FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
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- Luis Ortiz de Zárate Pereyra
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1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS Página 9 REFLEIONA RESUELVE A vueltas con la noria Modificando la escala, representa la función: : tiempo transcurrido y: distancia al suelo correspondiente a cuatro vueltas de la noria. DISTANCIA AL SUELO vuelta TIEMPO DISTANCIA AL SUELO vuelta vueltas vueltas vueltas TIEMPO Muchas, muchas amebas a) Calcula el número aproimado de amebas que habrá según pasan las horas y completa esta tabla en tu cuaderno: TIEMPO (horas) 0 N.º DE AMEBAS
2 b) Representa gráficamente estos datos en una hoja de papel cuadriculado. N.º DE AMEBAS TIEMPO (horas) c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables sean, ahora: : número de amebas y: tiempo (en horas) a) TIEMPO (horas) 0 N.º DE AMEBAS 8 b) N. DE AMEBAS TIEMPO (horas) c) TIEMPO (horas) N. DE AMEBAS Desintegración radiactiva a) Completa la tabla siguiente (utiliza la calculadora para obtener los valores con tres cifras decimales): TIEMPO (años) 0 SUSTANCIA (kg) 0, 0,0 0,
3 b) Representa gráficamente los datos en papel cuadriculado.,000 PESO (en kg) 0,00 0,0 0,00 TIEMPO (en años) c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables son, ahora: : peso de la sustancia radiactiva (en kg) y: tiempo transcurrido (en años) a) TIEMPO (años) 0 SUSTANCIA (kg) 0, 0,0 0, 0,0 0,0 0,0 b) c) PESO (kg),000 0,00 0,00 TIEMPO (años) TIEMPO (años) 0,00 0,00,000 PESO (kg) Página 0. Si f () = + y g () =, obtén las epresiones de f [ g()] y g [ f ()]. Halla f [ g()] y g [ f ()]. f [g()] = f [ ] = + g [ f ()] = g [ + ] = ( + ) f [g()] = 79; g [ f ()] =
4 . Si f () = sen, g () = +, halla f g, g f, f f y g g. Halla el valor de estas funciones en = 0 y =. f g () = sen ( + ); f g(0) = 0,9; f g() = 0, g f () = sen + ; g f (0) = ; g f () =,8 f f () = sen (sen ); f f (0) = 0; f f () = 0,79 g g () = ( + ) + ; g g (0) = 0; g g () = 8 Página. Representa y =, y = / y comprueba que son inversas. y = y = y = /. Comprueba que hay que descomponer y = en dos ramas para hallar sus inversas respecto de la recta y =. Averigua cuáles son. a) y = si 0 b)y = si < 0 y = + y = + y = y = y = y = y = + y = +. Si f () = + y g() =, comprueba que f [g ()] =. Son f () y g () funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + ) está en la gráfica de f y que el punto (a +, a) está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y =. f [g()] = f ( ) = ( ) + =
5 Son funciones inversas. y = y = + Página. La masa de madera de un bosque aumenta en un 0% cada 00 años. Si tomamos como unidad de masa vegetal (biomasa) la que había en el año 800, que consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 00 años, la función M =, t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t epresado en siglos a partir de 800 (razona por qué). a) Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 800 (, t = ) y cuándo había la tercera parte. Observa que los dos periodos de tiempo son iguales. b) Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 900, 990, 000, 00 y 0. M =, t a) Buscamos el valor de t para el cual, t = :, t = 8 ln (,) t ln = ln () 8 t ln (,) = ln () 8 t =,7 ln, Cuando pasen,7 00 = 7 años, se habrá triplicado la masa de madera. Esto es, en el año = 7. Buscamos el valor de t para el cual, t = = :, t = 8 ln (,) t = ln () ln 8 t ln (,) = ln () 8 t =,7 ln, Hace,7 00 = 7 años, había la tercera parte de masa de madera. Esto es, en el año = 7. b) t = 8 M =, =, t = =,9 8 M =,,9, t = = 8 M =, =,9 00
6 t = = 8 M =, 0, t = =, 8 M =,, 0, 00. Comprueba que, en el ejemplo anterior referente a la desintegración de una cierta sustancia radiactiva, M = m 0,7 t (t epresado en miles de años), el periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad la sustancia radiactiva) es de, aproimadamente, 00 años. Para ello, comprueba que una cantidad inicial cualquiera se reduce a la mitad (aproimadamente) al cabo de 00 años (t =,). M = m 0,7 t Si t = 0 8 M = m 0,7 0 = m m Si t = 0, 8 M = m 0,7, m 0, = La cantidad inicial se ha reducido (aproimadamente) a la mitad en 00 años.
7 Página EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Composición y función inversa Dadas las funciones f () = + y g() =, halla: a) f [g ()] b) g[ f ( )] c) f [g ()] d) g[ f ()] a) f [g ()] = f [ = f() = + = 8 ] b) g[ f ( )] = g( + ) = = c) f [g ()] = f ( ) = + d) g[ f ()] = g( + ) = ( +) Si f () = + y g() = obtén la epresión de las siguientes funciones: a) f " g b) g " f c) f " f d) g " g a) f " g() = f [g ()] = f ( ) = ( ) + = + b) g " f() = g[ + ] = ( +) ( + ) = +8 + c) f " f() = f( + ) = ( + ) + = +9 d) g " g() = g( ) = ( ) ( ) = + + Cuál es la función inversa de f () =? Representa f () y f () en los mismos ejes coordenados y comprueba su simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante. y = 8 = y 8 f () = + + = y f f
8 Considera las funciones f y g definidas por f () = + y g() =. Calcula: a) ( f " g) () b) ( g " f ) ( ) c) ( g " g) () d) ( f " g) () a) ( f " g) () = f [g()] = f ( ) = ( ) + = b) ( g " f ) ( ) = g [f( )] = g(0) = 0 c) ( g " g) () = g[g()] = g ( = = ) / ) d) ( f " g) () = f [g()] = f ( ) = ( + = + Dadas las funciones f () = + y g() =, halla: a) ( f " g) () b) ( g " f ) () c) ( g " g) () a) ( f " g) () = f [g()] = f ( ) = + b) ( g " f ) () = g[f()] = g( + ) = + c) ( g " g) () = g[g()] = g( ) = = Con las funciones f() = y g() =, hemos obtenido por composición las funciones p() = y q() =. Indica cuál de estas ( ) epresiones corresponde a f " g y cuál a g " f. ( f " g) () = f [g()] = 8 ( f " g) () = p () ( ) ( g " f ) () = g[f()] = 8 ( g " f ) () = q () 7 Halla la función inversa de estas funciones: a) y = b) y = + 7 c) y = a) y = 8 = y 8 y = 8 f () = b) y = = y y = 7 8 f () = 7 + c) y = 8 = y 8 y = 8 f () = +
9 8 Dada la función f () = +, halla f (). Representa las dos funciones y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del primer cuadrante. y = + 8 = + y 8 ( ) = y 8 f () = ( ) 8 y = ( ), Ó y = y = + 8 Funciones eponenciales y logarítmicas 9 Con ayuda de la calculadora, haz una tabla de valores de la función y = y represéntala gráficamente. ( ) 0 y,,78,7 0, 0, 0, y = ( ) 0 Representa la función y = ( ). Es creciente o decreciente? f() = ( ) Es creciente.
10 Comprueba que las gráficas de y = e y = O. Represéntalas en los mismos ejes. ( ) son simétricas respecto al eje y = ( ) 8 y = (0, ) Representa las funciones: a) y = + b) y = Utiliza la gráfica de y =. a) b) y = + y = 8 y = y = y = y = Representa las siguientes funciones: a) y = b) y = ( ) c) y = d) y = +
11 a) b) ( 0, ) 0 8 ( 0, 8) c) d) y = 0 8 (0, ) Haz una tabla de valores de la función y =. A partir de ella, representa la función y = log. Si el punto (, 9) pertenece a y =, el punto (9, ) pertenecerá a y = log. 0 /9 / 9 /9 / 9 log 0 y = (0, ) y = log (, 0)
12 Representa la gráfica de y = log / a partir de la gráfica de y = ( ). y = ( ) y = log / Haz, con la calculadora, una tabla de valores de la función y = log y represéntala gráficamente. 0,, 0 y, 0 0,88,,8, Representa la función y = + ln. Mira el ejercicio resuelto. 8 0
13 8 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log : a) y = + log b) y = log ( ) En b), el dominio es (, +@). a) y = + log (, 0 ) y = + log y = log b) y = log ( ) = y = log y = log ( ) 9 Cuál es el dominio de esta función? y = log ( ) Represéntala. Dominio: ) =
14 Página Funciones trigonométricas 0 Representa las funciones: a) y = + sen b) y = cos a) / / / / b) / / / / Asocia a cada una de las siguientes funciones, la gráfica que le corresponde: a) y = cos b) y = sen c) y = sen d) y = + cos I a) 8 II b) 8 I II c) 8 IV d) 8 III III IV
15 Representa las siguientes funciones: a) y = sen b) y = cos a) b) Busca, en cada caso, los valores de comprendidos entre 0 y que verifiquen: a) sen = 0 b) sen = c) cos = d) cos = 0 a) sen = 0 8 = 0; = ; = b) sen = 8 = c) cos = 8 = 0; = d) cos = 0 8 = ; = La siguiente gráfica representa la variación de un movimiento que se repite periódicamente: a) Represéntala en el intervalo [0, 0]. b) Calcula f (7), f (0) y f (0). a) b) f(7) = ; f(0) = ; f(0) = 0 8 0
16 PARA RESOLVER La gráfica de una función eponencial del tipo y = ka pasa por los puntos (0; 0,) y (;,7). Calcula k y a, y representa la función. Mira el problema resuelto. 0, = k a 0,7 = k a 0, = k,7 = k a 8 k = 0, a =, La función es y = 0, (,) Se llama inflación a la pérdida de valor del dinero; es decir, si un artículo que costó 00 al cabo de un año cuesta 0, la inflación ha sido del %. Si la inflación se mantiene constante en el % anual, cuánto costará dentro de años un terreno que hoy cuesta 000? 000 (,0) = 99,8 7 Un capital de se deposita en un banco al 8,% de interés anual con pago mensual de intereses. Escribe la función que nos dice en cuánto se transforma ese capital en m meses. Calcula cuánto tarda en duplicarse el capital. C = ( 8, 00 ) m = (,007) n = (,007) m 8 =,007 m log 8 m = = 99, log,007 Tarda 00 meses en duplicarse. 8 La concentración de un fármaco en sangre viene dada por y = 00 (0,9) t ( y en mg, t en h). a) Di cuál es la dosis inicial y la cantidad de ese fármaco que tiene el paciente al cabo de h. b) Representa la función. c) Si queremos que la concentración no baje de 0 mg, al cabo de cuánto tiempo tendremos que inyectarle de nuevo?
17 a) t = 0 8 y = 00 mg t = 8 y = 8 mg en horas b) CONCENTRACIÓN DE FÁRMACO (mg) TIEMPO (horas) c) 00 (0,9) t = 0 8 t 8 h min Al cabo de, aproimadamente, 8 h min. 9 Considera estas funciones: f () = g() = h() = + Eplica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener, por composición, p, q y r: p () = ; q() = ; r() = + p = g f q = f g r = h g 0 Si f () = y g() = log, cuál es la función ( f " g) ()? ( g " f ) ()? ( f g) () = (g f ) () = Un cultivo de bacterias crece según la función y =+ /0 (y: miles de bacterias, : horas). Cuántas había en el momento inicial? al cabo de 0 horas? Cuánto tardarán en duplicarse? = 0 8 y = + 0 = + = bacterias en el momento inicial. = 0 8 y = + = bacterias al cabo de 0 horas. + /0 0 log = 8 =,8 h h log Tardarán en duplicarse unas horas.
18 Halla la función inversa de estas funciones: a) y = b) y = + a) = y ; = y ; log = y y = + log 8 f () = + log b) = + y ; = y ; log ( ) = y 8 f () = log ( ) Página CUESTIONES TEÓRICAS Estas gráficas corresponden a funciones del tipo y = a, y = log a. Identifícalas e indica, en cada caso, si es a > ó 0 < a <. ) ) ) y = log a, 0 < a < ) y = a, 0 < a < ) y = log a, a > ) y = a, a > ) ) En las funciones y = a e y = log a, puede ser negativa la y? Podemos dar a valores negativos? Para y = a : La y no puede ser negativa y podemos dar a valores negativos. Para y = log a : La y puede ser negativa y no podemos dar a valores negativos. Las gráficas de las funciones y = log a tienen un punto en común. Cuál es ese punto? Cuál es el punto común de las funciones y = a? (, 0) es el punto común de las funciones y = log a. (0, ) es el punto común de las funciones y = a.
19 Di para qué valores de a es creciente y para cuáles es decreciente cada una de las funciones y = a e y = log a. Para a > la función y = log a es creciente. Para 0 < a < la función y = log a es decreciente. Para a > la función y = a es creciente. Para 0 < a < la función y = a es decreciente. 7 Para qué valores de se verifica 0 < a <, siendo a >? < 0 8 Considera las funciones y = sen e y = cos. a) Cuál es su periodo? b) Entre qué valores están acotadas? c) Para qué valores de es sen < 0? cos <0? a) b) Entre y. c) Entre 0 y : sen < 0 para é(, ) cos < 0 para é (, ) Página AUTOEVALUACIÓN. Dadas las funciones: f () = + ; g() =, halla: a) g[ f ( )] b) f [g(0)] c) f " f () d) f " g() a) g[ f ( )] = g[ ( ) + ] = g( ) = ( ) = 9 = b) f [g(0)] = f [0 ] = f ( ) = ( ) + = 9 c) f " f () = f [f ()] = f ( + ) = ( + ) + = + + = + d) f " g() = f [g()] = f ( ) = ( ) + = 0 + = 9
20 . Cuál es la función inversa de f () =? Comprueba que f " f () =. Para hallar la inversa de y =, cambiamos la por la y, y despejamos la y: = y 8 = y 8 y = + 8 y = Así, f + () = Por otra parte: f " f () = f ( ) = f ( ) = = =. Representa la gráfica de la función inversa de y = f (). + y = f () La función f () es simétrica a f () respecto a la recta y =. Así: f () y = f (). Representa las siguientes funciones: a) y = 0,8 b) y =, c) y = ln a) y = 0,8 8 b) c) y =, 8 y = ln
21 . La gráfica de la función y = ka pasa por los puntos 0, y (;,). Halla k y a y di si se trata de una función creciente o decreciente. Pasa por 0, : ( = k a 0 = k 8 k = Pasa por (;,):, = a 8 a = 8 a = Por tanto, la función es y = mayor que. ). Es una función creciente, puesto que la base es ( ). Justifica cuál de las siguientes funciones es la función inversa de y =. a) y = + log b) y = + c) y = log ( + ) La función es f () =. Veamos cada uno de los casos: a) f ( + log ) = ( + log ) = log = 9? y = + log no es la inversa de f (). + b) f ( ) =? + y = + no es la inversa de f (). c) f [log ( + )] = log ( + ) = ( + ) = y = log ( + ) sí es la inversa de f (). 7. El precio de una furgoneta baja un 0% por año de utilización. Si costó 8 000, cuánto tardará en reducirse a la mitad? La función que describe esta situación es: C = ,9 t Como queremos que el capital final sea : = ,9 t 8 0,9 t log 0, = 0, 8 t = log 0,9 0, = =,8 log 0,9 Por tanto, el capital se habrá reducido a la mitad entre el.º y el 7.º año.
22 8. Una población de insectos crece según la función y = + 0, 0, ( = tiempo en días; y = número de insectos en miles). a) Cuál es la población inicial? b) Calcula cuánto tarda en duplicarse. a) La población inicial se calcula haciendo = 0. y (0) = + 0, 0, 0 = + 0, =, La población inicial es de 00 insectos. b) Se duplicará al llegar a 000 insectos, es decir: = + 0, 0, 8 0, = 8 0, = 8 0, = 8 0, 8 0, = 8 = 8 = 0, Por tanto, la población de insectos se duplicará en días. 9. Asocia a esta gráfica una de las siguientes epresiones y di cuál es su periodo: a) y = cos b) y = cos c) y = cos 7 Completa estos puntos para que pertenezcan a la gráfica: (/, ), (/, ), ( /, ). La gráfica corresponde a la función b), y = cos. Su periodo es = =. Los puntos buscados son: ( ) ),, (,, (, 0)
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