METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS Relaciones cinemáticas para barras de reticulado

Transcripción

1 Capítulo 8 Método de rgdez - Retculados 8.1- Relacones cnemátcas para barras de retculado A los efectos de formular el método de rgdez resulta ndspensable relaconar los desplazamentos de los etremos de una barra de retculado con el alargamento de la msma, relacones que se conocen como relacones cnemátcas. Consdérese una barra de longtud l que se etende desde el orgen defndo por el nudo "" al etremo defndo por el nudo "". Se consdera que el orgen epermenta un desplazamento U pasando al punto I mentras que el etremo "" se desplaza U hasta J. X r t U U U R = r + U I R = r + U J Notacón : r r = r r = l. t r = l X 1 r U X t versor : U U = U J R R = R = r + U I Fgura 8.1 PRATO, MASSA -1-

2 La poscón ncal esté defnda por los vectores de poscón r, r. Los vectores de poscón una vez deformada la barra se obtenen en funcón de los corrmentos nodales U, U. e l La elongacón de la barra es gual a la dferenca entre la longtud fnal la ncal: e= L l = R l donde: R = R R Dvdendo por l : e R R e R R = = l l l l Los materales normalmente usados en la construccón de estructuras permten asumr = ε << 1, de modo que: e e e R R 1 R R l = e =. l l l l l Recordando que R = r + U desarrollando el producto punto resulta: 1 r r + r U + U U l e =. l Fnalmente, para pequeñas deformacones específcas resulta: U. U e U. t + (Ec. 8.1). l La (Ec. 8.1) permte obtener la elongacón de la barra en funcón de las componentes de desplazamentos de los nudos; se trata de una relacón no lneal respecto a los desplazamentos. S U es pequeño, como ocurre en la maoría de los casos de aplcacón, el segundo térmno (térmno no lneal) del segundo membro de (Ec. 8.1) puede desprecarse para pequeñas deformacones pequeños gros queda: e U. t (Ec. 8.) Puede nterpretar la Ec. (8.) dcendo que para U pequeño, la elongacón de la barra es apromadamente gual a la proeccón del corrmento relatvo entre los etremos sobre la dreccón de la barra ndeformada. PRATO, MASSA --

3 8.- Matrz de rgdez de una barra de un retculado plano A contnuacón se procede a relaconar las fuerzas aplcadas en los etremos de una barra con los desplazamentos de los etremos de dcha barra. La relacón se logra a través de la matrz de rgdez de la barra que depende de las característcas elástcas de la barra de su orentacón. Esten dos componentes de desplazamento ncógnta por nudo se pueden plantear dos ecuacones de equlbro por nudo por lo que el tamaño de la matrz de rgdez resulta de ( ). U P U P U P P U Fgura 8. K K K K U P K1 K K K. U P = K1 K K K U P K1 K K K U P (Ec. 8.) Para deducr los elementos de la matrz K, se sgue el sguente razonamento: U PRATO, MASSA --

4 U U U U = 1 = 0 = 0 = 0 (Ec. 8.) El desplazamento horzontal del nudo "" se defne gual a la undad mentras los desplazamentos restantes son nulos. La elongacón de la barra es según (Ec. 8.) (hpótess lneal) gual a la proeccón del corrmento untaro sobre la dreccón prmtva de la barra. P P P P P 1 β t P α P P P = K = K 1 11 P = K = K 1 1 Fgura 8. e = 1.cos( α ) (Ec. 8.5) La fuerza que comprme la barra una magntud e está dada por la le de Hooke. P = K. e (Ec. 8.6) Nótese que se plantea el equlbro en el sstema ndeformado. Susttuendo (Ec. 8.) en (Ec. 8.) queda: K11.1 = P K1.1 = P K1.1 = P K1.1 = P (Ec. 8.7) La (Ec. 8.7) muestra que la prmera columna de K es numércamente gual al valor de las fuerzas que mantenen el estado de deformacón prefada defnda en (Ec. 8.). A partr de la Fgura 8. se tene: ( α ) ( β) ( α) ( β) P = P.cos ; P = P.cos ; P = P.cos ; P = P.cos (Ec. 8.8) Es necesaro respetar el sentdo adoptado como postvo para fuerzas desplazamentos. PRATO, MASSA --

5 Susttuendo (Ec. 8.5) en (Ec. 8.6) luego en (Ec. 8.8): ( α ) ( α) ( β) ( α) ( α) ( β) P = K P = K P = K P = K (Ec. 8.9).cos ;.cos.cos ;.cos ;.cos.cos Reemplazando las epresones de (Ec. 8.9) en (Ec. 8.7) se obtene la prmera columna de la matrz K. Por un razonamento smlar se puede determnar una por una las restantes columnas. K K K K K K K 1 K 1 K 1 K K K Resulta convenente destacar que se ha planteado el equlbro en el sstema ndeformado, como una prmera apromacón al problema. La forma eplícta de la matrz de rgdez de una barra de rgdez aal K cuos cosenos drectores son: AE. cos ( α) = γ1 ; cos ( β) = γ ; K = ; es l K = K. γ K. γ. γ K. γ K. γ. γ Nudo"" K. γ1. γ K. γ K. γ1. γ K. γ Nudo" " K. γ1 K. γ1. γ K. γ1 K. γ1. γ K. γ1. γ K. γ K. γ1. γ K. γ 1 Nudo "" Nudo "" 1 (Ec. 8.10) Se observa que la tercera fla de (Ec. 8.10) es gual a la prmera fla cambada de sgno, la cuarta fla es gual a la segunda cambada de sgno, la segunda es gual a la prmera γ multplcada por. El sstema (Ec. 8.) contene sólo una ecuacón lnealmente ndependente. γ 1 La matrz K es sngular el sstema no tene solucón únca a que no se han fado condcones de vínculo para la barra. S las componentes de fuerza del segundo membro de (Ec. 8.) no guardan las msmas relacones que las flas del prmer membro, el sstema no tene solucón (no ha equlbro). S el PRATO, MASSA -5-

6 sstema tene solucón (se cumplen las condcones de equlbro) ha nfntas solucones que corresponden a un alargamento de la barra segudo de un desplazamento de cuerpo rígdo. S se conocen los desplazamentos de los etremos de la barra, la (Ec. 8.) permte calcular la fuerza aal que solcta a la barra. La smetría de la matrz es una smple consecuenca del teorema de recprocdad. S se adopta como orentacón de la barra a la opuesta, es decr que s la barra tene por orgen al nudo como etremo al nudo, se ntercamban los roles entre, camban smultáneamente los dos cosenos drectores por lo tanto la (Ec. 8.10) no camba. γ 1 = a γ = b t t γ = b γ 1 = a Fgura 8. Las ecuacones de equlbro (Ec. 8.) llamadas ecuacones "fuerza-movmento" pueden escrbrse partconadas de la sguente manera: K K U P. K K = U P (Ec. 8.11) O tambén: K. U + K. U = P (Ec. 8.1) K. U + K. U = P (Ec. 8.1) Nótese que K es una submatrz los vectores P U son vectores de dos componentes. La (Ec. 8.11) es un sstema de dos ecuacones vectorales. Cada vector tene dos componentes escalares (proeccones sobre el sstema global), por lo tanto se trata de cuatro ecuacones algebracas lneales. La matrz de rgdez de la (Ec. 8.10) consttue una descrpcón completa de las característcas elástcas de cada barra que permte plantear las ecuacones de equlbro global de compatbldad de desplazamentos para un conunto de barras. PRATO, MASSA -6-

7 8.- Matrz de rgdez del retculado plano (-D) El número de ncógntas en el método de rgdez está asocado al número de grados de lbertad o ncógntas que defnen la poscón de los nudos. Se defne como "Grados de Lbertad Geométrcos" o smplemente "Grados de Lbertad" (G.L.) a los desplazamentos necesaros para determnar la confguracón deformada de la estructura. En un retculado "deal" con nudos perfectamente artculados, el conoento de la poscón fnal de cada nudo es sufcente para defnr la confguracón deformada. En el retculado plano, bastará conocer las dos componentes (, ) U U del desplazamento de cada nudo para defnr la poscón deformada de los nudos. El número de G.L. para un retculado plano es dos veces el número de nudos menos el número de condcones de vínculo que ntroducen restrccones cnemátcas a los desplazamentos. La matrz de rgdez del conunto se obtene ensamblando las matrces de rgdez de cada una de las barras ndvduales, como se lustra para el retculado de la Fgura 8.5. P Fgura 8.5 Este retculado tene 7 nudos por lo tanto 1 G.L. Incalmente no se mponen condcones de vínculo. Al ensamblar la matrz de rgdez de la estructura completa (de orden 11) se descrben dos mportantes aspectos del problema: a) Las característcas elástcas orentacón de cada barra. b) La topología o conectvdad de la estructura. El prmer aspecto está totalmente defndo a través de la matrz de rgdez de la (Ec. 8.10) de cada barra. El segundo aspecto se refere a la forma en que se unen los nudos a través de las PRATO, MASSA -7-

8 barras (conectvdades). La matrz K será de orden 1 corresponderá a un sstema de 1 ecuacones de equlbro. A modo de eemplo, a contnuacón se desarrollan ahora en detalle las dos ecuacones de equlbro del nudo. Empleando notacón matrcal se plantea una ecuacón vectoral de equlbro del nudo en la que ntervenen las fuerzas que eercen las dstntas barras que convergen al nudo. P P d P h P e P g Equlbro de fuerzas: Fgura 8.6 P + P + P + P = P (Ec. 8.1) d e g h La fuerza eteror P se descompone en cuatro fuerzas que actúan en el etremo "" de las barras (d) (e) en el orgen "" de las barras (g) (h). Compatbldad de desplazamentos: Se descrbe a través de las condcones U = U = U = U = U (Ec. 8.15) d e g h La (Ec. 8.15) epresa smplemente que los desplazamentos de los etremos de las barras que concurren al nudo son guales al desplazamento del nudo. Las fuerzas en los etremos de las barras en la ecuacón de equlbro (Ec. 8.1) pueden epresarse en funcón de los desplazamentos de los etremos por las ecuacones fuerzadesplazamento (Ec. 8.1) (Ec. 8.1). d d d d e e e e g g g g h h h h K. U { + K U + K U { { + K U + K U { { + K U + K U { { + K U = P { U U U U U U U 5 U6 Tenendo en cuenta las ecuacones de compatbldad del tpo (Ec. 8.15), para cada nudo se obtene: ( ) 0. U + K. U + K. U + K + K + K + K. U + K. U + K. U + 0. U = P (Ec. 8.16) d e d e g h g h PRATO, MASSA -8-

9 La epresón vectoral de la (Ec. 8.16) corresponde a las dos ecuacones de equlbro del nudo que resultan ser la séptma octava ecuacones del sstema (1 1) correspondente al retculado de la Fgura 8.5. Ensamble de la matrz de rgdez del conunto La epresón vectoral (Ec. 8.16), desarrollada para el nudo (a modo de eemplo), es de valdez general provee una epresón sstemátca de plantear las ecuacones de equlbro. Esta ecuacón ndca cómo se debe ensamblar la matrz de rgdez del retculado a partr de las matrces de rgdez de cada barra. 0 d K e K (**) : K + K + K + K d e g h g (**) K h K 0 U 1 U U U U 5 U 6 U 7 R1 R1 P P P 0 R F (Ec. 8.17) En la dagonal prncpal de la matrz (elemento K ) se suman las contrbucones de la rgdez de las cuatro barras que concurren al nudo. El elemento K contene solamente el aporte de la únca barra que une los nudos. El elemento K 1 es nulo porque no ha nnguna barra conectando el nudo 1 con el. A manera de eemplo a contnuacón se procede a ensamblar drectamente la contrbucón de una barra cualquera, por eemplo la barra (d) que une el nudo con el. PRATO, MASSA -9-

10 K d d d K K = d d K K (Ec. 8.18) K : Se suma a la contrbucón de las barras (a) (c) para dar K. d d K : Resulta ser K. d K : Resulta ser K. K : Se suma a la contrbucón de las barras (e), (g) (h) para dar K. d Lo ndcado para la barra (d) es totalmente general, para una barra genérca (*) que une el nudo "" con el nudo "" se tene: P = K. U + K. U + contrbucón de las otras barras * * P = K. U + K. U + contrbucón de las otras barras * * (Ec. 8.19) Para ensamblar la matrz del conunto se parte ncalmente de una matrz (n n) cuos coefcentes son todos nulos, donde n es el número de nudos del retculado, se acumulan en dcha matrz las contrbucones de todas las barras que ntegran la estructura. Por eemplo, la contrbucón de la barra (*) será según la (Ec. 8.19) la ndcada en la Fgura 8.7. * K * K * K * K Fgura 8.7 Propedades de la matrz de rgdez 1) La matrz de rgdez del retculado plano es cuadrada de orden n, donde n es el número de nudos. Para una barra en dmensones, la matrz sería de orden (n n). ) Es una matrz smétrca como consecuenca que las matrces de las barras ndvduales son tambén smétrcas. PRATO, MASSA -10-

11 ) La matrz de rgdez, tal como resulta del proceso de ensamble antes descrto, es una matrz sngular (determnante nulo) de modo que el sstema de la (Ec. 8.17) no tene solucón únca porque no se han mpuesto las condcones de vínculo que restrngen los desplazamentos del cuerpo rígdo. Para mpedr desplazamento de cuerpo rígdo en el plano ha que dar por lo menos tres condcones de vínculo apropadas que restrnan los desplazamentos de un cuerpo rígdo en el plano. Condcones de vínculo Habendo a consderado las relacones consttutvas, las ecuacones de equlbro las cnemátcas (o de compatbldad), sólo resta ntroducr las condcones de vínculo (apoos). El nudo 1 es un apoo fo el nudo 5 es un apoo móvl, de modo que se tenen tres desplazamentos nulos: 0 U 5 U1 = ; U5 = 0 (Ec. 8.0) 0 Las columnas prmera, segunda déa que van a ser multplcadas por cero, no son necesaras para resolver el sstema de ecuacones a que los respectvos desplazamentos son nulos en funcón de las condcones de vínculo mpuestas, pueden ser omtdas del sstema de ecuacones a resolver. Las flas prmera, segunda déa se pueden tambén omtr del sstema de ecuacones resolver un sstema que permta determnar los 11 desplazamentos desconocdos. Una vez calculados los 11 desplazamentos (sn consderar las flas prmera, segunda déa), se pueden utlzar las ecuacones prmera, segunda déa para obtener las reaccones de apoo desconocdas (Ec. 8.17). La dagonal prncpal de la matrz tene todos sus elementos dstntos de cero, los que además son sempre postvos. Esto concuerda con el hecho que para producr un desplazamento en una dreccón sentdo dado se requere aplcar en dcho nudo una fuerza dstnta de cero, en general del msmo sgno que el desplazamento. Como además los elementos de la dagonal son los úncos que se obtenen sumando la rgdez de las dstntas barras, éstos resultan ser domnantes (maores) respecto a los restantes elementos de la matrz. Observando la Fgura 8.7 se deduce que s los números que defnen los nudos etremos de una barra dferen en pocas undades, las cuatro submatrces de esa barra se ubcan mu cerca de la dagonal prncpal (es evdente que cualquera sea la numeracón, las submatrces van sempre sobre la dagonal prncpal). K K PRATO, MASSA -11-

12 Una numeracón óptma de los nudos debería permtr que todos los elementos no nulos de la matrz estén prómos a la dagonal prncpal. De esta manera se obtene una matrz de tpo "bandeada" como se ndca en la Fgura 8.8. Fgura 8.8 Para lograr una adecuada optmzacón computaconal, dentro de la banda puede haber tambén algunos elementos nulos, pero fuera de la banda todos los elementos deben ser nulos. Eemplo: Fgura 8.9 En el caso (a) se obtene una matrz con elementos no nulos desparramados en toda la matrz mentras que con la numeracón (b) nnguna barra tene etremos cua enumeracón dfera en más de dos undades se obtene una banda como se ndca en la sguente fgura. PRATO, MASSA -1-

13 En ambos casos, antes de ntroducr las condcones de vínculo se tene una matrz smétrca de orden (). El ancho de la banda tene mportanca desde el punto de vsta computaconal o de programacón, pero no afecta la valdez del método cualquera sea el esquema de numeracón que se adopte. El caso (b) permte certas ventaas de ordenamento computaconal requere menos capacdad de memora porque la parte fuera de la banda no necesta ser calculada o almacenada. Además, por smetría sólo se requere calcular guardar en memora la dagonal prncpal la mtad del resto de la matrz. Para lustrar los cambos del sstema de ecuacones a resolver según las condcones de vínculo, a contnuacón se ntroducen varantes al retculado de la Fgura 8.5. U 1 U U U U 5 U 6 U 7 1) Se agrega un apoo móvl en el nudo en dreccón horzontal. En el método de las fuerzas se tendría ahora una estructura hperestátca, pero en el método de rgdez smplemente se elmna la seta columna (que multplca a U 0 ) no se consdera la seta ecuacón, con lo que se reduce en uno el número de ncógntas a calcular. ) Se agrega una barra que une los nudos 5. PRATO, MASSA -1-

14 En el método de rgdez bastará sumar la contrbucón de las cuatro submatrces de rgdez de la nueva barra pero no aumenta el número de ncógntas resolver. De estos dos eemplos se conclue que en el método de rgdez no nteresa el grado de ndetermnacón estátca, sno úncamente la ndetermnacón geométrca que está relaconada con el número de nudos número de condcones de vínculo. ) Se agrega un apoo elástco en dreccón vertcal en el nudo. S el apoo elástco (resorte) tene rgdez constante de valor k resulta que para desplazar en dreccón vertcal al nudo en un valor untaro, además de la rgdez del retculado habrá que vencer la rgdez del resorte. Para tenerlo en cuenta se debe sumar el valor k al coefcente de la dagonal prncpal de la seta fla columna. ) Se reemplaza el apoo 5 por un apoo elástco. Se suma la rgdez del resorte sobre la dagonal prncpal al elemento de la déa fla columna. En este caso, el desplazamento vertcal del nudo 5 pasa a ser una ncógnta más ( 5 0) U el sstema a resolver es de Esfuerzos en barras El "esfuerzo computaconal" de la solucón por el método de rgdez está determnado cas eclusvamente por el tempo requerdo para resolver el sstema de ecuacones. Una vez hallados los desplazamentos, la determnacón de los esfuerzos en las barras resulta mu smple. Prmero se determna la elongacón de la barra según (Ec. 8.) luego se calcula la fuerza según (Ec. 8.6). Para el caso de una barra genérca cuo orgen es el nudo "" su etremo el "", se tene: t = ( γ1, γ) ; e ( U. t ) = ; F = K. e ; ( ) ( );( ) U = U U = U U U U AE. L PRATO, MASSA -1- ( ) γ ( ) F = K. γ. U U +. U U K = 1 (Ec. 8.1) S la proeccón del corrmento relatvo ( U U) sobre la dreccón t (que se ha defndo de "" haca "") resulta postva, la barra se ha alargado está por lo tanto tracconada. Conclusón: S el valor dado por (Ec. 8.1) resulta postvo, mplca esfuerzo de traccón para la barra consderada.

15 Un procedmento alternatvo consste en efectuar el producto KU. ndcado en la ecuacón fuerza-desplazamento (Ec. 8.) para obtener las fuerzas en los etremos de la barra. Como las fuerzas en los etremos son guales opuestas, será sufcente aplcar la (Ec. 8.1). P P P U K K. = P U [ ] K. U + K. U + K. U + K. U = P K. U + K. U + K. U + K. U = P 1 (Ec. 8.) Fnalmente: P = P + P (Ec. 8.) El esfuerzo será de compresón s la resultante P tene el sentdo de "" haca "". El lector puede comprobar que reemplazando (Ec. 8.) en (Ec. 8.) utlzando los elementos de K dados por (Ec. 8.10) se llega a la (Ec. 8.1) Retculados Espacales (-D) Los msmos conceptos desarrollados para el retculado plano pueden generalzarse para el retculado espacal. Bastará tener presente que las fuerzas los desplazamentos tenen en este caso tres componentes (según,, z). Todas las epresones vectorales, como son las ecuacones (Ec. 8.1), (Ec. 8.), (Ec. 8.11), (Ec. 8.1), (Ec. 8.1), (Ec. 8.1), (Ec. 8.15), etc. mantenen su vgenca. Para obtener una epresón eplícta de la matrz de rgdez de una barra de retculado smlar a (Ec. 8.10), se procede de una manera totalmente análoga a la empleada para el caso plano. PRATO, MASSA -15-

16 z U P U z P U t P P z U U z P U P γ 1 γ t γ (,, ) t = γ γ γ Donde: γ = 1 1 ( r r ) z z ( r r ) + ( r r ) + ( r r ) Los cosenos drectores (,, ) γ γ γ se calculan a partr de las coordenadas de los nudos "" 1 "", la ecuacón fuerza-desplazamento resulta: K. γ1 K. γ1. γ K. γ1. γ U P K. γ1. γ K. γ K. γ. γ gual cambada de sgno U P z z K. γ (Ec. 8.) 1. γ K. γ. γ K. γ U P. = U P gual cambada de sgno gual U P z z U P El armado de la matrz sgue el msmo procedmento desarrollado para el caso plano. Una vez resuelto el sstema de ecuacones se pueden calcular las fuerzas en las barras utlzando una epresón smlar a la (Ec. 8.1). z z ( ) ( ) ( ) F = K. e= K. U. t = K. γ. U U + γ. U U + γ. U U 1 (Ec. 8.5) PRATO, MASSA -16-

17 Eercco Nº 1: Calcular los esfuerzos en las barras (-7) (7-1) z Datos: Para todas las barras: A =,00 ; E = kg/ Nudo U 0,0 0,01-0,0 0,0 0,01-0,01 U -0,01 0,0 0,001-0,001 0,0 0,0 U -0,001-0,001-0,00-0,00-0,00-0,00 z Poscón de los nudos: ( 0;1;6 ) ; ( ;1; ) ; ( ;0;0) P = m P = m P = m 1 7 Barra (1-7): Cosenos drectores: P P 1 1 = = = t ( ). ( ;0; ). ( γ ; γ ; γ ) ( ) P1 P7 1 γ = 0,557 ; γ = 0 ; γ = 0,8 1 l( ) = 60,55 ; K 1 7 ( 1 7) = 97,08 Kg ( U. t ) e= ; F = Ke. PRATO, MASSA -17-

18 ( 1 7 ) ( 0, 01;0, 0; 0, 00) ( 0, 0; 0, 01; 0, 001) U = U U = Ut. = 0,05;0,0; 0,001. 0,557;0,00;0,8 = 0,06909 F = 66,8Kg 1 7 ( ) Barra (7-): Cosenos drectores: t = ( 0,00;0,16;0,988) ( 7 ) ( 0, 0; 0, 01; 0, 001) ( 0;0;0) ( 0, 0; 0, 01; 0, 001) U = U U = = e= U. t = 0,0; 0,01; 0,001. 0,00;0,16;0,988 =,11 10 l( ) = 16, ; K 7 ( 7 ) = 656,1 Kg F = 109,Kg 7 ( ) Eercco Nº : Escrbr el sstema de ecuacones de equlbro: Datos: P= 1000 Kg ; α = 0º A = A = A = A = A = A = 6, E = kg/ α Coordenadas de los nudos: Nudo Coord. Coord PRATO, MASSA -18-

19 Barras 1, 5: Barras 6: Barra : AE. Kg l = 00 ; K = = 1500 l γ = 0 ; γ = AE. Kg l = 500 ; K = = 500 l γ = 0, 6 ; γ = 0, AE. Kg l = 00 ; K = = 000 l γ = 1 ; γ = U 1 6. U U 5 5 U 5 U U PRATO, MASSA -19-

20 U U U 0. = U U 99, U, 0 Eercco Nº : En la estructura del eercco anteror calcular los esfuerzos en las barras s los desplazamentos son los dados a contnuacón: β α cos cos ( α ) ( β ) = γ = γ 1 Barra 1: Nudo 5 Desp. U 0, ,179 0, U 0, , ,1105 F 1 = , , γ1 = 0 ; γ = 1 ; K = 1500 Kg F1 = 15,9Kg Barra : F = , , 6 + 0, ,8 γ1 = 0,6 ; γ = 0,8 ; K = 500 Kg F = 1566,0Kg ( ) γ ( ) FBarra = K. U U. 1 U U. γ + PRATO, MASSA -0-

21 Barra : F = , , γ1 = 0 ; γ = 1 ; K = 1500 Kg F = 87,88Kg Barra : F = , 1 0, , 090 0, γ1 = 1 ; γ = 0 ; K = 000 Kg F = 99, 70Kg Barra 5: ( ) F5 = ,5911 0, ,11 0, γ1 = 0 ; γ = 1 ; K = 1500 Kg F5 = 159,95Kg Barra 6: F 6 = , , 65.0, 6 + 0,110 0, 09.0,8 γ1 = 0,6 ; γ = 0,8 ; K = 500 Kg F6 = 1566,17Kg Nota: por tratarse de una estructura sostátca se pueden comprobar fáclmente los resultados por cualquer método de análss estátco dsponble. Eercco Nº : Determnar las fuerzas en las barras del retculado cua base es un trángulo equlátero. Todas las barras: A =,00 l = 00 Lado del trángulo base: d = 00 Carga: P = ( 00;-100;0 ) 6 E =,1 10 Kg PRATO, MASSA -1-

22 z z h h Coordenadas de los nudos: Nudo Coord. Coord. Coord. z , * , ,75 8,971 uur 1 = 100;57, 75;8,971 Barra 1: ( ) γ = 0, 5 ; γ = 0,18 ; γ = 0, Barra : 1 // // // // // // // // // // // // // // // // // // / / / / / / 11,50 757,77 506,9 / / / / / / 757,77 7,50 90,05 / / / / / / 506,9 90, γ = 0, 00 ; γ = 0, ; γ = 0, PRATO, MASSA --

23 Barra : // // // // // // // // // // // // // // // // // // // // // / / / / / / ,1 / / / / / / 0 580, γ = 0, 5 ; γ = 0,18 ; γ = 0,957 1 // // // // // // // // // // // // // // // // // // / / / / / / 11,50 757,77 506,9 / / / / / / 757,77 7,50 90,05 / / / / / / 506,9 90, Ecuacones de equlbro de nudo : U U = 100 z U 0 Desplazamentos: U 0, U = 0, z U 0, Esfuerzos en las barras: r r F1 = K. ( U. t ) = ( 0, 07619; 0, 0095;0, ).( 0, 5;0,1;0,957) F1 = 8,5Kg r r F = K. ( U. t ) = ( 0, 07619; 0, 0095;0, ).( 0, 00; 0, 886;0,957) F = 0,9Kg r r F = K. ( U. t ) = ( 0, 07619; 0, 0095;0, ).( 0, 5;0,1;0,957) F = 515, 7Kg PRATO, MASSA --

24 Eercco Nº 5: Calcular las fuerzas en las barras del retculado plano A = 10 A = 10 A = 0 1 Kg P= 000Kg K = 000 E =, Kg Matrces de rgdez de las barras: Barra 1: t1 = ( 1;0 ) ; l = 60 ; K1 = Kg 1 1 // // // // // // // // / / / / // // 0 0 Barra : t = ( 0;1 ) ; l = 80 ; K = 6500 Kg 1 1 // // // // // // // // // // 0 0 / / / / Barra : t = ( 0,6; 0,8 ) ; l = 100 ; K = 0000 Kg PRATO, MASSA --

25 Sstema de ecuacones de equlbro: U U. 000 = U U 0 Desplazamentos: U 0, , U = U 1, U 0, Fuerzas en las barras: ( ) ( ) F 1 = , ; 1, ;0 F1 = 000Kg F = ,5000; 0, ;1 F = 000Kg F = ,508571;1, , 6; 0,8 F = 5000Kg θ 1 θ ( θ1 ) ( θ ) tan = 0, 0188 tan = 0, 019 PRATO, MASSA -5-

26 Fuerza en el resorte: R = KU. = 000 1,5 = 000Kg Eercco Nº 6: La torre arrostrada del croqus tene una carga horzontal en la dreccón del ee "". Determnar el esfuerzo en todas las barras. A = A = A = 0,07065 A 1 =,0 100 z 5 1, 7 (1) () () 5, 00,00,00 5 (),00,00 Longtudes en metros. Coordenadas de los nudos: Nudo Coord. Coord. Coord. z 1 0,00 -,7 0,00,00,00 0,00 -,00,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5 0,00 0,00 5,00 Barra 1: ( 0;0;5) ( 0;,7;0) = ( 0;,7;5,00) AE. Kg l = 670,80 ; K = = 1,18 l γ = 0 ; γ = 0, 666 ; γ = 0, 75 1 PRATO, MASSA -6-

27 Barra : , 109,9 0 98, 109, ,9 1, ,9 1, , 109,9 0 98, 109, ,9 1, ,9 1,9 ( 0;0;5) ( ; ;0) = ( ; ;5) AE. Kg l = 670,80 ; K = = 1,18 l γ = 0,596 ; γ = 0, 98 ; γ = 0, 75 1 Barra : Barra : 78, 6 9, 98, 78, 6 9, 98, 9, 19, 67 9,15 9, 19, 67 9,15 98, 9,15 1,9 98, 9,15 1,9 78, 6 9, 98, 78, 6 9, 98, 9, 19, 67 9,15 9, 19, 67 9,15 98, 9,15 1,9 98, 9,15 1,9 ( 0;0;5) ( ; ;0) = ( ; ;5) AE. Kg l = 670,80 ; K = = 1,18 l γ = 0,596 ; γ = 0, 98 ; γ = 0, , 6 9, 98, 78, 6 9, 98, 9, 19, 67 9,15 9, 19, 67 9,15 98, 9,15 1,9 98, 9,15 1,9 78, 6 9, 98, 78, 6 9, 98, 9, 19, 67 9,15 9, 19, 67 9,15 98, 9,15 1,9 98, 9,15 1,9 AE. Kg l = 500 ; K = = 800 l γ = 0 ; γ = 0 ; γ = 1 1 PRATO, MASSA -7-

28 Sstema de ecuacones de equlbro del nudo 5: 157, 0 0 U 0 U 0, , 6 11, 6. U = 100 U = 0, , U z 0 U z 0, Esfuerzos en las barras: F1 = K1. e1 = 1,18. 0, 00; 0, 767;0, , 00;0, 666;0, 75 F1 = 107, 0Kg F = K. e = 1,18. 0, 00; 0, 767;0, ,596; 0, 98;0, 75 F = 8, 08Kg F = K. e = 1,18. 0, 00; 0, 767;0, ,596; 0, 98;0, 75 F = 8, 08Kg F = K. e = , 00; 0, 767;0, ;0;1 F = 8,06Kg PRATO, MASSA -8-