Fascículo. Matemáticas Financieras. Semestre 3

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1 Fascículo 5 1 Fiacieras

2 fiacieras fiacieras

3 fiacieras Tabla de coteido Págia Itroducció 1 Coceptos previos 1 Mapa coceptual fascículo 5 1 Logros Series variable o gradietes Gradiete aritmético 3 Valor Futuro 3 Valor Presete 7 Gradietes aritméticos crecietes y decrecietes 10 Gradietes aritméticos diferidos 16 Gradiete geométrico 16 Valor Futuro 17 Valor Presete 17 Actividad de trabajo colaborativo 18 Resume 18 Bibliografía recomedada 19 Nexo 19 Seguimieto al autoapredizaje 1 Créditos: 3 Tipo de asigatura: Teórico Práctica

4 fiacieras Copyright 008 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Uiversidad Abierta y a Distacia, Educació a Través de Escearios Múltiples Bogotá, D.C. Prohibida la reproducció total o parcial si autorizació por escrito del Presidete de la Fudació. La redacció de este fascículo estuvo a cargo de CARLOS FERNANDO COMETA HORTÚA Tutor Programa Admiistració de Empresas Sede Bogotá, D.C. Revisió de estilo y forma; ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacioal de Material Educativo. Diseño gráfico y diagramació a cargo de SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS Impreso e: GRÁFICAS SAN MARTÍN Calle 61A No Tels.: Bogotá, D.C., Noviembre de 009. fiacieras

5 fiacieras 1 Itroducció Co el fi de facilitar los cálculos para la costrucció de amortizacioes y capitalizacioes de series variables, se ha sistematizado uas fórmulas que le permite al gestor fiaciero cocetrarse e el desempeño de sus fucioes co facilidad, e la medida que reduce las operacioes para la toma de decisioes. Estas series variables so catidades de diero que usualmete proviee de créditos bacarios o particulares y e otras ocasioes represeta modalidades de ahorros programados e etidades fiacieras. Para comprometer recursos fiacieros se debe cosultar los flujos de caja, quiees da la pauta para defiir los tipos de amortizació o capitalizació de valores moetarios. Coceptos previos El estudiate deberá compreder y aplicar coceptos de Iterés Compuesto, icluidos los pormeores de coversioes de tasas de iterés y costrucció de aualidades. Mapa coceptual fascículo 5 A partir del Iterés Compuesto y co base e coceptos de Series Fijas o Aualidades se costruye operacioes de Gradiete aritmético Gradiete geométrico co alguas variates Crecietes Decrecietes Y Diferidas fiacieras

6 fiacieras Logros Al fializar el estudio del presete fascículo, el estudiate estará e capacidad de: Iterpretar y propoer solucioes a problemas complejos dode iterviee series variables, crecietes o decrecietes. Argumetar la pertiecia e el uso y costrucció de ecuacioes y gráficas de tiempo y valor para la resolució de problemas de gradietes. Evaluar el alcace del desarrollo de competecias e el maejo de series variables, como codició para gestioar co suficiecia créditos fiacieros y otras operacioes a plazos. Recoocer las operacioes crediticias e las formas expresadas mediate series variables y sus trasformacioes frete a los plazos y tasas. Series variables o gradietes Se cooce como Series Variables o Gradietes, los pagos que preseta u comportamieto creciete o decreciete de maera costate. Tambié so llamados Gradiete Aritmético si la variació es periódica y lieal y Gradiete Geométrico si la variació es periódica y porcetual. Alguos autores deomia estas operacioes como Aualidades crecietes o Aualidades Decrecietes. E este fascículo se aalizará diferetes clases de gradietes, calculado sobre cada ua de ellas su Valor Presete y su Valor Futuro, así como los detalles de maejo e iterpretació que correspoda. Respecto de la otació que se utilizará e este fascículo se ecuetra las siguietes variables: VP = Valor Presete del gradiete = Valor Futuro del gradiete g = Catidad e que se icremeta o dismiuye el pago periódico i = Tasa de Iterés = Número de períodos: diferecia etre el período que termia y el período dode está localizado su cero. fiacieras

7 fiacieras Gradiete Aritmético E este tipo de trasaccioes, los pagos aumeta gradualmete e cada período, es decir, aumeta e forma aritmética. Sobre el gradiete es posible calcular al meos dos mometos de cosolidació de todos sus valores: al pricipio de la serie de pagos (Valor Presete) y al fial de la serie de pagos (Valor Futuro). Valor Futuro Es el valor que resulta de la suma de todos los motos compuestos de los pagos acumulados al fial de la serie, utilizado para ello fórmulas de valor futuro a iterés compuesto. E u gradiete aritmético, el Valor Futuro se ubica justo e el último pago. El úmero de períodos se calcula como la diferecia etre el período dode termia la serie de pagos y su período cero. El período cero de u gradiete aritmético se ubica dos períodos ates de dode empieza los pagos. La fórmula para hallar el Valor Futuro de u gradiete aritmético es: G 1 i 1 i i (Fórmula 5.1) Ejemplo 1 U padre de familia decide realizar u ahorro para la educació superior de su hijo e u fodo que recooce ua tasa del 1,1% mesual. Se requiere establecer cuál es el valor fial del ahorro si se efectúa las siguietes cosigacioes: $ detro de meses; $ detro de 3 meses; $ detro de 4 meses; $ detro de 5 meses; y $ detro de 6 meses. 3 fiacieras

8 fiacieras Figura 5.1 Represetació gráfica del gradiete Ejemplo 1. i = 1,1% mesual 5 6 E este caso, el Valor Futuro del gradiete se ubica e el período 6 y el úmero de períodos se calcula como la diferecia etre el período del y el período cero, es decir 6-0 = 6. Es importate aotar que el úmero de pagos es -1, o sea 6-1 = 5. Período cero del gradiete i = 1,1% mesual 5 6 Período de iicio de los pagos Figura 5. Represetació gráfica y descripció de variables Ejemplo 1. Período del Valor Futuro Este ejemplo costituye u gradiete típico, e el que el valor del primer pago es igual a la variació periódica de los pagos Se resuelve de la siguiete maera: se calcula el Valor Futuro del gradiete, para lo cual se traslada todos los pagos al fial del sexto mes, de acuerdo co la fórmula 5.1, así: G 1 i 1 i i 6 1 0, ,011 0,011 fiacieras 4

9 fiacieras 0, ,00011 = (15,183) = ,50 Respuesta: El valor acumulado al fial de los depósitos (Valor Futuro) es de $ Ahora se explicará el comportamieto del gradiete, calculado el valor futuro de cada Pago por separado. Así: = Pago 1 (Valor Futuro de durate 4 meses) + Pago (Valor Futuro de durate 3 meses) + Pago 3 (Valor Futuro de durate meses) + Pago 4 (Valor Futuro de durate 1 mes) + Pago 5 ( ) = (1+0,011) (1+0,011) (1+0,011) (1+0,011) = 5.365, , , = ,50 Este resultado cofirma que el valor acumulado al fial de los depósitos (Valor Futuro) es de $ Ejemplo El Gerete de la empresa requiere reovar los equipos de cómputo al fializar el año. Para ello decide realizar cosigacioes cada fi de mes, a partir del mes de febrero, iiciado co $ y cada mes aumetará la 5 fiacieras

10 fiacieras cosigació del mes aterior e $ La etidad fiaciera ofrece pagar ua tasa del 1,3% mesual. Qué valor podrá retirar a fi de año? Figura 5.3 Represetació gráfica del gradiete Ejemplo. i = 1,3% mesual Este caso se resuelve co la fórmula 5.1 para hallar el valor fial de la serie de pagos, así: G 1 i 1 i i 1 1 0, ,013 0,013 0, , = (68, ) = ,34 Respuesta: El valor acumulado al fial de los depósitos (Valor Futuro) es de $ Para comprobar la aterior operació se costruirá ua tabla de capitalizació que represeta los ahorros de la empresa: fiacieras 6

11 fiacieras Mes Saldo Iicial Iterés Cosigació Saldo fial , , ,00.600, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,34 Tabla 5.1 Comportamieto de los pagos e la cueta de ahorro. De esta maera queda comprobado que el comportamieto de la cueta de ahorros al fial arroja u saldo de $ , que para efectos fiacieros es el Valor Futuro de la serie de pagos. Valor Presete Es el valor que resulta de la suma de todos los motos compuestos de los pagos, descotados al iicio de la serie, utilizado para ello fórmulas de valor futuro a iterés compuesto. E u gradiete típico, el Valor Presete se ubica dos períodos ates del primer gradiete, que e este caso es el primer pago. El úmero de períodos se calcula como la diferecia etre el período dode termia la serie de pagos y su período cero. El período cero de u gradiete aritmético se ubica dos períodos ates de dode empieza los pagos. 7 fiacieras

12 fiacieras La fórmula para hallar el Valor Presete de u gradiete aritmético es: VP G Ejemplo 3 1 i 1 i i 1 i (Fórmula 5.) Co el propósito de fiaciar la compra de ua máquia importada, la empresa puede dispoer de su flujo de caja e forma trimestral para saldar la deuda, así: u pago iicial por valor de $ detro de dos trimestres; cada trimestre posterior aumetará la cuota del período aterior e $ hasta completar 8 pagos. Cuál es el valor por el que podrá costituir el crédito, si la tasa de fiaciació es del 4,5% trimestral? Figura 5.4 Represetació gráfica del gradiete Ejemplo 3. i = 4,5% trimestral E este caso, el Valor Presete del gradiete se ubica e el período 0 y el úmero de períodos se calcula como la diferecia etre el período del y el período del VP, es decir 9-0 = 9. Es importate aotar que el úmero de pagos es -1, osea 9-1 = 8. Período del Valor Presete (cero del gradiete) i = 4,5% trimestral fiacieras 8 Período de iicio Figura 5.5 de los pagos Represetació gráfica y descripció de variables Ejemplo 3. Período del Valor Futuro

13 fiacieras Este ejemplo tambié costituye u gradiete típico, e el que el valor del primer pago es igual a la variació periódica de los pagos. Se resuelve de la siguiete maera: se calcula el Valor Presete del gradiete, para lo cual se traslada todos los pagos al iicio de la serie dos períodos ates del primer pago, de acuerdo co la fórmula 5., así: VP G VP 1 i 1 i i 1 i , ,045 0, ,045 9 VP , , VP = (6,947791) VP = ,50 Respuesta: El valor acumulado descotado los pagos e el período cero (Valor Presete) es de $ Ahora se explicará el comportamieto del gradiete, calculado el valor presete de cada pago por separado. Se trasladará los valores al período cero utilizado para ello la tasa de iterés del 4,5% trimestral, así: VP = Pago 1 (Valor Presete de durate trimestres) + Pago (Valor Presete de durate 3 trimestres) + Pago 3 (Valor Presete de durate 4 trimestres) + Pago 4 (Valor Presete de durate 5 trimestres) + Pago 5 (Valor Presete de durate 6 trimestres) + Pago 6 (Valor Presete de durate 7 trimestres) + Pago 7 (Valor Presete de durate 8 trimestres) + Pago 8 (Valor Presete de durate 9 trimestres) + 9 fiacieras

14 fiacieras VP = (1+0,045) (1+0,045) (1+0,045) (1+0,045) (1+0,045) (1+0,045) (1+0,045) (1+0,045) 9 VP = , , , , , , , ,69 VP = ,50 Este resultado cofirma que el valor acumulado al pricipio de los depósitos (Valor Presete) es de $ Formule dos casos de trasaccioes fiacieras e los que se cofigure las diámicas de gradietes aritméticos. Uo co Valor Futuro y uo co Valor Presete. Socialícelos co el tutor. Gradietes Aritméticos Crecietes y Decrecietes Como se aalizó ateriormete, las diámicas de gradietes aritméticos supoe que los pagos realizados e determiada trasacció fiaciera, sufre ua variació costate, dode cada pago es igual al aterior más ua catidad costate (gradiete). No obstate, el comportamieto de estos pagos e ocasioes decrece cada período y e este caso, cada pago es igual al aterior meos ua catidad costate (gradiete). Es frecuete que e ejercicios de amortizació de créditos o de capitalizacioes de sumas de diero, el primer pago sea de u valor diferete al del gradiete. A cotiuació se aalizará dos casos e los que el primer valor es diferete al del gradiete; e el primero de ellos su comportamieto es Creciete y e el segudo es Decreciete: fiacieras 10

15 fiacieras Ejemplo 4 La empresa decide costituir u fodo para futuras cotigecias. Para ello, realiza uas cosigacioes mesuales crecietes, iiciado e $ al fial del primer mes y de ahí e adelate icremetado cada cosigació e $ Cuál es el saldo del fodo al realizar la cosigació del sexto mes? La tasa que recooce la etidad fiaciera es del 0,5% mesual Figura 5.6 Represetació gráfica Ejemplo 4. i = 0,5% mesual Se puede observar que, e este caso, el primer pago o correspode al gradiete (diferecia etre los pagos), luego o es posible utilizar la fórmula 5.1 de Valor Futuro como se aplicó e los dos primeros ejemplos. Aalizado la serie de pagos, esta se puede descompoer e dos series: la primera, ua aualidad de seis pagos de $ y la seguda u gradiete de 5 pagos que iicia e $ y se icremeta e $ cada período. Esta descomposició se represeta así: Aualidad Gradiete Figura 5.7 Represetació gráfica de Aualidad y Gradiete e el ejemplo 4 Así las cosas, es posible utilizar las fórmulas de: de ua Aualidad Vecida y de u Gradiete Aritmético, 11 fiacieras

16 fiacieras Lo aterior co el fi de hallar el Valor Futuro de estas cosigacioes, mediate procedimietos abreviados sumado los dos resultados, así: Valor Futuro de la Aualidad Vecida (1 i) R i 1 (1 0,005) ,005 0, ,005 = (6, ) = , Valor Futuro del Gradiete Aritmético, G 1 i 1 i i 6 1 0, ,005 0,005 0, ,00005 = (15, ) = ,15 Ahora se suma los resultados para obteer el Valor Futuro de la Aualidad Vecida = ,38 del Gradiete Aritmético = ,15 Valor Futuro cosolidado = ,53 fiacieras 1

17 fiacieras Respuesta: El saldo del fodo al realizar la cosigació del sexto mes es de $ El desarrollo de este problema se puede abreviar, simplemete, plateado ua ecuació dode el Valor Futuro es igual al de la Aualidad Vecida + el del Gradiete Aritmético, así: (1 i) R i 1 + G 1 i 1 i de la Aualidad Vecida del Gradiete Aritmético i Ahora se comprobará el resultado del gradiete, calculado el valor futuro de cada Pago por separado. Se trasladará los valores al período 6 utilizado para ello la tasa de iterés del 0,5% mesual, así: = Pago 1 (Valor Futuro de durate 5 meses) + Pago (Valor Futuro de durate 4 meses) + Pago 3 (Valor Futuro de durate 3 meses) + Pago 4 (Valor Futuro de durate meses) + Pago 5 (Valor Futuro de durate 1 mes) + Pago 6 (Valor de ) = (1+0,005) (1+0,005) (1+0,005) (1+0,005) (1+0,005) = , , , , , ,00 = ,53 13 fiacieras

18 fiacieras Este resultado cofirma que el valor acumulado como saldo del fodo al realizar la sexta cosigació es $ Del caso aterior se deduce que cuado el primer pago es diferete del gradiete, se puede resolver el problema cosiderado por separado y sumado el resultado de la aualidad co el resultado del gradiete aritmético. Ahora se aalizará el segudo caso: Gradiete Aritmético Decreciete. E ocasioes para la amortizació de las deudas es coveiete, segú los flujos de caja, comprometer los pagos de tal maera que sea descedetes e el tiempo; otra situació se preseta cuado se hace retiros permaetes y descedetes de ua cueta o u fodo y sobre los saldos se calcula itereses compuestos; tambié es posible realizar depósitos decrecietes e ua cueta para obteer al fial u saldo. Esta situació correspode al siguiete ejemplo: Ejemplo 5 Co el fi de cotribuir co los gastos uiversitarios del segudo semestre, se realiza e ua cueta de ahorros los siguietes depósitos mesuales vecidos decrecietes: $ a fiales de marzo y cada fi de mes sucesivo, $ meos que el mes aterior, hasta el 30 de juio. La tasa de iterés pactada es del 0,8% mesual. Qué catidad se podrá retirar a mitad de año? i = 0,8% mesual Figura 5.8 Represetació gráfica del Gradiete Aritmético Decreciete. Ejemplo 5 fiacieras 14

19 fiacieras E este caso, igual que e el ejemplo aterior, se observa que el primer pago o correspode al gradiete (diferecia etre los pagos), luego se requiere descompoer estos movimietos e dos series: la primera, ua aualidad de cuatro pagos de $ y la seguda u gradiete de 3 pagos que iicia e $ y dismiuye e $ cada período. Esta descomposició se represeta así: Aualidad - Gradiete Figura 5.9 Represetació gráfica de Aualidad y Gradiete e el ejemplo Así las cosas, se platea ua ecuació dode el Valor Futuro es igual al de la Aualidad Vecida meos (-) el del Gradiete Aritmético, así: (1 i) R i 1 de la Aualidad Vecida - G 1 i 1 i i del Gradiete Aritmético 4 (1 0,008) ,008 G 4 1 0, ,008 0,008 = , = ,05 Respuesta: A mitad de año se podrá retirar de la cueta $ A cotiuació se preseta u resume de las fórmulas más utilizadas e Gradietes aritméticos (tabla 5.1): 15 fiacieras

20 Aritmético o lieal fiacieras Valor Presete Gradiete e Valor Presete Valor Futuro Gradiete e Valor Futuro VP G G G 1 i 1 i i 1 i VPi 1 i 1 i 1 i G 1 i 1 i i i 1 i 1 i Tabla 5.1 Resume de fórmulas: Gradietes Aritméticos. Gradietes Aritméticos Diferidos Al igual que ocurre co las aualidades diferidas, este tipo de operacioes se preseta cuado se requiere de u tiempo deomiado período de gracia, e el que o se realiza aboos al capital de la deuda. No obstate, se debe liquidar los itereses y e el mometo del iicio de los pagos, estos debe sumarse al capital para calcular el valor de cada cuota. Tambié es usual, para o alterar el moto del crédito iicial, cacelar los itereses geerados durate el período de gracia. Esto permite que el moto de las cuotas o se icremete por efecto de la capitalizació de itereses. La variació se reduce a que hay que calcular uos itereses al pricipio de la operació, que se cacela o se capitaliza y luego se establece el moto de las cuotas para amortizar el crédito, utilizado para ello, las mismas fórmulas de ua serie creciete o decreciete, segú correspoda. fiacieras 16 Gradietes Geométricos E alguas trasaccioes se costruye series de pagos cuyo comportamieto cosiste e u crecimieto geométrico, es decir, cada

21 fiacieras pago correspode al aterior, multiplicado por u úmero llamado razó (r). Supógase ua serie de pagos como los que se platea: Ee 31-Ee 8-Feb 31-Mar 30-Abr 31-May Figura 5.10 Represetació gráfica del Gradiete Geométrico.. i = 0,4% mesual Ju E este caso, se propoe u ahorro iicial de de $ al fial del primer mes y este ahorro se realiza e cada uo de los meses siguietes, co u icremeto del 0% sobre el depósito aterior. Valor Futuro La fórmula para establecer el Valor Futuro de la serie de pagos e u Gradiete Geométrico, es: K 1 i 1 r i r E el caso que se aaliza, la fórmula se despeja así: = , , , 0,004 0, 6 (Fórmula 5.3) El Valor Futuro del Gradiete Geométrico es $ Valor Presete La fórmula para establecer el Valor Presete e u Gradiete Geométrico, descotado la serie de pagos al iicio, es: 17 fiacieras

22 1 i 1 r VP K i i r 1 E el caso que se aaliza, la fórmula se despeja así: VP , , 0,004 0, 6 fiacieras 1 0,004 6 VP = ,09 El Valor Presete del Gradiete Geométrico es $ (Fórmula 5.4) E grupos de tres estudiates, realice ua cosulta e etidades fiacieras y establezca al meos ua trasacció e la que se cofigure el comportamieto de gradietes crecietes o decrecietes. Socialice las respuestas co el tutor. fiacieras 18 Como ua variate de las aualidades, aparece las operacioes de gradietes, que preseta las mismas estructuras de aquellas, pero los pagos (igresos o egresos) o so fijos sio variables (crecietes o decrecietes). Estas series de valores se icremeta o dismiuye de dos maeras: e ua catidad costate o a ua proporció dada (razó). E la primera forma se deomia Gradietes aritméticas o lieales y e la seguda forma se deomia Gradietes Geométricas o Expoeciales. Sobre estas series de valores se ha sistematizado uas fórmulas que permite hallar las equivalecias presetes o futuras de todos los pagos, co el fi de facilitar los cálculos y los diseños de plaes de capitalizació o tablas de amortizació. Estas fórmulas se ha dispuesto e cada uo de los temas desarrollados e el fascículo.

23 fiacieras AYRES, Frak. fiacieras. Primera edició. México D.F.: Mc Graw Hill, 001. BACA CURREA. Guillermo. Matemática fiaciera. Tercera edició. Bogotá D.C.: Fodo Educativo Paamericao, 007. (Texto guía). CANOVAS, Roberto. fiacieras: fudametos y aplicacioes. Primera edició. Mexico: Trillas, 004 CISSELL, Robert. fiacieras. Seguda edició. México D.F.: CECSA, (Texto guía). DIAZ, Alfredo. fiacieras. Seguda edició. México D.F.: Mc Graw Hill, GARCÍA, Jaime. Fiacieras co ecuacioes de diferecia fiita. Cuarta Edició. Bogotá D.C.: Pearso Educació de Colombia Ltda, 000. (Texto guía). PORTUS, Licoyá. Fiacieras. Cuarta edició. Bogotá D.C.: Mc Graw Hill, SANCHEZ, Jorge E. Maual de matemáticas fiacieras. Seguda edició. Bogotá D.C.: Ecoe Edicioes, E el Fascículo 6 se costruirá y aalizará diferetes estructuras de amortizació, represeta periódicamete los comportamietos de aualidades, gradietes y otras trasaccioes fiacieras. 19 fiacieras

24 fiacieras fiacieras 0

25 fiacieras Seguimieto al autoapredizaje Fiacieras - Nombre Apellidos Fecha: Ciudad Semestre: Resuelva las siguietes pregutas, de las cuales las tres primeras so de selecció múltiple co úica respuesta, co el fi de evaluar su proceso de autoapredizaje: 1. Ua serie de pagos e forma creciete co variació costate puede ser llevada a su Valor Futuro co la fórmula: (1 i) 1 A. R i B. C. D. K G F P( 1i) 1 i 1 r i r 1 i 1 i i. Para establecer el Valor Futuro de ua serie de pagos dode el primero de ellos es de $ y se icremeta e $ cada mes, se debe cojugar las siguietes fórmulas, así: 1 i 1 r (1 i) 1 A. K meos i r R i B. G 1 i 1 i (1 i) 1 C. R i D. i más más K P ( 1 i) 1 i 1 r i r P( 1i meos R i F ) (1 i) 1 1 fiacieras

26 fiacieras 3. La diferecia etre el Gradiete Aritmético y el Gradiete Geométrico radica e que: A. El Gradiete Aritmético tiee u comportamieto positivo y el Gradiete Geométrico, egativo B. El Gradiete Aritmético es creciete y el Gradiete Geométrico es decreciete C. El Gradiete Aritmético tiee ua variació costate y el Gradiete Geométrico, porcetual D. El Gradiete Aritmético se calcula al fial del período y el Gradiete Geométrico, al pricipio 4. Ua deuda será cacelada mediate 6 pagos mesuales, el primero de ellos por valor de y cada uo de los pagos sucesivos icremetados e El primer pago se realizará a los seis meses del desembolso. Si la tasa de fiaciació es del 1,8% mesual, cuál fue el valor del crédito? 5. Debo pagar u crédito de la siguiete maera: i = 1,95% mesual Pero solicito se me permita realizar 1 pagos mesuales iguales vecidos. Cuál será el valor de los pagos? fiacieras