo y ritmétic de punto flotnte con t=4 y redondeo simétrico. b) Idem ) pero con pivoteo prcil. c) Idem (), sin pivoteo y con refinmiento de l solución. d) Obtener conclusiones. 5. Ddo el siguiente sistem de ecuciones lineles x 45. = 5.89 y 9. ) Obtener l solución medinte eliminción de Guss utilizndo cutro dígitos significtivos y redondeo truncdo b) Estimr el número de digitos significtivos de l solución obtenid previmente (Utilizr doble precisión l clculr el residuo) c) Efectur el refinmiento itertivo de l solución. d) Repetir el punto c) sin utilizr doble precisión l evlur el residuo e) Obtener l solución del problem utilizndo tod l precisión de un clculdor. Comprr ls soluciones obtenids y extrer conclusiones 6. Considerr l mtriz A definid según: i, j = i + j i, j 4 Considerr el sistem A X = B donde: {.... } b = Resolver el sistem utilizndo eliminción de Guss con pivoteo prcil, operndo con 5 decimles. Investigr ls crcterístics de l mtriz y obtener conclusiones. T Menéndez-Cvliere-Trel Pág. /9 8/3/5

3 7. Dd l mtriz A del problem nterior y: {.... } b = resolver Ax=b plicndo l descomposición LU de A, con 5 decimles. Obtener conclusiones. T 8. Resolver el siguiente sistem: x x x 3. = Utilizr eliminción de Guss con pivoteo prcil. Hllr l descomposición LU de l mtriz de coeficientes y utilizrl pr hllr un estimción del error de redondeo, refinndo l solución. Utilizr ritmétic de punto flotnte con 3 dígitos. 9. Se el siguiente sistem de ecuciones: x + y = b x + y = b ) Hllr l solución por l regl de Crmer y por eliminción de Guss, con ritmétic de punto flotnte y 3 dígitos de precisión. b) Estimr el error de redondeo en los resultdos nteriores utilizndo l gráfic de proceso. No considerr los errores de entrd en los coeficientes de ls ecuciones. c) Indicr cuál de los dos métodos es más estble y por qué. Dtos: = 58. = 54. =. 3 = 34. b b = 335. = 37.. Se el siguiente sistem de ecuciones: 7. x. 35 y = x. 4 y = 89. Menéndez-Cvliere-Trel Pág. 3/9 8/3/5

4 ) Resolverlo utilizndo eliminción de Guss con pivoteo prcil. Hllr l descomposición LU de l mtriz de coeficientes. Trbjr con un precisión de 3 dígitos. b) Hllr dos refinmientos de l solución obtenid en el punto ) utilizndo l descomposición LU.. Se el siguiente sistem de ecuciones: x x x x = 6.. Los coeficientes están correctmente redondedos. Pr resolverlo se propone el siguiente método mixto directo/itertivo: Se d x el vlor de rrnque x = Con ese vlor de x se ps el primer término de l últim ecución l miembro derecho, resultndo un sistem tridigonl. Se resuelve el sistem por medio del lgoritmo tridigonl. Con el nuevo vlor hlldo pr x se corrige el término independiente de l curt ecución y se vuelve resolver el sistem tridigonl, utilizndo l descomposición LU del punto nterior. Se repite el procedimiento descripto en el punto nterior hst obtener l convergenci. ) Resolver el sistem en l form propuest, utilizndo ritmétic de punto flotnte con 3 dígitos de precisión, de modo de mntener pequeño el error de redondeo. b) Estimr los errores en los resultdos debido los errores de entrd en los coeficientes del sistem. Pr ello estimr el número de condición de l mtriz de coeficientes. Hllrlo efectundo un refinmiento de l solución obtenid en el primer pso del procedimiento de resolución.. Se l siguiente mtriz: A = ) Hllr l descomposición LU utilizndo pivoteo totl y ritmétic de punto flotnte con 3 dígitos de precisión. Menéndez-Cvliere-Trel Pág. 4/9 8/3/5

5 b) Utilizndo l descomposición LU obtenid en el punto nterior, clculr l solución de un sistem de ecuciones lineles cuyo vector de términos independientes es: { } b = T 3. Se el sistem de ecuciones lineles:. 35 x x = x. 745 x =. 383 ) Obtener ls soluciones numérics utilizndo eliminción de Guss sin y con pivoteo prcil. b) Hllr estimciones de los errores de redondeo en los resultdos obtenidos en ). No considerr errores en los coeficientes ni en los términos independientes. Obtener conclusiones. 4. Se el sistem de ecuciones lineles: x = x ) Obtenerl solución numéric utilizndo dos lgoritmos: eliminción de Guss con pivoteo prcil y eliminción de Guss con pivoteo totl. b) Estimr el número de condición de l mtriz de coeficientes. c) En bse los resultdos obtenidos en los puntos ) y b), indicr cules de ls siguientes firmciones son corrects y por qué: El primer lgoritmo está ml condiciondo. El segundo lgoritmo está ml condiciondo. El problem está ml condiciondo. 5. Se el sistem de ecuciones lineles: x = x. 89 ) Hllr l solución medinte eliminción de Guss, obteniendo l descomposición LU de l mtriz de coeficientes. b) Anlizr l propgción de errores medinte l gráfic de proceso. Descomponer el proceso totl en los siguientes subprocesos: obtención del Menéndez-Cvliere-Trel Pág. 5/9 8/3/5

6 multiplicdor, eliminción y sustitución invers. Obtener estimciones de los errores finles en los resultdos. c) Obtener otr estimción de los errores, relizndo un refinmiento de l solución. Estimr el número de condición de l mtriz. d) Extrer conclusiones sobre los resultdos obtenidos en b) y c). 6. Se el sistem de ecuciones lineles Ax=b, donde: A = b = ) Obtener l solución utilizndo eliminción de Guss con pivoteo prcil. Hllr l descomposición LU de l mtriz de coeficientes. Trbjr con 4 dígitos de precisión. b) Hllr el fctor de mplificción F B de los errores de entrd en b medinte perturbciones experimentles. Tomr: {... } T δ b = utilizr l descomposición LU y el estimdor F B = dx db x b c) Efectur un refinmiento utilizndo l descomposición LU y, en bse los resultdos, estimr el número de condición de l mtriz K A. d) Comprr log (F B ) y log (K A ) y obtener conclusiones. e) Estimr el orden de mgnitud de l perturbción que se producirí en x si l mtriz A se perturbr en un 5%. 7. Progrmr en pseudolenguje un lgoritmo que resuelv sistems de ecuciones lineles medinte eliminción de Guss con pivoteo totl teniendo en cuent que se dispone de ls siguientes subrutins: ) BUSCA(n,A,pf,pc,i,s,r): Ddo el índice i, que indic l posición de pivoteo (i,i), devuelve los índices s y r de fil y column en donde se encontró el pivote. A es l mtriz de coeficientes, n l dimensión, pf y pc son los puntdores de fil y column. b) CAMBIO(pf,pc,i,s,r): Ddo el índice i, que indic l posición de pivoteo, y los índices s y r, que indicn l posición del pivote, efectú l ctulizción de los vectores puntdores de fil y column. Menéndez-Cvliere-Trel Pág. 6/9 8/3/5

7 c) ELIMINA(A,b,pf,pc,i,j,m): Ddo el índice i de l fil de pivoteo, el índice j de l fil de eliminción y el multiplicdor m, efectú l eliminción sobre los elementos de A y del vector de términos independientes b; pf y pc son los puntdores de fil y column. 8. Progrmr en seudolenguje ls subrutins del problem nterior. 9. Repetir los problems 7 y 8 pr el cso de pivoteo prcil. Describir como se simplific el lgoritmo del método de eliminción de Guss pr el cso prticulr en que l mtriz de coeficientes es simétric definid positiv.. Progrmr en seudolenguje un lgoritmo pr relizr el refinmiento itertivo de soluciones de sistems lineles obtenids por eliminción de Guss. El progrm se debe estructurr de modo de contr con ls siguientes subrutins: ) GAUSS(n,A,b,L,U,x): Dd l dimensión n del sistem, l mtriz de coeficientes A y el vector de términos independientes b, devuelve el vector solución x y ls mtrices L y U. b) RESIDUO(n,A,b,x,r): Ddo el vector solución x, devuelve el vector residuo r. c) SUSTDIR(L,r,y): Dd l mtriz tringulr inferior L y el vector de términos independientes r, devuelve el vector solución y. d) SUSTINV(U,r,y): Dd l mtriz tringulr superior U y el vector de términos independientes r, devuelve el vector solución y. e) NORMA(x,m): Ddo el vector x, devuelve su norm m.. Progrmr en seudolenguje ls subrutins del problem nterior. B. Métodos Itertivos 3. Ddo el siguiente sistem de ecuciones lineles donde l mtriz A no singulr x x b = b ) Estblecer cundo el método de Jcobi diverge. Menéndez-Cvliere-Trel Pág. 7/9 8/3/5

8 b) Demostrr que si el método de Jcobi converge el método de Guss Seidel lo hce más rápido. 4. Se el sistem de ecuciones lineles: x.846 x.37 =.85 ) Resolverlo por el método de Jcobi. Efectur ls modificciones necesris pr grntizr l convergenci. Trbjr con 5 dígitos de precisión. b) Explicr l convergenci o no de los lgoritmos del punto ) en términos de l norm de l mtriz de iterción. c) Si el sistem se expres simbólicmente como Ax=b, escribir en seudolenguje un lgoritmo que evlúe e informe l mtriz de itercióon prtir de A y b. 5. Resolver el siguiente sistem utilizndo el método de Guss-Seidel, iterndo hst que l máxim diferenci entre dos vlores sucesivos de x, y ó z se menor que.. Indicr si esto último signific que l solución obtenid está en un intervlo de rdio. lrededor de l solución exct. x + y + 6 z = 8 x + y + 4 z = 7 x 7 y z = Resolver el siguiente sistem utilizndo el método de Guss-Seidel: + d = + 4 b d = 4 + c = c + d = 7. Considerr el sistem poco denso de ecuciones: b = - + b c = - b + c d = - c + d = Menéndez-Cvliere-Trel Pág. 8/9 8/3/5

9 Mostrr que el sistem permnece poco denso cundo se llev l form tringulr utilizndo el método de eliminción de Guss. Hllr l solución por Guss y luego por Guss-Seidel. 8. Ddo el siguiente sistem de ecuciones: 3. x x +. x 3 = x -.9 x 3 = x.54 x +.47 x 3 = 3.39 ) Efectur ls modificciones necesris pr poder grntizr l convergenci utilizndo el método de Guss-Seidel. b) Resolverlo iterndo hst lcnzr un precisión de 3 dígitos significtivos, sin exceder un máximo de 5 iterciones. Trbjr con un precisión que grntice un error de redondeo desprecible. c) Estblecer l cntidd de dígitos significtivos efectivmente obtenidos en el punto ), pr cd un de ls 3 componentes del vector solución. Indicr si se verific el criterio pr cotr el error de truncmiento por medio de l norm de l diferenci entre dos vectores solución consecutivos. d) Determinr cómo influye un error bsoluto de. en el primer coeficiente de l primer ecución sobre los vlores clculdos de x, x y x Construir un lgoritmo pr hllr experimentlmente el vlor óptimo del fctor de sobre-reljción pr un ddo sistem de ecuciones lineles. Progrmrlo en seudolenguje. L precisión requerid pr dicho fctor es de dígitos. 3. Ddo el sistem Ax = b, construir un lgoritmo que hlle el vector solución x medinte el método de Guss-Seidel. Menéndez-Cvliere-Trel Pág. 9/9 8/3/5