TEMA 16 Geometría analítica del plano *

Transcripción

1 TEMA 6 Geometría analítica del plano * Relación entre los puntos del plano y los vectores del plano E ={ puntos del plano} P, Q E,,, R EspacioVectorial P, Q E Existeun v V tal que PQ = v Dado P E y v V Existe un Q E tal que PQ = v V ={ vectores libres del plano} vw V ( V + ) Propiedad : Propiedad : Llamaremos sistema de coordenadas cartesianas a la terna formada por un punto del plano y una base del espacio vectorial de los vectores libres del plano. En nuestro caso tomaremos el punto O, al e, e. Es decir: que llamaremos origen de coordenadas y la base canónica, formada por la base { } { Oe,, e} es un sistema de coordenadas cartesianas Ο E Origen de coordenadas B = base canónica de V Dado el punto P del plano, este determina el vector v = OP, que lo representaremos por v OP. Este vector se podrá expresar como combinación lineal de los vectores de la base canónica. Pues bien, a estas coordenadas, les llamaremos coordenadas del punto P. (Es decir las coordenadas de P coinciden con las del vector v OP. Y e O e v AB P(x,y) X v = xe + ye luego v = x y OP OP, Llamamos coordenadas de P a x y Se representa por P x y Recordemos que dados dos puntos A y B, de los que se conocen sus coordenadas, las coordenadas del vector AB = vab se calculan de la forma siguiente:

2 (, ) A a a B b b v = b a b a AB Ej. : A (, ) (,) B v AB (, ) (,4) = = Rectas del plano. Una recta puede venir determinada por un punto y un vector de dirección o por dos puntos del plano. Una recta queda determinada por: A E y v V ó AB, E En el primer caso, dados (, ) ( v, v ) Aa a v, se llama recta en el plano ( y se representa por r) a: = r = P E v = t v y t { } AP P A v Al vector v se le suele llamar vector director de la recta. Llamamos dirección de la recta (D(r)) al conjunto de vectores proporcionales a v. D r = t v = tv, tv t direc. de la recta { } Ecuaciones de una recta en el plano. Si P r, entonces P( x, y), A( a, a) y v = ( v, v) De la ecuación vectorial tenemos: x a, y a = t v, v luego : Ecuación Vectorial v = t v t R x a = t v = y a t v t Se llaman ecuaciones paramétricas de la recta o ecuación en forma paramétrica a: AP

3 Para encontrar ahora la forma continua de la recta, eliminaremos t en las ecuaciones paramétricas (solo es valido cuando v y v ); para ello despejamos t en ambas ecuaciones e igualamos sus valores. Ecuaciones Paramétricas x= a+ tv t y= a + tv En efecto: x a t = x= a+ tv v y= a + tv y a t = v Igualando ambos valores de t, obtenemos la Ecuación en forma continua de la recta. Ecuación en forma continua x a y a = v v Quitando denominadores obtenemos la ecuación implícita: v x a = v y a v x v a v y+ va = a b c luego : ax + by + c = Llamando : v = a v = b Queda la ecuación implícita, cartesiana o general de la recta. Ecuación Implícita o cartesiana. ax + by + c = Nota : Puesto que v = a y v b vector director de la misma, que es: v = ( v, v) = ( b, a) =, de la ecuación implícita de la recta podemos obtener el ax + by + c = v = v v = b a Nota 4: En caso de que v ó v sean nulos, para eliminar t basta quedarse con la ecuación paramétrica que no la contiene. Ver el ejemplo resuelto más abajo de la recta que pasa por A (, ) y v = (,) Nota 5: Otra forma de conseguir la ecuación cartesiana es proceder como sigue (así lo hace el libro de texto).

4 las coordenadas de ambos vectores son proporcionales por lo que: Como v y v son colineales ( L. D) AP Resolviendo el determinante y simplificando: x a v = y a v v x a v y a = vx va vy+ va = v x v y+ va va = a b c luego : ax + by + c = Si en la ecuación implícita despejamos la y tal como hacemos más abajo, llegamos a la ecuación explícita de la recta. by = ax c a c y = x b b m n α v v r m = pendiente de la recta. m =tg α a a v Nota 6: En efecto m =tg α, puesto que: m= = = = tg α b b v Es decir la pendiente de la recta, coincide con la tangente trigonométrica del ángulo α, conocido como inclinación de la recta. Por tanto la pendiente m indica la inclinación que tiene la recta (Por ejemplo, una pendiente igual a supone que la recta tiene una inclinación de 45º; una pendiente, significa que la recta forma un ángulo de º con el eje OX, luego está horizontal; una pendiente negativa, indica que la inclinación es superior a 9º, por lo que la recta decrece de izquierda a derecha) Ej.: Escribe en todas sus formas, la ecuación de la recta que pasa por el punto A (, ) y tiene como vector director v = (,) (vectorial, paramétricas, continua, implícita y explícita) La ecuación vectorial es: v = t v como P( xy, ), queda: AP ( x, y ( ) ) = t (,) ( x, y+ ) = ( t,t) Igualando las coordenadas: x = t x = + t y+ = t y = + t Ec. en forma explícita. y = mx+ n x y+ x y+ t = t = = Forma paramétrica. Forma continua. 4

5 x = y+ 6 x y 8= Forma cartesiana o implícita 8 x 8= y y = x Forma explícita. Ej.: Recta que pasa por A (, ) y v = (,) Las ecuaciones paramétricas son: x = + t x= + t t luego t y = + t y = Luego nos quedamos con: y = ó y = Nota 7: Es de señalar que en las ecuaciones paramétricas, se ve claramente el punto por donde pasa la recta y el vector director cuyas coordenadas son los coeficientes ordenados del parámetro t. Ej.: Hallar la ecuación del eje X El eje X también llamado OX, queda determinado por el punto O(, ) y el vector v = (,) Por tanto planteamos directamente las ecuaciones paramétricas: A v v = O A(,) x x = + t x = t y = + t y = t Aquí ya se ve que si nos quedamos con la ecuación que no tiene t, es: y = Pero también se puede llegar a la misma ecuación exigiendo como hemos dicho en la página, que el determinante sea : x = y = y = y = Ec. Cartesiana de la recta. y Nota 8: Como ya hemos dicho, para eliminar t, en las ecuaciones paramétricas cuando falta la t en una de ellas, basta con quedarse con la ecuación en que falta el parámetro t. En el caso anterior quedaría y = Luego la ecuación del eje de abcisas (OX) es y =. Igualmente, tomando el punto O (, ) y el vector v = (,) se puede demostrar que la ecuación del eje de ordenadas (OY) es x =. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Si nos dan dos puntos A y B por donde pasa la recta, basta, para hallar su ecuación, tomar uno de los dos puntos y tomar como vector director de la recta el vector AB Ej.: Sean A (, ) y B (, ), hallar las ecuaciones de la recta que pasa por estos puntos. vab = AB vab = (, ) = (,) x = + t x = + t t y = + t y = t x y = x = y x y =. 5

6 Cómo hallar puntos de una recta de la que se conoce su ecuación a) Recta dada en forma implícita Simplemente basta dar un valor a una de las incógnitas y averiguar el valor de la otra. Ej. Halla un punto de la recta de ecuación x y = Haciendo por ejemplo y = y despejando la x, queda: x = y + =.+ =, por tanto un punto de la recta es (, ) a) Recta dada en forma paramétrica Se da al parámetro t un valor real cualquiera y se sustituye en las ecuaciones paramétricas. x t Ej. Hallar un punto de la recta = + t y = t x = +.= Haciendo t = queda: por tanto el punto (, ) pertenece a la recta. y = t = Cómo pasar de forma cartesiana a forma paramétrica Basta resolver el sistema formado por la única ecuación de la recta en forma cartesiana, puesto que la solución del sistema, son los pares (x, y) que verifican la ecuación, por lo que son los puntos de la recta. Puesto que todo sistema de ecuación con dos incógnitas, será compatible indeterminado (sobrará una incógnita), le daremos a una de ellas (a la y normalmente) el valor de un parámetro, y despejaremos la otra, escribiendo a continuación la solución del sistema, que serán la ecuación de la recta en forma paramétrica. Ej.: x y + 5= Hacemos y = t y queda : x t+ 5= luego : x= 5+ t De donde se deduce que : 5 x = + t Que son las ecuaciones paramétricas y = t En ella podemos ver un punto y el vector director de la recta: Pero será mejor tomar como vector director 5 El punto es P(,) v =, v =, para evitar las fracciones. Nota 9: Así como el vector, podemos modificarlo, pues la dirección de v y v es la misma, no podemos hacer lo mismo con el punto, que se debe dejar tal como está. Podemos no obstante, darle a t un valor que haga que obtengamos un punto sin fracciones. Por ejemplo, en este caso podríamos hacer t = y tendríamos el punto (-, ) que también es un punto de la recta. 6

7 Posiciones relativas de dos rectas en el plano. Intuitivamente todos sabemos que dos rectas en el plano, sólo pueden presentar tres posiciones relativas entre ellas, tal como se ve en los gráficos de más abajo: r s r = s s r Estrictamente paralelas (paralelas) Paralelas coincidentes (coincidentes) Secantes. Se dice que dos rectas son paralelas cuando tienen vectores de dirección iguales o colineales. Con esta definición, una recta evidentemente es paralela a sí misma. Estudiemos la posición relativa de dos rectas a través de sus ecuaciones. Puesto que los puntos de una recta verifican la ecuación de la misma, son como hemos dicho antes, las soluciones del sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la recta. Si resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de dos rectas, las soluciones del sistema serán los puntos comunes de ambas, por tanto se pueden presentar tres casos, según sabemos por el estudio de la resolución de un sistema de ecuaciones. Sea el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas: r ax+ by+ c = s ax + by + c = Casos posibles: a) Si el sistema es compatible indeterminado, habrá infinitas soluciones (infinitos puntos comunes), lo que significa que las rectas son coincidentes. a b c Si rg = C. Indeterminado a b c (Infinitos puntos comunes) Coincidentes a b c Luego, rango, significa = =, por tanto la condición para que dos rectas sean coincidentes a b c es: a b c Coincidentes r s = = a b c Ej.: x y+ 4= 4 = = Son coincidentes. x y+ 8= 8 b) Si el sistema es incompatible, quiere decir que no hay ningún punto común entre las dos rectas, por lo que son estrictamente paralelas. 7

8 a b a b c Si rg = y rg = rga rga/ B Incompatible a b a b c (No tiene puntos comunes) son estrictamente paralelas Si rg A = y rg A/B = se cumplirá: a = b c, por tanto la condición para que dos rectas sean a b c estrictamente paralelas es: a b c Estrictamente paralelas ( r s) = a b c Ej.: x y+ 5= 5 = x y+ 7= 7 Son estrictamente paralelas. c) Si el sistema es compatible determinado, quiere decir que sólo hay una solución, es decir un solo punto común, por lo que las rectas serán secantes. a b a b c rg = rg = rga = rga/ B C. D a b a b c ( punto en común) Secantes Si rg A = y rg A/B =, se cumple a b, por tanto la condición para que dos rectas sean a b secantes es: Secantes a b a b Ej.: x 5y+ 7= 5 x+ y 9= Son secantes. Cómo hallar el punto de corte de dos rectas secantes Para hallar el punto de corte de dos rectas secantes, basta resolver el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas. Ej. x y+ = x y+ 6= x+ y = x+ y = 4x + = 4x = x = 4 9, Es el punto de corte 4 4 y + 6= 4 6 y + 6= y = = y = 4 8

9 Cómo hallar la recta paralela a otra dada, que pasa por un punto Ej. Hallar la paralela a x + y = y que pasa por (,). a) Si queremos expresarla en forma paramétrica: Se halla el vector de dirección de la recta y se escriben las ecuaciones paramétricas de la recta, que pasa por el punto dado y tiene dicho vector de dirección. (,) v = = ( b, a) (,) x = t y = + t b) Si queremos expresarla en forma implícita: Se escribe la ecuación de la misma recta en la que se deja variable el término independiente y se halla éste, exigiendo que el punto pertenezca a la recta (se sustituye el punto) Sea x + y+ c = Esta recta es evidentemente paralela a la recta dada puesto que verifica la condición de paralelismo. Como el punto debe pertenecer a la recta: Se sustituye x e y por los valores del punto. () + () + c= c= c= 7 x + y 7= Esla recta que se pide c) Si queremos expresarla en forma continua: Se halla el vector director de la recta y se escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene ese vector dirección Como el vector es (, ) y el punto, la ecuación en forma continua es: x y = Quitando denominadores y pasando todo al primer miembro queda la ecuación: x + y 7= Nota : Todas las rectas paralelas al eje OX tienen por ecuación y = k, siendo k una constante. Todas las rectas paralelas al eje OY tienen por ecuación x = k, siendo k una constante. Problemas métricos en el plano. Distancia entre dos puntos: Se define la distancia entre dos puntos A y B, como el módulo del vector AB A( a, a) B B b, b A v AB d( A, B) = vab = ( b a) + ( b a) Ej.: A B (,) (, 5) d( A, B) = v AB = ( ) + ( 5 ) = + 6 = 7 9

10 Ángulo que forman dos rectas secantes: Es el menor de los cuatro ángulos que se forman entre las dos rectas que se cortan. Para hallarlo, se hallan los vectores directores y se halla el ángulo formado por ambos vectores (para asegurarse de que se toma el ángulo agudo, se toma valor absoluto en el coseno, con lo que el ángulo será del primer cuadrante) r s Ej.: Ángulos que forman las siguientes rectas: α v u cosα = α 9º u v u v ( ba, ) r x y+ 5= u =, s x+ y 7= v =, cosα = = = = = = = π π α = arccos = 45º = α 4 Rectas perpendiculares: Se llaman rectas perpendiculares a aquellas que forman un ángulo de 9º (realmente forman cuatro ángulos de 9º). Serán perpendiculares cuando los vectores directores sean ortogonales. r s u v u v = Ej.: Comprobar que las rectas dadas r y s son perpendiculares. r x y+ 5= u = (,) u v = ( ) + = + = s x+ y = v = (,) Ej.: Escribe la perpendicular a la recta r x y + 5 = que pasa por el punto (, ). (,-) v r 9º u s v u P(, ) r x y+ 5= tiene como vector director: u = El vector director v = (,). es ortogonal a u, y por tanto s Entonces: x y+ s = s x = y 6 x+ y+ 5= es la perpendicular pedida. r.

11 Condición de perpendicularidad de rectas Sabemos que r s u v u v = r ax+ by+ c = Dadas las rectas, los vectores directores son s ax + by + c = u = b a v = ( b, a ), luego como son ortogonales, se cumplirá: bb. + aa. = Es decir: y Condición de perpendicularidad. r s a a + b b = Ej.: Comprobar que las rectas dadas son perpendiculares. r x y+ 5= + ( ) = s x+ y+ 5= Paralelismo y perpendicularidad cuando las rectas se dan en forma explícita y = mx+ n y = mx + n Perpendicularidad. r s m = m Paralelismo. r s m = m La siguiente ecuación se llama ecuación punto-pendiente de la recta, y es muy cómoda cuando se conoce un punto de la recta y su pendiente. m y y = m ( x x) A x, y Ej.: Halla la ecuación de la recta s, perpendicular a A (,5). Pendiente de r: mr = ms = = = m r Aplicando la ecuación punto pendiente: s y 5= x x y = Ej.: Calcula la ecuación de la recta s, paralela a la recta A (,5). Pendiente de r: mr = = ms Usando la ecuación punto-pendiente; queda: s y 5= ( x ) x+ y 7= r y = x y que pasa por el punto 5 r y = x+ que pasa por el punto

12 Distancia entre un punto y una recta Se define como distancia de un punto a una recta, a la distancia entre el punto dado y el punto de corte de la recta dada y la perpendicular trazada por dicho punto. De una forma muy intuitiva y constructiva, se puede hallar esta distancia, hallando primero la perpendicular, después el punto de corte y finalmente la distancia entre los dos puntos. No obstante se puede demostrar que la distancia de un punto a una recta se halla por medio de la fórmula siguiente: P p p d(p, r) r r ax+ by+ c= Ej.: Calcula la distancia entre el punto (,7) d P r = d P r ap + bp + c a P y la recta r x y 5= = = = + + b Distancia entre dos rectas paralelas Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto de una de ellas y se halla la distancia de ese punto a la otra recta. Ej. Calcular la distancia entre la recta r x y+ 5= y la recta s x y = Punto medio de un segmento El punto medio de un segmento, se halla por la fórmula siguiente: A a a M B b b a + b, a + M b Ej.: Halla el punto medio del segmento formado por los puntos dados. A(,5) M,, B(, 4 = ) Mediatriz de un segmento dado Dados dos puntos distintos A, B E, se llama mediatriz del segmento de extremos A y B, a la recta que pasa por el punto medio del segmento AB y perpendicular a la recta que contiene a esos puntos. Ej.: Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(, ) y ( 5,7) B. Para hallar la mediatriz, hallaremos el punto medio del segmento y hallaremos la perpendicular al segmento dado, pasando por el punto medio. El vector director de la recta perpendicular será ortogonal al vector AB B M, = (,5) v = (,) vab = ( 5,7 ) = ( 4,4) Tomamos (,) que es proporcional Uno ortogonal a él, será v = (, M ) luego la ecuación de la perpendicular es: x y 5 = x = y+ 5 x+ y 8= A

13 Nota : En un triángulo se definen varias rectas. Las ya conocidas mediatrices, son las perpendiculares levantadas en el punto medio de cada lado. Las medianas son las rectas que unen los vértices de un triángulo con los puntos medios de sus lados. Las alturas son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados trazadas desde el vértice opuesto al mismo. Las bisectrice son las rectas que dividen a cada ángulo del triángulo en dos partes iguales. Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro. Las mediatrices en el baricentro. Las alturas en el ortocentro y las bisectrices en el incentro. Nota : La parte del tema 6 relativa a la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola (Pág. 5 del libro) no la damos por cuestión de programación, pero es conveniente ver las ecuaciones que describen a cada una de ellas, para conocerlas. Ejercicios del libro de la Pág. 58 y 59.- Sea r la recta con ecuaciones paramétricas: x = t y = + t a) Determina dos puntos en la recta y un vector de dirección. Nota: Los puntos se sacan dado valores a t. x= x= + = t = P(,) t = A(,) y = + = y = = El vector se ve claro pues son los coeficientes ordenados del parámetro t, es decir: v = (,) b) Hállese una ecuación implícita de r. Para ello tendremos que eliminar el parámetro t de ambas ecuaciones: x + t = x = t x+ y = x+ = y 4 x+ y 5= y = + t y t =.- Calcúlese la distancia entre el punto P(, ) y la recta r x+ y 5=. x + y 5= multiplicamos por para quitarle el signo negativo. Exámenes de otros años 7º junio 95 mañana 7º junio 95 tarde 5º septiembre 95 9º junio 96 mañana º junio 96 tarde 6º septiembre 96 8º junio 97 mañana 8º junio 97 tarde º junio 98 mañana º junio 98 tarde 5º junio 99 mañana 6º junio 99 tarde 5º septiembre 99 7º junio mañana Solución: + ( ) x y+ 5= d( P, r) = = = 5 5

14 Sabemos que si una recta está dada en forma general o cartesiana ( r ax+ by+ c), el vector director de la misma viene dado por v = ( b, a), por lo tanto, un vector director de la recta x y = es v = ( b, a) = (,). Como nos piden una perpendicular, necesitaremos un vector ortogonal (perpendicular) a él. Sabemos que dado un vector ( pq, ), podemos obtener uno ortogonal, sin más que cambiar de posición ambas coordenadas y cambiarle el signo a una de ellas. En efecto: ( q, p) es ortogonal a ( pq, ) ya que su producto escalar es nulo ( q p+ p q= ). Por tanto uno ortogonal a (,) será (,). La ecuación de la perpendicular pedida es la de la recta que pasa por el punto A(,) y tiene de vector director el (,). Planteando la ecuación en su forma vectorial: x y = ; pasando a forma general queda: ( x ) = ( y ) x = y x+ y = La solución correcta es x+ y = Nota: Otra forma más rápida es recordar que la condición de perpendicularidad de dos rectas r ax+ by+ c = s ax + by + c = es a a + b b = Se ve la única que lo cumple es la A) puesto que. + ( ) = La B) es paralela ( a = b c a b c ). En el caso de que la C) también fuera perpendicular, que no lo es en este caso, se podría averiguar cual es la solución correcta, viendo cuál de las dos pasa por el punto A (,) º junio tarde Solución:. Las rectas x = + 6t r : y = + t A. Se cortan B. Coinciden (correcta) C. Son paralelas Solución: y s: x y+ = x = + 6t Pasemos la recta r : a forma cartesiana, para lo que despejamos t y = + t en ambas ecuaciones e igualamos los resultados: x De la primera ecuación: t = 6 y De la segunda: t = 4

15 x y Por tanto = x = 6y 6 x 6y+ = x y+ = 6 Debemos comparar ahora la recta r: x y+ = y la recta s: x y+ = que se observa a simple vista que son coincidentes. La respuesta correcta es que coinciden. Nota: En el caso de que no hubieran sido coincidentes, tendríamos que haber aplicado la condición de paralelismo. Recordemos que dadas dos rectas r ax+ by+ c = s ax + by + c = a) Si a = b c son paralelas a b c b) Si a b son secantes o se cortan a b En el caso que a = b = c que es nuestro caso, las rectas son coincidentes. a b c 5º junio mañana 7º junio tarde º septiembre 4º junio mañana 8º junio mañana º junio tarde º junio 4 mañana º junio 4 tarde º junio 6 mañana 7º junio 6 tarde 8º junio 7 mañana * Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánchez y Jesús Ramil, basándose en el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial Sanz y Torres y en las explicaciones dadas en las tutorías presenciales del curso -, por el profesor tutor del Centro de la Uned Alzira-Valencia Francisco Tomás y Valiente, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y ampliado. 5