Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Uno de los sistemas más usados es el:

Transcripción

1 TRIGONOMETRÍA La palabra trigonometría proviene del griego: trigonos (triángulo) y metria (medida). En sus orígenes esta rama de la matemática se utilizó para resolver problemas de agrimensura y astronomía, pero con el desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento indispensable en la física, la ingeniería, la medicina y todo otro proceso en el que se encuentren comportamientos que se repiten cíclicamente. Sirve para estudiar fenómenos vibratorios, como por ejemplo la luz, el sonido, la electricidad., etc. Sistemas de Medición de Ángulos Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Uno de los sistemas más usados es el: Sistema sexagesimal, cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal, que es la noventa-ava parte del ángulo recto y se simboliza º. La sesenta-ava parte de un grado es un minuto ( ) y la sesenta-ava parte de un minuto es un segundo ( ). ángulo recto º ' o ' " Un ángulo llano mide 80º y un giro completo, 60º. Sistema circular o radial, cuya unidad de medida es el radián. La proporcionalidad que existe entre la longitud s de los arcos de dos circunferencias concéntricas cualesquiera determinados por un ángulo central y los radios r correspondientes, permite tomar como medida del ángulo arco s el cociente. Un ángulo central de radián es aquél que determina un arco que tiene radio r una longitud igual al radio. s s r, por lo tanto. r Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados determinan sobre ella un arco s de longitud igual al radio r. Ejemplo: Si β determina un arco de 6 cm en una circunferencia de cm de radio, entonces la s 6 cm medida en radianes de β es:. En el sistema circular, β mide radianes, o decimos r cm que mide, sin indicar la unidad de medida...r La medida en radianes de un ángulo de un giro es. La de un ángulo llano, que es la r mitad de un giro, : La de un ángulo recto, entonces,. Para relacionar un sistema de medición con otro, observamos la siguiente tabla:

2 Ángulo Sistema sexagesimal Sistema circular giro 60º llano 80º recto 90º / A cuántos grados sexagesimales equivale un radián? Haciendo uso de las proporciones y teniendo en cuenta la medida del ángulo llano, por ejemplo: 80º 80º 7º 7' " Nota: es aproximadamente igual a,. Un ángulo de radianes equivale a un ángulo de 80º. Pero 80. Actividad Nº : a) Expresar en radianes las medidas de los ángulos, si es posible, utilizando fracciones de : 0º º 60º 0º b) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos medidos en radianes: / / Razones trigonométricas de un ángulo agudo B Recordemos las definiciones de las razones trigonométricas. sen cateto opuesto hipotenusa cateto adyacente cos hipotenusa C A tg cateto opuesto cateto adyacente Estas razones dependen sólo del ángulo y no de las medidas de los lados del triángulo construido. Las definiciones de las razones trigonométricas de ángulos agudos pueden extenderse para cualquier ángulo. Para eso, consideramos el ángulo en el plano cartesiano, haciendo coincidir su vértice con el origen de un sistema cartesiano ortogonal, y su lado inicial con el semieje positivo de las x. cateto opuesto ordenada de P y y 0 P sen 0 r hipotenusa OP r x 0

3 P r y 0 cateto adyacente abscisa de P x cos 0 hipotenusa OP r cateto opuesto y tg 0 si x0 0 cateto adyacente x 0 x 0 También definimos las razones trigonométricas recíprocas de las anteriores, llamadas cosecante, secante y cotangente: hip r hip. r cat. ady. cos ec cat. op. y sec cot g 0 0 cat. ady. x0 cat. op. y0 Las fórmulas anteriores son válidas cuando no se anulen los denominadores. También se verifican las siguientes relaciones: sen tg cos cosec sen sec cos x cot g tg Por ejemplo, queremos determinar los valores de las relaciones trigonométricas de un ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P (, ) x 0, y 0 r ( ) + sen cos tg cos ec sec cot g - P r y x Para un ángulo cualquiera, puede aplicarse el teorema de Pitágoras: (cat. op.) + (cat. ady.) (hipotenusa) Dividimos ambos miembros por (hipotenusa) : ( cat. op.) (hip.) cat. op. hip. ( cat.ady.) + (hip.) cat. ady. + hip. ( hip.) (hip.) y 0 x 0 P Resulta, entonces: (sen ) + (cos ) donde por comodidad escribimos sen + cos y que llamamos identidad pitagórica.

4 Esta identidad, por ejemplo, nos permite calcular las funciones trigonométricas de un ángulo sabiendo que es agudo y que sen. Entonces, si sen + cos cos sen cos sen y como < / cos sen tg cos cot g tg Actividad Nº : cos cos cosec sen 6 sec cos Sabiendo que cos, hallar las restantes relaciones trigonométricas de. Con frecuencia se utilizan expresiones que vinculan a cada una de las relaciones trigonométricas con las demás para poder utilizar, en cada caso, la expresión más conveniente. Por ejemplo, podríamos expresar la tangente de en función del coseno: sen tg cos y utilizando la identidad pitagórica : tg Análogamente, podemos expresar el coseno de en función de la tangente de : ± cos. cos tg sen cos tg sen cos cos tg cos tg cos tg + cos cos tg + Más adelante veremos cómo seleccionar el signo del resultado. Actividad Nº : a) Expresar la secante se en función de la cosecante de. b) Expresar la tangente de como función del seno de. cos La circunferencia trigonométrica Ángulos orientados + tg Cuando trabajamos en radianes, las medidas de los ángulos son números reales. Si definimos ángulos orientados esta medida puede tomar valores negativos. Al trabajar con un ángulo en un sistema de coordenadas cartesianas, éste está generado por la rotación de una semirrecta o rayo que parte del semieje positivo de las x.

5 Si el lado gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que el ángulo es positivo. Y es negativo cuando está generado en sentido horario. Puede, además, realizar más de un giro completo. Para referirnos a su ubicación, consideramos el plano cartesiano divido en cuatro sectores, llamados cuadrantes y una circunferencia con centro en el origen y radio que llamaremos circunferencia trigonométrica. II cuadrante P P III cuadrante γ β P 0 P I cuadrante IV cuadrante En la figura, como r tenemos que: y0 y sen 0 y0 el r segmento de ordenadas está relacionado con el sen x0 x cos 0 x0 el r segmento de abscisas está relacionado con el cos Para hallar el segmento asociado al sen β, se construye en el segundo cuadrante el triángulo rectángulo con las componentes de P y el segmento de ordenadas corresponde a seno de β. Análogamente sucede con los ángulos del tercer y cuarto cuadrante, donde el segmento de ordenada se asocia con el seno del ángulo y el segmento de abscisa, con el coseno del ángulo. Las medidas de un ángulo γ del tercer cuadrante están comprendidas entre < γ </ < γ < 7/ ó + k < γ < / + k donde k Z + {0}, esto si el ángulo es positivo. Las medidas de γ del tercer cuadrante, si es un ángulo negativo, están comprendidas entre / < γ < ó / < γ < ó / + k < γ + k donde k Z {0}. Los signos de los valores de las relaciones trigonométricas de los distintos cuadrantes dependen de los signos de las coordenadas del punto sobre el lado terminal del ángulo. Esta información se resume en la siguiente tabla, que podrá completar: ó Actividad Nº : a) sen cos tg cosec sec cotg I II III IV 9 b) Si < β <, qué se puede asegurar respecto del signo de senβ, cosβ y tgβ?

6 Razones trigonométricas de ángulos notables Para los ángulos de 0, /, y /, teniendo en cuenta las coordenadas del punto P asociado a cada ángulo en la circunferencia trigonométrica, podemos deducir y completar: Actividad Nº : 0 / / P (0; ) sen cos 0 tg no existe O Para los ángulos de /6, / y / radianes pueden calcularse las razones trigonométricas usando recursos geométricos. Damos aquí una tabla que contiene los valores de los ángulos notables pertenecientes al primer cuadrante. 0 sen 0 cos 6 0 tg 0 no existe Actividad Nº 6: Construye y observa la circunferencia trigonométrica y completa en los casos en que existan: sen cos() tg( ) cosec0 sec Reducción al primer cuadrante Se nos puede presentar el siguiente problema: Hallar el valor de sabiendo que se encuentra en el primer cuadrante y que sen 0,6.

7 Para resolverlo es suficiente con marcar en la calculadora científica el número 0,6 y oprimir las teclas INV (inversa) o SHIFT, y SIN (seno). Si el modo en el que está la calculadora es en grados sexagesimales, ésta devolverá º 6. Si el modo es en radianes, responderá 0,66. Si en cambio queremos determinar el valor de la medida de un ángulo sabiendo que se halla en el segundo cuadrante, es menor que un giro y sen 0,6, y procedemos de la misma forma que en la situación anterior, la respuesta será la misma: º 6, que no es correcta porque este ángulo no pertenece al segundo cuadrante. La respuesta correcta es 6º. Pero cómo llegar a dicha respuesta? Observamos en la circunferencia trigonométrica un ángulo ubicado en el segundo cuadrante (β) de modo que si P 0 (x 0, y 0 ) entonces P ( x 0, y 0 ). Llamamos al ángulo del primer cuadrante del que conocemos sus relaciones trigonométricas. Los triángulos OM 0 P 0 y OM P son simétricos respecto del eje y. Por lo tanto, sen β y 0 sen cos β x 0 cos senβ sen tg β tg cosβ cos cosec β sec β cot g cos cosec senβ sen β β tgβ Cómo es β respecto de? sec cos tg cot g P P 0 M O M 0 y β son ángulos suplementarios, es decir + β β. Las relaciones anteriores pueden generalizarse para cualquier par de ángulos suplementarios. Completen a continuación: sen ( ) sen cos ( )... tg ( )... cosec ( )... sec ( )... cotg ( )... Sea ahora un ángulo γ ubicado en el tercer cuadrante, de modo que P 0 (x 0, y 0 ) y P ( x 0, y 0 ). Los triángulos OM 0 P 0 y OM P, donde quedan definidas las relaciones trigonométricas de y γ respectivamente, son simétricos respecto del origen de coordenadas. Entonces sen γ y 0 sen M O P 0 M 0 cos γ x 0 cos P

8 sen γ sen tg γ tg cot g γ cot g cos γ cos tg γ tg cos ec γ cosec sec γ sec sen γ sen cos γ cos Los ángulos y γ difieren en, o sea γ de donde γ + Entonces podemos generalizar las relaciones entre sus razones trigonométricas: sen ( + ) sen cos ( + )... tg ( + )... cosec ( + )... sec ( + )... cotg ( + )... Actividad Nº 7: Calcular, usando la tabla de ángulo notables: 7 a) sen b) cos c) tg d) cos ec 6 6 Sea δ un ángulo ubicado en el cuarto cuadrante, de modo que P 0 (x 0, y 0 ) y P (x 0, y 0 ). Pero también podemos considerar un ángulo ϕ < 0 (generado en sentido horario) cuyo lado terminal OP también está en el cuarto cuadrante. Los triángulos OM 0 P 0 y OM 0 P, donde quedan definidas las relaciones trigonométricas de y δ (y ϕ) respectivamente, son simétricos respecto del eje de abscisas Entonces sen δ sen ϕ y 0 sen cos δ cos ϕ x 0 cos M 0 P 0 O P tg δ tg ϕ sen δ cosδ sen cos tg cos ec δ cosecϕ sec δ secϕ cot g δ cot g ϕ

9 Se dice que y ϕ son ángulos opuestos. Entonces ϕ y pueden generalizarse las relaciones entre sus razones trigonométricas: sen ( ) sen cos ( )... tg ( )... cosec ( )... sec ( )... cotg ( )... Actividad Nº 8: a) Para los ángulos λ y ε hallar los ángulos simétricos en los demás cuadrantes. b) Aplicando las propiedades entre ángulos simétricos y la tabla de valores de ángulos notables, hallar los valores exactos de: cos sec 6 tg 7 sen 6 cosec cot g c) Simplificar cada expresión: sen ( ) + sen ( ) cos( + ) tg ( ) cos( ) tg ( + ) sen ( ) + cos ( ) sen ( ) sec( + ) cot g ( ) Ángulos Complementarios En el triángulo rectángulo, los ángulos agudos y β son complementarios, es decir + β, donde a cat.ady.deβ β. Además sen cos β h hip. b cat.op. deβ y cos senβ h hip. a β b h

10 En consecuencia: sen ( ) cos cos( ) sen tg ( ) sen ( ) cos( ) cos sen cot g cot g ( ) tg ( ) cot g tg cos ec( ) sec y análogamente sec ( ) cos sen ( ) cosec Actividad Nº 9: a) Si sen / y se halla en el primer cuadrante, cuánto vale sen ( )? Y cotg ( )? b) Sabiendo que pertenece al tercer cuadrante y que cos /, calcular tg ( ) y sen ( ). c) Expresar los siguientes ángulos en radianes y calcular sus razones trigonométricas (utilizando simetrías y la tabla de ángulos notables): 0º º 0º 9º 76º Algunas Identidades Trigonométricas Las siguientes identidades son de utilidad para distintos procedimientos, como cálculos de límites e integrales. No es necesario memorizarlas porque suelen estar incluidas en tablas de derivadas, integrales, etc. Simplemente enumeramos sólo algunas de ellas. Para y β cualesquiera: sen ( ± β ) sen cos β ± cos sen β cos ( + β ) cos cos β sen sen β cos ( β ) cos cos β + sen sen β tg + tgβ tg ( + β) tg tgβ Para cualquier : sen () sen cos cos () cos sen tg tg () tg

11 sen cos cos + cos tg sen + cos cos + cos() cos() sen Actividad Nº 0: Verificar las siguientes identidades (se aconseja trabajar en cada miembro de la igualdad sustituyendo las expresiones por otras identidades conocidas hasta llegar a una igualdad evidente). Ejemplo: sen sec + sen + cos cos sen cos + sen + cos sen cos sen cos a) cos s ec tg b) + sen cot g sen cosec c) (cosec + cotg ) (cosec cotg +) cotg d) sen + cos +cos cotg cosec Resolución de Triángulos rectángulos Resolver trigonométricamente un triángulo rectángulo consiste en, dados algunos elementos del triángulo, obtener los restantes. Ejemplo : Resolver el triángulo rectángulo dados la hipotenusa a 0 cm y Entonces los datos son: a y Bˆ y las incógnitas C ˆ, b y c. Como C y B son complementarios, resulta C 90º - B C 6º b A C Bˆ 8º ' c a B

12 Como sen B Además, cos b a b a senbˆ 0cm 0,78 9,68cm c Bˆ c a cos Bˆ 0cm 0,878 7,6cm a Actividad Nº : a) Para un triángulo rectángulo similar al del ejemplo, hallar c, B y C sabiendo que a cm. y b 9 cm. b) Un alambre carril recto de 0 m. une dos estaciones A y B y tiene una pendiente de 0,. Calcular la diferencia de altura sobre el nivel del mar entre A y B. Rta: 0, m. c) Calcular la longitud que debe tener una escalera para que apoyada en una pared alcance una altura de,8 m al formar con el plano de la base un ángulo de 8º. Rta:,6 m. d) Un globo sujetado por un cable de 80 m. es inclinado por el viento formando el cable un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular la distancia del globo al suelo.