1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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1 1 1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 11 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN Un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo dx 1 dt a 11 tx 1 + a 1n tx n + f 1 t dx n dt a n1 tx 1 + a nn tx n + f n t se denomina sistema lineal de primer orden Las funciones a ij t, f i t se supondrán continuas en un intervalo dado I a, b Si f i t para todo i 1,, n, se dice que el sistema es homogéneo La expresión del sistema anterior se suele hacer en forma matricial siendo X Xt x 1 t x n t 1 X AX + F A At F F t a 11 t a 1n t a n1 t a nn t f 1 t f n t Si el sistema es homogéneo, se escribe X AX x 1 t Definición 1 Diremos que el vector X es solución de 1 en x n t un intervalo I si sus elementos son funciones diferenciables que satisfacen 1 en dicho intervalo Definición 2 Problema del valor inicial Dado t I y dado X x 1 x n un vector cuyas entradas son constantes dadas, el problema de resolver X AX + F sujeto a la condición Xt X se denomina problema de valor inicial en el intervalo I

2 2 1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Teorema 1 Dadas At y F t continuas en el intervalo I a, b, el problema de valor inicial 2 { X AX + F Xt X tiene una solución única definida en todo el intervalo I Teorema 2 Principio de superposición Dados X 1, X 2,, X m un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo X AX en un intervalo I, la combinación lineal X c 1 X c m X m es también solución de X AX en el intervalo I Definición 3 Dependencia e independencia lineal de soluciones Dados X 1,, X m un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo X AX en un intervalo I, se dice que el conjunto es linealmente dependiente en I si existen constantes c 1,, c m, no todas cero, tales que c 1 X c m X m para todo t I Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente, se dice que es linealmente independiente Teorema 3 Sean X 1,, X n n vectores solución del sistema homogéneo de n ecuaciones y de primer orden X AX en un intervalo I El conjunto de vectores es linealmente independiente en I si y sólo si el wronskiano W X 1,, X n X 1 X n Se puede probar que, si X 1,, X n son soluciones de X AX, entonces W X 1,, X n para todo t I o bien W X 1,, X n para todo t I De modo que, si existe un t tal que W en t, entonces W para todo t I, con lo que las soluciones son linealmente independientes en I Definición 4 Conjunto fundamental de soluciones Matriz fundamental Sea X AX un sistema homogéneo de n ecuaciones y de primer orden Un conjunto X 1,, X n de soluciones linealmente independientes del sistema en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones A la matriz Φt X 1 X n que tiene a estos vectores solución por columnas, se le llama matriz fundamental del sistema X AX Obsérvese que Φt para todo t I

3 11 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN 3 Teorema 4 Solución general de un sistema homogéneo Dado un sistema homogéneo X AX en un intervalo I, existe siempre un conjunto fundamental de soluciones X 1,, X n en I, esto es, siempre se puede encontrar una matriz fundamental Φt La solución general del sistema homogéneo en I será X c 1 X c n X n donde c 1,, c n son constantes arbitrarias Dicho de modo eqivalente: X ΦtC donde Φt es una matriz fundamental y C c 1 es un vector formado por constantes Si buscamos la solución del problema de valor inicial { obtenemos X ΦtΦt 1 X X AX Xt X Teorema 5 Solución general de un sistema no homogéneo Dado el sistema no homogéneo X AX + F y dada una solución particular X p del mismo en el intervalo I, la solución general será c n X X h + X p siendo X h la solución general del sistema homogéneo asociado X AX Escrito de modo equivalente, X ΦtC + X p Sistemas no homogéneos Método de variación de las constantes Por lo visto arriba, si somos capaces de resolver el sistema homogéneo X AX, para obtener la solución general de X AX +F basta con conocer una solución particular del mismo Pero, cómo encontrarla? Se aplica el método de variación de las constantes, esto es, se conjetura la existencia de una solución particular del sistema no homogéneo, X p t ΦtCt, donde las constantes del vector C pasan a ser funciones Ct c 1 t c n t

4 4 1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Entonces X p ΦtC t + Φ tct Al sustituir en X AX + F se tiene ΦtC t + Φ tct AΦtCt + F Como la solución general del sistema homogéneo es X ΦtC, entonces X Φ tc AX AΦtC, con lo que Φ t AΦt Se tiene, al sustituir en la ecuación de arriba, ΦtC t + AΦtCt AΦtCt + F de manera que ΦtC t F t, lo cual implica que C t Φ 1 tf t y, por tanto, Ct Φ 1 tf tdt Como X p ΦtCt, resulta X p Φt Φ 1 tf tdt La solución general del sistema X AX + F es entonces X X h + X p ΦtC + Φt Φ 1 tf tdt 12 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS Describimos a continuación el modo de resolver un sistema homogéneo de primer orden con coeficientes constantes, X AX Se calculan la forma canónica de Jordan J de A y la matriz de paso P tales que P 1 AP J Se tiene A P JP 1 El siguiente paso es hacer el cambio de variable X P Y con Y y 1 y n y sustituir en la ecuación Se tiene P Y AP Y, esto es, Y P 1 AP Y con lo que la resolución del sistema X AX queda reducida a la resolución del nuevo y más simple sistema Y JY Una vez resuelto éste último, se deshace el cambio y se tiene la solución del sistema homogéneo original Desarrollaremos todo este proceso para el caso de los sistemas homogéneos planos dos ecuaciones Para sistemas con más ecuaciones el procedimiento es análogo 121 Sistemas lineales homogéneos planos Sea X AX un sistema lineal homogéneo de coeficientes constantes y plano

5 12 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS 5 Caso 1 Si la matriz A M 2 R es diagonalizable con autovalores reales, la forma canónica de jordan de A es λ1 J λ 2 Se hace el cambio X P Y y se resuelve el sistema Y JY y 1 y 2 λ1 λ 2 y1 y 2 Resulta y 1 t c 1 e λ 1t, y 2 t e λ 2t Escrito en forma matricial, Y y1 t y 2 t c 1 e λ 1 t + e λ 2t e λ 1 t e λ 2t Al deshacer el cambio X P Y, se tiene siendo p11 p 21 X y x1 t x 2 t P c 1 e λ 1t p11 p 21 p12 p 22 e λ 1 t e λ 2t + e λ 2t p12 p 22 las columnas de P, esto es, los autovectores asociados a los autovalores λ 1 y λ 2 respectivamente Obsérvese que la matriz Φt P es una matriz fundamental e λ 1 t e λ 2t Caso 2 Si la matriz A no es diagonalizable, con un autovalor doble λ R, entonces J λ 1 λ Se considera X P Y y se resuelve el sistema Y JY Queda y 2 t e

6 6 1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Al sustituir en y 1 λy 1 + y 2 se tiene y 1 λy 1 + e Esta ecuación, para cada valor de fijo, es lineal de primer orden Al resolver, da lugar a y 1 t c 1 e + te Por tanto, escrito en forma matricial, Y y1 t y 2 t c 1 e + te e e te e Se deshace el cambio X P Y y queda e te X P e [ e p11 c 1 + t p 21 + p12 p 22 ] e te La matriz Φt P e es una matriz fundamental Caso 3 Si la matriz A tiene dos autovalores complejos conjugados λ a + ib, λ a ib, la forma canónica de Jordan es la matriz J λ λ M 2 C La matriz de paso P P 1 P 2 M 2 C tiene por columnas P 1, P 2 P 1 a los autovectores complejos conjugados asociados a los autovalores λ y λ Se hace el cambio X P Y y se resuelve el sistema Y JY Se obtiene y 1 t c 1 e a+ibt, y 2 t e a ibt con c 1, C constantes arbitrarias Escrito en forma matricial, Y y1 t y 2 t e a+ibt e a ibt Deshaciendo el cambio, obtenemos X x1 t x 2 t P e a+ibt e a ibt

7 12 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS 7 c 1 e a+ibt P 1 + e a ibt P 1 que es la solución general compleja del sistema X AX Nosotros deseamos encontrar la solución general real las funciones x 1 t, x 2 t deben ser reales Para obtenerla, basta observar que si Xt es solución compleja del sistema X AX, entonces ReXt e ImXt son p11 u1 + iv 1, soluciones reales de X AX Si P 1 se tiene ReP 1 u1 y ImP 1 solución compleja e a+ibt P 1 e at u1 cos bt + i sen bt e cos at u1 bt +ie sen at u1 bt Por lo dicho arriba, tanto como X 1 t e cos at u1 bt X 2 t e sen at u1 bt p 21 sen bt + cos bt + iv 2 Consideremos la + i + sen bt + cos bt son soluciones reales e independientes del sistema X AX, de modo que la solución general será u1 v X c 1 X 1 + X 2 1 e at cos bt e at sen bt e at sen bt e at cos bt Obsérvese que la matriz u1 v Q 1 ReP 1 ImP 1 a b es la matriz de paso tal que Q 1 AQ J, siendo J b a forma canónica real de A la

8 8 1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES En cualquiera de los tres casos, si los dos autovalores de la matriz A son tales que Reλ <, se tiene que lím x it, i 1, 2 t x1 t para cualquier solución X del sistema X x 2 t AX Observación 1 Considérese una ecuación lineal de segundo orden homogénea de coeficientes constantes x + a 1 x + a 2 x con a 1, a 2 R Mediante el cambio de variables { x x1 x x 2 se puede reducir el estudio de las soluciones de la ecuación al estudio del sistema plano equivalente 1 { x 1 x 2 x 2 a 2 x 1 a 1 x 2 ó x 1 1 x1 a 2 a 1 1 El polinomio característico de A es pλ λ a 2 a 2 + a 1 λ + 1 a 2 Obsérvese la relación existente entre el polinomio pλ y la ecuación de segundo orden Utilizando lo hecho en los sistemas planos, y teniendo en cuenta que sólo nos interesa x 1 t, se concluye que: Caso 1 Si los dos autovalores λ 1, λ 2 son reales y distintos, ya que de ser iguales la matriz A debería ser diagonal, entonces xt x 1 t k 1 e λ 1t + k 2 e λ 2t, siendo k 1 y k 2 constantes arbitrarias Caso 2 Si hay un autovalor real doble, λ, entonces xt x 1 t k 1 e + k 2 te, siendo k 1 y k 2 constantes arbitrarias Caso 3 Si los autovalores son complejos conjugados, entonces xt x 1 t k 1 e at cos bt + k 2 e at sen bt, siendo k 1 y k 2 constantes arbitrarias 122 Puntos críticos Diagrama de fases de sistemas lineales homogéneos planos Dado un sistema de ecuaciones del tipo { dx x 2 dt f 1 x, y dy dt f 2 x, y x 2

9 12 SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS 9 decimos que un punto x, y es un punto crítico o singular si el vector constante x Xt es solución del sistema La representación gráfica de las soluciones en el plano, junto con la indicación del sentido en que se recorren, se denomina diagrama de fases del sistema Dado el sistema X AX con A M 2 R, es claro que el vector X, es un punto crítico Supondremos que dicho punto crítico es aislado no hay más en un entorno suyo Esto implica que DetA y, por tanto, λ no es autovalor de A El análisis cualitativo de los diagramas de fases en un entorno del punto crítico X, se hace en función de los signos de los autovalores de A, tal como queda indicado en el siguiente esquema: y

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