Vectores en el espacio. Producto escalar

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1 Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones, un intern (sum) y otr extern (producto por números reles, R), cumpliendo ls siguientes propieddes: Sum b b ( b) c ( b c) 0 4 ( ) 0 (, b, c E) El vector 0 es el neutro de l sum; producto de números reles A culquier elemento de E se le llm vector Producto por números 5 ( b) b 6 ( ) 7 ( ) ( ) 8 (, R) es el opuesto de ; es el neutro, l unidd, del El espcio vectoril R El conjunto de los puntos del plno, R, es un espcio vectoril Sus elementos son de l form (, b) o (, ) Este espcio vectoril es de dimensión : lrgo y ncho Sus puntos se representn en el plno crtesino Ls operciones sum y producto por números se definen sí: Sum: (, ) ( b, b ) ( b, b ) Producto:, ) (, ) ( ) (5, ) + (, ) = (5, + ) = (, 4) b) El opuesto de (, 5) es (, 5) = (, 5) c) El elemento nulo de R es (0, 0) d) (, 4) + 5(, ) (, ) = (, 4) + (5, 5) (, 6) = (5, 7) El espcio vectoril R El conjunto de los puntos del espcio, R, es un espcio vectoril Sus elementos son de l form (, b, c) o (,, ) Este espcio vectoril es de dimensión : lrgo, ncho y lto Sus puntos se representn en el triedro crtesino Ls operciones sum y producto por números se definen sí: Sum: (,, ) ( b, b, b ) ( b, b, b ) Producto:,, ) (,, ) ( ) El elemento nulo de R es (0, 0, 0) b) El opuesto de (,, ) es (,, ) c) (, 7, 0) + (,, 0) (, 4, 5) = (, , ) = (, 0, 5)

2 Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Observciones: ) No es difícil demostrr que ls operciones nteriores cumplen ls propieddes de espcio vectoril En todos los csos l demostrción se poy en ls propieddes de ls operciones con números reles ) Otros espcios vectoriles son: el conjunto de polinomios de grdo, por ejemplo; el conjunto de mtrices de dimensión ; ) En generl, un vector es un conjunto ordendo de números (,,, n ) Los números,,, n se llmn componentes o coordends del vector El número de componentes es su dimensión Vectores fijos y vectores libres (en el plno y en el espcio) El vector que tiene por origen el punto A y por extremo el punto B, se llm vector fijo AB Módulo del vector AB es l longitud del segmento AB Se denot AB Dirección de AB es l de l rect que contiene A y B Sentido de AB es el que indic el trsldo de A B Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, l mism dirección y el mismo sentido Si AB y CD son equipolentes, entonces el polígono de vértices A, B, D y C (en ese orden) es un prlelogrmo Vector fijo de extremos A y B Vectores equipolentes Vector libre p Es equipolente AB Se llm vector libre un vector y todos los que son equipolentes él; esto es, todos los que se obtienen trsldándolo (prlelmente) Entre ellos tiene especil importnci el que prte del origen de coordends, en el punto O Correspondenci entre puntos y vectores Entre puntos de R (o de R ) y vectores libres del plno (o del espcio) existe un biyección: A cd vector AB, equipolente OP, se le soci el punto P A cd punto P se le soci el vector p OP Se escribe, indistintmente, P (, ) o p (, ) ; y A (,, ) o (,, ) El uso de l mism notción pr designr puntos y vectores no debe confundir l lector Hbitulmente el contexto clr su significdo Así, puede decirse se el punto (,, ) o se el vector (,, ) Tmbién suele escribirse A (,, ), sin el signo igul, pr designr los puntos Al punto (4, ) se le soci el vector 4, notción v 4u u v Más delnte se verá el significdo de l

3 Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Interpretción geométric de ls operciones con vectores libres Pr sumr dos vectores se pone uno continución del otro (el origen del segundo en el extremos del primero) El vector sum tiene como origen el origen del primero, y como extremo el extremo del segundo Tmbién puede plicrse el esquem del prlelogrmo, trsldndo mbos vectores l origen En el espcio vectoril R, pr obtener ls coordends de l sum o del producto se procede como se h indicdo ntes Esto es, si: (,, ) y b ( b, b, b), entonces: b (,, ) ( b, b, b ) ( b, b, b ) b (,, ) ( b, b, b ) ( b, b, b ) Observción: El vector BA b,, ) ( b, b, ) ; y AB b b, b, b ) (,, ) (,, ) ( b ( Si > 0, el vector tiene el mismo sentido que ; si < 0, sentido contrrio Si A(,, 0) y B(,, 4), se tendrá: = (,, 0); b = (,, 4) BA b = (,, 0) (,, 4) = (,, 4) AB b = (,, 4) (,, 0) = (,, 4) = (,, 0) = (, 4, 0); = (,, 0) = (, 6, 0) Punto medio de un segmento Ls coordends del punto medio, M, del segmento de extremos b b b A (,, ) y B ( b, b, b) son M,, Como puede observrse: OM OA AB m b b b Por tnto, M, tiene ls coordends indicds El punto medio del segmento de extremos A(,, 0) y B(,, 4) es: 0 4 M,,,,

4 Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr 4 4 Dependenci e independenci linel de vectores Combinción linel de vectores Si, v, v, vn son vectores de un espcio vectoril E, se dice que el vector es combinción linel del conjunto v, v, v n cundo se puede escribir en función de ellos; esto es, cundo v v n vn, donde i son números reles Tmbién se dice que depende linelmente de los vectores v, v, v n Los vectores y k son dependientes uno del otro: tienen l mism dirección; son prlelos; sus coordends son proporcionles Al conjunto de vectores que dependen linelmente de los vectores v, v, v n se le llm vriedd linel engendrd por ellos Tod vriedd linel tiene estructur de espcio vectoril Más en concreto, tod vriedd linel es un susbespcio vectoril del espcio vectoril de referenci ) Si = (,, 0) y b = (,, 4), todos los vectores de l form c b son combinción linel (o dependen linelmente) de y b Entre ellos: c 4b = (,, 0) 4(,, 4) = (0, 0, 6) b) El conjunto de vectores de l form c b es un susbespcio de R Estos vectores tmbién se pueden escribir como c (,, 0) (,, 4),, 4 Dndo vlores y se obtienen los vectores de ese subespcio Por ejemplo, pr = y = se obtiene c, ( ), 4 = (5, 0, 8) (En este cso, los vectores pertenecen todos un mismo plno) c) El vector e = (5, 0, 0) no depende linelmente de = (0,, ) y b = (0,, ), pues l primer coordend, 5, no puede obtenerse prtir de dos ceros, que son l primer coordend de cd uno de los vectores y b Por tnto, los vectores, b y e son linelmente independientes d) Podemos preguntrnos: qué vlor debe tomr pr que los vectores = (,, ) y b = (4,, ) tengn l mism dirección? Como debe cumplirse que (,, ) = k (4,, ) k ; luego ( ) Si un vector no puede ponerse como combinción linel de otros, se dice que es linelmente independiente de ellos En generl, un conjunto de vectores v, v, v n es linelmente independiente si l iguldd v v v n n 0 se cumple sólo cundo = = = n = 0 Si l iguldd nterior se puede cumplir con lgún i 0, los vectores son linelmente dependientes El vector 0 de R es 0 = (0, 0, 0) Este vector depende linelmente de culquier conjunto de vectores, pues 0 v 0 v 0 v 0 n

5 Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr 5 ) El conjunto de vectores {(, 0, ), (,, ), (0,, )} es linelmente independiente, pues l iguldd (, 0, ) + (,, ) + (0,, ) = (0, 0, 0) solo se cumple si = 0; = 0; = 0 En efecto: (, 0, ) + (,, ) + (0,, ) = (0, 0, 0) ( +,, + + ) = (0, 0, 0) Igulndo ls componentes se obtiene el sistem: E E 0 E E b) Los vectores del plno = (, ) y b = (, 4) son linelmente dependientes, pues b = y, por tnto: + b = 0 c) El conjunto de vectores {(, 0, ), (0,, ), (,, )} es linelmente dependiente, pues l relción (, 0, ) + (0,, ) + (,, ) = (0, 0, 0) se cumple sin necesidd de que = 0, = 0 y = 0 En efecto: (, 0, ) + (0,, ) + (,, ) = (0, 0, 0) 0 ( +,, + ) = (0, 0, 0) 0, 0 que es un sistem con infinits soluciones; por ejemplo: = ; = ; = Puede verse tmbién que (, 0, ) = (0,, ) + (,, ) Rngo de un conjunto de vectores es el número de ellos que son linelmente independientes Pr l determinción del rngo puede recurrirse l álgebr de mtrices, combinndo ls trnsformciones de Guss con el cálculo de determinntes En el ejemplo nterior, en el cso ), el rngo es ; en el cso b), el rngo es Criterio pr determinr l dependenci o independenci linel de tres vectores del espcio Aprte del método plicdo más rrib (el plntemiento y resolución de un sistem linel), pr comprobr si tres vectores del espcio son linelmente independientes, bst con resolver el determinnte formdo por los tres vectores Si ese determinnte vle cero, los vectores son linelmente dependientes; en cso contrrio, serán linelmente independientes Observción: Ddo que el sistem socido es homogéneo (vénse los ejemplos nteriores), pr que se comptible determindo, el rngo de l mtriz de coeficientes debe ser, lo que implic que su determinnte debe ser distinto de cero Esto signific que su solución es únic: l trivil En definitiv, que los vectores son linelmente independientes ) Los vectores (, 0, ), (,, ) y (0,, ) son linelmente independientes, pues Este conjunto de vectores tiene rngo 0

6 Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr 6 b) Los vectores (, 0, ), (0,, ) y (,, ) son linelmente dependientes, pues Este conjunto de vectores tiene rngo Observción: Este mismo método puede plicrse pr vectores de dimensión dos, de dimensión 4, o de culquier dimensión Interpretción geométric de l dependenci linel de vectores En el plno: dos vectores son linelmente dependientes cundo son prlelos; en cso contrrio, serán linelmente independientes (Ddos tres vectores del plno, siempre hbrá uno que depend de los otros dos) En el espcio: dos vectores son linelmente dependientes cundo son prlelos; tres vectores son linelmente dependientes cundo están en el mismo plno (si son coplnrios) Tres vectores son linelmente independientes si están en plnos distintos (Ddos cutro vectores del espcio, siempre hbrá uno que depend de los otros tres) 5 Bse de un espcio vectoril Un bse de un espcio vectoril, E, es un conjunto de vectores, B =v que cumple dos condiciones: ) v, v, v n son linelmente independientes; esto es, ninguno de ellos puede ponerse como combinción linel de los demás v, v, v n ) Culquier vector de E depende linelmente del conjunto, v, v n, todos de E, Bses de R Dos vectores que sen linelmente independientes (no nulos y no linedos o prlelos) formn un bse de R Pueden drse infinits bses pr R Si B =v,v es un bse de R, y v v, los números y se les llm coordends (o componentes) de respecto de v Los vectores {(, ), (, )} formn un bse de R, pues ni son nulos ni prlelos El vector v = (, ) + (, ) tiene coordends (, ) respecto de es bse Est bse no es opertiv, no es clr, pues el vector que tiene, respecto de ell, por ejemplo ls coordends ( 4, 5) es v = 4(, ) + 5(, ) = (6, 8); pero decir que ls coordends del vector (6, 8) son ( 4, 5) es poco comprensible,v L bse cnónic, l usul, de R es B = u,u = {(, 0), (0, )} Est bse tiene l ventj de que ls coordends de un vector se obtienen directmente Así, ls coordends del vector v = ( 4, 5) son 4 y 5, pues: v = 4(, 0) + 5(0, ) Del mismo modo, otro vector v = (4, ) se puede escribir v = 4(, 0) + (0, ) Esto permite representr fácilmente un vector en el plno crtesino

7 Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr 7 Bses de R Tres vectores que sen linelmente independientes (no nulos, no prlelos y no coplnrios) formn un bse de R Pueden drse infinits bses pr R Si B =v, v, v es un bse de R, y v v v, los números, y se les llm coordends de respecto de v, v v, Como se h dicho nteriormente, pr comprobr que tres vectores constituyen un bse de R bst con clculr el determinnte socido y ver que es distinto de 0 0 ) Los vectores (, 0, ), (0, 0, ), (0,, ), formn un bse de R, pues El vector v = (, 0, ) + (0, 0, ) + (0,, ) tiene coordends (,, ) respecto de es bse Est bse no es opertiv, pues el vector que tiene, respecto de ell, ls coordends (,, 5) es v = (, 0, ) (0, 0, ) + 5(0,, ) = (, 5, 6); pero decir que ls coordends del vector (, 5, 6) son (,, 5) no es fácil de entender b) Pr ver que los vectores v = (,, k), v = (,, ) y v = ( k,, 0) constituyn un bse de R hy que exigir que el determinnte 0 k 4k 6 0 k 0 k y k Luego, los vectores ddos formn un bse siempre que k y L bse cnónic, l usul, de R es B = u, u u, k = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )} Est bse es l que se utiliz por defecto, tiene l ventj de que ls coordends de un vector se obtienen directmente Así, ls coordends del vector v = (,, 5) son, y 5, pues: v = (, 0, 0) (0,, 0) + 5(0, 0, ) = (,, 5) L referenci usul en R Es O, u, u, u, siendo O el origen de coordends y u, u, u los vectores de l bse cnónic Así, l punto A (,, ) se le soci el vector u u u ; o bien: (,, ) Su representción gráfic se indic en l figur djunt Los ejes de coordends suelen denotrse con ls letrs x, y, z; tmbién suele hblrse de eje OX, eje OY y eje OZ Pr el punto A ddo, se tiene: x, y y z

8 Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr 8 Producto esclr de vectores Definición Ddos dos vectores v (, b, c ) y w (, b, c ) se define: Producto esclr ordinrio: v w v w cos( v, w) Producto esclr cnónico: v w bb cc Ambs definiciones son equivlentes, pero l segund es más opertiv siempre que los vectores vengn ddos en función de l bse cnónic Conviene observr que el producto esclr de dos vectores es un número rel, que puede ser positivo, negtivo o cero Observción: El producto esclr puede definirse, de mner nálog, pr vectores de culquier dimensión Si v = (,, ) y w = (4, 5, 0), su producto esclr vle: v w = (,, ) (4, 5, 0) = = Alguns propieddes: Conmuttiv: v w w v Distributiv: u ( v w) u v u w Pr todo v : v v 0 4 Si v w 0 v y w son perpendiculres L demostrción de ests propieddes no es difícil El lector deberí intentr demostrrls Aplicciones del producto esclr El módulo de un vector v (, b, c ), se define sí: v v v b c El módulo de los vectores v = (,, ) y w = (4, 5, 0) es: v ( ) 4 ; w Distnci entre dos puntos L distnci entre dos puntos A y B, d(a, B), es igul l módulo del vector que determinn: da B AB, Si ls coordends de esos puntos fuesen A =, b, ) y B =, b, ), entonces AB =, b b, c ) d(a, B ) = ( c ( c AB ( c ) ( b b ) ( c ) ( c Si A(,, 0) y B(,, 4), l distnci, d(a, B) = ( ) ( ( )) (4 0) Es evidente que coincide con el módulo del vector AB b = (,, 4) (,, 0) = (,, 4) 4 AB Obsérvese tmbién que: d(a, B) = d(b, A) = BA = ( ) ( ( )) (0 4)

9 Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr 9 Coseno del ángulo que formn dos vectores v w De l primer definición del producto esclr, se deduce que: cos( v, w) v w Teniendo en cuent l definición del producto esclr cnónico, y suponiendo que v v, v, v y w w, w, w ), se tendrá: v w vw vw vw cos( v, w) v w v v v w w w El coseno del ángulo que formn los vectores v = (,, ) y w = (4, 5, 0) será: v w 8 5 cos( v, w) = ángulo ( v, w) = rccos = 8,8º v w Vectores ortogonles y vectores ortonormles Dos vectores son ortogonles, perpendiculres, si su producto esclr vle cero Si dos vectores ortogonles tienen módulo, se llmn ortonormles Los vectores de módulo se llmn unitrios Pr culquier vector, el vector es unitrio ) Los vectores = (,, 5) y b = (,, ) son ortogonles, pues b = (,, 5) (,, ) = + 5 = 0 b) Hy infinitos vectores perpendiculres otro ddo Así, si = (,, 5), pr que otro vector b x, y, z se perpendiculr él debe cumplirse que b = 0 Esto es: (,, 5) x, y, z = 0 x y 5z 0 Algunos de esos vectores, que pueden determinrse por tnteo, son: b = (5, 0, ), b = (,, ) o b = (,, ) c) Podrí plnterse el problem de encontrr el vlor de k que hce que los vectores v = (,, k) y w = (, k, ) sen perpendiculres Debe cumplirse que v w = (,, k) (, k, ) = 0 + k k = 0 k = d) Ddos los vectores = (, 0, ) y b = (,, ), los vectores b = (, 0,) (, 0,), 0, y (,,) (,,) b son unitrios y ortogonles; por tnto, son ortonormles e) L bse cnónic, B = u, u, u = {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )}, es un bse ortonorml, pues está formd por vectores unitrios, perpendiculres dos dos

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