Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD. X- μ. f(x) = e para - < x < Z 2. . e para - < z <

Transcripción

1 Tema 7 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD La distribució ormal: La distribució ormal, campaa de Gauss o, curva ormal, tambié defiida por De Moivre. Características y propiedades: La siguiete fórmula recoge la fució: X- μ - f(x) e para - < x < π dode μ y, media y desviació típica, so sus parámetros, π 3,46 y e,78 y base de los logaritmos eperiaos. Si ua variable X tiee ua distribució que se ajusta a la fórmula aterior, es ua distribució ormal y se expresa X N; idicado que tiee ua distribució ormal co parámetros μ y. Si ua variable X le aplicamos ua trasformació lieal Y bx+a, la ueva variable se distribuirá ormalmete pero co media bμ x + a y la desviació típica b x. Si restamos la media y dividimos por la desviació típica obteemos ua ueva variable z. Por tato: z N (0,) Y su fució de probabilidad será: - Z f(z). e para - < z < π Ua distribució ormal es simétrica a su media, μ, coicide co su mediaa y su moda. La curva ormal tiee dos putos de iflexió; dos putos dode la curva pasa de ser cócava a covexa. Estos putos está a la distacia de ua desviació típica de la media. Es asitótica e el eje de abscisas, se extiede desde - hasta + si tocar uca el eje. Casos de utilizació de las tablas: E el supuesto que la tabla o recoja el valor, podemos utilizar el más próximo.. Cálculo de la probabilidad para valores meores o iguales que ua determiada putuació típica: E este caso se mira directamete e la tabla.. Cálculo de la probabilidad para valores mayores que ua determiada putuació:

2 E este supuesto se mira e la tabla la probabilidad que esa putuació deja por debajo y se resta a. 3. Cálculo de la probabilidad etre dos putuacioes determiadas: Aquí se resta las probabilidades que deja por debajo de sí las dos putuacioes típicas. Histograma y distribució ormal: Si dispoemos de los datos origiales de ua variable X, y su distribució es ormal,utilizaremos las tablas III y IV, pero ateriormete trasformaremos las putuacioes directas e putuacioes típicas: z i X i - X S x Aproximació de la biomial a la ormal: Cuado las distribucioes biomiales supera sus valores de 0, se puede aproximar a la biomial ormal. Teiedo ua variable X, co distribució biomial, su media es μ p y su desviació típica pq. Podemos realizar: (x 0,5) - μ x-μ P(X x) P < < (x+0,5) - μ (x-0,5) - p P(X x) P < z < pq (x+0,5) - p pq Tiramos 0 veces ua moeda al aire; cuál es la probabilidad de que salga caras? Teemos que úmero de caras x, co úmeros de itetos 0 y p 0,5. Mirado e la tabla I el valor de la probabilidad de éxito es 0,0. Ahora calculamos la media y la desviació típica: μ 0. 0,5 0 // y; pq 0.0,5.0,5 5,4 Para aproximar la distribució biomial a la ormal establecemos u itervalo etre 0,5 a la izquierda y a la derecha: Covertimos las putuacioes e típicas: P [(-0,5) < x < (+0,5)] y quedaría: P (-0,5)-μ < x-μ < (+0,5)-μ P (-0,5)-μ < z < (+0,5)-μ

3 dádole valor a μ y : P (-0,5)-0,4 < z < (+0,5)-0,4 P(0,67 < z <,) fialmete utilizamos las tablas de distribució ormal: la aproximació es muy buea; hay ua diferecia de ua diezmilésima para 0 itetos. A medida que aumeta (itetos) mejora la aproximació. Sumar y restar el valor 0,5 se llama correcció por cotiuidad, permitiedo utilizar las putuacioes discretas como cotiuas. La distribució CHI CUADRADO de Pearso: E la distribució de Chi cuadrado de Pearso ua variable X co distribució X, X,..., X pasa a ser X X. Su media y variaza valdrá μ y,. Esta distribució se usa para cotrastar si la distribució de ua variable se ajusta a ua distribució determiada. Etre sus propiedades señalamos:. Nuca adopta valores meores de 0.. Es asimétrica positiva pero a medida que aumeta sus grados de libertad se va aproximado a la distribució ormal. 3. Para > 30 la podemos aproximar a ua distribució N(, ). E la tabla V se halla alguos valores de las distribucioes X. E ua variable co 5 grados de libertad, X X 5, el valor,07 deja por debajo de sí ua proporció de 0,95, represetádose de la siguiete maera: 0,95 X,07. 5 Ahora si quisiéramos calcular P (X >,07): La distribució t de Studet: P(0,67 < z <,) 0,8686 0,7486 0, P (X >,07) P (X <,07) 0,95 0,05 Para defiir estas distribucioes,al igual que hemos hecho co el Chi Cuadrado, emplearemos otras distribucioes. Teiedo dos variables X e Y co ua distribució (0,) y X. La variable aleatoria T X sigue ua distribució t co grados de libertad y se expresa: T t Y/. Su media siempre vale 0 y su variaza. - Ua distribució t es el cociete etre ua variable N(0,) y la raíz cuadrada de X dividida por sus grados de libertad.

4 Sus características so:. Es simétrica, co μ 0. Su forma es muy parecida a la N(0,), auque meos aputada.. Puede tomar cualquier valor (- + ). 3. A medida que aumeta los grados de libertad, la distribució se aproxima más a ua distribució ormal. 4. La curva es asitótica al eje de abscisas. Se emplea e estadística iferecial e cotrastes. E la tabla VI se muestra los valores de esta distribució. La distribució de F de Sedecor: Se emplea pricipalmete e el cotraste de hipótesis. Sigue ua distribució F co y grados de libertad (F, ). Siedo los grados del umerador y los del deomiador; su media y variaza se defie: Se caracteriza por: μ F - X / X / para > ; ( + -) ( -4)( -) para > 4.. Es asimétrica positiva por lo que uca toma valores meores que 0.. Si X es variable co distribució F co y grados de libertad, la variable Y /X es tambié ua distribució F (propiedad recíproca): -p F, p F, ; dode p es la propiedad asociada al valor de la variable. Se emplea para calcular alguos percetiles o probabilidades que o aparece la tabla. E la tabla VII sólo aparece la probabilidad de que X 0,900; 0,950; 0,975 y 0,990. Ua variable X co distribució F5,0: A) Calcular P(X<3,33); buscamos el valor de 5 grados de libertad e el umerador y 0 grados e el deomiador e la tabla VII, dode se ecuetra el valor3,33. Observamos que se correspode co ua probabilidad de 0,95; por tato 3,33 se correspode co el percetil 95. B) Determiar el valor del percetil 5 de X, es decir: 0,05 F5,0;

5 e este caso haremos uso de la propiedad recíproca: 0,05 F 5,0-0,05 F 0,5 E la tabla VII vemos que: 0,95F0,5 4,74. Por tato: 0,05 F 5,0 0,95 F 0,5 0,95 F 0,5 4,74 0,