Son Co Razones Seno y Coseno Tangente y Cotangente Secante y Cosecante RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. 3. Triángulos Notables

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1 Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri on o zones eno oseno Tngente otngente ente osente ZONE TIGONOMETI DE UN ÁNGUO GUDO opuesto en hipotenus s hipotenus opuesto dente os hipotenus e hipotenus dente opuesto Tn dente Propieddes: zones eípros dente ot opuesto en os Tn ot e s os en ot Tn s e 3 Triángulos Notles EOUIÓN DE TIÁNGUO ETÁNGUO Dtos: Un ldo un ángulo gudo Inógnit: los demás ldos Proedimiento: ) epetir el ldo que tengo en el ldo que quiero lulr ) Multiplirlo por l rzón trigonométri zón trigonométri do que quiero lulr do que tengo 5 en s os e Tn ot en Tn e s en * os * Tn s e ot s * e * ot en os Tn os ot zones de ángulos omplementrios  Ĉ i: ˆ + ˆ 9 z ( Â) o z ( Ĉ ) Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 3 Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 4

2 Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri ÁNGUO TIGONOMETIO rd 8 : # de grdos segesimles de : # de rdines de Poles ongitudes reorrids igules r N n r r r rd 8 rd N: # de vuelts de l pole mor n: # de vuelts de l pole menor r ONGITUD DE O rd NGUO GIDO IGUE # de vuelts r : # rdines del ángulo : longitud de ro : rdio r UPEFIIE DE ETO IU rd uperfiie del trpeio irulr h h + h : superfiie del trpeio irulr Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 5 O ZONE TIGONOMETI DE UN ÁNGUO DE UQUIE MGNITUD P(, ) ρ ρ + ρ: rdiovetor de P : sis de P : ordend de P Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 6

3 Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri ordend en rdiovetor ρ sis os rdiovetor ρ ordend Tn sis Propiedd sis ot ordend rdiovetor ρ e sis rdiovetor ρ s ordend IDENTIDDE TIGONOMETI Identiddes Fundmentles T [K vuelts + ] T [] ignos de ls zones Trigonométris eípros Por oiente en s os e Tn ot en Tn os os ot en Pitgóris en s e + Tn s + ot * en os * os en IQ IIQ IIIQ IVQ eno oseno Tngente otngente ente osente zones de Ángulos udrntles eno - oseno - Tngente No eiste No eiste otngente No No eiste eiste ente No eiste - No eiste osente No eiste No eiste - irunfereni Trigonométri Elementos: (; ): Origen de ros (; ): Origen de omplementos (-; ): Origen de suplementos M: Etremo del ro M Identiddes uilires en 4 + os 4 en os en 6 + os 6 3en os e + s e s Tn + ot e s FUNIONE TIGONOMETI + rd M Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 7 ínes Trigonométris íne eno íne oseno Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 8

4 Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri N Q M P MP en N Q P M MQ os Dominio: ngo: [-; ] Período: Etensión: - en Funión oseno os íne Tngente íne otngente T O T Tn íne ente osente NÁII DE FUNIONE TIGONOMETI En el siguiente nálisis se onsidern : ) zones trigonométris de ángulos udrntles ) Vriión de ls rzones trigonométris ) Etensión de ls rzones trigonométris Funión eno en / 3/ - O e - O / V W Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 9 O 3/ OW s ot / - 3/ } Dominio: ngo: [-; ] Período: Etensión: - os Funión Tngente Tn / No 3/ No Dominio: (n + ) /; n Z ngo: Período: Etensión: - < Tn < Funión otngente ot No / No 3/ No Dominio: - n; n Z ngo: Período: - / Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 3 / / 3/ 3/ 3/

5 Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri Etensión: - < ot < Funión ente e / No - 3/ No Dominio: (n + ) / ngo: <- ; -] U [; > Período: Etensión: e ó e / 3/ - os() / / 3/ Periodo (T) mplitud () ÁNGUO OMPUETO Funiones trigonométrios de l sum de dos ángulos e umple que: mplitud Periodo T / Funión osente s No / No 3/ - No Dominio: - n ngo: <- ; -] U [; > Período: Etensión: s ó s / 3/ en ( + ) enos + osen os ( + ) osos enen Tn Tn Tn ( + ) + Tn Tn Funiones trigonométris de ls difereni de dos ángulos en ( ) enos osen os ( ) osos + enen Tn Tn Tn ( ) + Tn Tn MPITUD PEIODO f {( ; ) / en( )} Dd ls funiones trigonométris f {( ; ) / os( )} uo gráfio en el plno oordendo es: sen() Funiones trigonometrís de (-) funiones trigonométris de () en (- ) -en ot (-) - ot os (-) os e (-) e Tn (-) Tn s (-) - s zones trigonométris de 75 mplitud () / / 3/ en os 6 ± 4 Tn ± o tn 3 e ose 6 ± Grupo - de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Periodo (T) Pg 3 Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 3

6 Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri Triángulos Notles ÁNGUO EIONDO ENTE Í Propieddes en en s s Tn Tn ot ot os os e e Ángulos suplementrios Tn + Tn + TnTn Tn ( + ) en ( + )en ( ) en en os ( + ) os ( ) os en en( ± ) Tn ± Tn os os I Ángulos menores de un vuelt EDUIÓN PIME UDNTE Not: En todos los sos, ls demás funiones son igules; pero on signo mido Propieddes i: + + z 8 Tn + Tn + Tn z Tn Tn Tn z otot + ototz + ototz 8 ± F ( ) F( ) 36 ± ± 9 ± F ( ± ) of( ) 7 ± ángulo gudo i: + + z 9 Tn Tn +Tn Tnz + Tn Tnz ot + ot + otz otot otz II Ángulos mores de un vuelt NGUO MUTIPE ángulo mor de un vuelt ángulo menor de un vuelt F [] F [k (36 ) + ] F [] 36 k III Ángulos negtivos En este so empleremos ls reliones de: F [-] F [] Funiones Trigonométris del ángulo dole en enos os os en os en os os Tn Tn Tn Triángulo notle Tn Tn + Tn Tn en + Tn Tn os + Tn Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 33 Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 34

7 Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri TNFOMIONE DE UN UM O DIFEENI PODUTO os en + os os ot + Tn s ot Tn ot POPIEDDE Funiones trigonométris del ángulo mitd + en + en en os + en en os en + os + os os os + os os en en + os os en en > en ± os Tn ± os + os + os + os os ± ot ± os Not: El sino (±) depende l udrnte l que pertenee / Tn s ot Fórmuls rionlizds ot s + ot TNFOMIÓN DE UN PODUTO UM O DIFEENI enos en( + ) + en( ) osen en( + ) en( ) osos os( + ) + os( ) enen os( ) os( + ) zones trigonométris de 3 en 3 Tn 3' os 3' + ot 3' + Tmién son importntes: FUNIONE TIGONOMETI INVE i: F() m r F(m) ) Funión eno inverso: r en / Domino: [-; ] ngo: ; / IQ IVQ r en Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 35 -/ Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 36

8 Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri ) Funión oseno inverso: r os EUIONE TIGONOMETI - Domino: [-; ] ngo : [; ] IIQ / IQ r os Dd l euión: F () m lulmos el menor ángulo gudo que umple l iguldd en vlor soluto (vlor prinipl) Determinmos los udrntes donde puede estr, de uerdo l vlor que tom m 3 luego enontrmos ls soluiones elementles trvés del siguiente udro: IIQ 8 VP IQ VP funión diret nul l invers vievers en (r enm) m; m [-; ] r en (en ) ; ; os (r osm) m; m [-; ] r os (os ) ; [; ] Tn (r Tnm) m; m r Tn (Tn ) ; ; r en rs r os re r Tn rot + rtn + r Tn r Tn rtn r Tn r Tn + r en (-) - ren r os (-) - r os r Tn (-) - r Tn r en + ros r Tn + rot r e + rs Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 37 4 Finlmente, evlumos ls demás soluiones: Ejemplo: i: IQ IIIQ s soluiones serán ls siguientes: VP 8 + VP et IIIQ 8 + VP oluiones elementles FOMU GENEE Pr seno osente: en m G n (8 ) + (-) n G n + (-) n Pr tngente otngente: Tn m IVQ 36 VP G n (8 ) + G n + Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 38

9 Elusivo Universidd grri Elusivo Universidd grri Pr oseno sente: os m G n (36 ) ± G n ± G : onjunto de todos los ángulos que umplen l euión : Menor ángulo positivo que umple l euión n : Número entero EOUIÓN DE TINGUO OIUÁNGUO ÁE DE EGIÓN TINGU en en en I Teorem de los senos en en en en en en Tmién son importntes: p( p )( p )( p ) 4 pr II Teorem de los osenos + os + os + os + * os Donde:,, : ldos del triángulo p: semiperímetro : irunrdio r: inrdio ÁNGUO VETIE Visul :ángulo de elevión III Teorem de ls proeiones os + os os + os os + os íne de tierr Visul Horizontl :ángulo de depresión Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 39 Grupo de Estudio POMEDIO telf 33 3 / / Pg 4 toni

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