Propiedades de los números

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1 Propieddes de los números Qué son los números? qué propieddes tienen? L primer de ls pregunts ry con l filosofí... vmos ver qué podemos contestr con respecto l segund pregunt. Lo primero que tenemos que entender es el concepto de operción (mtemátic). En Mtemátics un operción es l cción de un operdor sobre los elementos de un conjunto. Si el operdor ctú sobre un solo elemento se llm operdor monrio; si ctú sobre dos se llm operdor binrio, y sí sucesivmente. Ejemplos de operdores: * el operdor hllr el opuesto de un número, que representmos como, es un operdor monrio porque ctú sobre un único elemento obteniendo su opuesto: (4) = 4; ( 4) = +4 * el operdor sumr dos números, que representmos como +, es un operdor binrio porque ctú sobre dos elementos obteniendo su sum: = 9 Tmbién podrímos poner el operdor binrio sum de los números y b sí: (+,,b) Y entonces surge un pregunt... y si estmos sumndo más de dos números? podemos expresr l sum ternri (+,,b,c)? Relmente esto no tiene sentido y que primero sumremos dos de los números, pr después sumr el tercero l resultdo. Entonces, si summos tres números, b y c en qué orden debemos hcerlo? Podemos utilizr l llmd propiedd socitiv (PA) según l cul: + b + c = ( + b) + c = + (b + c) es decir, podemos sumr los números en el orden que quermos. Entonces, y volviendo l operdor binrio, ocurre que (+,,b) = (+,b,) donde y b son número nturles? Y sbemos que sí: el orden en el que se sumn dos números es irrelevnte. Es l llmd propiedd conmuttiv (PC): + b = b + Hemos encontrdo dos propieddes de los números (en este cso números nturles) socids un operción (l sum). Además l operción d como resultdo un elemento del mismo conjunto que el de los operndos. Si esto ocurre decimos que se cumple l propiedd de operción intern o composición intern (OI): O. I. :, b N + b N Además de ests tres propieddes los conjuntos sobre ls que se plicn los operdores tienen un serie de elementos especiles, como son el elemento neutro y el elemento simétrico. El elemento neutro (EN) es quél que operdo con otro del mismo conjunto lo dej tl y como estb, es decir: k es EN del conjunto K si x K : x o k = x donde el símbolo o indic un operdor. El elemento simétrico de un conjunto es quel que operdo con otro elemento del mismo conjunto d como resultdo el elemento neutro del conjunto pr es operción, es decir: m es ES del conjunto K si x K, m K : x o m = EN donde el símbolo o indic un operdor. 2º Bchillerto Mtemátics II Dvid Miguel del Río IES Europ (Móstoles)

2 Cudro.- Notción mtemátic: Resumiendo, pr un conjunto K y un operción propieddes y elementos: o podemos definir ls siguientes Operción Intern (OI):, b K o b K pr todo y b, elementos del conjunto K, ocurre que operdo con b es, tmbién, un elemento del conjunto K Propiedd Asocitiv (PA):, b, c K o b o c = ( o b) o c = o ( b o c) pr todo, b y c, elementos del conjunto K, ocurre que operdo con b operdo con c d el mismo resultdo si se oper primero y b y luego lo que sle con c, que si se oper primero b y c y lo que sle con Propiedd Conmuttiv (PC):, b K o b = b o pr todo y b, elementos del conjunto K, ocurre que operdo con b d lo mismo que b operdo con Elemento Neutro (EN): u = EN K o u = u o = u es Elemento Neutro si y sólo si pr todo elemento de K ocurre que operdo con u es igul que u operdo con y d como resultdo el elemento Elemento Simétrico (ES): v = ES K,! v K : o v = v o = u, u = EN v es Elemento Simétrico si y sólo si pr todo elemento del conjunto K existe, y es único, un elemento v del conjunto K tl que operdo con v es igul que v operdo con y d u, que es el Elemento Neutro No todos los conjuntos que podmos pensr vn cumplir ests propieddes ni tener todos estos elementos. Según se cumpln uns condiciones u otrs se dirá que el conjunto en cuestión tiene un estructur lgebric u otr. Entonces, llmremos estructur lgebric del conjunto K con respecto ls n- operciones o,,,..., l n-tupl ( K,o,,,..., ) donde K es un conjunto no vcío y o,,,..., ls operciones que plicmos sobre él. Según se cumpln uns propieddes u otrs l estructur lgebric recibirá diferentes nombres. Vemos cómo se denominn según ls propieddes que cumplen: OI OI Semigrupo Semigrupo conmuttivo o PA PA PC Llmdo sí en honor del noruego Niels Henrik Abel ( ) cuy biogrfí podéis consultr en 2º Bchillerto Mtemátics II Dvid Miguel del Río IES Europ (Móstoles) 2

3 OI OI PA PA Grupo Grupo conmuttivo o PC EN EN ES ES Vmos ver lgunos ejemplos: ) Qué estructur lgebric tendrá el conjunto de los números Nturles (N) con respecto l operción sum (+)? Estmos preguntndo por l estructur lgebric (N,+), sí que tendremos que ir - OI: se cumple, y que l sum de dos nturles d otro número nturl - PA: se cumple, y que podemos sumr tres números nturles en el orden que quermos sin que cmbie el resultdo - PC: se cumple, y que el orden en el que sumemos dos nturles no influye en el resultdo - En: el elemento neutro de los Nturles pr l sum es el 0, esto es n N, 0 N : n + 0 = 0 + n = n - ES: el elemento simétrico de los Nturles pr l sum serí el opuesto del número, y que + ( ) = 0, PERO si pertenece N, entonces no puede pertenecer N, por lo tnto N no tiene ES respecto de l sum Por todo lo nterior concluimos que: (N,+) es un semigrupo o conmuttivo (con elemento neutro, el 0) 2) Qué estructur lgebric tendrá el conjunto de los números Nturles (N) con respecto l operción producto ( )? Estmos preguntndo por l estructur lgebric (N, ), sí que tendremos que ir - OI: se cumple, y que el producto de dos nturles d otro número nturl - PA: se cumple, y que podemos multiplicr tres números nturles en el orden que quermos sin que cmbie el resultdo - PC: se cumple, y que el orden en el que multipliquemos dos nturles no influye en el resultdo - En: el elemento neutro de los Nturles pr el producto es el, esto es n N, N : n = n = n - ES: el elemento simétrico de los Nturles pr l multiplicción serí el inverso del número, y que =, PERO si pertenece N, entonces no puede pertenecer N, por lo tnto N no tiene ES respecto de l multiplicción Por todo lo nterior concluimos que: (N, ) es un semigrupo o conmuttivo (con elemento neutro, el ) 3) Qué estructur lgebric tendrá el conjunto de los números Enteros (Z) con respecto l operción sum (+)? Estmos preguntndo por l estructur lgebric (Z,+), sí que tendremos que ir - OI: se cumple, y que l sum de dos enteros d otro número entero 2º Bchillerto Mtemátics II Dvid Miguel del Río IES Europ (Móstoles) 3

4 - PA: se cumple, y que podemos sumr tres números enteros en el orden que quermos sin que cmbie el resultdo - PC: se cumple, y que el orden en el que sumemos dos enteros no influye en el resultdo - En: el elemento neutro de los Enteros pr l sum es el 0, esto es n Z, 0 Z : n + 0 = 0 + n = n - ES: el elemento simétrico de los Enteros pr l sum serí el opuesto del número, y que + ( ) = 0, luego = ES Z,! Z : + ( ) = ( ) + = 0, 0 = ( ) EN Por todo lo nterior concluimos que: (Z,+) es un grupo o conmuttivo 4) Qué estructur lgebric tendrá el conjunto de los números Enteros (Z) con respecto l operción producto ( )? Estmos preguntndo por l estructur lgebric (Z, ), sí que tendremos que ir - OI: se cumple, y que el producto de dos enteros d otro número entero - PA: se cumple, y que podemos multiplicr tres números énteros en el orden que quermos sin que cmbie el resultdo - PC: se cumple, y que el orden en el que multipliquemos dos enteros no influye en el resultdo - En: el elemento neutro de los Enteros pr el producto es el, esto es n Z, Z : n = n = n - ES: el elemento simétrico de los Enteros pr l multiplicción serí el inverso del número, y que =, PERO si pertenece Z, entonces no puede pertenecer N, por lo tnto N no tiene ES respecto de l multiplicción Por todo lo nterior concluimos que: (Z, ) es un semigrupo o conmuttivo (con elemento neutro, el ) 5) Qué estructur lgebric tendrá el conjunto de los números Reles (R) con respecto l operción sum (+)? Estmos preguntndo por l estructur lgebric (R,+), sí que tendremos que ir - OI: se cumple, y que l sum de dos reles d otro número rel - PA: se cumple, y que podemos sumr tres números reles en el orden que quermos sin que cmbie el resultdo - PC: se cumple, y que el orden en el que sumemos dos reles no influye en el resultdo - En: el elemento neutro de los Reles pr l sum es el 0, esto es n R, 0 R : n + 0 = 0 + n = n - ES: el elemento simétrico de los Reles pr l sum serí el opuesto del número, y que + ( ) = 0, luego = ES R,! R : + ( ) = ( ) + = 0, 0 = ( ) EN Por todo lo nterior concluimos que: (R,+) es un grupo o conmuttivo 6) Qué estructur lgebric tendrá el conjunto de los números Reles (R) con respecto l operción producto ( )? 2º Bchillerto Mtemátics II Dvid Miguel del Río IES Europ (Móstoles) 4

5 Estmos preguntndo por l estructur lgebric (R, ), sí que tendremos que ir - OI: se cumple, y que el producto de dos reles d otro número rel - PA: se cumple, y que podemos multiplicr tres números reles en el orden que quermos sin que cmbie el resultdo - PC: se cumple, y que el orden en el que multipliquemos dos reles no influye en el resultdo - En: el elemento neutro de los Reles pr el producto es el, esto es n R, R : n = n = n - ES: el elemento simétrico de los Reles pr l multiplicción serí el inverso del número, y que = = ES R,! R : = =, = EN Por todo lo nterior concluimos que: (R, ) es un grupo o conmuttivo EJERCICIO.0.- Cuál es l estructur lgebric de l sum de vectores? EJERCICIO.02.- Cuál es l estructur lgebric de l sum de números complejos? EJERCICIO.03.- Cuál es l estructur lgebric del producto de números complejos? Vmos dr un pso más. Cuál es l relción entre ls operciones que se pueden relizr sobre un mismo conjunto? L relción entre ls operciones sum y producto se hce trvés de l Propiedd Distributiv: Cudro 2.- Notción mtemátic de l propiedd distributiv: Decimos que un conjunto K cumple l propiedd distributiv de l operción o con respecto l, b, c K b o c = b o operción si ( ) c Aplicd l definición l propiedd distributiv de l operción sum con respecto l, b, c K b + c = b + operción multiplicción si ( ) c Con este nexo de unión entre operciones (+, ) podemos definir nuevs estructurs lgebrics del conjunto K, est vez ternris 2, de l siguiente mner: Seminillo ( K, + ) ( K, ) Semigrupo Semigrupo PD( K, +, ) Anillo ( K, + ) ( K, ) Semigrupo Grupo PD( K, +, ) Cuerpo ( K, + ) ( K, ) Grupo Grupo PD( K, +, ) 2 ls nteriores ern binris: (N.+), (Z, ), etc 2º Bchillerto Mtemátics II Dvid Miguel del Río IES Europ (Móstoles) 5

6 Vemos: ) Cuál es l estructur lgebric (N,+, )? Vemos: (N,+) es semigrupo (conmuttivo con elemento neutro) y (N, ) es semigrupo (conmuttivo con elemento neutro). Se cumple l propiedd distributiv de l dición con respecto l multiplicción. Por todo lo nterior, (N,+, ) es SEMIANILLO (conmuttivo) 2) Cuál es l estructur lgebric (Z,+, )? Vemos: (Z,+) es grupo (conmuttivo con elemento neutro) y (Z, ) es semigrupo (conmuttivo con elemento neutro). Se cumple l propiedd distributiv de l dición con respecto l multiplicción. Por todo lo nterior, (Z,+, ) es ANILLO (conmuttivo) 3) Cuál es l estructur lgebric (R,+, )? Vemos: (R,+) es grupo (conmuttivo con elemento neutro) y (R, ) es grupo (conmuttivo con elemento neutro. Se cumple l propiedd distributiv de l dición con respecto l multiplicción. Por todo lo nterior, (R,+, ) es CUERPO (conmuttivo) EJERCICIO.04.- Cuál es l estructur lgebric (C,+, )? 2º Bchillerto Mtemátics II Dvid Miguel del Río IES Europ (Móstoles) 6

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