6 Proporcionalidad numérica

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1 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página Proporcionalidad numérica INTRODUCCIÓN Es muy importante que los alumnos sean capaces de discernir si dos magnitudes son proporcionales. A veces cometen el error de pensar que, si al aumentar una magnitud, la otra también lo hace, son directamente proporcionales, sin distinguir si ese aumento es proporcional. Conviene insistir en la necesidad de una lectura detallada de los problemas para identificar la relación entre las magnitudes que intervienen. Se trata, en primer lugar, la proporcionalidad directa y sus aplicaciones: repartos directamente proporcionales, porcentajes y regla de tres simple directa. La parte final de la unidad se dedica a la proporcionalidad inversa y sus aplicaciones: repartos inversamente proporcionales y regla de tres inversa. RESUMEN DE LA UNIDAD Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando la razón entre dos cantidades a b correspondientes es constante: k. a' b' Dos magnitudes son inversamente proporcionales si se cumple que: x y k. La regla de tres es un procedimiento para conocer una cantidad que forma proporción con otras cantidades conocidas de dos o más magnitudes. Los porcentajes o tantos por ciento expresan la cantidad de una magnitud que corresponde a 00 unidades de la otra magnitud. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Reconocer magnitudes directamente proporcionales. Magnitudes directamente proporcionales. Constante de proporcionalidad. Distinción de magnitudes directamente proporcionales. Realización de tablas de proporcionalidad directa.. Aplicar la regla de tres simple directa. Regla de tres simple directa. Resolución de problemas aplicando la regla de tres simple directa.. Calcular porcentajes.. Realizar repartos directamente proporcionales. 5. Reconocer magnitudes inversamente proporcionales. Porcentajes. Repartos directamente proporcionales. Magnitudes inversamente proporcionales. Expresión de cantidades en tantos por ciento. Utilización de los porcentajes para resolver problemas. Resolución de problemas con aumentos o disminuciones porcentuales. Resolución de problemas utilizando los repartos directamente proporcionales. Distinción de magnitudes inversamente proporcionales. ADAPTACIÓN CURRICULAR. Aplicar la regla de tres simple inversa. Regla de tres simple inversa. Resolución de problemas aplicando la regla de tres simple inversa. 7. Realizar repartos inversamente proporcionales. Repartos inversamente proporcionales. Resolución de problemas utilizando los repartos inversamente proporcionales. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

2 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página RECONOCER OBJETIVO MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE: CURSO: ECHA: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando la razón entre dos cantidades correspondientes de ambas es constante: a b k a' b' Esta constante k se denomina constante de proporcionalidad directa. Si cada kilo de manzanas vale 0 céntimos, averigua la relación que existe entre el peso de manzanas y el precio. Para ello, formamos una tabla de dos filas: en una de ellas representamos las cantidades de una magnitud, y en la otra, las cantidades de la otra magnitud. PESO (en kilos) 5 PRECIO (en céntimos) Todas las divisiones entre el precio de las manzanas y su peso dan el mismo resultado: k 5 Es decir, el peso de las manzanas y su precio son magnitudes directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es, en este caso, k 0. La tabla representada se denomina tabla de proporcionalidad. Para hacer una tortilla se utilizan huevos. Determina la relación entre estas magnitudes. a) Completa la tabla. HUEVOS 8 0 TORTILLA 5 b) Comprueba el resultado de todas las divisiones entre cantidades correspondientes c) Son magnitudes directamente proporcionales? d) Determina la constante de proporcionalidad, k Completa las tablas siguientes para que sean tablas de proporcionalidad directa ,5,5 8 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

3 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página 5 Considera un coche que no circula a velocidad constante, es decir, va frenando y acelerando según el tráfico, de forma que se obtengan los siguientes datos. HORAS TRANSCURRIDAS KILÓMETROS RECORRIDOS Realizamos todas las divisiones entre las dos magnitudes: , 5 75, Podemos observar que estas divisiones no dan el mismo resultado. Por tanto, las magnitudes de las horas transcurridas y los kilómetros recorridos no son directamente proporcionales. Por cada ventana instalada nos cobran 500, pero si instalamos más de 0 ventanas nos cobran 50 por cada una. Comprueba si estas magnitudes son directamente proporcionales. a) Completa la tabla con los datos numéricos que faltan. NÚMERO DE VENTANAS PRECIO b) Halla el resultado de las razones entre cantidades correspondientes c) Son magnitudes directamente proporcionales? 5 Estudia si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales. a) El lado de un cuadrado y su perímetro. b) El volumen que ocupa un líquido y su peso. c) El número de fotocopias y su precio. Observa la tabla siguiente. Comprueba que las magnitudes M y M' son directamente proporcionales, y calcula y e y'. MAGNITUD M MAGNITUD M' y 0 y' ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 5

4 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página OBJETIVO APLICAR LA REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA NOMBRE: CURSO: ECHA: La regla de tres simple directa es un procedimiento para conocer una cantidad que forma proporción con otras cantidades conocidas de dos magnitudes directamente proporcionales. Si una docena de naranjas cuesta, cuánto cuestan naranjas? Como la cantidad de naranjas y su precio son magnitudes directamente proporcionales, podemos expresar esta relación de la siguiente manera. cuestan Si naranjas costarán Si naranjas x x Ahora despejamos la x: Las naranjas cuestan. x x x x En una panadería han pagado por 70 barras de pan. Cuánto tendrían que pagar si hubiesen comprado 85 barras? cuestan Si barras costarán Si barras Las 85 barras cuestan. Si dólares son euros, cuántos euros son,5 dólares? son Si dólares serán euros Si dólares euros Los,5 dólares son euros. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

5 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página 7 OBJETIVO CALCULAR PORCENTAJES NOMBRE: CURSO: ECHA: Los porcentajes o tantos por ciento expresan la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales y nos indican la cantidad de una de ellas correspondiente a 00 unidades de la otra. Si el 7 % de un terreno es, m, cuántos metros cuadrados representan el total del terreno? % 7 00 m, x 7 00 Como es una relación de proporcionalidad directa, tenemos que:., x 7x 00, Total del terreno es 8 m. x. 7 8 Un depósito de. litros de capacidad contiene.05 litros. Qué tanto por ciento es? % 00 x Litros Como es una relación de proporcionalidad directa: x Con los.05 litros el depósito está al... %. En época de sequía, un embalse con capacidad máxima de 00 hectómetros cúbicos estaba al 5 %. Qué capacidad de agua contenía en ese momento? Capacidad x 00 % 5 00 x 00 Como es una relación de proporcionalidad directa: La capacidad de agua es... hectómetros cúbicos. ADAPTACIÓN CURRICULAR A un artículo que vale 0 se le aplica un 0 % de descuento. Cuánto cuesta el artículo? % 00 0 Euros 0 x MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 7

6 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página 8 OBJETIVO REALIZAR REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE: CURSO: ECHA: Para realizar el reparto de una cantidad n de forma directamente proporcional a unas cantidades a, b, c : Se suman las cantidades que hay que repartir: a + b + c +... Se divide la cantidad n entre esa suma. Este cociente es la constante de proporcionalidad. Para calcular cada parte basta con multiplicar cada cantidad a, b, c por esa constante. La Unión Europea ha concedido una subvención de 5. para tres pueblos. El pueblo A tiene.800 habitantes; el B, 700, y el C, 500. Cómo debe repartirse el dinero? A + B + C Pueblo A Total A B C Habitantes Euros 5. x y z.x x 7.. x Pueblo B x 7.. x 9.. Total A B C Habitantes Euros 5. x y z Despejamos la y: y y Pueblo C Total A B C Habitantes Euros 5. x y z Despejamos la z: z 8 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

7 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página 9 Vicente y José abren una cartilla de ahorros en el banco. Vicente ingresa 00 y José ingresa 800. Al cabo de unos años les devuelven.80. Cómo se los tienen que repartir? Vicente + José Total Vicente José Dinero invertido Dinero ganado.80 x y Despejamos la y: x y Tres socios de un negocio aportan 0., 0. y 0., respectivamente. Si obtienen unos beneficios de 0., cuánto le corresponde a cada uno? Total Socio Socio Socio Dinero invertido Beneficios 0. x y z Despejamos la y: Despejamos la z: x y z Un padre reparte el premio de una quiniela entre sus tres hijos de 8, y 5 años para ayudar en su formación universitaria, de forma directamente proporcional a sus edades. Si el menor obtiene., calcula: a) Cuánto dinero ha repartido el padre? b) Cuánto le ha correspondido a cada hijo? Total Hijo Hijo Hijo Años 8 5 Dinero ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 9

8 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página 0 OBJETIVO 5 RECONOCER MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE: CURSO: ECHA: Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de dos valores correspondientes de ambas es constante: a a' b b' k Esta constante k se denomina constante de proporcionalidad inversa. 0 obreros tardan 0 horas en pintar una fachada. Si fuesen 0 obreros tardarían 80 horas, y si fuesen 5 obreros, 0 horas. Qué relación hay entre estas magnitudes? OBREROS HORAS k.00 Como los productos que obtenemos son iguales, las magnitudes de número de obreros y número de horas son inversamente proporcionales. Tardamos horas en hacer el recorrido que hay de casa al colegio a una velocidad de km/h. Si fuésemos a 5 km/h tardaríamos, horas, y si fuésemos a km/h, 9 horas. Comprueba si estas magnitudes son inversamente proporcionales. VELOCIDAD (km/h) 5 TIEMPO (horas), 9 Para construir una nave en 0 días son necesarias 0 personas. Si pasados días se incorporan personas más, en cuántos días terminarán? 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

9 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página OBJETIVO APLICAR LA REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA NOMBRE: CURSO: ECHA: La regla de tres simple inversa es un procedimiento para conocer una cantidad que forma proporción con otras cantidades conocidas de dos magnitudes inversamente proporcionales. Si trabajadores tardan 0 días en hacer un trabajo, cuánto tardarán trabajadores? tardan Si trabajadores 0 Si trabajadores días x tardarán x x 0 x x, días Los trabajadores tardarán algo más de días. En un depósito hay agua para 0 personas durante 0 días. Para cuánto tiempo durará el agua si fueran personas? tienen para Si 0 personas 0 tendrán para días Si personas días Las personas tendrán agua para días. Con el agua de un depósito se llenan 0 envases de 5 litros cada uno. Cuántas botellas de tres cuartos de litro (0,75 ) cada una se llenarían con el agua del depósito? llenan Si 5 litros 0 llenarían envases Si litros botellas ADAPTACIÓN CURRICULAR Se llenarían botellas de tres cuartos de litro. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

10 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página OBJETIVO 7 REALIZAR REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES NOMBRE: CURSO: ECHA: Repartir una cantidad n de forma inversamente proporcional a otras cantidades a, b, c es equivalente a repartirla de forma directamente proporcional a los inversos de las cantidades a, b, c Cada parte se obtiene dividiendo la constante de proporcionalidad R entre su cantidad correspondiente a, b, c n / a + / b + / c + El premio de una carrera es de 550 y se repartirá entre los tres primeros corredores en acabar la prueba de forma inversamente proporcional al orden de llegada, es decir, inversamente proporcional a, y. Qué cantidad le corresponde a cada corredor? Puestos 78 Sumamos los inversos Dividimos la cantidad, 550, entre la suma de los inversos: : Al.º le corresponde Comprobamos Al.º le corresponde Al.º le corresponde Un padre acude con sus dos hijos a una feria y en la tómbola gana 50 caramelos que los reparte de forma inversamente proporcional a sus edades, que son 9 y años. Cuántos caramelos le da a cada uno? Edades 9 78 Sumamos los inversos + Dividimos la cantidad, 50, entre la suma de los inversos: Al hijo de 9 años le corresponden Al hijo de años le corresponden 78 Comprobamos + 50 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

11 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página Reparte 50 en partes inversamente proporcionales a los números, y. Números Sumamos los inversos + + Dividimos la cantidad, 50, entre la suma de los inversos: A le corresponde A le corresponde Comprobamos A le corresponde El coste de la matrícula de una academia de música es menor cuantos más notables se han obtenido en el curso anterior. Tres amigos, Pedro, Sara y Leonor, han obtenido, y 5 notables, respectivamente, y entre los tres han pagado 0. Cuánto le ha costado la matrícula a cada uno? Notables Sumamos los inversos Dividimos la cantidad, 0, entre la suma de los inversos: A Pedro le corresponde Comprobamos A Sara le corresponde A Leonor le corresponde 78 ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

12 85 _ 0-0.qxd 7//07 :7 Página Los tres camareros de una cafetería, Olga, Juan y élix, han estado enfermos durante, y 9 días del mes de julio, respectivamente. Durante este mes han recibido 75 de propina que se han de repartir de forma inversamente proporcional a los días no trabajados. Cuántos euros les corresponden a cada uno de ellos? Días Sumamos los inversos Dividimos la cantidad, 75, entre la suma de los inversos: A Olga le corresponde Comprobamos A Juan le corresponde A élix le corresponde 78 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.