MOMENTOS DE INERCIA. x da

Transcripción

1 Capítulo V MOMENTOS DE NERCA 8. NTRODUCCÓN En este capítulo desaollaeos un étodo paa deteina el oento de inecia de un áea de un cuepo que tenga una asa específica. El oento de inecia de un áea es una popiedad ipotante en ingenieía, puesto que ésta debe deteinase o especificase si uno va a analia o diseña un iebo de una estuctua o pate ecánica. Po oto lado, se debe conoce el oento de inecia del cuepo si se estudia el oviiento del iso cuepo. 8. MOMENTOS DE NERCA PARA ÁREAS Cuando se deteina el centoide de un áea se considea el pie oento de áea con especto a un eje, es deci, paa el cálculo se evalúa una integal de la foa: da Las integales del segundo oento de un áea tal coo: de inecia del áea. da son llaadas oentos El oento de inecia de un áea se oigina siepe al tene que calcula el oento de una caga distibuida, vaiable en foa lineal, del eje de oentos. da A Si consideaos un áea A, en el plano, los oentos de inecia de esta áea con especto a los ejes e se define po: dak A A dak A A O Dónde: K = adio de gio con especto al eje K = adio de gio con especto al eje Asiiso podeos foula el segundo oento del áea con especto al polo O, o eje. Esto se conoce coo oento pola de inecia J 0 se define po: ; Donde: J da o A 6

2 Notas: -, J son siepe positivos. o - Las unidades del oento de inecia son: 4, c 4, 4, pulg TEOREMA DEL EJE PARALELO PARA UN ÁREA (TEOREMA DE STENER) El oento de inecia de un áea con especto a un eje es igual al oento de inecia del áea con especto a un eje paalelo que ataviesa su centoide, ás el poducto del áea el cuadado de la distancia pependicula ente los ejes d d d d c c d d da da Ad Ad o c J J Ad o O Donde: d d son distancias pependiculaes ente los ejes. 8.4 RADO DE GRO DE UN ÁREA El adio de gio de un áea plana se utilia en el diseño de colunas en ecánica de estuctuas. Siepe cuando se conocan las áeas los oentos de inecia, el adio de gio se deteina con las fóulas: J0 A A A K K K0 8.5 MOMENTOS DE NERCA DE ÁREAS COMPUESTAS El oento de inecia de un áea copuesta es igual a la sua algebaica de los oentos de inecia de todas sus pates coponentes. Método de cálculo: - Divide el áea copuesta en sus pates coponentes e indique la distancia pependicula eistente desde el centoide de cada pate hasta el eje de efeencia. 7

3 - Deteine el oento de inecia de cada pate con especto a su eje centoidal, paalelo al eje de efeencia, utiliando el Teoea de Steine. - Calcule el oento de inecia del áea total, con especto al eje de efeencia, suando los esultados de sus pates coponentes. Si una pate coponente tiene un agujeo, su oento de inecia se obtiene estando el oento de inecia del agujeo al oento de inecia de la pate copleta, incluendo al agujeo. 8.6 PRODUCTO DE NERCA DE UN ÁREA Paa algunas aplicaciones de diseño ecánico o estuctual es necesaio pieo calcula el poducto de inecia del áea así coo tabién sus oentos de inecia paa los ejes dados. A Paa un áea A, el poducto de inecia viene dado po: da A da Las unidades del poducto de inecia son: 4, 4, pie 4, pulg 4. TEOREMA DE STENER PARA EL PRODUCTO DE NERCA DE UN ÁREA o d c d da Paa el áea sobeada que se uesta en la figua, se cuple que: XY Dónde: X ' Y ' A d d X 'Y ' epesenta el poducto de inecia del áea con especto al eje centoidal. 8

4 8.7 MOMENTOS DE NERCA DE MASAS El oento de inecia de asa es una popiedad que ide la esistencia del cuepo a una aceleación angula. Se define coo la integal del segundo oento con especto a un eje de todos los eleentos de asa d que coponen el cuepo. Paa el cuepo ígido ostado en la figua, su oento de inecia de asa con especto al eje, viene dado po: d d = distancia pependicula desde el eje hasta el eleento difeencial d. * El eje que genealente se elige paa el análisis ataviesa el cento de asa del cuepo. OBSERVACONES: a) Si el cuepo se copone de un ateial cua densidad es vaiable, entonces el oento de inecia de asa está dado po: dv V b) Si es constante, entonces se halla po: dv V Nota: El teoea de Steine (o del eje paalelo) paa el oento de inecia de asa, viene dado po la siguiente epesión: dónde: d G G = oento de inecia con especto al eje que ataviesa el cento de asa G. = asa del cuepo d = distancia pependicula ente los ejes paalelos. 9

5 8.7. MOMENTOS DE NERCA DE MASA PARA UN DSCO CRCULAR DELGADO DE MASA Y RADO Paa calcula los oentos de inecia del disco cicula delgado se debe ecoda que en coodenadas cilíndicas, el ϕ d voluen paa el eleento difeencial de asa d, ostado en la figua, viene dado po: dv ' d ' d d Cálculo de (oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje ) Po definición, el oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje que ataviesa su cento de asa, viene dado po: ( ') d, ' = distancia pependicula del eje al eleento d Se cuple: d dv ( ' d ' d d) Reeplaando d, la ecuación de queda: Resolviendo la integal eeplaando la densidad del disco cicula: obteneos que:, V Cálculo de (oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje ) Po definición, el oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje que ataviesa su cento de asa, viene dado po: ( '') d, '' = distancia pependicula del eje al eleento d 30

6 Al taa la distancia pependicula '', desde el eje hasta el eleento difeencial d, se obtiene que: '' ' sen Si esta distancia '' el difeencial de asa d se eeplaan en la ecuación del oento de inecia, teneos: X ( ' sen ) ( ' d ' d d) Resolviendo la integal eeplaando la densidad del disco cicula: obteneos que: X, V 4 NOTA.- debido a la sietía de la figua, el oento de inecia del disco cicula delgado, especto al eje que ataviesa su cento de asa, es igual al oento de inecia especto al eje. Es deci: Y X 4 3

7 8.7. MOMENTOS DE NERCA DE MASA PARA UN CLNDRO DE MASA, ALTURA h Y SECCÓN TRANSVERSAL DE RADO d h/ Paa calcula los oentos de inecia del cilindo se ecoienda elegi coo eleento difeencial un disco cicula delgado de asa d, adio espeso d, tal h/ coo se obseva en la figua. Cálculo de (oento de inecia del cilindo, especto al eje ) El oento de inecia paa el cilindo, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa un disco delgado. Se cuple: d Dónde: d dv ( d) ( CLNDRO ) ( d) * Coo el eleento difeencial (disco cicula delgado) el cilindo son del iso ateial, entonces su densidad cilindo ente su espectivo voluen, es deci: es la isa. Esta densidad la hallo dividiendo la asa del V ( h) Reeplaando d en la ecuación del oento de inecia d (CLNDRO ) e integando, obteneos: ( CLNDRO ) 3

8 Cálculo de Y (oento de inecia del cilindo, especto al eje ) El oento de inecia paa el cilindo, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa un disco delgado aplicando el teoea de Steine o teoea del eje paalelo. Po lo tanto, se cuple: d 4 Y ( CLNDRO ) ( d) ( d) Reeplaando d e integando, obteneos: Y ( CLNDRO ) (3 h NOTA.- debido a la sietía de la figua, el oento de inecia del cilindo, especto al eje que ataviesa su cento de asa, es igual al oento de inecia especto al eje. Es deci: ) X ( CLNDRO ) Y ( CLNDRO ) (3 h ) MOMENTOS DE NERCA DE MASA PARA UNA ESFERA DE MASA Y RADO d Al igual que en el caso del cilindo, paa calcula los oentos de inecia de la esfea se ecoienda elegi coo eleento difeencial un disco cicula delgado de asa d, adio espeso d, tal coo se obseva en la figua. 33

9 Debido a la sietía de la figua, los oentos de inecia paa la esfea, especto a los tes ejes coodenados que ataviesan su cento de asa, son iguales. En consecuencia es suficiente calcula sólo uno de ellos. Cálculo de X (oento de inecia de la esfea, especto al eje ) El oento de inecia paa la esfea, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa un disco delgado aplicando el teoea de Steine o teoea del eje paalelo. Po lo tanto, se cuple: d De la figua se obseva que: 4 X ( ESFERA ) ( d) ( ') ( d) ( ') ( ') d dv ( ') d d ( ) d * Coo el eleento difeencial (disco cicula delgado) la esfea son del iso ateial, entonces su densidad esfea ente su espectivo voluen. Es deci: es la isa. Esta densidad la hallo dividiendo la asa de la V 4 3 Reeplaando d ( ') en la ecuación del oento de inecia d X (ESFERA ) e 3 integando, obteneos: X ( ESFERA ) 5 Nota.- se cuple que: X ( ESFERA ) Y ( ESFERA ) Z ( ESFERA ) 5 34

10 8.7.4 MOMENTOS DE NERCA DE MASA PARA UNA PLACA DELGADA DE MASA Y LADOS a Y b d a b Paa calcula los oentos de inecia de la placa delgada elegios un eleento difeencial de asa d, ubicado a una distancia pependicula, especto al eje, tal coo se apecia en la figua. De ella tabién se conclue que las coponentes de : e, son distancias pependiculaes del eleento difeencial a los ejes coodenados. Adeás, asuieos que la placa delgada tiene espeso. Cálculo de (oento de inecia de la placa delgada, especto al eje ) Po definición, el oento de inecia de la placa delgada, especto al eje que ataviesa su cento de asa, viene dado po: d, = distancia pependicula del eje al eleento d Se cuple: d dv ( d d d) De la figua se obseva que: Reeplaando d, la ecuación de queda: / b / a / ( / b / a / ) ( d d d) Resolviendo la integal eeplaando la densidad de la placa delgada:, V a b obteneos que: ( a b ) 35

11 Cálculo de X (oento de inecia de la placa delgada, especto al eje ) Po definición, el oento de inecia de la placa delgada, especto al eje que ataviesa su cento de asa, viene dado po: ( ') d, ' = distancia pependicula del eje al eleento d Al taa la distancia pependicula ', desde el eje hasta el eleento difeencial d, se obseva que esta distancia es igual a la distancia. Es deci: ' Si esta distancia ' el difeencial de asa d se eeplaan en la ecuación del oento de inecia, teneos: X / b / a / / b / a / ( ) ( d d d) Resolviendo la integal eeplaando la densidad de la placa delgada: obteneos que: X, V a b b Cálculo de Y (oento de inecia de la placa delgada, especto al eje ) Paa calcula el oento de inecia Y se pocede de anea siila al cálculo de En este caso, la distancia pependicula del eje que ataviesa su cento de asa, al eleento difeencial, es. X. Al evalua la ecuación del oento de inecia Y se obtiene que: Y a 36

12 8.7.5 MOMENTOS DE NERCA DE MASA PARA UN PRSMA RECTANGULAR DE MASA Y LADOS a, b c a c b d Cálculo de X (oento de inecia del pisa ectangula, especto al eje ) El oento de inecia paa el pisa ectangula, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa una placa delgada, adeás aplicando el teoea de Steine o teoea del eje paalelo. Po lo tanto, se cuple: d El eleento difeencial tiene asa: X ( PRSMA ) ( d) ( c) ( d) d dv ( acd ) * Coo el eleento difeencial (placa delgada) el pisa ectangula son del iso ateial, entonces su densidad es la isa. Esta densidad la hallo dividiendo la asa del pisa ente su espectivo voluen. Es deci: V a bc Reeplaando d en la ecuación del oento de inecia d X (PRSMA) e integando, obteneos: X ( PRSMA ) ( c b ) 37

13 Cálculo de Y (oento de inecia del pisa ectangula, especto al eje ) El oento de inecia paa el pisa ectangula, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se halla a pati del valo conocido del oento de inecia paa una placa delgada. Po lo tanto, se cuple que: d Y ( PRSMA ) ( d) ( a c ) donde: d dv ( acd ) ; siendo: V a bc Reeplaando d en la ecuación del oento de inecia d Y (PRSMA) e integando, obteneos: Y ( PRSMA ) ( a c NOTA.- paa calcula el oento de inecia del pisa ectangula, especto al eje que ataviesa su cento de asa, se pocede de anea siila al cálculo del oento de inecia con especto al eje. Pocediendo de esta foa, se obtiene que: ) PRSMA ( ) ( a b ) 38

14 8.8 TABLA 8. Moentos de inecia de foas coientes 39

15 TABLA 8. Moentos de inecia de foas coientes (Continuación) Fuente: RLEY W. STURGES L. Estática. Editoial Reveté

16 8.9 PROBLEMAS RESUELTOS DE MOMENTOS DE NERCA PROBLEMA Nº Deteine el oento de inecia de asa del sólido que se foa al gia el áea sobeada alededo del eje. La densidad del ateial es 7,85 Mg/ Resolución Al gia el áea sobeada alededo del eje, se obtiene el sólido ostado a continuación. Paa calcula el oento de inecia de dicho sólido elijo coo eleento difeencial un disco cicula delgado poque se conoce sus oentos de inecia de asa, especto a los ejes,,. Se sabe que: 4 Disco cicula delgado de asa 4

17 R = d 8 4 Paa el poblea dado, el oento de inecia del disco seá un difeencial del oento de inecia del sólido, es deci: d Z ( SOLDO ) ( d)... () Dónde: 4 ; d dv ( d) d d 8 64 Reeplaaos en (): d Z ( SOLDO) 4 4 d ntegando teneos: Z ( SOLDO ) (64)(64) d Z ( SOLDO ) 685, kg 4

18 PROBLEMA Nº El cilindo cicula ostado está hecho de aluinio con densidad de 700 kg/ 3 hieo con densidad de kg/ 3. Deteine sus oentos de inecia con especto a los ejes e. Resolve el poblea toando coo efeencia los valoes conocidos de los oentos de inecia de un disco cicula delgado. Al 60 c C.M. Fe 0 c 60 c, Resolución Pieo hallo asa del aluinio de asa del cilindo copuesto ( ). Las asas Al Fe Al, asa del hieo Fe la coodenada del cento se deteinan utiliando la ecuación V, dado que la densidad del cuepo ( ) es dato del poblea el voluen V se halla ultiplicando el áea de la sección tansvesal la altua. Es deci: Al 3 3 Al VAl 700kg/ ( 0, )(0,6) Al 50, 8938kg Fe 3 3 Fe VFe 7860kg/ ( 0, )(0,6) Fe 48, 575kg Paa calcula (coodenada del cento de asa) aplico la ecuación siguiente: Al Al Fe Fe 0, 7466 Al * De la figua dada se obtiene que: 0,3 0, FE Al Fe 9 Cálculo de ' ( TOTAL ) (oento de inecia paa el cilindo copuesto, especto al eje ' ) Po tatase de un cilindo copuesto se cuple el pincipio de supeposición, es deci que el oento de inecia total, especto al eje cilindo de aluinio del cilindo de hieo, con especto al iso eje ', es igual a la sua de los oentos de inecia del '. 43

19 ' ( TOTAL ) ' ( Al ) ' ( Fe)... () Hallo ' ( Al ) (oento de inecia del cilindo de aluinio, especto al eje ' ): Si consideaos coo eleento difeencial un disco cicula delgado de adio, asa d espeso d, se sabe que su oento de inecia, especto al eje Reeplaaos d : ntegando, teneos: d ', está dado po: ' ( Al ) ( d) ; donde: d Al ( ) d d ' ( Al ) ( Al d) ' ( Al ) 4 0,6 Al d ' ( Al ) 0, 5497kg 0 Hallo ' ( Fe) (oento de inecia del cilindo de hieo, especto al eje ' ): En este caso, se cuple: d Reeplaaos d : ntegando, teneos: ' ( Fe) ( d) ; donde: d Fe ( ) d d ' ( Fe) ( Fe d) ' ( Fe) 4, Fe d ' ( Fe) 0, kg 0,6 Reeplaando en la ecuación (), teneos: ' ( TOTAL ), kg Cálculo de ' ( TOTAL ) (oento de inecia paa el cilindo copuesto, especto al eje ' ) En este caso debeos ecoda que el oento de inecia paa un cilindo de asa, altua h sección tansvesal de adio, especto al eje centoidal, el cual es pependicula al eje del cilindo, viene dado po la ecuación siguiente: ( Cilindo) (3 h ) h Eje centoidal 44

20 Aplicando esta ecuación el pincipio del eje paalelo, teneos que el oento de inecia del cilindo de aluinio, especto al eje ', está dado po: ' ( Al ) Al (3 h ) ' ( Al ) Al (3 h ) Al (0,7466 0,3) Al d ' ( Al ), kg Paa copende ejo la ecuación anteio, ve la figua siguiente: Eje centoidal paa el aluinio Al d Eje centoidal paa el hieo d 0,3 0, 7466 C.M. Fe 0 c 0,9, Paa el cilindo de hieo, teneos: ' ( Fe) Fe (3 h ) ' ( Fe) (48,575)(30, 0,6 ) 48,575(0,9 0,7466) ' ( Fe), Fe 8 kg d Paa calcula ' ( TOTAL ) aplicaos pincipio de supeposición. Es deci: ' ( TOTAL ) ' ( Al ) ' ( Fe) ' ( TOTAL ), kg 45