V 2 : vectores libres en el plano

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1 V 2 : vectores libres en el plano Egor Maximenko ESFM del IPN 8 de agosto de 2009 Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

2 Contenido 1 Conjunto V 2 2 Operaciones lineales en V 2 3 Propiedades Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

3 Contenido 1 Conjunto V 2 2 Operaciones lineales en V 2 3 Propiedades Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

4 Segmentos dirigidos equivalentes Consideremos segmentos dirigidos en el plano euclidiano. Dos segmentos dirigidos se llaman equivalentes, si tienen la misma dirección y la misma longitud. Notación: AB CD. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

5 Segmentos dirigidos equivalentes Consideremos segmentos dirigidos en el plano euclidiano. Dos segmentos dirigidos se llaman equivalentes, si tienen la misma dirección y la misma longitud. Notación: AB CD. Teorema Para todo AB y todo punto C existe un único punto D tal que AB CD. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

6 Propiedades de equivalencia de segmentos dirigidos Teorema (propiedades de equivalencia de segmentos dirigidos) La relación de equivalencia de segmentos dirigidos cumple las siguientes propiedades: A, B, AB AB; A, B, C, D, A, B, C, D, E, F, si AB CD, entonces CD AB; si AB CD y CD EF, entonces AB EF. Las propiedades de la relación de equivalencia implican que el conjunto de todos los segmentos dirigidos se puede partir en clases de equivalencia. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

7 Vectores libres como clases de equivalencia Definición Clases de equivalencia se segmentos dirigidos en el plano se llaman vectores libres en el plano. El conjunto de todos los vectores libres en el plano denotemos por V 2. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

8 Vectores libres como clases de equivalencia Definición Clases de equivalencia se segmentos dirigidos en el plano se llaman vectores libres en el plano. El conjunto de todos los vectores libres en el plano denotemos por V 2. Cada vector libre es un conjunto infinito, cuyos elementos (representantes) son segmentos dirigidos, equivalentes entre sí. En este dibujo todos segmentos dirigidos de color azul son representantes de un vector libre a, y todos segmentos dirigidos de color naranja son representantes de otro vector libre b. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

9 Relaciones entre vectores libres y segmentos dirigidos Definición Cada segmento dirigido AB genera un vector libre [ AB] que consiste en todos los segmentos dirigidos equivalentes a AB: [ AB] := { CD : CD AB}. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

10 Relaciones entre vectores libres y segmentos dirigidos Definición Cada segmento dirigido AB genera un vector libre [ AB] que consiste en todos los segmentos dirigidos equivalentes a AB: [ AB] := { CD : CD AB}. Si el segmento dirigido AB es uno de los representantes del vector libre a, entonces el genera a. Así pues: AB a a = [ AB]. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

11 Relaciones entre vectores libres y segmentos dirigidos Definición Cada segmento dirigido AB genera un vector libre [ AB] que consiste en todos los segmentos dirigidos equivalentes a AB: [ AB] := { CD : CD AB}. Si el segmento dirigido AB es uno de los representantes del vector libre a, entonces el genera a. Así pues: Teorema AB a a = [ AB]. Sean a V 2 y A un punto. Entonces! punto B tal que AB es uno de los representantes de a. Se dice que AB es el representante de a en el punto A. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

12 Contenido 1 Conjunto V 2 2 Operaciones lineales en V 2 3 Propiedades Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

13 Suma de vectores libres Sean a, b V 2 y A un punto del plano. El representante de a + b en el punto A se define por la regla de triangulo: Construyamos los puntos B y C tales que AB es el representante de a en el punto A, BC es el representante de b en el punto B. Definamos a + b como vector libre conteniendo AC. A C B AB a BC b a + b := [ AC] Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

14 Suma de vectores libres Hay que demostrar que la definición de suma es correcta, i.e. no depende de la elección del punto A. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

15 Suma de vectores libres Hay que demostrar que la definición de suma es correcta, i.e. no depende de la elección del punto A. En otras palabras, hay que probar que los representantes de a + b, definidos en esta manera en dos puntos arbitrarios A y A, son equivalentes entre sí (y por eso generan el mismo vector libre). C C A B A B Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

16 Suma de vectores libres Hay que demostrar que la definición de suma es correcta, i.e. no depende de la elección del punto A. En otras palabras, hay que probar que los representantes de a + b, definidos en esta manera en dos puntos arbitrarios A y A, son equivalentes entre sí (y por eso generan el mismo vector libre). C C A B A B La demostración puede ser basada en las propiedades de paralelogramos. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

17 Producto de un vector libre por un número real Para definir el producto de un vector libre por un número real, es cómodo usar el espacio V 2 (O) que hemos considerado antes. Sean a V 2, λ R y A un punto en el plano. El representante de λ a en el punto A definamos como λ AB en V 2 (A). Hay que probar que esta definición es correcta, i.e. representantes del vector libre λ a en todos puntos del plano son equivalentes entre sí. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

18 Contenido 1 Conjunto V 2 2 Operaciones lineales en V 2 3 Propiedades Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

19 V 2 como espacio vectorial real Las operaciones lineales en V 2 cumplen las sigientes propiedades: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) existe 0 = [ AA] tal que a + 0 = 0 + a = a para todos a para cada a = [ AB] existe a = [ BA] tal que a + ( a ) = ( a ) + a = 0 a + b = b + a λ( a + b ) = λ a + λ b (λ + µ) a = λ a + µ b λ(µ a ) = (λµ) a 1 a = a El conjunto V 2 con estas operaciones es un ejemplo de espacio vectorial real. Egor Maximenko (ESFM del IPN) V 2 : Vectores libres en el plano 8 de agosto de / 13

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