Tema 4: Los vectores en el espacio

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1 Tema 4: Los vectores en el espacio 1. El conjunto R 3 Este conjunto está formado por todas las ternas de números reales (x, y, z) 2. Vectores fijos Un vector es un segmento orientado que parte de A (origen) y llega hasta B (extremo) - Módulo: longitud del vector AB - Dirección: dirección de la recta que pasa por A y B - Sentido: recorrido de la recta de A a B Dos vectores son equipolentes (y equivalentes) si tienen mismo módulo, dirección y sentido. Un vector libre es cada clase de equivalencia que representa a todos los vectores equipolentes. Se designa por AB o v. El conjunto de todos los vectores libres se denomina V Operaciones con vectores Mirar p. 107 si eso 4. Dependencia e independencia lineal de vectores Dos vectores son linealmente dependientes si tienen la misma dirección. Tres lo son si son coplanarios. No pueden existir más de 3 vectores linealmente independientes. Matemáticamente diremos que un vector es combinación lineal de otros si puede expresarse como la suma de las multiplicaciones de los otros vectores por números reales. 5. Bases de V 3 y componentes de un vector Tres vectores linealmente independientes forman una base de V 3 de 3ª dimensión, y cualquier otro vector de V 3 se podrá expresar en función de estos. (x, y, z) son las componentes de un vector si se verifica que: v = x u 1 + y u 2 + z u 3 La base canónica (u ortonormal) es la de toda la vida, de x, y, z. 6. Más operaciones con vectores Mirar p. 109 del libro si eeeeso.

2 7. Rango, dependencia e independencia lineal Podemos formar una matriz con vectores para analizar su dependencia lineal. El rango de esta matriz nos dará el número de vectores linealmente independientes. 8. Producto escalar de dos vectores libres 8.1 Definición: El producto de u v es: u v cos (u, v) El resultado obtenido es un número real, cuyo signo dependerá del resultado del coseno. Además, cabe mencionar que, de los dos ángulos que forman los vectores al estar unidos por su origen, ambos tienen el mismo coseno, por lo que daría igual cuál se coja. 8.2 Propiedades: 1.- El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo 2.- El producto escalar es conmutativo u u = u 2 u v = v u 3.- Homogénea: k u v = ku v 4.- Distributiva respecto de la suma de vectores: u v + w = u v + u w *.- Por todas estas propiedades, se llama espacio vectorial euclídeo al par (V 3, ) 8.3 Expresión Analítica: Sea B = u 1, u 2, u 3 una base, y u y v dos vectores cualesquiera, se tiene: u = xu 1 + yu 2 + zu 3 Y la expresión del producto escalar resulta: v = x u 1 + y u 2 + z u 3 u v = xx u 1 u 1 + xy u 1 u 2 + xz u 1 u 3 + yx u 2 u 1 + yy u 2 u 2 + yz u 2 u 3 + zx u 3 u 1 + zy u 3 u 2 + zz (u 3 u 3 ) Si la base es ortogonal, la expresión del producto vectorial es la siguiente: Si la base es ortonormal, la expresión es: u v = xx u 1 u 1 + yy u 2 u 2 + zz (u 3 u 3 ) u v = xx + yy + zz

3 8.4 Interpretación geométrica El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de u por la proyección de v sobre u, o viceversa. 8.5 Aplicaciones del producto escalar Módulo de un vector Ángulo de dos vectores u = u u = x 2 + y 2 + z 2 u v u, v = cos 1 u v = cos 1 x x + y y + z z x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 Vector unitario (normalización) u 1 = u u Perpendicularidad entre vectores (vectores ortogonales) u v u v = 0 9. Producto vectorial de dos vectores 9.1 Definición El producto vectorial de dos vectores se escribe: u v y su resultado es otro vector con las siguientes características: Módulo: u v sen(u, v) Dirección: perpendicular a u y v Sentido: hacia abajo si el giro, yendo del camino más corto de u a v, es en sentido de las agujas del reloj. (Regla del Pilot) 9.2 Propiedades 1.- Si u = 0 ó v = 0 u v = u u = Si u y v son proporcionales (paralelos) u v = Anticonmutativa: u v = (v u) 5.- No asociativa: (u v) w u (v w)

4 6.- Homogénea: ku v = k(u v) 7.- Distributiva: u v + w = u v + (u w) 9.3 Expresión Analítica u v = i j k u x u y u z v x v y v z 9.4 Interpretación geométrica u v = área del paralelogramo con lados u y v 10. Producto mixto 10.1 Definición El producto mixto de tres vectores es igual a la siguiente expresión: u, v, w = u (v w) 10.2 Expresión analítica u, v, w = det u, v, w 10.3 Propiedades 1.- u, v, w = w, u, v = v, w, u 2.- u, v, w = u, w, v 3.- u, v, w = 0 si los tres vectores son coplanarios (o paralelos) 4.- Homogénea: au, bv, cw = abc u, v, w = bu, av, cw 5.- Distributiva: u + u, v, w = u, v, w + u, v, w 10.4 Interpretación geométrica El valor absoluto del producto mixto de 3 vectores es igual al volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los 3 vectores. Este paralelepípedo se puede descomponer en dos prismas triangulares iguales, y estos a su vez, en 3 tetraedros de volúmenes iguales, con bases y alturas iguales a las del prisma (hay tres distintas).

5 Tema 5: El espacio afín 1. El espacio afín Llamamos así a la correspondencia formada entre los puntos del espacio y los vectores libres: f A, B f(c, D) a b 2. Sistemas de referencia en el espacio Se llama sistema de referencia al par R = O; B donde O es el origen del sistema de referencia y B es la base (llamándose los tres vectores que la constituyen ejes). Sea A un punto cualquiera en el espacio, llamamos a lo siguiente vector de posición: OA = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 Donde x 1, x 2, x 3 son las coordenadas del vector. El sistema de referencia ortonormal es el siguiente: R O = O; i, j, k 3. Componentes de un vector que une dos puntos AB = b a 4. Equipolencia entre vectores Sea AB = x, y, z y CD = (a, b, c) AB~ CD x, y, z = (a, b, c) 5. Coordenadas del punto medio de un segmento Om = OA AB = 1 ( OA + OB) 2 6. Baricentro y punto de Gravedad (centro de las medianas) Triángulo: OG = Tetraedro: OG = OA+OB+ OC 3 OA+OB+ OC+OD 4

6 7. Ecuaciones de la recta Sea A(a x, a y, a z ) y v = (v x, v y, v z ) Ecuación vectorial: x, y, z = a x, a y, a z + t (v x, v y, v z ) Ecuaciones paramétricas: x = a x + t v x y = a y + t v y z = a z + t v z Ecuación en forma continua: x a x v x = x a y v y = x a z v z Ecuación implícita: (intersección de dos planos) Ax + By + Cz + D = 0 A x + B y + C z + D = 0 8. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean A y B esos dos puntos, se toma AB como vector director. 9. Ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpendicular a dos vectores Sean u y v los vectores, se toma u v como vector director. 10. Puntos alineados Tres o más puntos del espacio están alineados si el rango de (OA, OB, OC ) es 1. También se puede hallar la recta que pase por dos de ellos y comprobar si el tercero también está incluido (preferiblemente en forma continua). 11. Ecuación del plano Un plano queda determinado por un punto de paso A(a x, a y, a z ) y dos vectores directores, u = (u x, u y, u z ) y v = (v x, v y, v z ) linealmente independientes. Ecuación vectorial: x, y, z = a x, a y, a z + s u x, u y, u z + t v x, v y, v z Ecuaciones paramétricas: x = a x + s u x + t v x y = a y + s u y + t v y z = a z + s u z + t v z Ecuación implícita: x a x y a y z a z u x v x u y v y u z v z = 0 Ax + By + Cz + D = Ecuación del plano que pasa por tres puntos Sean A, B, C los puntos, se toma como punto de paso el A y como vectores directores el AB y AC.

7 13. Ecuación segmentaria del plano Siendo A a, 0, 0 ; B 0, b, 0 ; C(0, 0, c) es: x a + y b + z c = 1 = x + y + z D/A D/B D/C 14. Ecuación normal del plano Siendo n = (A, B, C) el vector normal (perpendicular) al plano, podemos obtener el plano mediante la determinación normal: A x a x + B y a y + C z a z = 0 A partir de esto, si tenemos una recta en ecuación implícita, podremos sacar su vector director de la siguiente manera: v = n n = i j k A B C A B C 15. Ecuación del plano determinado por una recta y un punto exterior Sea A un punto de la recta, u su vector director, y P un punto exterior, podemos tomar AP = v 16. Puntos coplanarios Cuatro o más puntos son coplanarios si el rango de (AB, AC, AD ) es 2. También se puede hallar el plano que pase por tres de ellos y comprobar si el cuarto también está incluido.

8 Tema 6: Posiciones relativas de rectas y planos Hacemos una matriz (M) y una matriz ampliada (M*) con las ecuaciones del plano o recta (en forma implícita) tomando los coeficientes (A, B, C) de las ecuaciones en forma A i x + B i y + C i z + D i = 0. Tras discutir el sistema, podemos averiguar la posición relativa de: 1. Posiciones de dos planos Caso Rango de M Rango de M* Sistema Posición relativa Comp ind Secantes Incomp Paralelos Comp ind Coincidentes 2. Posiciones de tres planos Caso Rango de M Rango de M* Sistema Posición relativa Comp det Secantes en un punto Incomp -Secantes dos a dos -Dos paralelos, secantes al otro Comp ind -Secantes en una recta -Uno coincidente con otro, y ambos secantes al tercero Incomp -Paralelos -Dos coincidentes y uno paralelo Comp ind Todos coincidentes 3. Posiciones de recta y plano Caso Rango de M Rango de M* Sistema v n = 0 A ε π Posición relativa Comp det No Secantes Incomp Sí No Paralelos Comp ind Sí Sí Recta contenida en el plano Hallar el punto común entre recta y plano secantes a) Se escribe la recta en ecuaciones paramétricas, se sustituyen x, y, z en la ecuación del plano, se resuelve la ecuación, y el parámetro t obtenido se sustituye en la ecuación de la recta. b) Se resuelve el sistema entre las ecuaciones de la recta implícitas y la del plano.

9 4. Posiciones de dos rectas Caso Rang (M) Rang (M*) Rang (A) u v Sistema Posición relativa Incomp Cruzadas No Comp det Secantes Sí Incomp Paralelas Comp ind Coincidentes Donde M y M* son las matrices formadas por la ecuación de las dos rectas en forma implícita, y A es la matriz formada por u, v (vectores directores de las rectas) y AB 5. Haz de planos Secantes Todos los planos que pasan por una recta se obtienen como combinación lineal de los dos planos que definen la ecuación implícita de dicha recta: t Ax + By + Cz + D + s A x + B y + C z + D = 0 Cabe mencionar que el vector normal de cualquier plano del haz tendrá la siguiente expresión: n = (ta + sa, tb + sb, tc + sc ) Aplicaciones posibles de esto son hallar, especialmente si te dan la recta en forma implícita: 1 La ecuación de un plano que contiene a una recta y un punto; 2 La ecuación de un plano que contiene una recta y es paralelo a otra recta; 3 La ecuación de un plano que contiene una recta y es paralelo a otro plano.

10 Tema 7: El espacio métrico 1. Distancia entre dos puntos d A, B = AB 2. Distancia entre punto y plano Método 1: d P, α = Ap x + Bp y + Cp z + D A 2 + B 2 + C 2 Método 2: 1.- Hallar la recta que pase por P con vector director n α en forma paramétrica 2.- Hallar el punto de corte entre la recta y el plano (Mirar 6.3) 3.- Calcular la distancia entre P y el punto de intersección hallado 3. Distancia entre recta y plano Si no son relativamente paralelos, la distancia será 0. Si lo son, se aplica el apartado anterior sacando un punto cualquiera de la recta. 4. Distancia entre planos Si no son paralelos entre sí, la distancia es 0. Si lo son, se puede sacar un punto de la recta y aplicar el apartado 2, o usar la fórmula siguiente: (NOTA: Se tienen que simplificar los planos para que A, B, C sean iguales) d π, π = D D A 2 + B 2 + C 2 5. Planos bisectores Son los planos que dividen un ángulo diédrico (ángulo formado por dos planos secantes), y cuyos puntos equidistan de estos dos planos. Siempre se pueden formar dos bisectores que además son perpendiculares entre sí. 6. Distancia de un punto a una recta Método 1: d P, r = A rp u r u r

11 Método 2: 1.- Hallar el plano que contiene a P y es perpendicular a r (n v ) 2.- Hallar el punto de corte entre la recta y el plano (Mirar 6.3) 3.- Calcular la distancia entre P y el punto de intersección hallado 7. Distancia entre rectas Paralelas d r, s = d A r, s = d(a s, r) Cruzadas d r, s = A ra s, u r, u s u r u s 8. Plano mediador El plano mediador de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de A y B. Es perpendicular a este segmento y pasa por su punto medio. 9. Recta (t) que se apoya en otras dos (r y s) a) Y que pasa por un punto (P) 1.- Hallar los dos planos que contengan a r y s respectivamente, y al punto P. 2.- Hallar la recta de intersección entre estos dos planos b) Y es paralela a otra (p) 1.- Hallar los planos que contengan a r y s y que sean paralelos a p (usando su vector director) 2.- Hallar la recta de intersección entre esos dos planos c) Y es su perpendicular común La perpendicular común a dos rectas cruzadas es la única recta perpendicular a la vez a ambas y que se apoya en ellas. 1.- Hallar el vector director de la perpendicular común como el producto vectorial de los vectores de las otras dos. 2.- Hallar los planos que contengan a r y s y que contengan también al vector director que acabamos de calcular. 3.- Hallar la recta de intersección entre esos dos planos.

12 10. Proyecciones ortogonales a) De un punto (P) sobre un plano (π) 1.- Hallar la recta que pasa por P y es perpendicular a π. 2.- Hallar la intersección entre esta recta y el plano. b) De un punto (P) sobre una recta (r) 1.- Hallar el plano π que contiene a P y es perpendicular a r 2.- Hallar la intersección entre este plano y la recta. c) De una recta (r) sobre un plano (π) 1.- Hallar el plano π que contiene a r y es perpendicular a π 2.- Hallar la intersección entre ambos planos 11. Simetrías a) De un punto (P) respecto de otro punto (M) OM = 1 2 OP + OP OP = 2OM OP b) De un punto (P) respecto de un plano (π) 1.- Hallar la proyección ortogonal de P sobre π: M 2.- Aplicar el apartado a) c) De un punto (P) respecto de una recta (r) 1.- Hallar la proyección ortogonal de P sobre r 2.- Aplicar el apartado a) 12. Ángulo entre dos rectas r, s = min u, v = cos 1 u v u v 13. Ángulo entre recta y plano r, π = 90 min u r, n π = sin 1 u r n π u r n π 14. Ángulo entre dos planos α, π = min n α, n π = cos 1 n α n π n α n π

13 15. Áreas y volúmenes ÁREAS Paralelogramo AB AC Triángulo 1 2 AB AC Cuadrilátero Se triangula la figura y se aplica el apartado anterior VOLÚMENES Paralelepípedo AB, AC, AD Prisma de base triangular 1 2 AB, AC, AD Tetraedro 1 6 AB, AC, AD

14 Tema 8: Superficie esférica y circunferencia 1. Esfera Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a la misma distancia (=radio: r) de un punto fijo (=centro: C(a, b, c)) x a 2 + y b 2 + z c 2 = r 2 EG: x 2 + y 2 + z 2 + mx + ny + pz + q = 0 [m = 2a; n = 2b; p = 2c; q = a 2 + b 2 + c 2 r 2 ] C: ( m 2, n 2, p 2 ) r: a2 + b 2 + c 2 q 2. Posición relativa entre plano y esfera Se compara la distancia entre el plano y el centro de la esfera. Si es menor que el radio, el plano será secante; si es igual, será tangente; si es mayor, será exterior. 3. Plano tangente a una esfera por un punto (T) π n = CT P. paso: T 4. Posición relativa entre recta y esfera Escribimos la recta en paramétricas, y la sustituimos dentro de la ecuación de la esfera. En función del número de soluciones reales de λ que obtengamos, la posición relativa de la recta será: secante, si hay dos soluciones, tangente si hay una y exterior si no hay ninguna. 5. Circunferencia x a 2 + y b 2 = r 2 EG: x 2 + y 2 + mx + ny + q = 0 [m = 2a; n = 2b; q = a 2 + b 2 r 2 ] C: ( m 2, n 2 ) r: a2 + b 2 q 6. Recta tangente a una circunferencia por un punto (T) t n = CT P. paso: T EN(recta): A x a x + B(y a y )

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