2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA 6.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ

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1 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II FICHA TEMA.- FUNCIONES. LÍMITES CONTINUIDAD PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Concepto de función. Características Calcule los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las funciones: f() + g() 7 h() + j() Halle el dominio de definición y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las funciones: + f ( ) g( ) Estudie las características (dominio, recorrido, continuidad, monotonía y etremos) de la función f dada por su gráfica: b) d) Funciones polinómicas básicas Haga la gráfica de las siguientes funciones y halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas: + f ( ) g( ) Halle la ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto de la gráfica de f cuya abscisa es en los siguientes casos: f(), m, b) f(), m +, Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (, ) y (,) y dibuja su gráfica 7 Represente gráficamente y obtén los puntos de corte con los ejes de coordenadas: f() + + 7, b) f() + f() + d) f() 8 Dibuje la parábola que corta al eje O en los puntos (,) y (,) y con vértice (, ). 9 Dibuje la parábola de vértice (, ) que corta al eje de abscisas en los puntos (, ) y (, ).

2 El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f(t) t + t, t 7 Represente la gráfica de la función f. b) Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máimo y a cuánto asciende? Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo? Cuál es este? (Propuesto Selectividad Andalucía ) La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: T(t) t t, con t. Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máima que alcanza la pieza. b) Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida hora? Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante? (Propuesto Selectividad Andalucía ) El beneficio obtenido por la producción y venta de kilogramos de un artículo viene dado por la función: B() Represente gráficamente esta función. b) Determine el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo. Determine cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máimo, para que la empresa no tenga pérdidas. (Propuesto Selectividad Andalucía ) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura h (en metros) a la que se encuentra en cada instante t (en segundos) viene dada por la epresión: h(t) t + t En qué instante alcanza la altura máima? Cuál es esa altura? b) Represente gráficamente la función h(t). En qué momento de su caída se encuentra el objeto a metros de altura? d) En qué instante llega al suelo? (Propuesto Selectividad Andalucía ) Dibuje la gráfica de la función.- Funciones de proporcionalidad inversa f ( ).- Funciones definidas a trozos Represente gráficamente, calcule el dominio y los puntos de corte con los ejes: +, si f ( ) +, si < si < e) f (). + si h) si si f () + si < < +, si < +, si, si b) f ( ) f() d) f (), si, >, si >, si si f) f() g) f ( ) + si > 8, si >. si i) f ( ). si > j) f(), si <, si k), si, si < ( ), si > Página

3 El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próimos ocho años viene dado por la función B definida por t + 7t si t < B(t), donde t indica el tiempo transcurrido en años. si t 8 Represente gráficamente la función B y eplique cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años b) Calcule cuándo el beneficio esperado es de, millones de euros (Propuesto Selectividad Andalucía ) 7 El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función +, si f(), si < donde representa el gasto en publicidad, en miles de euros. Represente la función f. b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas. Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos? d) Calcule el gasto en publicidad que produce máimo beneficio. Cuál es ese beneficio máimo? (Propuesto Selectividad Andalucía 7).- Funciones eponenciales y logarítmicas 8 Desarrolle los siguientes logaritmos usando sus propiedades: { ln( ) b) ln ( + ) } ln (+ ) } d) { 9 Calcule los siguientes logaritmos: log () b) log () + L +.- Límite de una función en un punto Halle los límites indicados y escriba la ecuación de las asíntotas verticales, en caso de que eistan: f() f() b) f() f() d) f() Página

4 e), f() f) f() g) f() h) - f() y f() i) f() j) - - f() y f(), si < Dada la función f() +, si <, calcule (f ), 7, si < Calcule los límites que se piden: b) d) + (f ), ( ) e) (f ), (f )y (f ), siendo (f )y (f ) ( + ), si < f() +, si > + f) + + g) + h) Relación entre límite puntual y continuidad Clasifique las discontinuidades de las funciones del ejercicio Estudie la continuidad de las siguientes funciones y, en caso de discontinuidad, indique de qué + 7 si 7 + tipo es: y b) y f() + si > d) f(), si <, si e) f(), si, si < ( ), si > Página

5 Calcule el valor de los parámetros para que las siguientes funciones sean continuas: ( ) a + si a+ln si > f b) ( ) a si f b si < si > d) ( ) a si f + a + b si < + b si 8.- Límite de una función en el infinito a + b si < f() a si < a + b si Determine los límites en y en y escriba las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales, si las hay: - b) 7 Calcule los límites en y y todas las asíntotas de las siguientes funciones, si las hay:, si < (f ) + + b) (f ) + f(), si 8 Las pérdidas/ganancias (en miles de euros) de una empresa en función del tiempo (en años) vienen dadas por la fórmula y Determine: + Pérdidas que tenía la empresa en el momento inicial b) El momento (valor de ) a partir del cual la empresa tendrá ganancias La ganancia máima previsible en el futuro (o sea cuando tiende a infinito) 9 Halle las asíntotas de las funciones: f ( ) + b) f() + f () + si ( + ), si +, si d) f ( ) e) f() + f) f ( ) si >, si +, si > > Halle las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de + h( ) (Propuesto Selectividad Andalucía ) Determine el dominio y las asíntotas de la función + m( ) (Propuesto Selectividad Andalucía 9) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función (Propuesto Selectividad Andalucía ) f ( ) + Página