Tema 4. Relatividad especial
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- Ramón Villalba San Martín
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1 ma 4. latividad spial Pima pat: latividad d Galilo. Pinipio d latividad as lys d la mánia son las mismas n dos sistmas d fnia, si s muvn d modo qu su vloidad lativa sa onstant.+ S dfin un sistma inial omo l sistma d fnia n l qu una patíula, n ausnia d fuzas, s muv on vloidad onstant. 2. ansfomaión d Galilo Considamos dos sistmas inials S y S, uya vloidad lativa stá diigida sgún l j Ox. S supon qu l plano yz s paallo al plano y'z', y los js x, x' son oinidnts. as uaions qu laionan las oodnadas d los dos sistmas x x + t y y z z ibn l nomb d tansfomaión d Galilo paa S y S. Po tanto, po l pinipio d latividad, las lys d la mánia son las mismas si alizamos sob l sistma una tansfomaión d Galilo. a ly d tansfomaión paa la vloidad y la alaión s v v + a a mos así qu la alaión no dpnd dl sistma d fnia lgido. 3. Efto Doppl no lativista. Coiminto d l Est fto laiona la funia mdida d una onda on las vloidads lativas dl tansmiso, l mdio y l pto. Suponindo qu l tansmiso mit ondas ada sgundos, qumos dtmina l píodo d la onda obsvado po l pto. a onda viaja n l mdio on una vloidad. El tansmiso s muv on vloidad haia l pto, y l pto s muv on vloidad haia l tansmiso.
2 Po tanto, n vitud d la adiión no lativista d vloidads, la distania nt tansmiso y pto disminuy + mtos n ada sgundo, y la onda llga al pto on la vloidad lativa +. El tansmiso mit una onda d píodo, sindo t 0 l instant n l qu mit l pim fnt d onda y t l instant n l qu mit l último fnt d onda, y finaliza la misión. Si ambos obsvados, l tansmiso y l pto, stuvian n poso lativo 0, l intvalo d timpo tansuido nt la pión dl pim fnt d onda y la pión dl último fnt d onda sía. Duant diho intvalo d timpo, la distania nt l tansmiso y l pto disminuy, on lo ual l último fnt d onda db o una distania mno paa llga al pto, qu la distania qu db o l pim fnt d onda. as distanias oidas po l pim y último fnt d onda difin n la antidad d + ( ) Ya qu la vloidad on qu s aa la onda al pto s +, la difnia nt l timpo d vulo dl pim fnt d onda y l timpo d vulo dl último fnt d onda s d + t + + Po tanto, l píodo d la onda obsvado po l pto sá igual al píodo mitido mnos la difnia d timpo ganada dbida al moviminto d aaminto dl tansmiso y pto. Es di, + t + + Intoduindo la funia ν d la sñal ν obtnmos la laión busada + ν ν Es l fto Doppl no lativista. a funia mdida d una onda dpnd d la vloidad lativa dl pto y tansmiso spto a la vloidad d las ondas n l mdio. El aso qu más no intsa s fi a un pto n poso (ada n la supfii tst), y un tansmiso (galaxia n misión sptal) moviéndos on una vloidad pquña fnt a la vloidad d las ondas n l mdio stla. Con sto, l ambio d funia po fto Doppl pud apoximas al valo ν ν + ν
3 D aquí, podmos alula la vaiaión lativa n la funia mdida po l obsvatoio tst ν ν ν ν En l aso más gnal, las ondas luminosas qu llgan a la ia podnts d galaxias ljanas s studian a tavés d su spto d longituds d onda. a longitud d onda s dfin n la foma λ ν a vaiaión d la longitud d onda dbido al fto Doppl, n sta apoximaión, s λ λ λ λ Cuando una galaxia s alja d la ia, < 0, obtnmos λ > λ. a luz qu ibimos podnt d sa galaxia suf un oiminto haia longituds d onda mayos, s l llamado oiminto al ojo. Si la galaxia s aa a la ia, > 0, obtnmos λ < λ, y s podu un oiminto haia longituds d onda mnos. Es l llamado oiminto al azul. 4. loidad lativa d las galaxias. Edad dl Univso Sgún hmos visto n l punto antio, midindo l dsplazaminto n longitud d onda dl spto qu llga a la supfii tst mitido po ualqui galaxia, podmos stima uál s la vloidad lativa d sa galaxia spto a la ia. Paa stima la distania qu nos spaa d lla nos basamos n l modlo osmológio más aptado atualmnt. Diho modlo apta qu l univso s nunta n ontinua xpansión, y qu diha xpansión s unifom n ualqui diión y spto a ualqui punto dl univso. Po tanto, spto a la ia, todas las galaxias s aljan d foma unifom, po lo qu una galaxia situada a una distania d la ia, s db alja d nosotos a una vloidad g α sindo α un valo d fnia qu val apoximadamnt 8 - α 0 sg Podmos stima admás on st modlo osmológio la dad τ dl Univso, y su tamaño, aatizado po un ito adio. a fonta dl Univso stá fomada po los ayos d luz qu s mition n su naiminto, y s aljan d ualqui punto on una vloidad igual a la vloidad d la luz. a distania qu han oido s igual al adio dl univso, qu satisfa
4 8 0 0 sg-luz 3 0 años-luz α y la dad dl univso sá igual al timpo nsaio paa qu los ayos d luz oan sta distania 8 0 τ 0 sg 3 0 años α 4. a vloidad d la oint d un ío s a, y l ío tin anhua. Una lanha s dsplaza on vloidad spto al agua n poso. Qué diión db toma la lanha paa llga a la ota oilla n l mno timpo posibl? Calula l punto d ataqu. Esogmos l j x n la diión d la oint dl ío, paalla a la oilla, y l j ppndiula y a la oilla dl ío. Po la ly d omposiión d vloidads, la vloidad d la lanha spto a la oilla s igual a a + ó + snφ x a y osφ sindo φ l ángulo qu foma la taytoia d la lanha on la ppndiula a la oilla dl ío. Si las vloidads son onstants, la intgal d la ly dl moviminto d la lanha s x + snφ t ( ) a y osφ t Cuando y la lanha s nontaá n la ota oilla dl ío. El timpo qu tada n uza l ío vin dado po t osφ y la posiión n la qu llga n la ota oilla stá dada po a + sn φ x osφ El timpo d u s mínimo uando la taytoia sigu la lína ta dfinida po l a valo φ 0. En st aso, la posiión dl punto d llgada s x, y.
5 4.2 Un nadado qu pat d A, s dsplaza on vloidad onstant n spto al agua sob un ío d anhua d uyas aguas stán animadas d una oint d vloidad onstant. a) El nadado ftúa taytos, d longitud d, d ida y vulta: uzando la oilla, AAA, n un timpo t y d foma paalla a la oilla, AA2 A, n un timpo t 2. Calula l valo dl oint t / t 2 b) El nadado dja l bod A, uando s nunta a una distania d d la poa d una motoa, d anhua, qu s dsplaza d foma paalla a la oilla on una vloidad onstant u spto dl agua. Dtmina la diión y magnitud d la vloidad absoluta mínima dl nadado paa qu no hoqu on la mbaaión. A a) b) d α A n d A 2 a ly d omposiión d vloidads s + n sindo la vloidad absoluta dl nadado spto a la oilla. Paa i d A a A l nadado db foma un ángulo α on la nomal a la oilla, d foma qu sa ppndiula a la oilla, ppndiula ntons a la vloidad dl ío. Así, s db satisfa n + on lo ual la vloidad absoluta dl nadado s 2 2 n El timpo t qu tada n uza l ío d anhua d y volv stá dado po d d d t osα 2 2 n n En l viaj AA 2, d longitud d, la vloidad dl nadado spto a la oilla s, y n l viaj d vulta, AA, 2 d longitud d, la vloidad s +. El timpo qu tada n o la distania AA2 A s u d A α B
6 d d 2d t El oint d timpos nos quda t t omamos l instant iniial t 0 uando l nadado sal d A. En s instant, la motoa s nunta n x d y viaja on vloidad u spto dl agua. El nadado vita la mbaaión si llga al punto B, a una distania ppndiula a la oilla, n pim luga. El timpo qu tada l nadado n llga a B s tn osα sindo α l ángulo qu foma l nadado on la nomal a la oilla. El timpo qu tada la motoa n llga al mismo punto s d + tanα tm u sindo u la vloidad absoluta d la motoa spto d la oilla. El nadado vita la olisión on la motoa, si tn < tm. a vloidad dl nadado paa onsgui sto satisfa, po tanto u ( ) ( u ) > d + tanα osα dosα + snα ( ) El mínimo d sta vloidad s alanza uando d n 0 dα ó dsnα osα 0 tanα d Esto s, uando l nadado s diig n lína ta haia B. a vloidad mínima s, ntons, u ( ) 2 2 d +
7 4.3 Una lína sptal qu apa on una longitud d onda d 5000 Å n l laboatoio s obsva on Å n l spto d la luz mitida po una galaxia ljana. Calula su vloidad y posiión dsd la ia. Si λ s la longitud d onda mitida po la galaxia y λ, la longitud d onda ibida n la ia, l oiminto po fto Doppl vin dado po λ λ λ g λ λ Intoduindo los datos, obtnmos λ λ g 4 0 λ a galaxia s alja d la ia. a distania dsd la ia satisfa g α sindo α un valo d fnia qu val apoximadamnt α 0 sg 3 0 años Obtnmos 5 0 años-luz as vloidads d las galaxias lativas a la ia no son isótopas n l fimamnto, ya qu dpndn d la diión d obsvaión. a anisotopía s onsunia dl moviminto dl Sol spto al nto d nusta galaxia, on una vloidad d 300 km/s. Examinamos todas las galaxias situadas a una distania d 3.26 x 0 7 años-luz. En l laboatoio la lína α d misión dl hidógno tin una longitud d onda d 6563 Å. Calula los valos máximo y mínimo d la longitud d onda ibida n la ia, y la diión d obsvaión n qu s podun. En st poblma dbmos supon qu la ia no stá n poso, sino qu s muv on una vloidad d aast, dbido al moviminto dl Sol, qu val 300 km/s0-3, y stá diigida sgún una ita diión qu lgimos omo l j z. En st aso l dsplazaminto Doppl vin dado po + λ λ g sindo g la vloidad d aljaminto d las galaxias α Con sto, Con los datos dl poblma, λ g λ + α +
8 ,26 0 0,00326 g a vloidad d la ia s d 300 Km/s si la diión d obsvaión oinid on la diión d su moviminto (j z), y s d -300 km/s si la diión d obsvaión s opusta a la diión d su moviminto. Cuando la diión d obsvaión foma un ángulo β on la diión dl moviminto d la ia, la vloidad d taslaión d la ia val 300osβ km/s Po tanto, l máximo n la longitud d onda ibida s podu uando s mínima, s di, n la diión -z, y l mínimo n la longitud d onda s podu uando s máxima, s di, n la diión +z. Con los datos dl poblma, + 0,00326 λmax λ 659,0 A 0,00 y + 0,00326 λmin λ 6577,8 A + 0, Un astonauta dsa ono su vloidad d apoximaión a la una. Paa llo nvía una sñal d funia 5000 MHz y ompaa sta funia on su o, obsvando una difnia d 86 Hz. Calula la vloidad dl astonauta spto a la una. Suponmos un pto n poso (la una), y l tansmiso apoximándos on una vloidad (l astonauta). a funia ibida po la una suf un dsplazaminto po fto Doppl n la foma ν ν ν + xpsión válida si, sindo la vloidad d la luz, vloidad a la qu s popaga la sñal nviada po l astonauta. a funia fljada po la una s ν ν Esta sñal llga d nuvo al astonauta on una funia ν ν ν +
9 En sta pión, l astonauta stá n poso y la una s aa a él on vloidad. a laión nt las funias d la sñal mitida y dl o ibido s, ntons 2 ν ν + mos qu la funia dl o simp sá mayo qu la funia mitida, ya qu l astonauta s aa a la una. Con los datos dl poblma, nontamos la vloidad d apoximaión dl astonauta a la una 5000,086 ν 2,58km/s ν 5000
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