DISEÑO CUADRADO LATINO : DCL

Transcripción

1 1 DISEÑO CUADRADO LATINO : DCL El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino. Características: 1. Las u.e. se distribuyen en grupos, bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro de la columna y heterogeneidad en otra forma.. En cada fila y en cada columna, el número de unidades es igual al número de tratamientos. 3. Los tratamientos son asignados al azar en las unidades experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna. 4. El número de filas = número de columnas = número de tratamientos. 5. Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. La desviación estandar de la diferencia de promedios y la desviación estandar del promedio, están en función del cuadrado medio del error experimental. El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J. Ministry Agric., 33: (196)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico, especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones. Formación de cuadrados latinos Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes llamadas típicas o estandar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma distribución). A B C D A B C D A B C D A B C D B A D C B C D A B D A C B A D C C D B A C D A B C A D B C D A B D C A B D A B C D C B A D C B A De cada cuadro se obtienen 144 formas diferente, en total se tienen 576 cuadros diferentes. F.de Mendiburu / 3/4/007

2 La siguiente tabla permite relacionar el numero de cuadros en función del tamaño. Tamaño Nro de Núm total del formas Valor de de cuadrados cuadrado típica n!(n-1)! diferentes 3 x x x x n = tamaño del cuadro. Asignación de tratamientos. Los tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son cuatro tratamientos, escoger entre los 576 posibles. Modelo estadístico. Cada observación del experimento es expresado como una relación lineal de los efectos involucrados ( tratamiento, fila y columna ), así: Y = µ i,j,k=1,,...,n +Fi+Cj+ τ(k) +error µ = efecto medio (parámetro del modelo) Fi = efecto de la fila i Cj = efecto de la columna j τ(k) = efecto del tratamiento k error = error experimental de la u.e. i,j Y = Observación en la unidad experimental El subíndice (k) indica que tratamiento k fue aplicado en la u.e. El modelo esta compuesto por n ecuaciones, una para cada observación. Estimación de parámetros. El número de parámetros a estimar es igual a 3n+1 y la estimación puede resolverse por mínimos cuadrados del error, máxima verosimilitud u otro método, en nuestro caso se utilizara el método de mínimos cuadrados del error. La función a minimizar es: F.de Mendiburu / 3/4/007

3 3 error = (Y -µ-fi-cj-τ(k)) La solución constituye el conjunto de estimadores de los parámetros del modelo, dado por: ˆ µ,fˆ i,cˆ j, ˆ τ ) para i,j,k = 1,,...,n ( k El sistema de ecuaciones que darán solución constituyen las ecuaciones normales, para tener una única solución, se agregan al sistema las siguientes restricciones: =0 ; ˆ = 0 ; = 0 ˆ Fi Cj La solución son los estimadores mínimos cuadráticos: µˆ = Y.. ˆ i=yi. -Y ˆ =Y.j-Y F.. C.. τˆ (k) = (k)-overliney.. Y y el error en cada u.e. es: τˆi Error =Y -Yi.-Y.j-Y(k) +Y.. Yi. Y.j Y(k) : Promedio de la fila i : Promedio de la columna j : Promedio del tratamiento k Sumas de cuadrados A partir del modelo estimado, la suma de cuadrados del total es descompuesto en suma de cuadrados de tratamientos, filas, columnas y error experimental: (Y - ˆ µ ) = Fˆ + Cˆ + ˆ τ + error i j (k) + dobles productos (Y - ) : Suma de cuadrados del total Fˆ i : Suma de cuadrados de filas Ĉ j : Suma de cuadrados de columnas µ F.de Mendiburu / 3/4/007

4 4 τˆ : Suma de cuadrados de tratamientos (k) error : Suma de cuadrados del error Los dobles productos son iguales a cero. Ejercicio. Probar las siguientes identidades: Y Y i... SC Fila : nf ˆ = - i n n Y Y.j.. SC Columna: nc ˆ = - j n n Aplicación: "Evaluación del sistema de riego por exudación utilizando cuatro variedades de melón, bajo modalidad de siembra, SIMPLE HILERA.". Se desea probar el comportamiento de tres variedades híbridas de melón y uno estándar. (Tesis).- autor Alberto Ángeles L. Variedades: V1 : Híbrido Mission V : Híbrido Mark. V3 : Híbrido Topfligth. V4 : Híbrido Hales Best Jumbo. Hipótesis : Ho : Efecto de variedades de melon en estudio es nulo. H1 : Al menos dos variedades tienen efectos distintos. Datos: Rendimiento en Kgs. por parcela. C1 C C3 C4 C1 C C3 C4 F F1 V1 V V3 V4 F F V4 V3 V V1 F F3 V V4 V1 V3 F F4 V3 V1 V4 V Solucion: C1 C C3 C4 Y.j F F F F Yi V1 V V3 V F.de Mendiburu / 3/4/007

5 5 Estimacion de parametros : µ : 695/16 = τ1 : 189/ = 3.81 ; τ : ; τ3 : 7.57 ; τ4 : c1 : 149/ = ;c :.565 ; c3 : ; c4 : f1 : 173/ = ; f : ; f3 :.065 ; f4 : CALCULO DE SUMAS DE CUADRADOS Termino de corrección TC = 695 ² /16 = SC(Total) = 45 ² + 50 ² ² - TC = SC(Filas) = (173 ² ² ) / 4 - TC = SC(Columna) = ( 149 ² ² ) / 4 TC = SC(Melon) = ( 189 ² ²) / 4 TC = SC(error) = SC(total) SC(filas) SC(columnas) = Promedio = 695 /16 = CM (error) = SC(error) / [(t-1)(t-)] = CV = Raiz (CM error) *100 / Promedio = 16. % Analisis de Variancia: Fuente Gl S.C. C.M. Fc Pr > F FILA COLUMNA MELON Error Total Se acepta la Hp, a un riesgo de rechazar la Hp de 0.05 Por lo tanto, no existe diferencias en el rendimiento de las variedades de melon tratadas con el sistema de riego por exudación. El coeficiente de variacion es de 16% aceptable para evaluación en campo. El rendimiento promedio del melon en condiciones experimentales resulto 43.3 kilos por parcela experimental. El rendimiento por hibrido fue el siguiente : V1 : Híbrido Mission 47.3 kilos V : Híbrido Mark. = 4.3 kilos V3 : Híbrido Topfligth kilos V4 : Híbrido Hales Best Jumbo. = 35.0 kilos F.de Mendiburu / 3/4/007

6 6 Según los resultados experimentales no existen diferencias estadísticas entre las variedades ; las diferencias se dan a un riesgo mayor de 0.10, esto significa que muy posible existen diferencias pero en este experimento no fue posible detectar por los pocos grados de libertad para el error, lo recomendable cuando se prueba un testigo, se recomienda tener mas repeticiones, en un cuadrado latino pequeño, lo recomendable es doblar el numero de parcelas del testigo ; esto significa tener en forma ficticia 5 variedades en 5 filas y 5 columnas y los grados de libertad para el error serian 4x3 = 1. En el analisis de variancia se realiza en forma normal, y para las pruebas estadísticas utilizar contrastes o dunnett. Si son pocos los tratamientos y hay inseguridad en el resultados, realizar el ajuste de bonferroni u otro ajuste de probabilidades (ver ejmplos de agricolae) Ejemplo : Suponga en este caso que la variedad V4 se dobla en el experimento y se identifica como (V4 y V5), entonces un plan podria ser : C1 C C3 C4 C5 F1 V1 V V3 V4 V5 F V4 V3 V V5 V1 F3 V V4 V5 V1 V3 F4 V3 V5 V1 V V4 F5 V5 V1 V4 V3 V El Analisis de variancia tendra las siguientes fuentes y grados de libertad : Fila 4 Columna 4 Melon 4 Error 1 Total 4 Como los tratamiento V4 y V5 son los mismos, entonces la suma de cuadrados de Melon debe ser descompuesta en : Melon 4 V4, V5 vs V1, V, V3 1 V4 vs V5 1 Entre V1, V, V3 Supuestamente no debe haber diferencia estadistica entre V4 y V5. Para el ejercicio de este proceso, suponga los siguientes totales de Variedades para el ejemplo V1 V V3 V4 V5 Y(k) SC(Melón) = (189² ²) / ² / 5 = 519. SC(V4, V5 vs V1, V, V3) = ( )² / 15 + ( ) ² / ² / 5 = SC(V4 vs V5) = 140² / ² / 5 - ( ) ² / 10 =.5 SC(V1, V, V3) = (189² +169² +197² ) / 5 - ( )² / 15 = 83. Este ultimo resultado puede ser obtenido por diferencia del total de SC(Melón) 519. ( ) = 83. F.de Mendiburu / 3/4/007

7 7 Para estos calculos tambien puede utilizar los contrastes ortogonales. V1 V V3 V4 V5 Suma Numerador Denominador SC V4,V5 vs demas V4 vs V Procedimiento R para el experimento de hibridos de Melón (datos de la tesis). Crear el archivo melon.txt con NOTEPAD y almacenar en su folder de trabajo. fila columna melon rdto 1 1 V V V V V4 9 V V 41 4 V V 37 3 V V V V V V V 41 Ingresar al programa R y ubicarse en su folder de trabajo. Ejecutar las siguientes instrucciones en el ambiente R. rm(list=ls()) datos <- read.table("melon.txt",header=true) datos[,1] <- as.factor(datos[,1]) datos[,] <- as.factor(datos[,]) datos[,3] <- as.factor(datos[,3]) modelo <-aov(rdto ~ fila + columna + melon,data=datos) modelo Call: aov(formula = rdto ~ fila + columna + melon, data = datos) Terms: fila columna melon Residuals Sum of Squares Deg. of Freedom Residual standard error: Estimated effects may be unbalanced > anova(modelo) Analysis of Variance Table F.de Mendiburu / 3/4/007

8 8 Response: rdto Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) fila columna melon Residuals cv<-cv.model(modelo) cv [1] En el caso de encontrar diferencias siginifcativas, puede realizar las comparaciones muliples de tratamientos con las funciones de agricolae. library(agricolae) gl<- 6 cm< attach(datos) # Caso LSD con t-students en grupos. compara <- LSD.test(rdto, melon, gl,cm, alpha=0.05) Study: LSD t Test for rdto... Alpha Error Degrees of Freedom Error Mean Square Critical Value of t Treatment Means melon rdto std.err replication 1 V V V V Least Significant Difference Means with the same letter are not significantly different. Groups, Treatments and means a V a V ab V 4.5 b V4 35 Una apariencia de diferencia entre tratamientos. Para hallar las probabilidades de diferencia, se realiza la comparacion sin grupos. # Caso LSD con t-students sin grupos. compara <- LSD.test(rdto, melon, gl,cm, alpha=0.05, group=false) F.de Mendiburu / 3/4/007

9 9 LSD t Test for rdto... Alpha Error Degrees of Freedom Error Mean Square Critical Value of t Treatment Means melon rdto std.err replication 1 V V V V Comparison between treatments means tr.i tr.j diff pvalue Para un conclusión correcta, se realiza el ajuste de bonferroni. # Caso LSD con el ajuste de bonferroni sin grupos. compara <- LSD.test(rdto, melon, gl,cm, alpha=0.05, group=false, p.adj="bonferroni") LSD t Test for rdto P value adjustment method: bonferroni... Alpha Error Degrees of Freedom Error Mean Square Critical Value of t Treatment Means melon rdto std.err replication 1 V V V V Comparison between treatments means tr.i tr.j diff pvalue Conclusión: No hay diferencias entre las variedades de Merlon F.de Mendiburu / 3/4/007

10 10 Para una evaluacion simulada de esta tesis, suponiendo que se realiza otro experimento en igualdad de condiciones con los siguientes datos experimentales: Crear datos: fila columna melon rdto 1 1 V V V V V4 45 V V 30 4 V V 50 3 V V V V V V V 37 Grabar con el nombre melon.txt datos <- read.table("melon.txt",header=true) datos[,1] <- as.factor(datos[,1]) datos[,] <- as.factor(datos[,]) datos[,3] <- as.factor(datos[,3]) modelo <-aov(rdto ~ fila + columna + melon,data=datos) anova(modelo) Analysis of Variance Table Response: rdto Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) fila columna melon Residuals Como se puede observar un resultado similar al experimento real. Realizando un análisis combinado de los ANVAS. Error = error1 + error Columna = columna1 + columna Filas = filas1 + filas Dado que son efectos anidados por cuadro, podemos tener con R los siguientes resultados: set1 <- data.frame(cuadro= 1, datos) set <- data.frame(cuadro=, datos) setjunto <- rbind(set1,set) F.de Mendiburu / 3/4/007

11 11 # el modelo: general <- lm(rdto ~ cuadro + fila%in%cuadro + columna%in%cuadro + melon+melon:cuadro,setjunto) anova(general) Analysis of Variance Table Response: rdto Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) cuadro melon * cuadro:fila cuadro:columna cuadro:melon Residuals Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Analisis comparativo de tratamientos. Utilizando agricolae. gl<- df.residual(general) cm<- deviance(general)/gl attach(setjunto) # Caso LSD con t-students en grupos. compara <- LSD.test(rdto, melon, gl,cm, alpha=0.05, p.adj= bonferroni ) LSD t Test for rdto P value adjustment method: bonferroni... Alpha Error Degrees of Freedom Error Mean Square Critical Value of t Treatment Means melon rdto std.err replication 1 V V V V Least Significant Difference Means with the same letter are not significantly different. Groups, Treatments and means a V ab V ab V b V F.de Mendiburu / 3/4/007