INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA ECUACIONES DIFERENCIALES. Portafolio Parte 2

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA DEPARTAMENTO DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN SEMESTRE ENERO JUNIO 2014 INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES ECUACIONES DIFERENCIALES Portafolio Parte 2 Indicadores 19-23, 25, 30, 35 JACUINDE MIRAMONTES KAREN VERÓNICA MALDONADO CANO LUIS ALEJANDRO SALCEDO JACKEZ JUAN PABLO SC4A Ing. Enrique Cómer Barragán Tijuana, B. C., a 30 de Mayo de 2014

2 Índice Introducción... 3 ic ic ic ic ic ic ic ic Conclusión Referencias Bibliográficas y de Internet

3 Introducción En este portafolio se incluyen los indicadores 19, 20, 21, 22, 23, 25, 30 y 35 de la materia de Ecuaciones Diferenciales. Los indicadores 19 y 20 hacen referencia a la solución de una aplicación de una ecuación diferencial lineal homogénea y no homogénea de coeficientes constantes. Los indicadores 21 y 22 son acerca de la solución de expresiones por transformadas de Laplace, ya sea por integrales o por el uso de tablas. El indicador 23 consiste en la solución de un PVI (Problema con Valor Inicial) por medio de transformadas de Laplace. El indicador 25 trata sobre un PVI asociado a una aplicación selecta, donde se aplique una función definida a tramos, mediante la transformada de Laplace de una función. Y para finalizar, el indicador 35 consiste en la solución de un PVI mediante cualquiera de los métodos que se fueron aprendiendo en el transcurso de estos bloques. Esperamos que todo lo que se presenta a continuación sea claro y no presente error que cause confusión. 3

4 ic 19. Resolver una aplicación selecta de una ED Lineal homogénea de coeficientes constantes (de orden 2, 3 ó 4). 45. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC en t = 0.01 s cuando L = 0.05 h, R = 2 Ω, C = 0.01 f, E(t) = 0 V, q(0) = 5 C e i(0) = 0 A. Determine la primera vez en que la carga del capacitor es igual a cero. La ecuación para resolver este problema es: Resolviendo como E.D. lineal homogénea de coeficientes constantes, se sustituye de esta manera: Lo siguiente sería despejar m para saber cuál caso será el que usaremos para solucionar la ecuación: Como m1,2 son diferentes y complejos, la solución general se construye de la siguiente manera: 4

5 Utilizando WxMaxima como apoyo para solucionar y comprobar la respuesta, obtenemos: Derivamos q(t) para calcular i(t): Comprobando con WxMaxima: Sustituyendo con los valores iniciales: 5

6 Así que la solución particular es: Para t = 0.01 s la respuesta a la carga del capacitor es: La respuesta al tiempo en que la carga del capacitor es igual a 0 la obtenemos graficando con GeoGebra: 6

7 ic 20. Resolver una aplicación selecta de una ED Lineal no homogénea de coeficientes constantes (orden 2, 3 ó 4). 47. Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito LRC. Determine la carga máxima en el capacitor., R = 10 Ω,, E(t) = 300 V, q(0) = 0 C, i(0) = 0 A. La ecuación para resolver este problema es: Resolviendo como E.D. lineal no homogénea de coeficientes constantes, primero se hace la solución general qc que es igualada a 0 sustituyendo de esta manera: Lo siguiente sería despejar m para saber cuál caso será el que usaremos para solucionar la ecuación: Como m1,2 son diferentes y complejos, la solución general qc se construye de la siguiente manera: 7

8 Utilizando WxMaxima como apoyo para solucionar y comprobar la respuesta, obtenemos: Ahora se construye la solución particular de la ecuación original mediante coeficientes indeterminados utilizando una qp propuesta, usando como referencia la siguiente tabla: 8

9 Derivamos la solución qp para poder sustituirla en la ecuación original y poder despejar el valor de A: Utilizando los valores de C y E(t), obtenemos el valor de A: Resolviendo por superposición, obtenemos q(t): Comprobando por medio de WxMaxima: 9

10 Derivamos q(t) para calcular i(t) que es la corriente en el circuito: Comprobando por medio de WxMaxima: Sustituyendo con los valores iniciales: Así que la solución particular y carga del capacitor es: Y la corriente en el circuito es: 10

11 La respuesta a la carga máxima en el capacitor la obtenemos mediante la fórmula de la carga: Comprobando por medio de las gráficas en GeoGebra utilizando la función del punto máximo en un intervalo: 11

12 ic 21. Encontrar la transformada de Laplace indicada, aplicando la definición: a. b. a. Transformada de Para resolver estos ejercicios se determina la utilizando la definición: Habiendo dicho esto, se puede resolver la ecuación por definición sustituyendo los valores correspondientes: Al ser una integral se determinan los valores de u y de v : Después de integrar valores de v y du. (Lo resolveremos por partes). se debe multiplicar los valores de u y v además de los Al hacerlo por partes se calcula el límite de b 12

13 Al calcular el límite se determina que el valor resultante es cero, por lo que solo nos queda: Como se podrán dar cuenta, queda otra transformada de Laplace, que es L{t}, por lo que se deberán hacer los pasos anteriores, pero ahora para calcular la transformada de Laplace de t : Resumiendo, la transformada de Laplace de t es multiplicar:, por lo que solo es cuestión de Como resultado, la transformada de Laplace de es: b. Transformada de Utilizamos de nuevo la transformada de Laplace por definición en Al tener dos exponenciales podemos factorizar sus exponentes para hacer las cosas más fáciles, ya que cuando dos exponenciales se multiplican, sus exponentes se suman: 13

14 Integramos la ecuación: Evaluamos la primera parte de la suma con b, como es necesario que, si no, no se podría realizar la operación, valdrá 0: Por lo que da como resultado: 14

15 ic 22. Mediante tablas de transformadas de Laplace, determinar: a. b. a. Transformada de Laplace de Primero se saca la constante que está multiplicando el resto de la ecuación: = 3 * Después se observa a cuál transformada de Laplace equivale la ecuación (ver tablas de Laplace): = 3 * Se sustituyen los valores de k en la transformada de Laplace: = 3 * Por último se multiplica la transformada de Laplace con el valor que sacamos al principio: Resultado = b. Transformada de Laplace de Al igual que en el ejercicio anterior, primero buscamos en las tablas la transformada de Laplace a la que corresponda la ecuación, al ser una suma se puede separar en dos partes sacando la transformada de Laplace de los dos factores independientemente, además tiene una multiplicación, por lo cual debemos separarlo de la ecuación como en el primer ejercicio: = Se sustituyen los valores en ambas transformadas: = Se multiplica el valor que sacamos y listo: Resultado = 15

16 ic 23. Resolver los PVI siguientes: a. para,. b. para. a. PVI: Se busca la transformada de Laplace que corresponda, en este caso es que la transformada de Laplace sería Por lo Sustituimos los valores de y(0) = 1, y (0)= 0 en la transformada: Resolvemos: Resultado: b. PVI: Hacemos exactamente lo mismo que el ejercicio anterior: 16

17 ic 25. Resolver un PVI asociado a una aplicación selecta, donde se aplique una función definida a tramos, mediante la transformada inversa de una función que requiera la aplicación del segundo teorema de corrimiento (traslación en el eje t). 81. Pastel dentro de un horno. a) Diseñe un modelo matemático para la temperatura de un pastel mientras está dentro del horno con base en las siguientes suposiciones: en t = 0 la mezcla de pastel está a temperatura ambiente de 70 ; el horno no se precalienta por lo que en t = 0, cuando la mezcla de pastel se coloca dentro del horno, la temperatura del horno aumenta linealmente hasta t = 4 minutos, cuando se alcanza la temperatura deseada de 300 ; la temperatura del horno se mantiene constante en 300 para t 4. b) Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales del inciso a). a) Primero se determina la ecuación de la temperatura del enfriamiento del pastel. Entonces k es una constante y dados los valores iniciales de debe de cumplir que. Si t=0 T=70 Si t=4 T= Entonces nuestra ecuación de la temperatura del enfriamiento del pastel será nuestro modelo matemático. b) Para resolver la ecuación con los valores iniciales por medio de la transformada de Laplace, se aplica (Laplace) a ambos lados de la ecuación. En donde F(s) está definido como: 17

18 Entonces: Para hallar la transformada inversa se tiene en cuenta la formula. Se obtiene: Aplicando = <4 La grafica de la función es: 18

19 ic 30. Seleccionar y resolver un PVI aplicado donde se utilice al menos una de las competencias previas en este bloque. Se tiene la siguiente ecuación. Con y(0) = 1 Sacamos la transformada de Laplace. Aplicando las fórmulas de Laplace. Despejamos Y(s). Ahora se busca la inversa (en este caso por medio de fracciones parciales). 19

20 Sustituyendo. Ahora si se puede obtener la transformada inversa. Entonces la solución al PVI: 20

21 ic 35. Resolver un problema de aplicación selecta, modelable como un sistema de ED lineales no-homogéneas, usando el método de considere más conveniente. Resortes Acoplados Primero se establecen las ecuaciones generales para los resortes. Para la masa 1. Para la masa 2. Entonces se obtienen las ecuaciones generales Problema: Resolver el siguiente sistema. Determinar la distancia X1 y X2 en términos de t (tiempo). Con Sustituyendo con el sistema de ecuaciones generales se determina. 21

22 Ahora se aplica la transformada de Laplace a las ecuaciones. Factorizando. De la segunda ecuación se despeja X1. Ahora se sustituye en la primera ecuación. Multiplicando por 4 y dividiendo. Utilizando las parciales. Ahora se utiliza la transformada inversa. 22

23 Racionalizando. Finalmente se obtiene la solución para X2. Después se encontrara la solución para X1, anteriormente se determinó que X1: Lo que sigue es sustituir X2 en su forma de frecuencia para poder aplicar la transformada inversa. Ya se puede obtener la transformada inversa. 23

24 Obteniendo así la solución para X1. Finalizamos nuestro problema presentando las ecuaciones para X1 y X2, mencionado así que estas X nos dicen cómo se comporta la masa en el sistema. En la gráfica se observa cómo se mueve la masa 1 (azul) y como responde a este movimiento la segunda masa con su resorte (rosa). 24

25 Conclusión Podemos finalizar este trabajo diciendo que durante todo el semestre que se estudiaron las ecuaciones diferenciales, se aprendió que son de una gran utilidad en el área de la simulación y aunque muchas veces fueron bastante confusas y difíciles de comprender como muchos temas de matemáticas, con la practica fueron volviéndose un poco más sencillas. Nunca sabemos en qué trabajo terminaremos desempeñándonos y puede llegar a ser que usemos estas ecuaciones e incluso unas más complicadas en el futuro, esto sólo es la punta del iceberg para la ingeniería. En cuanto a nuestro portafolio respecto el resolver las actividades propuestas represento un cierto grado de dificultad y se tuvo que obtener información de varias partes incluyendo el libro de Dennis y varios vídeos, entre otros recursos de Internet. Nos sentimos realmente orgullosos de poder haber realizado exitosamente todas las actividades propuestas y esperamos con muchas ganas seguir avanzando con nuestra carrera. Referencias Bibliográficas y de Internet Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de Modelado, 9/e. Dennis G. Zill. CENGAGE Learning, 2009, pp. 198, _enfoque_de_superposi 25