1. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.

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1 CAPÍTULO El plano vectorial Consideremos P como el plano intuitivo de puntos: A,,C..... El espacio vectorial de los vectores Definición. Vectores fijos Dado dos puntos cualesquiera A e del espacio nos definirán un vector fijo que designaremos por A (A recibe el nombre de origen e extremo del vector). Al conjunto de todos los vectores fijos que podamos construir en P se le denomina P P El hecho de que A sea el origen e el extremo determina sobre la recta un sentido de A a que es el sentido del vector. La dirección es la recta determinada por los puntos A e y el módulo es la distancia entre A e. Definición. Los vectores fijos AA,,... que tienen el mismo origen y extremo reciben el nombre de vectores fijos nulos. Definición.3 Dos vectores fijos A y CD tienen el mismo módulo si d(a,) = d(c,d). Escribiremos : A = CD Definición.4 Dos vectores fijos A y CD tienen la misma dirección si están en la misma recta o en rectas paralelas. Escribiremos: A CD Definición.5 Dos vectores fijos A y CD que tienen la misma dirección tienen el mismo sentido A CD si. Si están situados en rectas paralelas: la recta que une los orígenes, deja sus extremos en un mismo semiplano.. Si están situados en una misma recta, existe otro vector fijo situado en una recta paralela tal que respecto de los dos vectores, aplicando el apartado anterior, mantiene el mismo sentido. Definición.6 Vectores equipolentes Dos vectores fijos del espacio son equipolentes ( y se denota por : XY A), si verifican una de las tres condiciones siguientes:. Si no son nulos y están situados en rectas diferentes, son equipolentes si al unir sus orígenes (A y X) y sus extremos ( e Y ) se forma un paralelogramo.

2 D A C D E C A F A EF y CD EF = A CD Figura.: Vectores del mismo sentido. Si están sobre la misma recta existe otro vector MN que cumple con ambos la misma condición. 3. Si ambos vectores son nulos. Teorema. Dos vectores: XY A si y sólo si tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. La relación de equipolencia es de equivalencia ya que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Podemos formar por tanto el conjunto cociente que nos clasifica el conjunto P. Cada una de las clases de equivalencia es un vector libre y su conjunto se designa por V : V = E. v V v = [ A] = { CD CD A} El vector libre nulo es: 0 = { AA,,...} Propiedad. Elegido un punto O del espacio que llamaremos origen y un vector libre cualesquiera [ A] del espacio, éste tiene un único representante con origen en O. (Fig..) A u = [ A] u = [ OP] P O Figura.: Vector libre con origen O Departament de matemàtiques - - I.E.S. Joan Ramon enaprès

3 ... Operaciones con vectores libres En el conjunto V se establecen dos operaciones: Definición.7 Ley interna, adición de vectores: Sean v = [ A] y v = [ CD] dos vectores libres de V 3. Se define la suma de vectores como otro vector libre v3,que viene determinado por una de las formas siguientes:. Método del paralelogramo. Método del polígono u + v v u Figura.3: Suma de vectores libres. Método paralelogramo Propiedad. La suma de vectores es uniforme, es decir no depende de los vectores que se tomen como representantes. Propiedad.3 El conjunto V 3 con la operación así definida cumple las siguientes propiedades ( Dados u, v, w V ):. Asociativa u + ( v + w) = ( u + v) + w) = u + v + w. Conmutativa : u + v = v + u 3. Elemento neutro : El vector cero Elemento simétrico: [ A] + [ A] = 0 Todo ello quiere decir que (V,+) es un grupo abeliano. Definición.8 Ley externa Sean v = [ A] y λ R un escalar. Definimos la siguiente operación externa: tal que a cada par (λ, v) λ v verificando:. El vector λ v tiene la misma dirección que v : R V V. El sentido del vector será el mismo que v si λ > 0 y el contrario a v si λ < El módulo será el producto de λ por el módulo de v Propiedad.4 El conjunto V con la operación externa así definida, cumple las siguientes propiedades:. Distributiva de los escalares respecto a la suma de vectores: λ ( u + v) = λ u + λ v Departament de matemàtiques - 3- I.E.S. Joan Ramon enaprès

4 . Distributiva de los vectores respecto la suma de escalares: (λ + µ) u = λ u + µ v 3. Asociativa de los escalares: (λ µ) u = λ (µ u) 4. Elemento unidad: v = v Todo ello quiere decir que (V,+, ) es un espacio vectorial sobre R. Definición.9 (Familia de vectores) Un conjunto de vectores del espacio vectorial V recibe el nombre de familia de vectores: F = { u, u, u 3,, u n } Definición.0 (Combinación lineal de vectores) Un vector u V es combinación lineal de los vectores de una familia F = { u, u, u 3,, u n }, si existen n escalares, α,α,,α n R, tal que: u = α u + α u + + u n α n = n α k u k Definición. (Sistema generador) Una familia G = { u, u, u 3,, u n } es un sistema generador del espacio V si todo vector es combinación lineal de los vectores de la familia: v V, α,α,,α n R tal que v = α u + α u + + n u n α n = α i u i Definición. (Vectores linealmente independientes o familia libre de vectores) Una familia de vectores F es libre o los vectores son linealmente independientes si NINGÚN VECTOR de la familia se puede expresar como combinación lineal de los restantes. La definición es equivalente a: Definición.3 (Vectores linealmente independientes o familia libre de vectores) Una familia de vectores F es libre o los vectores son linealmente independientes si PARA TODA COMINACIÓN lineal de los vectores de F igualada al vector nulo, TODOS LOS ESCALARES deben ser cero. Para toda combinación lineal: α u +α u + + u n α n = 0 entonces α = α = α 3 = = α n = 0 Las familias de vectores que no son linealmente independientes son linealmente dependientes. Definición.4 (ase de un espacio vectorial) Una familia = { u, u, u 3,, u n } es una base del espacio V si verifica simultáneamente las siguientes condiciones: La familia es sistema generador. La familia es libre (los vectores son linealmente independientes) Definición.5 (Dimensión de un espacio vectorial) Dado un espacio vectorial se llama dimensión del espacio al número de vectores de la base. Proposición. (ase y dimensión del espacio vectorial) Dos vectores, no nulos, de distinta dirección, { u, v } de V siempre forman una base de los vectores libres del plano. Demostración: Para que sea base debe verificar las dos condiciones: sistema generador y libre: Linealmente independientes Por reducción al absurdo: supongamos que los vectores son linealmente dependientes, por definición uno será combinación lineal del otro: α R tal que u = α v, por lo tanto los vectores u y v están en la misma dirección. Contradice la hipótesis de no estar en la misma dirección, es decir, son linealmente independientes Sistema generador asta hacer la construcción geométrica: se deja como ejercicio. k= i= Departament de matemàtiques - 4- I.E.S. Joan Ramon enaprès

5 Consecuencias. Todas las base de V están formadas por dos vectores de distinta dirección.. La dimensión del e.v. V, por lo tanto, es. Definición.6 (Coordenadas de un vector) Dada una base = { u, u } y un vector v cualquiera de V, como forman un sistema generador α,β R tal que v = α u + β u. A la dupla (α,β) se les denomina coordenadas del vector v respecto de la base. Por ser base los vectores son linealmente independientes y conlleva que las coordenadas (α,β) SON ÚNICAS respecto de cada base. Efectivamente: si las coordenadas no fuesen únicas entonces: v = α u + β u = α u + β u = α u + β u α u β u = 0 (α α ) u + (β β ) u = 0 Por la definición de vectores linealmente independientes, al estar igualado al vector nulo, TODOS los escalares son cero: { α α = 0 = α = α β β = 0 = β = β Es decir las coordenadas de un vector respecto de una base dada SON ÚNICAS En general se tomará como base de V a la base canónica e = (,0) y e = (0,). Ejemplo Si nos dan el vector u = (3,4) significa: 5 u = 3 e + 4 e. Gráficamente: 4 3 u w e 0 - e Figura.4: u = 3 e + 4 e y w = ( ) e + 3 e Departament de matemàtiques - 5- I.E.S. Joan Ramon enaprès

6 ... Plano afín Definición.7 Sea P el conjunto que llamamos plano intuitivo y V (R) el e.v. real de dimensión de los vectores libres y f una aplicación de P P sobre V (R) que verifica los axiomas siguientes:. A,,C P f(a,c) = f(a,) + f(,c) AC = A + C. A P y v V (R) un único P tal que f(a,) = v A = v Se denomina plano afín asociado a V (R) y se designa por E (R) a la terna (P, V (R), f). Definición.8 (Dimensión) Sea E (R) el espacio afín asociado a V (R), se llama dimensión del espacio afín a la dimensión del espacio vectorial asociado. dim E (R) = dim V (R) = Definición.9 (Vector de posición) Supongamos elegido un punto O del espacio afín que llamaremos origen. Consideremos la aplicación h 0 : P V (R) tal que a cada punto del espacio afín A P le hacemos corresponder el vector OA. A este vector se le denomina vector de posición del punto A. Definición.0 (Sistema de referencia afín) Se denomina sistema de referencia afín del espacio E al par (O, ) donde O es un punto fijo y es una base del espacio vectorial asociado. Al punto O se le denomina origen de coordenadas. Definición. (Coordenadas afines de un punto) Se llaman coordenadas afines de un punto A de E respecto a la referencia afín, a las coordenadas del vector OA respecto de la base de V (R). OA = x e + y e Considerando la base canónica: (0, c ) donde O = (0,0), e = (,0), e = (0,) 5 A 4 3 e O e Figura.5: Las coordenadas de los puntos: A(3,5) y ( 3, ) Departament de matemàtiques - 6- I.E.S. Joan Ramon enaprès

7 Propiedad.5 (Coordenadas de un vector) Dado el vector u = [ A] se llaman coordenadas del vector u respecto de una referencia, a las coordenadas del extremo del vector, el punto, MENOS las coordenadas del extremo, el punto A. Efectivamente: Sean A = (x,y ) y = (x,y ) los extremos del vector fijo A Entonces: O = OA + A = A = O OA en componentes A = (x e + y e ) (x e + y e ) = (x x ) e + (y y ) e = (x x, y y ) A O Figura.6: Coordenadas un vector Propiedad.6 (Vectores equipolentes) Dos vectores u, v son equipolentes si y sólo si sus coordenadas son iguales. Ejercicios. Hallar las coordenadas del vector de extremos A( 3,) y (5,3).. Si el vector u = (,4) y su origen es el punto A(3, ), hallar las coordenadas del extremo del vector. 3. Los puntos A(,), (3,5) y C(7, ) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo. Hallar las coordenadas del cuarto vértice, D. Departament de matemàtiques - 7- I.E.S. Joan Ramon enaprès

8 Propiedad.7 (Coordenadas del punto medio de un segmento) Las coordenadas del punto medio, M, de un segmento de extremos A y son igual a la media aritmética de las coordenadas de los extremos de dicho segmento (Fig..7): Como OM = OA + AM y AM = A = OM = OA + A Si las coordenadas de los extremos son A(x,y ) y (x,y ), y las del punto medio, M = (x m,y m ), entonces: (x m,y m ) = (x,y ) + ( (x x,y y ) = x + x x,y + y ) y = ( x + x, y ) + y M 3 A O Figura.7: Coordenadas del punto medio Ejercicios. Hallar las coordenadas de los puntos medios del paralelogramo ACD.. Dividir el segmento A en tres partes iguales si A(,) y (7,0) Departament de matemàtiques - 8- I.E.S. Joan Ramon enaprès