2 Los planetas y satélites

Transcripción

1 Los planetas y satélites Desde la más emota antigüedad, el hombe se ha esfozado en conoce y compende el Univeso, peo ha sido necesaio que tanscua la mayo pate de la histoia de la humanidad paa que se dé cuenta de su descomunal magnitud. Ahoa sabemos que el Sol es una de las estellas de una galaxia, la Vía Láctea, que contiene unos doscientos mil millones de estellas. El tamaño de nuesta galaxia es tal que su diámeto tiene, apoximadamente, una longitud igual a la distancia que la luz ecoe en mil siglos! En los viajes espaciales ealizados po los astonautas en la segunda mitad del siglo x x, la máxima distancia a la que un hombe se ha alejado de la Tiea coesponde a la que ecoe la luz en menos de dos segundos. Compaando estos datos se hace evidente que la Vía Láctea tiene una extensión extemadamente despopocionada paa nosotos. Sin embago, a escala cósmica, una galaxia es algo insignificante, puesto que el Univeso existen cientos de miles de millones de ellas. Peo po qué se foman las galaxias y todos los astos que las pueblan?, cómo se explica su movimiento?, es posible viaja desde la Tiea a otos astos de nuesta galaxia?, cuál seía la foma más efectiva de hacelo?,... En el fondo de las espuestas a estas peguntas y a otas similaes está siempe la fueza que gobiena la fomación y el movimiento de los astos y las galaxias: la fueza de la gavedad. Su conocimiento, po lo tanto, es esencial paa compende y exploa el Univeso. En esta unidad abodaemos el estudio teóico de la fueza de la gavedad a pati de la mecánica clásica y lo aplicaemos después a los planetas y satélites del sistema sola y a la navegación espacial _U.FIS.BCH.CAS.indd 59 13/5/09 07:56:49

2 Los planetas y satélites CONOCIMIENTOS PREVIOS DE MATEMÁTICAS Cículos máximos de una esfea La intesección de una esfea con un plano que la cota es siempe un cículo. Si el plano pasa po el cento de la esfea, el adio del cículo es el mayo posible, po lo que se denomina cículo máximo. El adio de un cículo máximo es igual al adio de la esfea. La elipse. Focos de una elipse La elipse es la línea fomada po los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Los segmentos PF y PF que unen un punto de la elipse con los focos se llaman adios vectoes. La elipse tiene dos ejes de simetía pependiculaes ente sí, AA (eje mayo) y BB (eje meno), y un cento de simetía, O, en el punto donde se cotan. Las longitudes de OA (semieje mayo), OB (semieje meno) y OF (semieje focal) se designan espectivamente po a, b y c. B Estas tes longitudes cumplen: P a = b + c. La suma de los dos adios vectoes A F de cualquie punto O de la elipse F A A F O es: PF + PF = a. B A F O F A A F b B B c a P P F A b La excenticidad de una elipse es el cociente ε = c a. Su valo puede vaia ente 0 y 1: 0 ε 1. B B En la siguiente figua se ve cómo el valo de la excenticidad afecta a la foma de una elipse. F F F F F F F F ε = 0 : c = 0 ε = 0,6 ε = 0,8 ε = 1 : c = a Cuando la excenticidad es nula se cumple c = 0; po lo tanto, ambos focos se confunden en un solo punto: el cento. La elipse es, en ese caso, una cicunfeencia de adio a. Cuando la excenticidad es 1 se cumple c = a; po lo tanto, los focos coinciden con los extemos de eje mayo. La elipse se tansfoma, en ese caso, en el segmento AA _U.FIS.BCH.CAS.indd 60 13/5/09 07:56:55

3 Los planetas y satélites 1 La esfea celeste Cuando miamos al cielo, lo vemos como una inmensa cúpula que nos odea. Duante el día apaece de un luminoso colo azul y podemos ve en ella el Sol y, en muchos momentos, la Luna. De noche la cúpula es casi nega, está poblada po numeosos puntos billantes que llamamos estellas y también suele vese la Luna. A todos estos cuepos que podemos contempla en el fimamento les damos el nombe genéico de astos. Paa epesenta las diecciones en que se ven los divesos astos del fimamento, independientemente de la distancia a que se encuentan de nosotos, se define en Astonomía la esfea celeste. Es una esfea imaginaia tan gande que, compaada con ella, la Tiea puede considease un punto. Pecisamente en ese punto imaginamos situado el cento O de la esfea celeste (Fig. 1). Nosotos, como estamos en la Tiea, obsevamos el fimamento desde el punto O y vemos los astos como si estuviesen situados en la supeficie de la esfea celeste. Po ejemplo, si miamos desde O a los astos a y b, la luz que poviene de ellos nos llega en las diecciones de los segmentos Oa y Ob, llamados visuales de a y de b. Vemos los astos a y b epesentados en la figua 1 como si ocupaan las posiciones A y B de la esfea celeste (intesecciones de la supeficie de esta con las visuales Oa y Ob). Los puntos A y B se denominan posiciones apaentes de los astos a y b. El ángulo cental AOB, que es el valo angula del aco de cículo máximo AB, se llama distancia angula ente los astos a y b. Po medio de estas distancias angulaes deteminamos las posiciones elativas de unos astos especto a otos. Cuando obsevamos el fimamento desde un teeno pefectamente llano, lógicamente, solo podemos ve la mitad de la esfea celeste. La cicunfeencia NESW de la figua, llamada hoizonte astonómico, es la intesección de la esfea celeste con el plano hoizontal del luga desde donde obsevamos el fimamento. Sus puntos N, S, E y W son los llamados puntos cadinales: Note, Su, Este y Oeste. La mitad de la esfea celeste situada po encima del hoizonte astonómico es la que podemos ve en su totalidad si no lo impiden obstáculos como casas, montañas, etc. La semiesfea situada po debajo del hoizonte astonómico es la zona no visible. El punto de la esfea celeste más alto paa nosotos es el que se encuenta en la vetical sobe nuesta cabeza. Coesponde al punto Z de la figua y se denomina el cenit. El punto Z, opuesto al cenit en la esfea celeste, se halla en la zona no visible y se llama el nadi. La cicunfeencia EQWQ, intesección de la esfea celeste con el plano del Ecuado de la Tiea, ecibe el nombe de Ecuado celeste. Cota al hoizonte astonómico en los puntos este y oeste. El segmento PP, pependicula al plano del Ecuado, es el eje de otación de la Tiea y se le llama eje del mundo. Sus intesecciones con la esfea celeste son los puntos P, Polo Note celeste, y P, Polo Su celeste. La mayoía de las estellas está tan lejos de nosotos que el movimiento elativo de unas especto a otas esulta impeceptible. Decimos que son estellas fijas. O A 1. Si la Tiea se educe al punto O, paa un obsevado situado sobe ella, las posiciones apaentes de los astos a y b son los puntos A y B en la supeficie de la esfea celeste. El ángulo cental AOB coespondiente al aco de cículo máximo AB expesa la distancia angula ente ambos astos. N P Q E Z Z Figua. PP : eje del mundo. P: polo note celeste P : polo su celeste ZZ : vetical del luga de obsevación Z: cenit Z :nadi Cicunfeencia NESW: hoizonte astonómico N: punto note S: punto su E: punto este W: punto oeste Cicunfeencia EQWQ : ecuado celeste B W a Q P b S _U.FIS.BCH.CAS.indd 61 13/5/09 07:56:58

4 Los planetas y satélites Paa facilita su identificación, unimos con segmentos ectilíneos las estellas más destacadas paa foma con ellas divesas figuas imaginaias. Estas agupaciones de estellas son las llamadas constelaciones. Algunas de las constelaciones más fáciles de econoce son: la Osa Mayo, Casiopea, Oión, el Cisne, la Lia, Andómeda y Pegaso. Si diigimos un telescopio hacia una estella y lo mantenemos fijo, obsevaemos que el asto desapaece en poco tiempo del campo visual. La fotogafía de la figua 3 nos muesta lo que ocue: todas las estellas desciben un movimiento cicula. Podemos imagina que las estellas están fijas sobe la supeficie de la esfea celeste y que es esta la que ealiza el movimiento de otación. 3. Esta fotogafía del cielo noctuno, ealizada con laga exposición, muesta claamente el movimiento cicula de las estellas. El cento de todas las cicunfeencias que desciben es el Polo Note celeste. Este movimiento es cicula unifome. Se poduce de foma que la esfea celeste da una vuelta completa cada 4 hoas alededo del eje del mundo y se denomina movimiento diuno. Paa una pesona situada en el Hemisfeio Note, el sentido de otación de la esfea celeste es el mismo en que gian las agujas de un eloj. Se llama sentido etógado. En la figua 4 se puede ve el movimiento diuno de tes astos sobe la esfea celeste. Uno está situado en el Hemisfeio Note celeste, oto en el Ecuado celeste y el teceo en el Hemisfeio Su celeste. Los astos son visibles cuando se hallan en la zona situada sobe el hoizonte astonómico. Se ha señalado esa pate de sus óbitas ellenándola de colo amaillo. Z P N S 1 S S 3 S P 1 P P 3 P Z 4. Movimiento diuno de tes astos. La otación de la esfea celeste, en sentido etógado como indica la flecha, les hace descibi las cicunfeencias en tazo ojo, en planos paalelos ente sí y pependiculaes al eje del mundo PP. El pimeo, en el Hemisfeio Note celeste, sale en S 1 y se pone en P 1 ; la mayo pate del tiempo está en zona visible, sobe el hoizonte astonómico. El segundo, en el Ecuado celeste, sale en S y se pone en P ; está 1 hoas en zona visible y otas 1 en zona no visible. El teceo, en el Hemisfeio Su celeste, sale en S 3 y se pone en P 3 ; la mayo pate del tiempo está en zona no visible, bajo el hoizonte astonómico. 5. Tayectoia del Sol ceca del Polo Note en veano. Este Sol que no llega a ponese nunca, se conoce como Sol de medianoche _U.FIS.BCH.CAS.indd 6 13/5/09 07:57:01

5 Los planetas y satélites El sistema sola desde la Tiea Acabamos de ve que las estellas fijas, po esta inmóviles con elación a la esfea celeste, poseen el mismo movimiento que esta (movimiento diuno). Peo hay astos más cecanos que no pemanecen en una posición fija de la esfea celeste, sino que se desplazan sobe ella (movimiento popio). El movimiento esultante de estos astos es, po tanto, la supeposición de dos movimientos simultáneos: el diuno (de la esfea celeste) y el popio (del asto especto a la esfea celeste). Eso es lo que sucede con los astos del sistema sola, ente los cuales, los más fácilmente obsevables a simple vista son el Sol, la Luna y los planetas Venus, Mate, Júpite y Satuno. Ninguno de ellos es un asto fijo, ya que cada uno posee movimiento popio con elación a la esfea celeste. Veamos cómo son esos movimientos. El Sol, en su movimiento popio, ecoe cada año la cicufeencia coespondiente a un cículo máximo de la esfea celeste. Esta tayectoia se denomina eclíptica y el Sol la descibe en sentido diecto (contaio al de las agujas del eloj, tal como indica la flecha de la figua 6). El plano de la eclíptica foma un ángulo de 3º 7 con el plano del Ecuado. Se ha de distingui el movimiento popio del Sol de su movimiento diuno. Po el movimiento diuno, el Sol sale cada mañana, se desplaza po el fimamento hasta alcanza su máxima altua sobe el hoizonte y se pone al anochece. Podemos imagina que este movimiento es el de la esfea celeste, que aasta al Sol con ella. Po su movimiento popio, el Sol no está fijo sobe la esfea celeste sino que se desplaza sobe ella ecoiendo la eclíptica. Es un movimiento muchísimo más lento que el diuno, ya que emplea un año en completa una vuelta. Peo, en peíodos de vaios días o semanas, son claamente peceptibles sus efectos, ya que altea la posición de la salida y de la puesta del Sol, así como la duación del día. El movimiento diuno del Sol tiene sentido etógado y da luga a las divesas pates del día, como la mañana, la tade o la noche. El movimiento popio tiene sentido diecto y da luga a las cuato estaciones del año. Obseva en la figua 6 los puntos g, g, σ y σ de la eclíptica. El punto g, conocido como punto Aies, se encuenta en la intesección de la eclíptica con el Ecuado celeste y es un impotante punto de efeencia en astonomía. Los puntos g, g, σ y σ dividen a la eclíptica en cuato acos iguales de 90º. El paso del Sol po estos puntos detemina el comienzo de las cuato estaciones del año, po lo que eciben las siguientes denominaciones: Punto Aies g: equinoccio de pimavea, σ: solsticio de veano, g : equinoccio de otoño, σ : solsticio de invieno. La Luna, como todos los astos, se desplaza con la esfea celeste en su movimiento diuno, descibiendo cada día una cicunfeencia alededo del N P γ Z Q σ Z 6. A lo lago de un año, el Sol (S) ecoe en sentido diecto un cículo máximo de la esfea celeste: la eclíptica. Las intesecciones de la eclíptica con el Ecuado celeste son el punto Aies o equinoccio de pimavea (g) y el punto Liba o equinoccio de otoño (g ). S σ Q P 7. La salida del Sol sobe el ma muesta la intesección del movimiento popio del asto con el hoizonte astonómico. γ S _U.FIS.BCH.CAS.indd 63 13/5/09 07:57:04

6 Los planetas y satélites eje del mundo. Peo posee, además, un movimiento popio po el que ecoe en 7,3 días, en sentido diecto, la cicunfeencia coespondiente a un cículo máximo de la esfea celeste. La tayectoia de la Luna no está en el mismo plano que la eclíptica, sino que foma un pequeño ángulo con ella de 5º, apoximadamente. Una consecuencia de los movimientos popios del Sol y de la Luna es que cada 9,53 días hay plenilunio o Luna llena, es deci, podemos ve totalmente iluminada la caa visible de nuesto satélite. 8. El poyecto de un planetaio. Sobe la cúpula semiesféica, que epesenta la zona visible de la esfea celeste, se poyectan las imágenes de los astos tal como se veían en cualquie hoa, fecha y luga de la supeficie teeste. Se epoduce también su movimiento, aceleándolo convenientemente paa que pueda obsevase en un tiempo coto. 9. Tayectoias de un planeta del sistema sola en la esfea celeste, poyectadas en un planetaio sobe un fondo de estellas fijas. 3º El eje de otación de la Tiea no es pependicula a su óbita aldedo del Sol. Foma un ángulo de 3º 7 con la pependicula a esta. Los planetas del sistema sola tienen un movimiento popio cuyas tayectoias, obsevadas desde la Tiea, son complicadas. En la figua 8 se pueden ve, poyectadas en un planetaio, las imágenes de las tayectoias descitas po algunos planetas a lo lago de vaios años. 3 Sistema de efeencia heliocéntico En luga de considea los movimientos de los planetas vistos desde la Tiea, es muy conveniente efeilos al Sol. Paa ello se utiliza un sistema de efeencia heliocéntico, es deci, con el oigen de coodenadas en el cento del Sol. De este modo, el movimiento de los planetas se simplifica enomemente. Johannes Keple ( ) deteminó que todos los planetas desciben elipses con el Sol en uno de sus focos. Las óbitas de la mayoía de los planetas del sistema sola tienen una excenticidad pequeña; son casi cicunfeencias. Peo las óbitas de Mecuio y del planeta enano Plutón son de mayo excenticidad (0,06 y 0,49). Aun así, si dibujáamos la óbita de Plutón con su eje mayo de 10 cm, el eje meno mediía 9,7 cm; tan solo 3 mm menos. A simple vista, esta óbita también nos paeceía una cicunfeencia. La Tiea descibe alededo del Sol una elipse de muy pequeña excenticidad (0,017). En la figua 10 no lo paece, poque se supone que se ve en pespectiva. Peo hay un detalle que lo indica: el Sol, en uno de los focos de la elipse, apaece pácticamente en el cento de esta. La Tiea posee, además, un movimiento de otación alededo de la ecta que pasa po los polos (eje del mundo). En este movimiento todos los puntos de nuesto planeta desciben cicunfeencias paalelas al Ecuado. Po eso decimos que el plano de otación de la Tiea es el plano del Ecuado. Po ota pate, el movimiento de taslación de la Tiea alededo del Sol, visto desde nuesto planeta, es el movimiento popio del Sol sobe la eclíptica. No se tata de dos movimientos difeentes, sino de uno solo, peo descito desde dos sistemas de efeencia distintos. Así pues, la óbita de la Tiea alededo del Sol está en el plano de la eclíptica. Los planos de los dos movimientos de la Tiea no coinciden, ya que foman un ángulo de 3º7, tal como se ha señalado al explica los elementos de la esfea celeste. Como el ángulo de dos planos es el que foman las pependiculaes a ambos, en la figua 10 el ángulo del Ecuado y la eclíptica apaece como el que foma el eje del mundo (pependicula al Ecuado) con la pependicula al plano de la óbita teeste (plano de la eclíptica) _U.FIS.BCH.CAS.indd 64 13/5/09 07:57:07

7 Los planetas y satélites Los planetas no gian alededo del Sol en el mismo plano que la Tiea. Sus óbitas poseen cieta inclinación especto a la óbita teeste (Fig. 11). Esa inclinación es pequeña, excepto en el caso de Mecuio, que es de 7º, y en el de Plutón, que supea los 17º. La extaña foma de las óbitas planetaias vistas desde la Tiea (Fig. 9) se compende si se tiene en cuenta que se tata de un cuepo que descibe una elipse, visto desde oto cuepo (la Tiea) que está ecoiendo una elipse difeente, en oto plano y con distinta velocidad. La Luna descibe, asimismo, una tayectoia elíptica de pequeña excenticidad (0,055) en tono a nuesto planeta. La óbita de la Luna especto a la Tiea no se encuenta en el mismo plano que la de la Tiea especto al Sol, sino que foma con ella un ángulo de unos 5º (Fig. 1). A pesa de su divesidad, las óbitas de los planetas y de sus satélites tienen algo en común: todas son elipses. La causa está en la fueza que gobiena el movimiento de los astos: la fueza de la gavedad. El estudio de las óbitas condujo a Newton al conocimiento de las popiedades de esta fueza, cuya natualeza sigue siendo objeto de investigación en nuestos días. 11. Todos los planetas desciben elipses alededo del Sol. Peo son óbitas de distinta longitud y excenticidad, están en planos difeentes y no son ecoidas con la misma velocidad. Sol Luna 5º Tiea 5º 1. La óbita de la Luna alededo de la Tiea está algo inclinada especto al plano de la eclíptica. 4 Ley de la gavitación univesal Isaac Newton, en el siglo x v i i, patiendo de sus conocimientos sobe el movimiento de los cuepos, que se expesan en las tes leyes de la dinámica, halló la foma de calcula la fueza de atacción gavitatoia ente la Tiea y la Luna. Y tuvo, además, el acieto de genealizala a todos los cuepos en la llamada ley de Newton de la gavitación univesal. Según esta ley, la intensidad de la fueza de atacción ente dos patículas de masas m y m sepaadas po una distancia es: F = G m m G es una constante llamada constante de gavitación univesal _U.FIS.BCH.CAS.indd 65 13/5/09 07:57:14

8 Los planetas y satélites La ley de Newton pemite calcula la fueza de atacción ente patículas, es deci, ente cuepos cuyo tamaño es despeciable fente a la distancia que los sepaa. Peo también se puede aplica a cuepos de foma esféica y densidad unifome (igual densidad en todos sus puntos), consideando como la distancia ente sus centos. Newton no llegó a detemina la constante de gavitación univesal, aunque tenía una idea apoximada de su valo. Fue el físico y químico inglés Heny Cavendish quien lo hizo en Paa ello tuvo que detecta y medi la pequeñísima fueza con que dos pesadas bolas de plomo ataían a otas dos de meno tamaño colocadas en los extemos de una vailla hoizontal colgada de un hilo. El valo de G obtenido po Cavendish difeía en menos de un 1 % del actualmente aceptado, que es: G = 6, N m kg (Las unidades de G se deducen fácilmente de la ecuación que expesa la ley de la gavitación univesal.) 13. Lod Cavendish deteminó la constante de gavitación univesal a finales del siglo xviii. El valo numéico de la constante de gavitación univesal es extemadamente pequeño. Eso explica que la fueza de atacción ente dos cuepos solo sea apeciable cuando al menos uno de ellos posee una masa enomemente gande. Así, notamos pefectamente el peso de una silla, po se la fueza con que es ataída po la Tiea; peo la fueza de atacción ente dos sillas, aunque existe, nos esulta totalmente indetectable. ejemplo 1. Conociendo el adio de la Tiea (6 380 km), calcula su masa mediante la ley de la gavitación univesal. Sabemos que, en la supeficie de la Tiea, el peso de un cuepo de masa m = 1 kg es P = 1 kp = = 9,8 N. Po ota pate, la distancia que lo sepaa del cento de la Tiea es el adio de la Tiea R T = km = 6, m. La fueza con que la Tiea atae a ese cuepo es su peso: P = G M m T. R T Despejando la masa de la Tiea, esulta: 5 Satélites Todos sabemos que, si se suelta un cuepo desde alguna altua sin comunicale una velocidad inicial, cae veticalmente hasta choca con el suelo. Peo si lo lanzamos en diección hoizontal con cieta velocidad inicial, cae descibiendo un aco de paábola. Imaginemos que en la Tiea no hubiea atmósfea, de foma que el ozamiento con el aie no fenase el movimiento de los cuepos, y que se lanza hoizontalmente un poyectil a gan velocidad desde un punto P (Fig. 14) a cieta _U.FIS.BCH.CAS.indd 66 13/5/09 07:57:16

9 Los planetas y satélites altua sobe la supeficie teeste. La atacción gavitatoia del planeta le haá descibi una cuva PA hasta choca con el suelo en un punto A. En un movimiento tan amplio, la gavedad no es constante en todo el ecoido, po lo que la tayectoia PA no es un aco de paábola, sino de elipse, como se indica en la figua. Si se aumenta la velocidad inicial del poyectil, el aco de elipse que descibiá seá mayo, como el PB y PC de la figua. La velocidad inicial del lanzamiento podía aumentase hasta que la elipse descita po el poyectil fuese tan gande que no cotaa en ningún punto a la supeficie teeste. El planeta enteo quedaía entonces en el inteio de la tayectoia, que se ceaía sobe sí misma (línea moada de la figua 14). El poyectil pemaneceía, así, descibiendo indefinidamente la misma elipse. Se había satelizado, es deci, se había convetido en un satélite de la Tiea. Un cuepo satelizado sigue una tayectoia cuvilínea a causa de la atacción gavitatoia de la Tiea. Si no existiea esta atacción, no actuaía ninguna fueza sobe él y su tayectoia seía ecta. Po lo tanto, se puede afima que está cayendo, como los poyectiles que acaban chocando con el suelo. La difeencia con estos es que la tayectoia del satélite, debido a su foma y tamaño, no cota a la supeficie de la Tiea y llega a cease sobe sí misma. Si la velocidad del satélite es la adecuada, su tayectoia puede se una cicunfeencia (elipse de excenticidad nula) y, en este caso, su movimiento es cicula unifome. Con los conocimientos adquiidos sobe la dinámica y la gavitación se puede calcula fácilmente la velocidad de un satélite cuando su óbita es cicula. Efectivamente, en el movimiento cicula unifome, la esultante de las fuezas sobe el móvil es la fueza centípeta: F c = m v Peo, po ota pate, la única fueza que actúa sobe el satélite es su peso, P, debido a la atacción del planeta (Fig. 15). Si la masa del planeta es M, el peso del satélite, según la ley de la gavitación univesal, seá: P = G M m En este caso, la única fueza que actúa es el peso, luego la fueza centípeta es P: Despejando v se obtiene: m v = G M m 14. Tayectoias elípticas de un poyectil lanzado hoizontalmente desde un punto elevado P. Los puntos A, B y C de impacto con la Tiea coesponden a velocidades iniciales de lanzamiento cada vez mayoes. Si esta velocidad es suficientemente gande, la tayectoia no cota a la supeficie teeste y el poyectil queda satelizado (óbita moada). 15. La fueza centípeta F c, que actúa sobe el satélite en óbita cicula, es la atacción gavitatoia P que ejece el planeta sobe él. P v Fc A C B v = G M Así pues, la velocidad de un satélite en óbita cicula alededo de un deteminado planeta depende exclusivamente del adio,, de su óbita. Cuanto mayo es este, meno es la velocidad obital del satélite. Todo lo explicado aquí se puede aplica también a todo cuepo que gie en óbita cicula alededo de oto cuepo que lo atae. Estos podían se los casos de un planeta doble, una estella doble o un planeta que gia alededo de una estella _U.FIS.BCH.CAS.indd 67 13/5/09 07:57:46

10 Los planetas y satélites ejemplos. a) Qué velocidad debe posee un satélite atificial de la Tiea paa que desciba una óbita cicula a h = 500 km de altua? b) Cuál seá su peíodo obital (tiempo que emplea en da una vuelta completa a la Tiea)? Datos: masa de la Tiea: M = 5, kg. Radio de la Tiea: R T = 6, m. a) La distancia del satélite en óbita al cento de la Tiea es el adio de la óbita: R = R T + h = 6, m + 0, m = 6, m El peso del satélite en su óbita es: P = G M m. La fueza centípeta del movimiento cicula del satéli- te es: F c = m v. Como hemos visto, la velocidad del satélite es: v = G M = 6, N m kg 5, kg 6, m Esta velocidad equivale a km/h. = 7, m/s b) La longitud del aco ecoido es la longitud de la óbita completa: s = π. Despejando t de la ecuación v = s/ t obtenemos: t = s v = π v = π 6, m 7, m/s = s El satélite tada en da una vuelta a la Tiea s, que es 1 hoa y 34 minutos. 3. Sabemos que la Tiea se encuenta a 1, km del Sol y tada 1 año en da una vuelta alededo de este siguiendo una óbita apoximadamente cicula. Calcula, con estos datos, un valo apoximado de la masa del Sol. La velocidad con que la Tiea ecoe su óbita es: v = s t = π t = π 6, m s = m/s Igualando la fueza de atacción del Sol a la fueza centípeta del movimiento cicula de la Tiea, como en el ejemplo anteio, llegamos a la misma igualdad: m v = G M m, donde M es la masa del Sol, m la de la Tiea y la distancia ente ellos. Despejando M esulta: M = v G = π t = (9 900 m/s) 1, m 6, N m Kg =, Kg 6 Campo gavitatoio En la figua 16 se han epesentado algunas de las fuezas de atacción gavitatoia que un cuepo de masa M, en una posición fija, ejece sobe una patícula de masa m situada en difeentes puntos. En cada posición actúa una fueza sobe la patícula. Decimos que la masa M ha ceado a su alededo un campo de fuezas gavitatoias _U.FIS.BCH.CAS.indd 68 13/5/09 07:57:49

11 Los planetas y satélites Llamaemos campo gavitatoio a un campo vectoial en el que a cada punto del espacio le coesponde un vecto, denominado intensidad de campo gavitatoio. Se llama intensidad del campo gavitatoio en un punto a la fueza gavitatoia que actúa sobe la unidad de masa situada en ese punto. Si, en un punto, actúa una fueza F sobe una patícula de masa m, la intensidad del campo gavitatoio en ese punto es: g = Dado que la masa m siempe es positiva, la intensidad de campo g es un vecto de la misma diección y sentido que la fueza F. En el SI, el módulo del vecto intensidad de un campo gavitatoio se expesa en newtons po kilogamo (N/kg). La intensidad de un campo gavitatoio en un punto es de 1 N/kg cuando actúa una fueza de 1 N sobe una masa de 1 kg situada en ese punto. F m M 16. Fueza de atacción gavitatoia que ejece la masa M sobe una masa puntual en difeentes posiciones. El conjunto de todas estas fuezas constituye un campo de fuezas gavitatoias. 7 Campo gavitatoio ceado po una masa puntual A pati de la ley de Newton se puede deduci fácilmente el módulo de la intensidad del campo gavitatoio ceado po una masa puntual. Efectivamente, la fueza de atacción gavitatoia que una patícula de masa m ejeceía sobe ota patícula de masa m situada a una distancia de la pimea, es: F = G m m El módulo de la intensidad del campo gavitatoio ceado po m en el punto donde se encuenta m seá, po lo tanto: g = F m = G m m m = G m O Paa expesa vectoialmente esta intensidad de campo estableceemos unos convenios pevios: En cada semiecta con oigen en el punto O, donde se halla la patícula de masa m, adoptaemos como sentido positivo el que se sigue al alejase de O (Fig. 17). Llamaemos al vecto posición del punto P, donde se encuenta la patícula de masa m (Fig. 18). Figua 17. P Simbolizaemos po la distancia del punto O al P, que siempe es positiva, po lo que coincide con el módulo del vecto. Repesentaemos po u el vecto unitaio en la diección y sentido del vecto : u = u O Figua _U.FIS.BCH.CAS.indd 69 13/5/09 07:57:54

12 Los planetas y satélites O u g P La intensidad del campo gavitatoio ceado en un punto cualquiea P po una patícula de masa m, situada en un punto O, se puede expesa vectoialmente como: g = G M u 19. El vecto g epesenta la intensidad, en el punto P, del campo gavitatoio ceado po una masa puntual situada en O. 0. Líneas de campo coespondientes al campo gavitatoio ceado po una masa puntual. El signo negativo se debe a que el sentido del vecto g es contaio al del vecto unitaio u, poque la fueza que actúa sobe toda patícula situada en P siempe tiene sentido hacia O (Fig. 19). Como las líneas de campo han de tene la diección y el sentido del vecto g, son un conjunto de semiectas concuentes en el punto O con sentido hacia ese punto (Fig. 0). La expesión de la intensidad del campo ceado po una masa puntual es válida también paa el campo gavitatoio en el espacio que odea a una masa esféica homogénea. Hemos visto que la intensidad de un campo gavitatoio es g u = F m, donde F es la fueza que ejece el campo sobe un cuepo de masa m. u Peo, según el pincipio fundamental de la dinámica, el cociente F es igual a la aceleación que la fueza F comunica al cuepo. m Así pues, la intensidad de un campo gavitatoio equivale a una aceleación y su valo se puede expesa tanto en N/kg como en m/s. EjEMPLo 4. En el punto O, cuyas coodenadas se dan en Mm, situado en (3, 1), hay una patícula de masa m = kg. Expesa vectoialmente la intensidad del campo gavitatoio que cea en el punto P (11, 7). El vecto posición del punto P es: = p 0 = (11, 7) (3, 1) = 8 i + 6 j (Mm) La distancia de O a P es: = = = 10 (Mm) El módulo de la intensidad del campo gavitatoio en P seá: g = 6, N m Kg kg = 0,60 N/kg ( m) El vecto unitaio u en la diección y sentido de es: u = = 8 i + 6 j 10 = 0,8 i + 0,6 j 7 1 o O m p g 3 11 P Como la intensidad de campo g tiene sentido de P hacia O (contaio al del vecto unitaio u ) seá: g = g u = 0,60 (0,8 i + 0,6 j ) = 0,48 i 0,36 j (N/kg) _U.FIS.BCH.CAS.indd 70 13/5/09 07:57:58

13 Los planetas y satélites Paa calcula la intensidad del campo gavitatoio en la supeficie de la Tiea, consideaemos esta como un cuepo pefectamente esféico y homogéneo. El campo es, entonces, equivalente al ceado po una patícula de igual masa que la Tiea, situada en su cento. g g M R 1. La intensidad g del campo gavitatoio de la Tiea en su supeficie es la misma que la del campo de una masa puntual igual a la de la Tiea colocada en su cento. Si la masa de la Tiea es M = 5, kg y su adio, R = 6, m, la intensidad del campo gavitatoio tendá como módulo en su supeficie: g = 6, N m kg 5, kg = 9,8 N/kg (6, m) Esto equivale a deci que la aceleación de la gavedad en la supeficie de la Tiea es de 9,8 m/s. Como la Tiea no es un cuepo pefectamente esféico y homogéneo, la intensidad del campo gavitatoio no es exactamente igual en todos los puntos de su supeficie. Se ha acodado acepta cómo valo nomal de la gavedad 9,80665 m/s, que coesponde a un luga de latitud de 45º al nivel del ma. En la tabla adjunta se puede ve cómo vaía el valo de la aceleación de la gavedad (o intensidad del campo gavitatoio) con la latitud geogáfica, desde el Ecuado hasta el polo. De la misma foma, se puede calcula la intensidad del campo gavitatoio en la supeficie de cualquie planeta o de sus satélites, siempe que podamos suponelos homogéneos y esféicos. Aceleación de la gavedad al nivel del ma Latitud Gavedad 0º (Ecuado) 9,780 ms 10º 9,78 ms 0º 9,786 ms 30º 9,793 ms 40º 9,80 ms 50º 9,811 ms 60º 9,819 ms 70º 9,86 ms 80º 9,831 ms 90º (Polo) 9,83 ms EjEMPLos 5. El adio del planeta Mate es R = km y su masa M = 6, kg. Suponiendo que este planeta es homogéneo y pefectamente esféico, calcula el valo de la aceleación de la gavedad en su supeficie. La intensidad del campo gavitatoio en la supeficie de Mate es: g = G M R = 6, N m kg 6,4 103 kg (3, m) = 3,7 N/kg Como N/kg equivale a m/s, podemos considea que la aceleación de la gavedad en la supeficie de Mate es 3,7 m/s _U.FIS.BCH.CAS.indd 71 13/5/09 07:58:09

14 Los planetas y satélites 6. Un cuepo que cae sin velocidad inicial desde una altua de 10 m sobe la supeficie de la Luna tada 3,46 s en llega al suelo. Cuál es el valo de la intensidad del campo gavitatoio en la supeficie luna? Cuántos kp pesaía en la Luna una pesona de masa 60 kg? Como la Luna caece de atmósfea, no hay ozamiento duante la caída del cuepo, po lo que su movimiento seá unifomemente aceleado, de ecuación: s = v 0 t + ½ a ( t). Como v 0 = 0, la anteio ecuación se educe a: s = 1 a ( t). Despejando la aceleación a se obtiene: a = s / ( t) = 10 m / (3,46 s) = 1,67 m/s. Como la aceleación de la gavedad en m/s es igual a la intensidad del campo gavitatoio en N/kg, podemos afima que esta es de 1,67 N/kg. El anteio esultado expesa que una masa de 1 kg pesa 3,67 N en la supeficie de la Luna; po consiguiente, una pesona de 60 kg pesaía: 60 kg 1,67 N 1 Kg = 100 N, que en kp es: 100 N 1 kp 9,8 N = 10, kp 7. En la supeficie de un planeta la aceleación de la gavedad es g 1 = 1 m/s. Detemina cuál seía su valo en la supeficie de oto planeta de tiple masa y: a) doble adio que el pimeo, b) igual densidad que el pimeo. a) Si llamamos M 1 a la masa del pime planeta y R 1 a su adio, sabemos que: g 1 = G M 1 R 1. Paa el segundo planeta se cumpliá, asimismo, que: g = G M R. Dividiendo ambas igualdades, esulta: g 1 = M R 1 g M R. 1 Despejando g, esulta: M g = g R 1 1 M 1 R = g 1 3M 1 R 1 3M 1 R 1 M 1 (R 1 ) = g 1 4M 1 R = g 1 Sustituyendo g 1 po su valo, obtenemos: g = 1 m/s 3 4 = 9 m / s. b) El volumen de una esfea V = 4 3 = π R 3 es popocional al cubo de su adio. Po lo tanto, si el segundo planeta tiene doble adio que el pimeo, su volumen es 3 = 8 veces mayo. Y, como ambos planetas poseen igual densidad, la masa del segundo seá también 8 veces mayo que la del pimeo: M = 8 M 1. M g = g R 1 1 M 1 R = g 1 8M 1 R 1 M 1 (R 1 ) = g 8M 1 R 1 1 4M 1 R = 1 m/s = 4 m / s _U.FIS.BCH.CAS.indd 7 13/5/09 07:58:11

15 Los planetas y satélites 8 Enegía potencial gavitatoia Todo cuepo ataído gavitatoiamente po oto posee una enegía que depende de su posición, es deci, una enegía potencial. A pati de la ley de gavitación univesal se demuesta que la enegía potencial de un cuepo de masa m, situado a una distancia de oto cuepo de masa m que lo atae gavitatoiamente, es: E p = G m m La anteio expesión, como la ley de Newton, se puede aplica, no solo a masas puntuales, sino también a cuepos de foma esféica. En este caso, ha de intepetase como la distancia ente los centos. Como m, m y son cantidades positivas, la enegía potencial gavitatoia, según la anteio expesión, es negativa. Peo, si la distancia es infinitamente gande, es nula. Esto no significa que el cuepo en el infinito no posea enegía potencial gavitatoia. De hecho, podemos asigna a la enegía potencial en una posición cualquiea el valo que queamos y, al hacelo, quedaá deteminado su valo en cada uno de los estantes puntos del espacio. Esa abitaiedad no supone ningún inconveniente, ya que el valo de la enegía potencial en una posición es ielevante; solo impotan las difeencias de enegía ente las distintas posiciones, y estas no dependen del valo abitaio que hayamos asignado a una deteminada posición. La enegía potencial en el infinito, aunque le asignemos el valo 0, es máxima, ya que en los estantes puntos del espacio es negativa. En la figua se puede ve cómo vaía la enegía potencial con la distancia ente los cuepos que se ataen mutuamente. En el cuso anteio se calculaba la enegía potencial gavitatoia de un cuepo situado a una altua h como: E P = m g h. Peo esta expesión solo es aplicable si el cuepo se mantiene en una zona del espacio tan pequeña que la intensidad del campo gavitatoio (g) puede considease constante. EjEMPLo E p m m. Vaiación de la enegía potencial gavitatoia con la distancia. 8. Suponiendo nula la esistencia del aie, calcula la velocidad con que llegaía al suelo un cuepo de masa m que se dejaa cae sin velocidad inicial desde una altua de: a) h = 160 m; b) h = km. Datos: masa de la Tiea: M = kg. Radio de la Tiea: R = km. Constante de gavitación univesal: G = 6, N m kg. Como la única fueza que actúa sobe el cuepo es su peso, se consevaá su enegía mecánica: E k1 + E P1 = E k + E P a) En el pime caso es: E k1 = 0, E P1 = m g h, E k = 1 m v y E P = 0. Po lo tanto, podemos escibi: m g h = 1 m v _U.FIS.BCH.CAS.indd 73 13/5/09 07:58:13

16 Los planetas y satélites Despejando v se obtiene: v = g h = 9,8 m/s 160 m = 56 m/s. b) En una caída de km no se puede considea constante el peso del cuepo, po lo que no es coecto calcula su enegía potencial como m g h. En este caso, seía: E k1 = 0, E P1 = G M m R + h, E k = 1 m v y E P = G M m R. Así pues, la consevación de la enegía mecánica se tiene que expesa ahoa de la siguiente foma: G M m R + h = 1 m v G M m R Despejando v, se obtiene: v = G M h R (R + h) = m/s. Al cae desde km de altua, el cuepo llegaía al suelo con una velocidad de m/s. 9 Deducción del valo de la enegía potencial gavitatoia El conjunto de todas las fuezas de atacción gavitatoia que ejece una masa puntual m sobe ota masa puntual m al situa a esta en difeentes posiciones, constituye un campo cental de fuezas. La expesión de la fueza que actúa sobe m en función de su distancia a m (cento del campo) viene dada po la ley de Newton: F ( ) = G m m Paa detemina la enegía potencial en un punto de este campo consevativo escogeemos el infinito como posición de enegía potencial nula. En ese caso, la enegía potencial de la masa m en un punto cualquiea P seá, po definición, el tabajo cambiado de signo de la fueza del campo desde el infinito hasta el punto P. Si el punto P está situado a una distancia del cento del campo, seá: E p = W = F ( ) d = G m m d = G m m d = = G m m 1 = G m m 1 0 = G m m Así pues, la enegía potencial de un cuepo de masa m, situado a una distancia de oto cuepo de masa m que lo atae gavitatoiamente, es: E p = G m m _U.FIS.BCH.CAS.indd 74 13/5/09 07:58:14

17 Los planetas y satélites 10 Enegía mecánica obital Hemos visto que la velocidad de un satélite en óbita cicula es: G M v = De modo que su enegía cinética es: E k = 1 m v = 1 m G M = 1 G M m También conocemos el valo de su enegía potencial: E p = G M m Po lo tanto, la enegía mecánica total del satélite en óbita es: E M = E k + E p = 1 G M m G M m = 1 G M m Este esultado muesta que la enegía mecánica de un satélite en óbita es siempe negativa. Obseva que, debido a su signo negativo, la enegía mecánica del satélite es mayo cuanto más gande es el adio de la óbita. Lo mismo sucede con su enegía potencial gavitatoia. Po el contaio, la enegía cinética, que es positiva, es meno cuanto mayo es el adio de la óbita. Paa que un cuepo sobe el que solo actúa la atacción gavitatoia de un planeta se mueva siguiendo una cuva ceada (cicunfeencia o elipse) la única condición que debe cumplise es que su enegía mecánica sea negativa (E M < 0). Si dicha tayectoia cota a la supeficie del planeta, se estellaá conta él; peo, en caso contaio, pemaneceá indefinidamente en su óbita como satélite. En estas condiciones podemos deci que el cuepo está captuado po el campo gavitatoio del planeta, ya que no puede sepaase de él alejándose indefinidamente. Paa que un cuepo pueda escapa po su popio impulso del campo gavitatoio de un planeta, es necesaio que posea la enegía mecánica suficiente paa sepaase de él hasta una distancia infinita. Paa eso ha de posee, como mínimo, la enegía potencial que tendía en el infinito Esta enegía es 0. Po lo tanto, la condición paa que un cuepo se pueda aleja indefinidamente de un planeta es que su enegía mecánica sea nula o positiva (E M 0). Si E M > 0, la tayectoia es una ama de hipébola con su foco en el cento del planeta. En este caso, el cuepo se aleja indefinidamente, a no se que su tayectoia cote en un punto a la supeficie del planeta y se estelle conta él. En el caso de que la enegía mecánica del cuepo fuese nula (E M = 0), el cuepo tendía la enegía mínima necesaia paa escapa del campo gavitatoio del planeta que lo atae y su tayectoia seía una paábola con su foco en el cento del planeta. Peo este es un caso solo teóico, imposible en la páctica, pues equeiía que la enegía mecánica fuese exactamente ceo, y sabemos que no existen medidas exactas, ya que todas poseen un magen de incetidumbe. Todo lo explicado paa los satélites de un planeta es también aplicable a los planetas que se mueven en tono a una estella bajo la acción del campo gavitatoio de esta _U.FIS.BCH.CAS.indd 75 13/5/09 07:58:15

18 Los planetas y satélites EjEMPLos 9. Un objeto se mueve con una velocidad de 3 km/s cuando se halla a km de la supeficie de la Tiea, peo no choca con ella. Es un satélite de nuesto planeta? Datos: masa de la Tiea: M = 5, kg. Radio de la Tiea: R = km. La distancia del objeto al cento de la Tiea es: R + h = 10 8 m + 6, m = 1, m. La enegía mecánica del objeto se calcula como: E M = 1 m v Su valo es: G M m R + E M = 1 m (3 000 m/s) 6, N m Kg 5, kg m 1, Efectuando las opeaciones indicadas obtenemos la enegía mecánica en función de la masa m del objeto (no conocida): E M = 7,51 m (J). Como su enegía mecánica es positiva, el objeto no está satelizado alededo de la Tiea y se alejaá indefinidamente, siguiendo una tayectoia que es una ama de hipébola. 10. Una nave espacial de masa m = kg se mueve en una óbita cicula a h = 500 km de altua sobe la supeficie teeste. Detemina la enegía que se le ha de comunica paa que abandone su óbita y se aleje indefinidamente de la Tiea. Datos: masa de la Tiea: M = 5, kg. Radio de la Tiea: R = km. El adio de la óbita es: = R + h = km km = km = 6, m La nave en su óbita posee una enegía mecánica de: E M = 1 G M m = 1 6, N m Kg 5, kg kg 6, m = 1, J A una distancia infinita el valo mínimo de la enegía mecánica es 0. Po lo tanto, se han de suminista a la nave, como mínimo, 1, J = 145 GJ. 11 Velocidad de escape V 1 V Si lanzamos un cuepo veticalmente hacia aiba, sube hasta que su velocidad se anula y después cae. Cuanto mayo es la velocidad inicial que se le comunica, mayo altua alcanza antes de cae. Podemos popone entonces una sopendente pegunta: es posible lanza un cuepo con tal velocidad inicial que no caiga nunca, es deci, que se aleje indefinidamente de la supeficie de la Tiea? V 0 3. Velocidad de un cuepo que se está alejando de la Tiea. En ojo se epesenta, la fueza con que es ataído po la Tiea. La espuesta es afimativa. En efecto, si no hay ozamiento, la única fueza que actúa a pati del momento en que el cuepo sale lanzado con una velocidad inicial v 0, es su peso, es deci, la atacción de la Tiea. Esta fueza fenaá el movimiento (Fig. 3). Peo, como se tata de una fueza consevativa, la enegía mecánica del móvil no vaiaá en todo el ecoido. Así pues, la enegía mecánica inicial del móvil seá igual a la que poseeía en el infinito (ya que suponemos que se aleja indefinidamente de la Tiea) _U.FIS.BCH.CAS.indd 76 13/5/09 07:58:6

19 Los planetas y satélites Si M es la masa de la Tiea, R su adio y m, la masa del móvil, su enegía mecánica en el instante inicial del lanzamiento seá: E M0 = E k0 + E p0 = 1 m v G M m 0 R Hemos visto que, a una distancia infinita del cento de la Tiea, la enegía potencial gavitatoia del móvil es nula. Peo como el móvil, a lo lago de su ecoido, va pediendo velocidad, si se ha lanzado con la mínima enegía paa que se aleje indefinidamente, su velocidad en el infinito seá ceo. Po consiguiente su enegía mecánica final (en el infinito) seía: E M = E K + E P = = 0 Como la enegía mecánica se conseva, podemos iguala sus valoes inicial y final: 4. Lanzamiento del Apolo XI hacia la Luna. 1 m v G M m 0 R = 0 Despejando v 0 se obtiene: v 0 = G M R La velocidad inicial mínima paa que un cuepo lanzado desde la supeficie de un planeta se aleje indefinidamente de él se llama velocidad de escape o segunda velocidad cósmica. De su expesión matemática se deduce que esta velocidad es independiente de la masa del móvil. Solo depende de la masa y del adio del planeta. Así pues, la velocidad de escape es una caacteística popia de cada planeta. Teniendo en cuenta que la masa de la Tiea es de 5, kg y su adio, 6, m, la velocidad de escape de nuesto planeta esulta: v o = m/s km/h Si un poyectil se lanza desde la supeficie de la Tiea hacia el espacio, en diección no pependicula al suelo con una velocidad supeio a la de escape, su tayectoia es una hipébola y el cuepo no se sateliza, sino que se aleja indefinidamente. Posibilidad de atmósfea en los planetas DOCUMENTo Como sabes, las moléculas de los gases están en constante y desodenado movimiento. Su velocidad media es tanto mayo cuanto más elevada es la tempeatua y cuanto meno es su peso molecula. Las moléculas de los gases que podían foma la atmósfea de algunos planetas, a la tempeatua que se alcanza en su supeficie, poseen una velocidad que llega a supea la velocidad de escape. Los gases se difunden entonces en el espacio sin pode se etenidos po la atacción gavitatoia del planeta. Los planetas solo pueden tene atmósfea cuando su velocidad de escape es supeio a la velocidad de las moléculas gaseosas existentes en su supeficie. Paa ello es necesaio que la masa del planeta sea suficientemente gande. La Luna y los asteoides, po ejemplo, caecen de atmósfea poque su masa es demasiado pequeña. Paa que en un planeta se desaolle la vida, es necesaio algún tipo de atmósfea. Po eso puede afimase que uno de los factoes que deteminan la posibilidad de que exista vida en un planeta es su velocidad de escape _U.FIS.BCH.CAS.indd 77 13/5/09 07:58:8

20 Los planetas y satélites 1 Óbitas elípticas El astónomo alemán Johannes Keple, en el siglo xvii, logó descibi coectamente el movimiento de los planetas. El esultado de su tabajo quedó enunciado en las tes leyes siguientes: Pimea ley de Keple Las óbitas de los planetas son elipses, uno de cuyos focos está situado en el cento del Sol. Segunda ley de Keple El segmento cuyos extemos son los centos del Sol y de un planeta bae áeas iguales en tiempos iguales. 5. Johannes Keple. Cuando un planeta se desplaza alededo del Sol, el segmento ectilíneo que une sus centos cambia de diección y de longitud. Todos los puntos po los que pasa ese segmento a lo lago de un intevalo de tiempo constituyen la supeficie que denominamos el áea baida (Fig. 6). P5 P 4 P 3 Si coesponden a iguales intevalos de tiempo, las áeas baidas epesentadas en la figua han de tene áeas iguales. Paa que sea así, en las zonas donde el planeta está más alejado del Sol, el aco de tayectoia que ecoe debe se más coto, es deci, su velocidad seá meno. P 6 Tecea ley de Keple P El cuadado del tiempo que tada un planeta en descibi su óbita es diectamente popocional al cubo del semieje mayo de su óbita. P 1 Figua 6. El tiempo que tada un planeta en completa una óbita alededo del Sol se llama peíodo y se designa po T. Así pues, la tecea ley de Keple se puede expesa matemáticamente de la siguiente foma: T a 3 = C (constante) La tecea ley de Keple se puede demosta muy fácilmente paa una óbita cicula. En efecto, la velocidad de un satélite en óbita cicula es igual al cociente ente la longitud de la óbita ( π ) y el tiempo empleado en ecoela, es deci el, peíodo (T): v = π T Sustituyendo v po este cociente en la expesión de la velocidad del satélite, tenemos: v 0 = G M Y elevándola al cuadado esulta: ( π ) T Haciendo opeaciones se obtiene: 3 T = G M = G M 4 π _U.FIS.BCH.CAS.indd 78 13/5/09 07:58:31

21 Los planetas y satélites El segundo miembo de esta igualdad es constante, po lo que queda compobado que T es diectamente popocional a 3, tal como afima la tecea ley de Keple. Las leyes de Keple no solo son válidas paa los planetas del sistema sola, sino también paa otos cuepos que se mueven en óbita en tono un asto que los atae gavitatoiamente, como los cometas alededo del Sol y los satélites natuales o atificiales alededo de los planetas. EjEMPLo 11. El adio medio de la óbita que descibe alededo del Sol el asteoide Gaspa es de,1 UA. Calcula el peíodo de evolución de Gaspa. UA significa unidad astonómica, que es una longitud muy apoximadamente igual a la distancia media de la Tiea al Sol: 1 UA = 1, m Simbolizaemos po R G y R T los adios medios de las óbitas de Gaspa y la Tiea, y po T G y T T sus espectivos peíodos de evolución alededo del Sol. Po la tecea ley de Keple se cumpliá que: R G 3 T G = R 3 T T T Dado que esta fómula es homogénea, podemos expesa los valoes de las magnitudes que intevienen en cualquie unidad (natualmente, ha de se la misma en ambos miembos de la igualdad). Gaspa es una oca de unos 0 km de longitud que foma pate del cintuón de asteoides que gian en óbita alededo del Sol. La sonda Galileo se apoximó a él en octube de 1991 y envió esta fotogafía. Expesaemos los adios de las óbitas en UA, con lo que seá R T = 1 UA (po definición). Y, expesando en años los peíodos de evolución, es T T = 1 año. Sustituyendo valoes en la anteio igualdad tendemos: (,1 UA) 3 T G = (1 UA)3 (1 any) Despejando T G se obtiene: T G =,1 3 = 3,9 años _U.FIS.BCH.CAS.indd 79 13/5/09 07:58:3

22 Los planetas y satélites c A F F A v mín a a v máx La enegía mecánica de un satélite de masa m que se mueve alededo de un planeta de masa M en una óbita elíptica se calcula de la misma foma que en una óbita cicula, peo sustituyendo el adio del cículo po el semieje mayo de la elipse: E M = 1 G M m a La longitud a se denomina tambíen adio medio de la óbita. 7. Satélite en óbita elíptica alededo de la Tiea, situada en el foco F de la elipse. En A (peigeo) la distancia a la Tiea (a c) es la mínima y la velocidad es la máxima. En A (apogeo) la distancia a la Tiea (a + c) es máxima y la velocidad mínima. En uno de los extemos del eje mayo de las óbitas elípticas la distancia ente el satélite y el planeta, situado en uno de los focos de la elipse, es mínima (punto A de la figua 7) e igual a la difeencia a c ente el semieje mayo y el semieje focal. Si el planeta es la Tiea, ese punto se llama peigeo. En él la enegía potencial es mínima y la cinética es máxima. En el oto extemo del eje mayo de la óbita la distancia ente el satélite y el planeta es máxima (punto A de la figua 7) e igual a la suma a + c del semieje mayo y el semieje focal. Paa los satélites de la Tiea ese punto se llama apogeo. En él es máxima la enegía potencial y mínima la cinética. Conociendo las distancias máxima, máx, y mínima, mín, ente un planeta y su satélite se pueden detemina fácilmente las valoes de los semiejes mayo, meno y focal de la óbita así como su excenticidad. Paa ello basta tene en cuenta que: máx = a + c mín = a c De donde se deduce: a = máx + mín y c = máx mín A pati de los valoes de a y c podemos calcula la longitud del semieje meno de la óbita (b) y su excenticidad (ε): b = a c y ε = c a Todo lo dicho se puede aplica a cualquie asto que gie en óbita aldedo de oto. En el caso de los planetas, asteoides y cometas del sistema sola, la posición de máxima distancia al Sol se denomina afelio y la de mínima distancia, peihelio (ambas palabas poceden del vocablo giego helios, que significa Sol ) _U.FIS.BCH.CAS.indd 80 13/5/09 07:58:34