CURSO CERO DE MATEMÁTICAS

Transcripción

1 CURSO CERO DE MATEMÁTICAS Dr. José A. Reyes - Dra. Mónica Cortés - Dr. Fernando García

2 RESUMEN TEORÍA DE CÁLCULO DIFERENCIAL Derivadas La derivada de una función se puede interpretar geométricamente como la pendiente de una curva y, físicamente como una razón instantánea de cambio. Interpretación geométrica - Tangente a una curva A principios del siglo XVII no se sabía cómo calcular la tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia en mecánica, en óptica y en geometría. Vamos a estudiar el concepto general de tangente a una curva en un punto dado. En general, no es un caso sencillo encontrar la pendiente de esta tangente. La razón es que, en principio, se necesita para esto otro punto, además del de tangencia. Supongamos que queremos encontrar la tangente a la curva de ecuación cartesiana y f() en el punto (a, f(a)). La estrategia, utilizada primero por Pierre de Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproimar la tangente por rectas secantes las pendientes de las cuales se pueden calcular directamente. En particular, consideramos la recta que une el punto (a, f(a)) con un punto próimo, (a+h, f(a+h)), de la gráfica de f. Esta recta se llama secante (recta que corta, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es: f( a+ h) f( a) f( a+ h) f( a) ( a+ h) a h dicho número se suele decir cociente incremental de f en a. Notemos que una secante es una buena aproimación de la tangente, siempre que el punto (, f ()) esté muy próimo a (a, f (a)). Estas consideraciones llevan a definir la tangente de f en el punto (a, f (a)) como la recta que pasa por dicho punto y, en la cual, la pendiente es igual al límite: f( a+ h) f( a) f '(a) lim h 0 h supuesto, claro es, que dicho límite eista (sea finito). --

3 Interpretación física - Razón de cambio Recta tangente: y- f( a) f '( a)( -a) Muchas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son funciones que relacionen una variable dependiente y con otra variable independiente, lo que suele escribirse en la forma y f (). Si la variable independiente cambia de un valor inicial a a otro a+h, la variable y lo hace de f (a) a f (a+h). La razón de cambio medio de y f () con respecto a en el intervalo [a, a+h] es: f( a+ h) f( a) Razón de cambio medio h Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños. Esto lleva a definir lo que podemos denominar razón de cambio puntual de y f () con respecto a en el punto a como: f( a+ h) f( a) lim h 0 h El ejemplo más conocido de lo que estamos diciendo es el de una partícula que se mueve a lo largo de una recta sobre la cual hemos elegido un origen. Sea f(t) la distancia de la partícula al origen en el tiempo t. La razón de cambio medio tiene en este caso una interpretación física natural. Es la velocidad media de la partícula durante el intervalo de tiempo considerado. Parece intuitivo que, en cada instante, la partícula se mueve con una determinada velocidad instantánea. Pero la definición corriente de velocidad es en realidad una definición de velocidad media; la única definición razonable de velocidad instantánea es como la razón de cambio puntual. Es importante darse cuenta que la velocidad instantánea es un concepto teórico, y una abstracción, que no corresponde eactamente a ninguna cantidad observable. Derivada de una función en un punto Notación. En lo que sigue las letras Y y J representan intervalos abiertos no vacíos de números reales. Se dice que una función f : Y R es derivable en un punto a Î Y, si eiste el límite: f( a+ h) f( a) f '( a) lim h 0 h Se dice que f es derivable por la izquierda en a si eiste el límite: f( a+ h) f( a) f '( a ) lim h 0 h El valor de dicho límite se llama derivada por la izquierda de f en a. Análogamente, se dice que f es derivable por la derecha en a, si eiste el límite: --

4 f + '( a ) lim + h 0 f( a+ h) f( a) h El valor de dicho límite se llama derivada por la derecha de f en a. Reglas de derivación Sean f, g: Y R dos funciones. Se verifican las siguientes afirmaciones:. La función suma f +g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean derivables; en tal caso, la derivada viene dada por: (f +g) (a) f (a)+g (a). La función producto f g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean derivables; en tal caso, las derivada será: (f g) (a) f (a) g(a)+ f (a) g (a). Si g() 0 para todo Î Y, la función cociente f g es derivable en todo punto a Î Y en el que f y g sean derivables. En tal caso se verifica que: ' f f'( aga ) f( ag ) '( a) ( a) g ga Derivación de una función compuesta o regla de la cadena Sean f: Y R y g: J R con f(y) J, y sea p g f : Y R la función compuesta. Supongamos que f es derivable en a Î Y y que g es derivable en f (a). Entonces p es derivable en a y: p (a) g ( f (a)) f (a). En particular, si g es derivable en J, la función compuesta p g f es derivable en todo punto de Y donde f sea derivable. Diferencial de una función en un punto Sea una función real de variable real, y 0 D f, se dice que f es diferenciable en 0, si eiste una aplicación lineal: df ( ): h df ( 0)( h) tal que f( 0 + h) f( 0) df( 0)( h) lim 0. h 0 h Dicha aplicación lineal, es única y se le llama diferencial de f en 0. 0 o -4-

5 Sea f una función real de variable real, y 0 D f, entonces: f es derivable en 0 si, y sólo si, f es diferenciable en 0. Además: df ( 0)( h) f ( 0) h. El número real df ( 0)( h) f ( 0) h se escribe como dy f ( 0) h. En el caso particular de ser y f, como para todo 0, f ( 0), d( 0)( h) h. En consecuencia, si para el caso general y f se escribía df ( 0)( h) dy, parece natural denotar d( 0)( h) por d, luego d h. Obteniéndose, la notación habitual: dy f ( ) d Sea f una función real de variable real, y 0 D f entonces f es diferenciable en 0 f( 0 + h) f( 0) f ( 0)( h) + h ε (h) donde ε es una función real de variable real tal que lim ε ( h) 0. h 0 La diferencial en un punto 0, es la aplicación lineal que mejor aproima a f( + h) f( ), en un entorno suficientemente pequeño de o o Interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto La diferencial de una función en un punto es el incremento de la ordenada medido sobre la tangente a la curva representativa en ese punto. La diferencia entre la diferencial de la función dy, y el incremento de la función y, se pone de manifiesto en las figuras siguientes: -5-

6 Tabla básica de derivadas Función Derivada Función Derivada Reglas básicas de derivación Suma Producto Cociente Regla de la cadena Función recíproca -6-

7 Derivación logarítmica Tabla de primitivas ) d + C ) kd k + C, k es constante n`+ n f ) f f ( ) d + C, n 4) f d ln f ( ) + C n + f f f f 5) e f f a d e + C 6) a f ( ) d + C, a > 0 ln a 7) f sen f d cos f + C 8) f ( ) cos f d sen f + C 9) f tg f d ln cos f + C 0) f ( ) ctg f d ln sen f + C f ( ) f ( ) ) d tg f + C ) d f C arcsen + cos f f f ( ) ) d arc cos f + C 4) f f d f + C f csc cot 5) f sec f tg f d sec f + C 6) f ( ) csc f cot f d csc f + C 7) f f + a a d arctg + C 8) a ( f ) a f f d arcctg + C + a a ( f ) f a f a 9) f ( ) d ln + C 0) f d C a f a f + a ( ) ln + f a a f + a f f ) d argsenh C ln f a ( f ) C a f a ) ( f ) f f d argcosh C ln f f a C + ± + a a Fórmulas de sustitución: g( f ) f d g( u)du u f., donde el cambio de variable es -7-

8 Fórmula de integración por partes: udv uv vdu Primitivas racionales: P d Q. Si P()Q () : P d ln Q ( ) + C Q. Si Grado P() Grado Q(): P r d C + d Q Q P. Si Q() tiene raíces reales: Descomponer Q integrar. en fracciones simples e 4. Si d y Q() tiene raíces complejas: Completar cuadrado e a + b + c integrar. Será de tipo arctg. m + n 5. Si d y Q() tiene raíces complejas: Separar en, la primera a + b + c será de tipo ln y la segunda corresponderá a un caso Si Q() tiene raíces complejas múltiples: Aplicar HERMITTE. a. P U V d + d Q R donde S R(): m.c.d. (Q() y Q ()). S(): cociente de Q()/R(). U(): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado más pequeño que R(). V(): Polinomio con coeficiente a determinar de un grado más pequeño que S(). b. Derivar la epresión anterior y calcular los coeficientes indeterminados. U c. Integrar d. S -8-

9 Identidades trigonométricas: ) cos sen cos sen + ) tg ) cot cos sen 4) sec 5) csc 6) + tg sec cos sen 7) + cot csc 8) sen( ) sen cos 9) cos cos sen tg 0) cos + cos() tg() ) sen ) cos tg cos tg tg ) tg 4) sen 5) cos + cos + tg + tg Otras identidades: cos ± cos ) sen( ± y) sen cos y ± seny cos ) ( y) y senseny tg ± tgy tgtgy y sen + y ) tg( ± y) 4) senseny [ cos( y) cos( + y) ] cos cos cos y cos + y + cos y 5) sen cos [ + sen( y) ] 6) [ ] Primitivas trigonométricas: [ sen,cos] R d Impar en sen() cos t sen t d t Impar en cos() Par en sen() y cos() Cambio general tg t sen t sen cos t cos d t d + t t + t dt + t tg t t sen + t t cos + t dt d + t -9-

10 Primitivas irracionales: Tipo Cambio R función racional m, n,, p, q enteros -0-

11 PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL Derivadas.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: 6 4 a) y + 5 b) y ln c) y sin d) y ln 6+ e) y ln sin f) y ln tan + sin cos 5 g) y h) y e i) y ln 5 a) 6( + 5) ( ) b) ln c) 4sin cos 6 d) e) cot f) 6 + cos sin sin 40 g) + cos ln h) e cos sin i) ln + sin cos 4.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: e + e a) y b) y ( 5 ) c) y + d y + e y f y + ) ) 5sin ) 6 g) y sin h) y i) y 7 e 4 e e + a) b) 6( 5 ) c) ( ) 5 ( + ) 5cos d) e) f) + 5sin 6 ( + ) 5 g) cos h) i) 7 e 6 5 ln7 ( ).- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: a) y b) y log c) y tan + π d) y sin e) y ln f) y arcsin g) y arctan ( + ) h) y arccos i) y arctan --

12 ( ) 6 a) b) c) 6 tan + tan + ln0 d) 0 e) f) 4 ln 9 g) h) i) arctan Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones. a) y arccos e b) y + c) y arctan + + d) y ln e) y ln f ) y ln e + e g) y log ( tan ) h) y ln i) y ln e e + a) b) c) e d) e) f) 4 + ( ) 4 g) h) + ln i) ln0 sin e 5.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: m a) y b) y + c) y ( + ) p + e d) y ln e) y f) y a a + n g) y cos a b h) y sin i) y sin cos m (( m p) + m) + + a) b) + + c) p+ + ( ) e a d) e) f) a ln a a+ n n cos g) bn sin ( a b ) h) i) sin 4cos sin --

13 6.- Calcula las derivadas de funciones potenciales-eponenciales. Derivación logarítmica: tg ln(cos ) a) y (sen ) b) y c) y (sen ) d) y ln ( cos ) a) ( sec ln(sin ) + )(sen ) b) y tan ln + ln tg ln(cos ) ln (sen ) ln sin c) cot d) + ln ln + ln ln ( ) 7.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: sin ln a) y + 5ln b) y + ln c) y a cos a a d) y ln + + e) y + lntg f) y arctg ln + sen + a cos g) y a + a arcsen h) y arctg i) y a + aarcsen a + cos a sin sin 5 ( ) + ln e a) cos ln + + b) c) ea ln a a d) e) f) + sin a e 4 4 a g) a h) i) a+ 8.- Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones: 4 a cos 8 + a) y arccos b) y ln tan c) y arcsin + + a sin a arcsin sin + a + d) y e e) y ln f) y ln + a a+ a sin + e g) y h) y ln i) y cos cos cos + e ( ) 5 cos b j) y arcsin k) y arcsin l) y arcsin ( ) + b a a m n a m) y arcsin + n) y a ln + a ñ) y ln a + ln a + a --

14 a a) b) cos ec c) arcsin + a a arcsin a d) e e) f) sec a cos + e j) k) l) + a b ) arcsin ) m + n ) a sin g) h) i) 4 ( sin ) cos m y n y a ñ Problemas geométricos.- Usando derivación implícita, hallar la pendiente de la recta tangente a la circunferencia: + y 4+ y 0 En el punto de abscisa y la ordenada positiva. y..- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva sen( y) + 4 y 6 +, en el punto de abscisa 0 y ordenada positiva. Recta tangente: y 6 Recta normal: y 6.- Hallar la ecuación de una parábola de la forma curva y ( ) en el punto de abscisa. b -, c. y + b + c que sea tangente a la 4.- Determinar los puntos en los que la curva a la recta y +. (-, 9) y (4/, -77/7). y tiene tangente paralela 5.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y ln recta 4y paralelas a la ln y+ ( ) y 4 ln y ( + ). 4-4-

15 6.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y. y en el punto de abscisa. Variación de funciones (ritmos).- Un gas escapa de un globo esférico a razón de m por minuto. Halle la disminución de su superficie en la unidad de tiempo, cuando el radio es m. / m min..- De un embudo cónico sale agua a razón de cm por segundo. Sabiendo que el radio de la base es de 4 cm. y la altura de 8 cm., calcule el descenso del nivel en la unidad de tiempo en el instante en que la superficie libre se encuentra a una distancia de cm. de la base del embudo. / 9π cm s..- Un líquido penetra en un tanque cilíndrico vertical de 6 m. de radio a razón de 8 m / min. Halle la variación de la altura del nivel del agua con respecto al tiempo. dh m / min. dt 9π 4.- Se forma un montículo cónico de arena cuya altura es constantemente igual a los 4/ del radio de la base. Halle: a) el incremento de volumen en la unidad de tiempo cuando el radio de la base es de m., sabiendo además que éste aumenta a razón de 5 cm. cada minuto. b) el incremento del radio en la unidad de tiempo cuando éste es de 6 m. y el volumen aumenta a razón de 4 m por minuto. dv dr a) π m / min b) m / min. dt dt π 5.- Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 6 millas por hora, y otro barco B, situado a millas al sur de A, lo hace hacia el este con una velocidad de millas por hora. Halle: a) la velocidad a la que dichos barcos se aproiman o se separan al cabo de una hora de haberse iniciado el movimiento. b) la velocidad a la que dichos barcos se aproiman o se separan al cabo de dos horas de haberse iniciado el movimiento. c) El momento en que dejan de aproimarse y comienzan a separarse, así como la distancia a que se encuentran en dicho instante. a) Se aproiman a razón de 5.6 millas/h b) Se separan a razón de millas/h c) Dejarán de aproimarse cuando t.8 h y D9. millas. -5-

16 6.- Un objeto de 5 m. de altura se encuentra justamente debajo de un foco de luz de la calle situado a 0 m. de altura. Suponiendo que el objeto se mueve a una velocidad de 4 m. por segundo, calcule: a) la velocidad del etremo de la sombra. b) La variación de la longitud de la sombra por unidad de tiempo. a) 6 / m s b) 4 / m s. 7.- Un globo se eleva desde un punto A de la Tierra a una velocidad de 5 m/ s y su ascenso se observa desde otro punto B situado en la horizontal que pasa por A y a una distancia de este punto de 09 m. Halle la variación de la distancia del punto B al globo cuando la altura de éste es de 40 m. m/ s. 8.- Si el radio de una esfera en el instante t, es r. Halle dicho radio cuando su incremento en una unidad de tiempo es igual numéricamente, al de la superficie. 8π cm. 9.- Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de cm. cada segundo, mientras que los otros, se acortan de manera que la figura resultante, en todo momento, es un rectángulo de área constante e igual a 50 cm. Calcule la variación por unidad de tiempo del perímetro P cuando la longitud de los lados etensibles es de a) 5 cm. b) 0 cm. c) Halle las dimensiones del rectángulo cuando el perímetro deja de disminuir. a) -4 cm / s b) cm / s c) y 5 cm 0.- Un muchacho lanza una cometa a una altura de 50 m. Sabiendo que la cometa se aleja del muchacho a una velocidad de 0 m/ s, halle la velocidad a la que suelta el hilo cuando la cometa se encuentra a una distancia de 50 m. del muchacho. 6 m/ s..- El efecto combinado de dos resistencias R y R conectadas en paralelo, es una resistencia R dada por + donde R, R y R se miden en ohmios. R y R R R R están creciendo a razón de y.5 ohmios por segundo, respectivamente. A qué ritmo está cambiando R, cuando R50 y R 75 ohmios? 0.6 Ω / s. -6-

17 .- Una escalera de 0 m. se apoya contra un edificio. Halle: a) la velocidad a la que se mueve el etremo superior cuando el inferior se aleja del edificio a una velocidad de metros por segundo y se encuentra a una distancia de él de metros. b) La velocidad a la que disminuye la pendiente. a) / m s b) 5 / 7 m s..- Se deja caer una piedra en un estanque en calma, lo que provoca ondas circulares. El radio del círculo eterior crece a un ritmo constante de m / min. Cuando el radio es de 4 m. A qué ritmo está cambiando el área total At () de la región circular cubierta por las ondas? 8 π m / min. Primitivas.- Calcula las siguientes primitivas: a d b + d c 4 ) ) ) 7d d e e d f 7 ) ) ) d 5 d cos (5 ) d g) sen( ) d h) d i) 4 sen 5 5- a) + C b) + + C c) ln + C 5 ln d) arcsen C e) e C f) tan(5 ) C 5/ g) - cos( ) C h) 6 C i) -cotan C.- Calcula las siguientes primitivas: d d d a) b) c) + cos sin cos d d d) e) f ) d + 4 ( 4 + ) d d d g) h) i) + + e e

18 tan a) arctan ) arcsen + C b + C 5 4 c) ln tan ln + tan + C d) Realizar el cambio ; + C t 4 e) + arctan + C f) arctan + C 4 8 e g) + 6 ln C h) + ln + C e 9 e 9 4 i) ln + + C.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas: d 7d d a) b) c) d 7d 5d d) e) ) f sin + tan sin g) d h) d i) d 5cos + 4 tan 5cos + d ln + j) d k) d l) cos sin d d ln ( + ) sin m) n) d o) cos tan + d + sin d tan + cos ln p) d q) r) d cos ( + sin ) a) arctan + C b) arctan + C c) ln + C d) arcsin + C e) 7ln C f) ln C 4 g) ln 5cos + + C h) ln 4 tan - + C i) - 5cos + + C ln j) C k) + ln + C l) - ( cos ) + C ( ln + ) ) tan - + ) + ) + sin + m C n C o C - ( + sin ) ( ln ) p) ( tan + ) + C q) + C r) + C

19 4.- Calcula las siguientes primitivas inmediatas: d a a) b) ) e d c d arcsin d d arctan d) e) ) f d b a a + b + + d g) d h) + a a) ln arcsin + C b) e + C c) + C ln a ) ln + + ) ln ) ln + + b a d b b a C e a a b C f C 4 g) + + C h) C 5.- Calcula las siguientes primitivas por partes: a) e d b) ln d c) arcsin d a ) ) arctan ) cos d e d e d f e b d ln g) d h) ln d i) d a) e - e + C b) ln - + C 9 c) arcsin C d) e C a e ( a cos( b) + b sin ( b) ) e) arctan - ln + + C f) + C a + b 5 7 ( - ) g) C h) ln - + C i) ln C 6.- Calcula las siguientes primitivas racionales: d a) d b) d c) d) d e) d f ) d d d g) h) d i) + + ( ) ( + ) -9-

20 - a) ln - + ln - + ln + C b) ln - + C c) - ln - +ln - ln ( - ) 6 d) arctan + ln + + C arctan + C 7 7 e) - ln - + ln + + C f) +5-ln - +4 ln - + C 5 9 g) - ln ln + + C h) ln - - ln + + ln + + C ( - ) i) ln -ln - + ln - + C 7.- Calcular el área limitada por la función f( ) e y el eje OX, entre las abscisas 0 y ln. u. 8.- Hallar el área limitada por 5/6 u. f, la recta y - + y el eje de abscisas. 9.- Hallar el área comprendida entre la parábola ordenadas y - e y. 9/ u. y y 8+ y el eje OY, entre las 0.- Calcular el área limitada por las funciones /6 u. y e y..- Hallar el área comprendida entre - y 4. 64/ u. f 4 y el eje OX, entre las abscisas.- Hallar el área limitada por 64/ u. f 6 e g..- Hallar el área limitada por la parábola a) Integrando respecto a OY. b) Integrando respecto a OX. 9 u. 4.- Hallar el área de un círculo de radio r. π r u. y 4 y la recta y

21 5.- Hallar el área del menor de los sectores que la recta determina en el círculo + y 5. 5π 5arcsen u. 5 --