Autómatas y Lenguajes Formales. Tema 3.2: Autómatas Finitos No Deterministas. Luis Peña luis.pena@urjc.es

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1 Autómatas y Lenguajes Formales Tema 3.2: Autómatas Finitos No Deterministas Luis Peña luis.pena@urjc.es

2 Sumario Tema 3.2: Autómatas Finitos No Deterministas. 1. Concepto de AFND 2. Teoremas de Equivalencia Curso

3 Sumario Tema 3.2: Autómatas Finitos No Deterministas. 1. Concepto de AFND 2. Teoremas de Equivalencia Curso

4 Concepto de AFND El funcionamiento de un AFND es muy similar al de un AFD. Sin embargo, mientras en un AFD sólo existe una posible acción en cada momento, en un AFND se puede elegir entre varias alternativas de transición. Curso

5 Concepto de AFND(definición) Definición (AFND) Un autómata finito no determinista (AFND) es una quíntupla A=(Q,,f,q 0,F), donde: Q es un conjunto de estados es el alfabeto de entrada q 0 Q es el estado inicial FQ es el conjunto de estados finales f: Q({})2 Q es la función de transición Curso

6 Concepto de AFND(definición) Ejemplo: AFND 1 =({q 0,q 1,q 2 },{0,1},f, q 0,{q 2 }), con f: f(q0,0)={q0,q1} f(q1,0)= f(q2,0)= f(q0,1)={q0} f(q1,1)={q2} f(q2,1)= f(q0,)= f(q1,)={q0,q1} f(q2,)= AFND s pueden representarse mediante tablas de transiciones: Curso

7 Concepto de AFND(definición) Notas: El resultado de la función de transición puede ser el conjunto vacío (pares estado/símbolo terminal para las que el autómata no puede transitar). Se suelen omitir estas entradas en las tablas de transiciones. El autómata puede transitar sin leer ningún símbolo de entrada: f(q 1, )={q 0,q 1 } El no determinismo del autómata proviene del hecho de que en cada momento (para cada símbolo de entrada y cada estado) pueden existir varias posibilidades de transición (o ninguna). Curso

8 Concepto de AFND(diagrama de transición) Definición (diagrama de transición de estados): Sea un AFND A=(Q,,f,q0,F). El diagrama de transición de estados de dicho autómata es el grafo que cumple las siguientes propiedades: El conjunto de nodos del grafo es Q El nodo correspondiente al estado inicial (y sólo él) está marcado con una flecha Los F nodos correspondientes a los estados finales (y sólo ellos) están marcados mediante * o mediante un doble círculo Existe un arco desde el nodo q i a q j etiquetado mediante el símbolo a si y sólo si q j f(q i,a). Curso

9 Concepto de AFND(diagrama de transición) Ejemplo: Curso

10 Concepto de AFND(lenguaje reconocido) Definición (Lenguaje reconocido por un AFND) Intuitivamente, un AFND acepta todas las palabras para las que puede transitar desde el estado inicial a un estado final. Curso

11 Concepto de AFND(lenguaje reconocido) Ejemplos: El autómata AFND 1 del ejemplo anterior acepta las palabras {x {0,1}* x termina en 01}. Qué palabras acepta el siguiente AFND 2? Curso

12 Concepto de AFND(lenguaje reconocido) Ejemplos: El siguiente autómata acepta la palabra a, ya que acepta a Curso

13 Concepto de AFND(clausura lambda) Definición (clausura respecto a ): La clausura de un estado p con respecto a, CLAUS (p), se define recursivamente de la siguiente manera: pclaus (p) Si qclaus (p), y rf(q,), entonces rclaus (p) Curso

14 Concepto de AFND(clausura lambda) Ejemplo: CLAUS para los estados del AFND 3 (del ejemplo anterior): Curso

15 Concepto de AFND(función transición extendida) Definición (función de transición extendida): La función de transición extendida f*: Q*2 Q, se define recursivamente de la siguiente manera: f*(p,)=claus (p), para todo p Q f*(p,ax), para todo p Q, a y x*, se construye de la siguiente forma: Si CLAUS (p)={p 1,...,p n } y n entonces: f(p,a) {r i 1 i f *(p,ax) 1,...,r Nota: Si f(p,a) con pq y a{} no está definido, se considera que f(p,a)={}=. m } m f *(r i 1 i, x) Curso

16 Concepto de AFND(función transición extendida) Ejemplos: Considerando el AFND 3 de los ejemplos anteriores: Qué valores tienen? f*(p,b) f*(q,b) f*(p,a) Para casa: f*(p,ba) f*(p,aab) f*(p,aa) f*(r,) Curso

17 Concepto de AFND(lenguaje reconocido) Definición (lenguaje reconocido): Sea un AFND A=(Q,,f,q 0,F). El lenguaje reconocido por A está formado por el conjunto de palabras que pueden hacer transitar al autómata desde el estado q 0 hasta un estado final: L(A)={x x* y f*(q 0,x) F}. Curso

18 Concepto de AFND(AFNDs equivalentes) Definición (AFNDs equivalentes): Dos AFNDs A 1 y A 2 son equivalentes (A 1 A 2 ), si reconocen el mismo lenguaje: L(A 1 )=L(A 2 ). Curso

19 Concepto de AFND Ejemplos: 1. Qué lenguaje reconoce? palabras que no comienzan por b (incluída lambda) 2. Para casa: Que lenguaje reconoce el siguiente AFND? Curso

20 Concepto de AFND 3. Define un AFND con no más de 5 estados que reconozca L={abab n n0}{aba n n0} Curso

21 Sumario Capítulo 6: Autómatas Finitos No Deterministas. 1. Concepto de AFND 2. Teoremas de Equivalencia Curso

22 Equivalencia entre AFND y AFD Teorema 1: Dado un AFND A=(Q,,f,q 0,F), existe un AFD A tal que L(A)=L(A ) Curso

23 Demostración: Consideramos el AFD A =(2 Q,,f,q 0,F ), donde: q 0 =f*(q 0,)=CLAUS (q 0 ) F ={c c2 Q y cf} f (c i,a) = p c i f *(p,a) Se puede observar que para todo x*: xl(a) sii x L(A ): xl(a) f*(q 0,x) F (lenguaje reconocido de AFNDs) f*(q 0,x)F (por definición de F ) f *(q 0,x)F (por definición de q 0 y f ) xl(a ) (lenguaje reconocido de AFDs) Por tanto, A A. Curso

24 Ejemplo: Curso

25 Notas: El AFD obtenido de la forma anterior no tiene porqué ser mínimo. De hecho, puede tener muchos estados inaccesibles. Para obtener el autómata conexo (que no mínimo!) se puede construir la tabla de transición para f partiendo del estado CLAUS (q 0 )=q0, y definiendo a continuación todos los estados f (q 0,a), hasta que todos los nuevos estados que surjan hayan sido ya definidos. Curso

26 Ejemplo anterior: AFD conexo equivalente: L(A )={x10 n x {0,1}* y n es par o 0} {0 n n es impar} Curso

27 Teorema 2: Dado un AFD A=(Q,,f,q 0,F), existe un AFND A tal que L(A)=L(A ). Demostración: Trivial. Cualquier AFD puede entenderse, como un AFND. Consideramos el AFND A =(Q,,f,q 0,F), donde: f (q,)=, para todo qq f (q,a)={f(q,a)}, para todo qq y a Es obvio que L(A)=L(A ), por lo que A A. Curso

28 Teorema 3: Las clases de los lenguajes aceptados por AFDs y AFND s son idénticas. Curso

29 Ejemplo: Encontrar un AFD conexo equivalente al autómata AFND 3 A B C D AFD 3_equiv a b *{p} {q,r,s} { } *{q,r,s} {q,r,s} {p,r,s} { } { } { } *{p,r,s} {q,r,s} {p,r,s} AFD 3_equiv a b *A B C *B B D C C C *D B D Curso

30 Equivalencia AFs y Gramáticas Regulares Teorema: Dada una gramática lineal por la izquierda G=( N, T,S,P), existe un AFND A tal que L(A)=L(G). Curso

31 Demostración: Considérese el autómata A=( N {p}, T, f, p, {S}), donde la función f viene definida de la forma siguiente: B f(c,a) sii B::=Ca P, para todo a T y B, C N B f(p,a) sii B::=a P, para todo a T y B N S f(p,) sii S::= P Curso

32 Ejemplos: Sea la gramática G=({S,A,B},{0,1},S,P) con P={S::=B0 A1, A::=B0 0, B::=B0 A1} Un autómata equivalente es A=({S, A, B, p}, {0,1}, f, p, {S}) con f definido por es siguiente diagrama: Curso

33 Nota: En general, los autómatas así construidos no tiene porqué ser deterministas. Curso

34 Ejemplos: El AFD equivalente al ejemplo anterior es: A =({ps,sb,{},a,asb},{0,1},f,ps,{ps,sb,asb}): Además, AFD equiv ya es mínimo. Curso

35 Teorema: Dada una gramática lineal por la derecha G=( N, T,S,P), existe un AFND A tal que L(A)=L(G). Curso

36 Demostración: Considérese el autómata A=( N {p}, T, f, S, {p}), donde la función f viene definida de la forma siguiente: C f(b,a) sii B::=aC P, para todo a T y B,C N p f(b,a) sii B::=a P, para todo a T y B N p f(s,) sii S::= P Curso

37 Ejemplo: G=({V 0,V 1,V 2 },{a,b},v 0,{V 0 ::=av 1 av 2, V 1 ::=av 2 b, V 2 ::=bv 0 }) El autómata equivalente: Curso

38 Teorema: Dado un AFD A=(Q,,f,q 0,F) existe una gramática lineal por la derecha G tal que L(A)=L(G). Curso

39 Demostración: Considérese la gramática G=(Q,,q 0,P), donde P se define por: q i ::=aq j P sii f(q i,a)=q j q i ::=a P sii f(q i,a)f q 0 ::= P sii q 0 F Curso

40 Ejemplos: Sea el siguiente autómata: La gramática equivalente es: G=({q 0, q 1, q 2 },{0,1},q 0,P) con P={q 0 ::=0q 1 1q 0, q 1 ::=0q 1 1q 2 1, q 2 ::=0q 1 1q 0 } Para CASA: A partir de esta gramática construye un autómata y comprueba que éste es equivalente al autómata A Curso

41 Teorema: Las clases de los lenguajes aceptados por autómatas finitos y generados por gramáticas regulares son idénticas. Curso

42 Nota: Los algoritmos vistos hasta ahora permiten convertir cualquier representación de un lenguaje regular (autómatas finitos deterministas y no deterministas, gramáticas lineales por la izquierda o por la derecha) en otra. Los algoritmos permiten comprobar la equivalencia de dos representaciones cualesquiera de lenguajes regulares Pasos: Convertir ambas representaciones a AFD Minimizar los AFD obtenidos Comparar los AFD mínimos Curso

43 Ejemplos: Sea el siguiente AFD A=({p,r,q,s,t},{0,1},f,p,{s,t}) con f definido por el siguiente grafo de transición: Obtén una GLD G tal que L(G)=L(A) A partir de G, construye un AFND A tal que L(G)=L(A ). A partir de A obtén un AFD A equivalente. Curso