PROPIEDADES DISTRIBUCIONALES DE INDICES DE CAPACIDAD DE PROCESOS BAJO DISTRIBUCIONES NO NORMALES

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1 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 Ferreri, Noemí M. Quaglino, Marta B. () Facultad de iencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura. UNR () Instituto de Investigaciones Teóricas y Alicadas. Escuela de Estadística. UNR PROPIEDADES DISTRIBUIONALES DE INDIES DE APAIDAD DE PROESOS BAJO DISTRIBUIONES NO NORMALES - INTRODUIÓN El estudio de la caacidad de un roceso, junto con el control estadístico de rocesos y el diseño de exerimentos son métodos estadísticos que se utilizan desde hace décadas con el roósito de controlar y reducir la variabilidad de rocesos y roductos, mejorando así calidad y roductividad. Dentro de los estudios de caacidad se utilizan indicadores que cuantifican la habilidad del roceso ara cumlir con las esecificaciones de clientes tanto internos como externos. Estos son los Índices de aacidad de Proceso, que se constituyen en los indicadores más utilizados en las emresas ara comunicar acerca de la calidad de roductos o servicios. Muchos de los indicadores rouestos en la literatura, entre los que se encuentran los de uso más frecuente en la industria, evalúan varios asectos de la caacidad de un roceso simultáneamente y el usuario no uede conocer entonces la naturaleza de la falta de caacidad, cuando esta ocurre. Una forma de suerar esta limitación es considerar índices que evalúen la caacidad en relación a un único asecto (variabilidad, centrado, roorción de roducción no conforme, etc.) y definir con ellos un vector de caacidad de roceso. Surge además otro inconveniente relacionado con los índices de caacidad: muchos de ellos han sido construidos suoniendo normalidad de la variable en estudio, de modo que ueden conducir a resultados engañosos si esta no se cumle. En este trabajo se consideran indicadores que señalan roblemas de caacidad en relación a la variabilidad, ara rocesos con una única variable de calidad continua. Sus objetivos son:

2 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 - Presentar diferentes indicadores de caacidad en relación a la variabilidad y analizar sus roiedades oblacionales ara rocesos con esecificaciones bilaterales simétricas y alejamientos de la normalidad. - Prooner estimadores ara los diferentes indicadores de caacidad y estudiar sus roiedades distribucionales or simulación frente a alejamientos de la normalidad. El trabajo se organiza en 4 secciones de las cuales la Introducción es la rimera. En la Sección se resentan diferentes indicadores de caacidad en relación a la variabilidad y se analizan sus roiedades oblacionales; mientras que en la Sección se resentan sus estimadores y se estudian or simulación sus roiedades distribucionales. En la Sección 4 se analizan conjuntamente los resultados obtenidos en las Secciones y y se sustancian las conclusiones más imortantes, indicando los aortes que se derivan de este trabajo ara el lanteo y el estudio de las roiedades de indicadores multidimensionales. - INDIADORES DE APAIDAD EN RELAION A LA VARIABILIDAD uando la identificación de roblemas en la variabilidad del roceso es el objetivo, los índices tienen generalmente la siguiente estructura: Variación ermitida ara el roceso Variación actual del roceso La variación ermitida ara el roceso (VP) surge a artir de las esecificaciones imuestas al roducto o servicio y se obtiene haciendo la diferencia entre el límite suerior (LSE) y el límite inferior de esecificaciones (LIE). La variación actual del roceso (VA) viene dada or la diferencia entre las tolerancias naturales, que son los ercentiles suerior e inferior de la distribución de la variable en estudio, tales que una roorción dada de dicha distribución se ubica entre ellos. Un roceso se define como caaz en relación a la variabilidad si VA es a lo sumo igual que VP y en ese caso, el cociente toma un valor mayor o igual que. El más divulgado de los índices de este gruo es 70 del siglo anterior:, resentado or Juran en la década del Están definidos el límite inferior de esecificaciones (LIE) y el límite suerior (LSE) y el valor objetivo, T, es el unto medio del intervalo (LIE,LSE)

3 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 LSE - LIE = 6σ donde σ es la desviación estándar del roceso. (), En la exresión de se suone imlícitamente que las esecificaciones son bilaterales simétricas, 0,005 es el máximo admitido ara la roorción de roducción no conforme a cada lado de los límites de esecificaciones y la variable en estudio es normal. Si los dos rimeros requerimientos se verifican; ero no la normalidad, el valor de engañoso. uede resultar hang, hoi y Bai (00) roonen un indicador ara distribuciones asimétricas basado en la idea que en ese caso, la desviación estándar del roceso, σ, uede dividirse en una desviación suerior (σ U ) y en una desviación inferior (σ L ) que reresentan resectivamente el grado de disersión de los lados suerior e inferior resecto de µ. La exresión rouesta es: donde es la exresión (), P µ = P(X µ) VP = mín( ; ) Pµ (- P µ ) (), Otros autores roonen diseñar índices a distribución libre utilizando ercentiles. Entre ellos se encuentran Pearn y hen (997) que resentan la siguiente exresión: LSE - LIE = (), P - P NP 99,865 0,5 donde P 99,865 y P 0,5 son los ercentiles corresondientes. En síntesis, la exresión () solo se uede alicar bajo normalidad y la exresión () se adata a distribuciones asimétricas, reduciéndose a () si la distribución es simétrica. Ambas exresiones están basadas en la desviación estándar. La exresión () se basa en ercentiles y or lo tanto uede alicarse ara cualquier distribución. Todas las exresiones mencionadas se roonen ara esecificaciones bilaterales simétricas y suonen un máximo de 0,005 ara la roorción de roducción no conforme a cada lado de los límites. Esto último uede modificarse cambiando el valor 6 en () o cambiando los ercentiles en (). Las roiedades oblacionales que se evalúan son la sensibilidad y la esecificidad. Una exresión es sensible si advierte sobre la falta de caacidad de los rocesos cuando esta se

4 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 roduce; mientras que es esecífico si no da falsas alarmas cuando el roceso realmente es caaz. Bajo normalidad, VA coincide con 6σ y la robabilidad de obtener valores menores que µ es 0, or lo que cualquiera de las exresiones resultan equivalentes. Además, si el roceso es caaz, VA resulta a lo sumo igual que VP y los índices () a () toman un valor mayor o igual que. Lo contrario ocurre si el roceso no es caaz. Entonces, las tres exresiones resultan sensibles (toman un valor menor que si el roceso no es caaz) y esecíficas (toman un valor mayor que si el roceso es caaz). Si el modelo es simétrico ero no normal, las exresiones basadas en σ coinciden. En articular, si se considera una mezcla de distribuciones normales, con el mismo valor eserado ero diferente variabilidad, VA es mayor que 6σ y como consecuencia, estas exresiones sobrevaloran la caacidad del roceso, udiendo identificar como caaz a un roceso que no lo es. Esto imlica que siguen siendo esecíficas ero no siemre sensibles a la falta de caacidad. Una forma de reducir la érdida de sensibilidad ara estas exresiones es considerar un valor menor que 6 en el denominador, aunque esto significa admitir una mayor roorción de roducción no conforme. La exresión () no se ve afectada ya que su denominador coincide con VA, resultando siemre sensible y esecífica. Si el modelo es asimétrico ninguna de las exresiones rouestas coinciden. Solo () resulta sensible y esecífica; mientras que las restantes son esecíficas ero ueden resultar no sensibles. En este caso la exresión () es la que menos sobrevalora la caacidad. También está la osibilidad de considerar un valor menor que 6, ya mencionada en el árrafo anterior. La Tabla resume las roiedades oblacionales de las exresiones rouestas. La exresión (), basada en ercentiles resulta siemre sensible y esecífica, indeendientemente de la distribución de la variable de calidad. Las restantes ueden resultar no sensibles si el modelo se aleja del normal.

5 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 Tabla. Sensibilidad y esecificidad de los indicadores de caacidad en relación a variabilidad Distribución ara la variable en estudio Indicadores de caacidad en relación a la variabilidad () VP () NP () Normal ( ) ( ) ( ) Mezcla de normales ( ) ( ) ( ) Asimétrica ( ) ( ) ( ) Referencias: ( ) siemre sensibles y esecíficas ( ) esecíficas ero no siemre sensibles La sensibilidad y la esecificidad se analizaron suoniendo conocidos la distribución de robabilidad de la variable en estudio y sus arámetros. En la ráctica, la caacidad de un roceso se estudia a artir de información muestral y entonces, se requiere el análisis de las roiedades de los estimadores. Esto es lo que se realiza en la siguiente sección. - ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES DISTRIBUIONALES DE LOS ESTIMADORES Para cada uno de los índices de caacidad rouestos en la sección anterior, se define un estimador, or el método de sustitución (lug-in). Los mismos se resentan en la Tabla. Para evaluar las roiedades distribucionales de los estimadores resentados en dicha tabla se consideran los siguientes modelos: - N(00,0) - Mezcla de normales, donde el 90 % de los valores corresonden a una distribución N(00,0) y el 0 % restante a una distribución N(00,0) - Lognormal (,67; 5) A los valores de esta distribución se les suma la constante 8,0655 ara que E(X) = 00

6 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 Tabla Estimadores de los indicadores de caacidad en relación a la variabilidad Estimadores de las exresiones basadas en σ () LSE - LIE b 6S, con b = f Γ( ) f f Γ( ) LSE - T T - LIE min( ; ) () S( x ) S((- x )) y f = n - Estimador de la exresión basada en ercentiles () LSE - LIE - 99,865 0,5 S: desviación estándar muestral, x es la roorción de valores muestrales menores que la media, 0,5 y 99,865 son los ercentiles estimados con el método que R utiliza or omisión y b es un factor de corrección ara el sesgo rouesto or Pearn, Kotz y Johnson (99). Para las tres distribuciones elegidas, el valor eserado es 00 unidades y la desviación estándar, 0. Para el tercer modelo, el coeficiente de asimetría es aroximadamente. A su vez, se definen dos casos en relación con las esecificaciones, todos ellos corresondientes a esecificaciones bilaterales simétricas: - - Esecificaciones: (55,45), valor objetivo (T): Esecificaciones: (80,0), valor objetivo (T): 00 De la combinación de los distintos modelos y casos elegidos surgen 6 escenarios diferentes. Si bien tanto los arámetros elegidos ara las distribuciones consideradas (media 00 y desviación estándar cercana a 0 ara todas las distribuciones) como los límites esecificación y valores objetivos son arbitrarios, esto no imlica érdida de generalidad; ya que combinados dan lugar a rocesos sin y con roblemas de variabilidad, generando un esectro comleto de osibles situaciones rácticas (ara los modelos considerados en este trabajo, el roceso resulta caaz en relación a la variabilidad en el caso y no caaz en el caso ). Para cada uno de los 6 escenarios, se simulan 0000 muestras de tamaños n = 5, 50 y 00. A artir de las distribuciones muestrales emíricas se obtiene el sesgo relativo (SR) y el error cuadrático medio (EM) de cada uno de los estimadores rouestos. También se analiza la forma de la distribución muestral. Las roiedades mencionadas se definen en la Tabla.

7 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 Tabla Proiedades de los estimadores de caacidad en relación a la variabilidad Proiedad Definición Sesgo Relativo (SR) SR = E(c) - Error uadrático Medio (EM) EM = E(c ) = Var(c) + (E(c) ) es el indicador de caacidad y c, su estimador El Sesgo Relativo toma valores menores que 0,5 si se considera a los estimadores basados en σ ( y ), siendo casi nulo ara el estimador si el modelo es el normal. Para el estimador basado en ercentiles (), oscila entre 0,0 y, resultando mayor ara la mezcla de normales y la distribución asimétrica. Para cualquiera de los estimadores mencionados, los valores de SR se reducen a medida que n aumenta. Estos resultados son similares ara los dos casos considerados en este trabajo en relación con las esecificaciones (Figura ). Lo mismo ocurre con el Error uadrático Medio, que resenta los valores mayores ara el estimador basado en ercentiles. Esta diferencia se hace más notoria en el caso (Figura ). Figura. Sesgo relativo (en valor absoluto) de los estimadores de caacidad en relación a la variabilidad, or modelo, caso y tamaño muestral Sesgo Relativo (en v.abs.), 0,9 0,7 0, 0,, 0,9 0,7 0, 0,.Normal. aso.normal. aso.mezcla de Normales. aso.mezcla de Normales. aso.asimétrico. aso.asimétrico. aso, 0,9 0,7 0, 0, n Estimador

8 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 Figura. Error uadrático Medio de los estimadores de caacidad en relación a la variabilidad, or modelo, caso y tamaño muestral,5,0,5,0.normal. aso.normal. aso n ,0.Mezcla de Normales. aso.mezcla de Normales. aso,5,0 EM,5,0,5.Asimétrico. aso.asimétrico. aso 0,0,0,5,0 0,0 Estimador En la Figura se resentan, a modo de ejemlo, las distribuciones muestrales obtenidas or simulación ara la mezcla de normales y ara la distribución asimétrica. omo se observa en dichas figuras, las distribuciones de los estimadores se van aroximando a la normal a medida que aumenta el tamaño de muestra. A su vez, las curvas de densidad muestran claramente que el estimador basado en ercentiles () es sesgado, lo cual es más notorio ara el menor tamaño de muestra considerado en este trabajo (n = 5). En síntesis, los estimadores basados en σ resentan valores de SR y EM marcadamente inferiores que los corresondientes al estimador basado en ercentiles. A su vez, las distribuciones muestrales obtenidas ara cualquiera de los estimadores no difiere sustancialmente de la normal ara los tamaños muestrales considerados en este trabajo.

9 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 Figura. Distribuciones muestrales de los estimadores de caacidad en relación a la variabilidad, or modelo, caso y tamaño muestral Mezcla de normales Modelo asimétrico.5 Estimador Estimador 0 4 Estimador.5 Estimador Estimador 0 4 Estimador Estimador Estimador Estimador Referencias: celeste: n = 5; rosa: n = 50; verde: n = 00

10 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 4- ONSIDERAIONES FINALES En este trabajo se rousieron tres indicadores de caacidad en relación a la variabilidad. El rimero,, es amliamente utilizado en la industria y se basa imlícitamente en la distribución normal. El segundo, VP, resenta una modificación ara ser utilizada con distribuciones asimétricas y se reduce al rimero si la distribución es simétrica. El tercero, uede ser utilizado con cualquier distribución ya que está basado en ercentiles. NP, Del análisis de la sensibilidad y esecificidad de las exresiones en la oblación surge que solo NP resulta sensible y esecífico en todos los casos y modelos considerados. Sin embargo, el estimador rouesto ara NP no resenta buenas roiedades ni siquiera ara el mayor tamaño muestral considerado en este trabajo (n = 00), asumiendo valores altos ara SR y EM. En el otro extremo, solo es sensible y esecífico bajo normalidad y ierde sensibilidad ara las mezclas de normales y las distribuciones asimétricas; ero su estimador es el que resenta valores más bajos de SR y EM. La alternativa que se roone en este trabajo es considerar como indicador a la exresión VP y su estimador corresondiente or las siguientes razones: Si el modelo aroiado es el normal, la exresión es sensible y esecífica; mientras que si se trabaja con distribuciones asimétricas ierde sensibilidad ero en menor medida que. Para mezclas de normales, uede mejorarse su sensibilidad, tomando un valor menor que 6 en el denominador. Además, el estimador rouesto ara EM y SR que el estimador de. VP resenta valores similares o levemente sueriores de Los indicadores resentados corresonden a la caacidad en relación a la variabilidad, sin embargo odría alicarse un rocedimiento análogo ara seleccionar indicadores de caacidad en relación a otros asectos (centrado, roorción de roducción no conforme, etc.), ara finalmente definir un indicador multidimensional de caacidad, caaz de identificar simultáneamente distintas dimensiones de caacidad y lo suficientemente flexible como ara alicarse a distintas situaciones. De esta forma, del análisis de la caacidad surgiría no solo la falta de caacidad de un roceso sino también la naturaleza de la misma, ermitiendo la lanificación de acciones correctivas en forma integral, aun cuando los suuestos clásicos, como la distribución normal de la variable de calidad, no se satisfagan.

11 Decimosextas Jornadas "Investigaciones en la Facultad" de iencias Económicas y Estadística. Noviembre de 0 REFERENIAS BIBLIOGRÁFIAS hang, Y.; hoi, I.; Bai, D. (00) Process aability Indices for Skewed Poulations. Quality and Reliability Engineering International, 8, 8-9. Gunter, B (989) The Use and Abuse of k Parts -4, Quality Progress,, 7-7, 79-80, 86-87, Kotz, S.; Johnson, N. (00) Process aability Indices- A Review, (con discusión), Journal of Quality Technology, 4, -9. Pearn, W.; hen, K. (997) aability Indices for non-normal distributions with an alication in electrolytic caacitor manufacturing, Microelectronics Reliability, 7, Pearn, W. ; Kotz, S.; Johnson, N. (99) Distributional and Inferential Proerties of Process aability Indices, Journal of Quality Technology, 4, 6-. Pearn, W.; Kotz, S. (006), Encycloedia and Handbook of Process aability Indices. A omrehensive Exosition of Quality ontrol Measures. (Series on Quality, Reliability and Engineering Statistics. Vol ), Singaur: World Scientific. Shahriari, H.; Abdollahzadeh, M. (009) A new multivariate rocess caability vector, Quality Engineering,, Wang, F.; Hubele, N.; Lawrence, F.; Miskulin, J.; Shahriari, H. (000), omarison of Three Multivariate Process aability Indices, Journal of Quality Technology,, 6-75.