Momento de un vector deslizante respecto a un punto. Momento de un vector deslizante respecto a un eje

Transcripción

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2 Magnitudes escalares y vectoriales Tipos de vectores Operaciones con vectores libres Momento de un vector deslizante respecto a un punto Momento de un vector deslizante respecto a un eje

3 Magnitudes escalares Magnitud perfectamente definida por su valor numérico Abstractas. No tienen unidades: índice de refracción, rendimiento Concretas. Tienen unidades:masa (kg), temperatura (K)

4 Magnitudes vectoriales Magnitud perfectamente definida cuando se conoce, además de su valor numérico, la dirección sobre la que actúa y sentido: velocidad (m/s), fuerza (N), momento de una fuerza (N m),...

5 Tipos de vectores Libres: Se conoce módulo, dirección y sentido. Punto de aplicación es cualquiera en el espacio. Dos vectores libres son iguales si son superponibles mediante una traslación en el espacio

6 Tipos de vectores Deslizantes: Se conoce módulo, dirección, sentido y recta soporte. El punto de aplicación es cualquiera sobre la recta soporte. Dos vectores deslizantes son iguales si son superponibles mediante un deslizamiento a lo largo de la recta soporte

7 Tipos de vectores Localizados: Se conoce módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Dos vectores localizados sólo pueden ser iguales a sí mismos

8 Representación vectorial 2D Y v v cos β β α X v cos α

9 Representación vectorial 3D Z v cos γ v γ β v cos β Y v cos α X

10 Componentes de un vector Proyección del vector sobre un eje v v α v cos α

11 Vectores unitarios i Un vector unitario es un vector sin unidades de módulo unidad; se utilizan para especificar la dirección y sentido El vector unitario que especifica la dirección y sentido de El vector unitario que especifica la dirección y sentido de un vector se calcula mediante el cociente entre dicho vector y su módulo

12 Vectores unitarios i Los vectores unitarios, sobre los ejes cartesianos se expresan por i, j, k

13 Operaciones con vectores libres

14 Suma gráfica de vectores Regla del paralelogramo (2 vectores) A C B A + B = C El vector suma es la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores

15 Suma gráfica de vectores A + B = C A En el extremo del primero se sitúa el origen del segundo B La suma es un vector cuyo origen es el origen del primero y su extremo es el extremo del segundo

16 Suma gráfica de vectores Cuando se tienen muchos vectores se repite el proceso hasta que se incluyen todos los vectores A + B + C + D D C A B

17 Suma de vectores. Componentes La proyección del vector suma sobre un eje, es la suma de las proyecciones de los vectores sobre dicho eje C x = A x + B x B y A y A B C C = A + B y y y A x B x

18 Propiedades d de la suma. Conmutativa ti A+ B= B+ A Re epresen ntación gráfica B A B A A

19 Propiedades d de la suma. Asociativa A + ( B + C ) = ( A + B ) + C C A+ ( B+ C) ( A+ B) + C B+ C A+ B B A A Representación gráfica C B

20 Multiplicación de un vector por un escalar El resultado es un vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector Si el escalar es positivo, la dirección y sentido son los mismos que los del vector original Si el escalar es negativo, la dirección del resultado es la misma que la del vector original, pero su sentido es opuesto

21 M Multiplicación li ió de un vector por un escalar v n nv n>0 A n>0 nv O n<0

22 Producto escalar de dos vectores Es un escalar El valor del producto escalar de dos vectores es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman los vectores v 1 v α v 2 vv = v v cosα

23 Propiedades del producto escalar 1. Conmutativa 1. Conmutativa v1 v2 = v2 v1 v v = v v 1 2. Asociativa respecto al producto por un escalar n v v = nv v = nv v ( ) ( ) ( ) n( v ) ( ) ( ) 1 v2 = nv1 v2 = nv2 v1

24 Propiedades del producto escalar 3. Distributiva respecto a la suma de vectores v v + v = v v + v v ( ) No asociativa respecto a productos escalares sucesivos v v v v v v ( ) ( )

25 Propiedades d del producto escalar i i = 1 i j = 0 j j = 1 i k = 0 k k = j k = 1 0 v v = v i + v j + v k v i + v j + v k = ( ) ( ) x y z x y z = v v + v v + v v 1x 2y 1y 2y 1z 2z

26 Producto vectorial de dos vectores Es un vector: Módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que determinan; la dirección, v perpendicular a ambos 2 vectores y el sentido se determina por la regla de la mano derecha Es un vector: Módulo es el v 1 v 2 v 1

27 Producto vectorial. Módulo El módulo representa el área del paralelogramo que determinan v 1 d 2 d 1 v 2 Area = v v = v v senϕ = v d = v d

28 Propiedades del producto vectorial 1. No conmutativa v v = v v ( ) Asociativa respecto al producto por un escalar n v v = nv v = nv v ( ) ( ) ( )

29 Propiedades d del producto vectorial 3. Distributiva respecto a la suma de vectores v v + v = v v + v v ( ) No asociativa respecto a productos vectoriales sucesivos v v v v v v ( ) ( )

30 Propiedades d del producto vectorial i i = 0 j j = 0 k k = 0 i j = k j i = k j k = i k j = i k i = j i k = j

31 Propiedades del producto vectorial v v = v i + v j + v k v i + v j + v k = ( ) ( ) x y z x y z = i( v v v v ) j( v v v v ) + k( v v v v ) = 1y 2z 2y 1z 1x 2z 2x 1z 1x 2y 2x 1y = i j k v v v 1x 1y 1z v v v 2x 2y 2z

32 Producto mixto: Volumen del paralelepípedo l v ( v v ) v 1 v 3 v v v v cosϕ = h 1 v 1 3 v v 3 2 v v 2 3

33 Producto mixto v1 v2 v3 = v1 i + v1 j + v1 k v2 i + v2 j + v2 k v3 i + v3 j + v3 k ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x y z x y z i j k v v v v v v cosϕ = v i + v j + v k v v v = v v v ( ) 1 x 1 y 1 z x y1 1z 2x 2y 2z 2x 2y 2z v v v v v v 3x 3y 3z 3x 3y 3z

34 Doble producto vectorial v 1 v 2 v 3 = v 1 i + v 1 j + v 1 k v i + v j + v k v i + v j + v k ( ) ( ) ( ) ( ) x y j z x y j z x y j z v v v = v v v v v v ( ) ( ) ( )

35 Momento de un vector deslizante respecto a un punto Momento del vector deslizante respecto a O v O A v M = OA v O

36 Momento de un vector deslizante respecto a un punto Vector localizado li en O O A v Perpendicular al plano que determinan los vectores y OA Módulo: el área que determinan los vectores v M = OA v O Sentido, el de avance de un tornillo que gira del primero al segundo

37 Momento de un vector deslizante respecto a un punto 1. El momento de un vector respecto a un punto es único es independiente de la posición del vector a lo largo de la recta soporte 2. El momento de un vector respecto a un punto de la recta soporte es nulo 3 C i d l t t t d 3. Conociendo el momento respecto a un punto se puede conocer respecto a otro (ec. Cambio de momentos

38 Momento de un vector deslizante respecto a un punto C O B A v 1. Independiente de la posición del vector deslizante sobre la recta soporte M = OA v = OB v = OC v O OB v OA AB v OA = + = v + AB v ( ) OC v = OA + AC v = OA v + AC v ( )

39 Momento de un vector deslizante respecto a un punto 2. El momento respecto a un punto de la recta soporte es nulo O v A B C M = BA v = 0 B El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo

40 Momento de un vector deslizante respecto a un punto 3. Ecuación del cambio de momento C O B A v M OA M = OA v ( ) M ( ) C v = OA v = OC+ CA v = OC v+ CA v M ( v ) = M ( v ) + CA v C O O

41 Momento de una fuerza respecto a un punto El momento de una fuerza respecto a un punto es el producto vectorial del vector que une el centro de momentos y el origen de la fuerza y el vector fuerza aplicada. Es perpendicular al plano formado por los dos Es perpendicular al plano formado por los dos vectores

42 Momento de un vector deslizante respecto a un eje M O vector respecto a un Proyección sobre un eje del momento de un vector respecto a un punto O A v M ( v ) recta proy O = M cosϕ = O M O u recta

43 Sistemas de vectores deslizantes Constituidos por n vectores deslizantes v 1 v 2 v 3 v 3 n

44 Sistemas de vectores deslizantes Resultante general: Suma vectorial de los n vectores que constituyen el sistema R = v + v + v v n v 1 v 2 v v 3 v n R R

45 Sistemas de vectores deslizantes Momento resultante t respecto aunpunto P: es la suma vectorial de los n momentos, respecto al punto P, de los n vectores que constituyen el sistema C = M ( v ) + M ( v ) M ( v ) P P 1 P 2 P n C = M ( v ) + M ( v ) M ( v ) O O 1 O 2 O n

46 1. No es independiente del centro de momentos. El momento respecto a O es distinto que respecto a P 2. Ecuación del cambio de momentos C = OA ' v + OA ' v + OA ' v + OA ' v O' n n ( ) ( ) C = O' O+ OA v + O' O+ OA v + O' OO ' + OA v+... OO ' + OA v = n n ( ) ( ) 3 3

47 Para que el momento sea independiente del punto respecto del que se calcula el momento C ' = C = C '' =... C O O O M C = C + O' O R O' O OO ' R = 0

48 Sistemas de vectores deslizantes. Pares Un sistema de vectores deslizantes, cuya resultante es nula y el momento resultante es independiente del punto respecto al que se calcula el momento equivale a un par Un par está formado por dos vectores de igual módulo, p p g, direcciones paralelas y sentidos opuestos

49 Sistemas de vectores deslizantes. Pares C = AA ( v) + AB v = AB v A A v B v C = BA ( v) + BB v = AB v B C = MA ( v) + MB v = MA v + MB v = AB v M Es perpendicular al plano que determinan los vectores

50 v C A = AB v senϕϕ v A B El momento del par es un vector perpendicular a ambos vectores y su módulo es igual al área del paralelogramo que determinan

51 Invariantes de un sistema de vectores deslizantes Magnitudes que no cambian al cambiar el centro de momentos 1.Resultante general: tanto el vector, como el módulo, como la norma son independientes del centro de momentos R = v + v + v + + v = R i + R j + Rk n x y z R = R + R + R x y z 2 R = R + R + R x y z

52 Invariantes de un sistema de vectores deslizantes 2.Producto escalar de la resultante general y el momento resultante respecto a un punto cualquiera R C = RC = RC =... = RC = Cte O A B P 3.Cociente entre el segundo invariante y el primero. También se denomina momento mínimo por coincidir con el valor mínimo que tiene que tener el momento resultante R CO R CA RC B RC P = = =... = = Cte R R R R

53 Sistemas de vectores deslizantes. 3º invariante i RC O RC A RC B RC P = = =... = = R R R R Cte C u cos ϕ = C u cos ϕ = C u cos ϕ =... C u cos ϕ = Cte O R 1 A R 2 B R 3 P R n C cosϕ = C cosϕ = C cos ϕ =... C cosϕ = Cte O 1 A 2 B 3 P n Proyección del momento, respecto a O, sobre la dirección de la resultante Proyección del momento, respecto a A, sobre la dirección de la resultante Proyección del momento, respecto a B, sobre la dirección de la resultante Proyección del momento, respecto a M, sobre la dirección de la resultante t

54 Sistemas de vectores deslizantes. 3º invariante i Cuanto mayor es el módulo del momento menor es el coseno del ángulo (y mayor es el ángulo) y viceversa Cuando el ángulo es cero, el coseno toma el máximo valor, y el momento toma el mínimo C cos ϕ = C cos ϕ = C cos ϕ =... = C cos ϕ = C cos 0 = C = Cte O 1 A 2 B 3 P n min min

55 Eje central de un sistema de vectores deslizantes Lugar geométrico de los puntos del espacio, respecto de los cuales el momento es mínimo (por tanto, paralelo a la resultante general) R a C a f e C f c C e b C c C b d C d

56 Eje central de un sistema de vectores deslizantes C E = C min x x y y z z = = R R R E E E x y z R O

57 Sistemas de vectores deslizantes concurrentes Sistema de vectores deslizantes cuyas líneas de acción pasa por un punto denominado punto de concurrencia v 1 A 1 v 2 A 2 A

58 Sistemas de vectores deslizantes concurrentes El momento resultante respecto al punto de concurrencia es nulo, por tanto el punto de concurrencia pertenece al eje central v 1 A 1 v 2 A 2 A C v = A = AA 11 v 11+ AA 2 2 v 2 = 2 0 0

59 Teorema de Varignon El momento resultante de un sistema de vectores deslizantes concurrente, respecto a un punto cualquiera del espacio, es igual al momento respecto a dicho punto del momento resultante t cuando ésta está aplicada enel punto de concurrencia R A 1 v 2 A 2 v 1 A C = OA R O

60 Derivada de una función vectorial rt () = xti () + yt () j + ztk () r ( t + t) = x( t + t) i + y( t + t) j + z( t + t) k r() t = [ x( t + t) x() t ] i + [ y( t + t) y() t ] j + [ zt ( + t) zt ()] k= = xi + yj + zk rt () t rt () r ( t + t) ) t+ t

61 En el límite Derivada de una función vectorial rt () = xi + yj + zk t r () t () r dr xi + yj + zk lim = = lim = t 0 t dt t 0 t x y z = lim i + lim j + lim k t 0 t t 0 t t 0 t rt () t+ tt r ( t + t) ) dr dx dy dz = i + j + k dt dt dt dt Tiene la dirección de la tangente