Estructuras Algebraicas. UCR ECCI CI-1204 Matemática Discretas Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

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1 UCR ECCI CI-204 Mtemátic Discrets Prof. M.Sc. Krysci Dvin Rmírez Benvides

2 Se E un conjunto no vcío, un función f f : E E E se llm ley de composición intern (operción) sobre E. Además, l imgen f(,b) se llm el operdo de y b. Es usul representr ls operciones interns con lgunos símbolos especiles, en vez de letrs, como *,,, entre otros. Por definición, si * es un ley de composición intern sobre E, entonces es cerrd sobre E, es decir, se cumple que, b E b E [ ] 2

3 (cont.) Si * es un ley de composición intern sobre E, se dice que (E,*) posee un estructur lgebric. Un estructur lgebric es un n-tupl (, 2,..., n ), donde es un conjunto ddo no vcío, y { 2,..., n } un conjunto de operciones plicbles los elementos de dicho conjunto. Si * es un ley de composición intern sobre E, se dice que *: Es socitiv: pr culesquier elementos del grupo no import el orden en que se operen ls prejs de elementos, mientrs no se cmbie el orden de los elementos, siempre drá Si, b E se cumple b c b c el mismo resultdo. ( ) ( ) 3

4 (cont.) Si * es un ley de composición intern sobre E, se dice que *: Posee elemento neutro o elemento identidd (comúnmente denotdo como e, letr inicil de l plbr lemn einheit, que signific "unidd"): existe un elemento que l ser operdo con culquier otro, no lo modific (como el cero en l sum o el en l multiplicción). L unicidd del elemento neutro es fácilmente demostrble. Si e E tl que. e e Tiene elementos opuestos o inversos: todos los elementos del grupo tienen un elemento opuesto (o inverso), con el que l operrse dn por resultdo el elemento neutro e. El elemento inverso de uno ddo es único. Si E b E tl que b b e en cuyo cso se escribe 4 b

5 (cont.) Si * es un ley de composición intern sobre E, se dice que *: Es conmuttiv: pr culesquier elementos del grupo no import el orden de los elementos siempre drá el mismo resultdo. Si, b E se cumple b b Un elemento h es bsorbente por l izquierd si h * h y lo es por l derech si * h h pr todo. Se dice que es el elemento bsorbente si lo es por l derech y por l izquierd. 5

6 (cont.) En el cso que E se un conjunto finito, es decir, E {, 2,, n }, l operción * se puede representr en un tbl, en l cul l entrd i,j denot el elemento i * j : * 2 j n * 2 2 * 2 * 2 2 * j 2 * n i i * i * 2 i * j i * n n n * n * 2 n * j n * n 6

7 (cont.) Un elemento es idempotente si * pr todo. Un elemento es involutivo si * e pr todo. Un elemento es centrl si conmut con todos los elementos de E, el conjunto formdo por todos los elementos centrles se llm el centro de E y se denot por C(E). (C(E),*) es un subgrupo de (E,*). C ( E) { E b b, b E}

8 Grupos Si G es un conjunto no vcío y * es un operción intern definid sobre G. Se dice que (G,*) es: Un semigrupo si * es socitiv. Un monoide si es un semigrupo con elemento neutro. Un grupo si es un monoide que cumple l propiedd de los inversos, es decir, (G,*) es un grupo si * es cerrd, socitiv, posee elemento neutro y cd elemento tiene inverso. Un grupo belino o grupo conmuttivo si es un grupo y se cumple l conmuttividd. En el cso de que no se un grupo, se dice que l estructur lgebric es conmuttiv. 8

9 Grupos (cont.) Notciones: L notción multiplictiv. Operción:,,, llmd producto. Elemento neutro:. Elemento inverso: x. L notción ditiv. Operción: +, llmd sum. Elemento neutro: 0. Elemento opuesto de un elemento x del grupo: -x. 9

10 Grupos (cont.) Si (G,*) es un monoide, se tiene que 0 e, y pr n nturl, con n : n n n... n veces Si demás cumple con l propiedd de los inversos, los exponentes negtivos se definen como: n ( ) n 0

11 UCR-ECCI CI-204 Mtemátic Discrets Grupos (cont.) Teorem. Si (G,*) es un grupo, en generl se tiene que Demostrción. ( ) ( ) b b () (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e b b b b e b b (2) ()

12 Grupos (cont.) Notr que si el grupo es belino se puede escribir ( ) b b En cso contrrio se debe respetr () del teorem. Si el grupo es finito, su orden se denot por o(g) y corresponde l crdinlidd como conjunto. Pr n N con n 2, y l relción R definid sobre Z por R b [ k Z tl que b nk] se define l conjunto Z n Z/R, es decir, Z n es el conjunto de clses residules módulo n. Sobre estos conjuntos Z n, se definen ls operciones usules de sum y multiplicción de clses. 2

13 Grupos (cont.) Pr todo n 2, (Z n, ) es grupo belino y o(z n ) n. (Z n*, ) es grupo belino si y sólo si n es un número primo. Además, o(z n* ) n. Se G un grupo, y un elemento x G. se dice que G es un grupo cíclico generdo por x si pr cd elemento y G existe un n Z tl que y x n. 3

14 Grupos (cont.) Teorem 2. Si G es cíclico entonces es grupo belino, y si G es generdo por x entonces tmbién es generdo por su inverso x -. Demostrción. y, z G yz x n n, m Z x m x n+ m () Es grupo belino tl que y x m+ n x m x n x n zy z x m y G Es decir, G (2) n Z tl que y y ( x ) es generdo por n x n Z x n 4

15 Grupos (cont.) Pr el conjunto X {,, n}, se define el grupo simétrico S n como el conjunto de tods ls funciones biyectivs de X en X, dotdo con l composición de funciones como operción intern. El orden de S n es n!, o(s n ) n!. Al signr l imgen l primer elemento se tienen n posibiliddes l fijr un de ésts, pr signr l imgen del segundo elemento se tienen n posibiliddes; sí, l fijr ls imágenes pr hcer l función biyectiv, el número de funciones que se obtiene es n!. Si p es un número primo y G un grupo, se dice que G es un p- grupo si su orden es un potenci de p. 5

16 Subgrupos Algunos conjuntos que poseen estructur de grupo, poseen subconjuntos que tmbién tienen est mism estructur de grupo. Si (G,*) es un grupo, H G con H, H se llmrá subgrupo de G, y se denot por H < G, si y sólo si (H,*) es un grupo. Un subgrupo es un subconjunto no vcío del grupo que se grupo con l operción restringid sus elementos. 6

17 Subgrupos (cont.) Teorem 3 (De Lgrnge). El orden del subgrupo es un divisor del orden del grupo. (Buscr demostrción) Teorem 4. Se (G,*) un grupo, con H G con H, entonces [ ] H < G, b H b H Demostrción. Ver libro en l págin 322. Teorem 5. Se (G,*) un grupo finito, con H G con H, entonces H < G, b H b H [ ] Demostrción. Ver libro en l págin 323, 7

18 Subgrupos (cont.) El teorem 3 determin l cntidd de elementos que debe tener un subgrupo, en cso de que el grupo teng orden finito. Los teorems 4 y 5 dn l condición necesri y suficiente pr el cso que se quier demostrr, o verificr, que un subconjunto de un grupo es o no un subgrupo de él. Además, l ser de equivlenci en mbos teorems, en el cso de que no se cumpl l condición de cerrdur plnted, se concluye que el subconjunto no es subgrupo. 8

19 Subgrupos (cont.) Teorem 6. Un subgrupo de un p-grupo es un p-grupo. Demostrción. H < G G es un Teorem de Lgrnge: o H es p - grupo p - grupo α o( G) p α ( H ) divide o( G) p o( H ) p α ', α' < α 9

20 Subgrupos (cont.) Un condición necesri pr que (Z n*, ) se grupo es que p se primo. Así, en el cso que p no es primo no se obtiene l desed estructur de grupo. Al considerr el subconjunto de Z * n formdo por ls clses residules que son reltivmente primos con n, se obtiene un grupo belino. El conjunto U n, definido por U { n Zn m. c. d. (, n) } es un grupo belino. 20

21 Homomorfismos de Grupo Si (G,*) y (F, ) son dos grupos. Se dice que un plicción f : G F es un homomorfismo de grupos si pr todo y b en G se stisfce que f( * b) f() f(b). Si, demás de ser homomorfismo, f es sobreyectiv, entonces f es un epimorfismo. f es inyectiv, entonces f es un monomorfismo. f es biyectiv, entonces f es un isomorfismo. G F, entonces f es un endomorfismo. G F y biyectiv, entonces f es un utomorfismo. 2

22 Homomorfismos de Grupo (cont.) Pr un homomorfismo de grupos f : G F se define el núcleo de f como el conjunto N f f - ({e }), donde e es el elemento neutro de F. El núcleo de un homomorfismo está formdo por los elementos cuy imgen es el neutro. ker f N f {x G f(x) e } 22

23 f f f Homomorfismos de Grupo (cont.) Teorem 7. Si f : G F es un homomorfismo de grupos, si e es el elemento neutro de G y demás e es el elemento neutro de F, entonces se cumple que f e e' () f Demostrción. () x f x e f x f x f x f e f x e e' ( ) ( ) ( ) ( e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( x ) f ( x) e' f f f (2) ( ) ( ) ( ) ( e e' f x x f x f x ) ( ) ( x f x ) son inversos entre sí ( ) x f ( x) [ ] (2) 23

24 Homomorfismos de Grupo (cont.) Teorem 8. Se f : G F es un homomorfismo de grupos, con e el elemento neutro de G y e el elemento neutro de F, si N f {e} entonces f es inyectiv. Demostrción. f ( ) f ( b) f ( ) [ f ( b) ] f f f b b ( ) ( f b ) ( b ) e N b { e} es inyectiv f e' ' { e} e' 24

25 Anillos Un nillo es un estructur lgebric formd por un conjunto y dos operciones que están relcionds entre sí, medinte l propiedd distributiv, de mner que generlizn ls nociones de número, especilmente en el sentido de su operbilidd. En un nillo se tienen un conjunto no vcío A, y dos operciones binris + y. 25

26 Anillos (cont.) Un nillo es un triple (A,*, ), lo cul es un estructur lgebric en l cul A es un conjunto no vcío y *, : A A A son dos operciones binris definids sobre A que stisfcen ls condiciones siguientes: (A,*) es un grupo belino. (A, ) es un semigrupo. L operción es distributiv respecto l operción *. Esto es, pr todo,b A ( bc) ( b) ( c) ( b) c ( c) ( b c) 26

27 Anillos (cont.) Cundo (A, ) es un monoide se dice que A es un nillo unitrio o nillo con unidd que representremos por (elemento neutro del producto). Cundo (A, ) es un semigrupo conmuttivo, se dice que A es nillo conmuttivo o nillo belino. 27

28 Anillos (cont.) Pr trbjr con un notción más fmilir, el nillo (A,+, ), en el cul: El neutro de (A,+) se denot 0, y pr todo x A, su inverso (pr l operción +) se denotrá x. Si l operción posee neutro en A, éste se denotrá por y se dice que (A,+, ) es un nillo con unidd. Si x A posee inverso pr l operción, éste se denotrá por x. Si es conmuttiv, (A,+, ) se llmrá nillo conmuttivo. 28

29 Anillos (cont.) El ejemplo más sencillo y representtivo de estructur de nillo se encuentr en (Z,+, ), el nillo de los enteros. Este nillo tiene unidd y es conmuttivo. Por similitud con (Z,+, ), cundo trtemos con un nillo unitrio culquier, en generl se refiere l sum y l producto como primer y segund operción, respectivmente, y se utiliz el 0 y el como neutros respectivos. Pr brevir l notción, se escribe b en lugr de b. 29

30 Anillos (cont.) Los xioms de nillo son un bstrcción del comportmiento de los números enteros respecto de ls operciones ritmétics elementles: l sum y el producto. Otr clse importnte de nillos belinos unitrios finitos es (Z n,+, ) el nillo de los enteros módulo n. 30

31 Anillos (cont.) Se (A,+, ) un nillo, entonces: ( x A) 0 x x 0 0. ( x,y A) (x y) (x) y x (y). ( x,y A) (x) (y) x y. Si el nillo posee unidd, entonces ( x A) x () x x (). L ley de simplificción es otr propiedd importnte que cumplen los números enteros, es decir, pr todo,b,c Z* Z {0} se verific b c b c. 3

32 Anillos (cont.) L propiedd de ley de cncelción está relciond con l definición: El nillo (A,+, ) dmite divisores de cero si existen,b A* A {0} tles que b 0. Los elementos [2] y [3] de Z 6 son dos divisores de cero. Los divisores de cero de un nillo Z n son quells clses cuyos elementos no son primos reltivos de n (mcd(n,) ). Teorem. Se el nillo (A,+, ), entonces es válid l ley de cncelción si y sólo si no tiene divisores de cero. Se llm dominio de integridd, un nillo conmuttivo unitrio que no contiene divisores de cero. 32

33 Referencis Bibliográfics Murillo, Mnuel. Introducción l Mtemátic Discret. 2 d edición, Editoril Tecnológic de Cost Ric. Crtgo, Wikipedi. Estructur lgebric. URL: Modificdo 22 de febrero del Anillos y cuerpos. URL: df. Wikipedi. Anillos. URL: Modificdo 8 de septiembre del

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