1NÚMEROS REALES. Problema Capítulo 1. Números Reales.

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1 CONTENIDOS Números nturles Números enteros Números rionles Números irrionles Números reles Los números nturles, los enteros, ls friones y deimles hn sido ojeto de estudio en diferentes oportuniddes. En este so se retomn esos onjuntos de números pero prestndo espeil tenión sus rterístis y propieddes. A prtir de ls propieddes se podrá profundizr en el estudio de uestiones más generles. Se resolverán prolems que requieren mplir los onjuntos numérios onoidos. 1NÚMEROS REALES Prolem 1 Indiquen en qué onjuntos numérios pueden resolverse los siguientes prolems:. Cuál es l medid del ldo de un udrdo uy áre es 1 m?. Enontrr todos los números que verifin que l multiplirlos por su siguiente se otiene por resultdo 0.. Si se onoe que 9 vees el udrdo de un número es 4, de qué número se trt? d. Cuáles son ls medids de los tetos de un triángulo retángulo isóseles si se se que su áre es,5 m? e. Enontrr, si existe, un número uyo udrdo se 1. Cd uno de los prolems nteriores punt l estudio de un onjunto numério diferente orientdo por ls siguientes uestiones: Cuáles son los números que intervienen y ómo se oper entre ellos? Qué otrs uestiones pueden estudirse on ellos? A qué prolems dn respuest y uáles no pueden resolverse? Qué propieddes tienen? Qué propieddes que vlín en un onjunto numério dejn de vler en otro? Qué propieddes que no vlín en otro onjunto numério hor vlen? De tods ests uestiones se trtrá este pítulo. 10 Cpítulo 1. Números Reles.

2 El prolem. de l págin nterior puede pensrse de l siguiente mner: si un udrdo de ldo l tiene un áre de 1 m², entones, pr lulr el ldo puede plnterse l euión l = 1. Est euión tiene dos soluiones l = 1 o l = 1; sin emrgo en el ontexto del prolem l úni soluión posile es l = 1. Diho de otro modo; en el onjunto de los números nturles est euión tiene por soluión l = 1 y en el onjunto de los números enteros tiene dos soluiones l = 1 y l = 1. Este prolem punt entones l estudio de los números nturles. Los números nturles son los que se usn pr ontr. Suelen representrse on l letr, y pueden mostrrse por extensión (de mner inomplet) sí: = {1 ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ;...} Como hy infinitos números nturles, se die que el onjunto de los números nturles es un onjunto infinito. Todos los elementos de este onjunto son positivos (myores que 0). Tiene un elemento, el 1, que es el menor de todos; este número se lo denomin el primer elemento del onjunto. No hy ningún número nturl que se el myor que todos, es deir, este onjunto no tiene último elemento, pues es sufiiente on sumr 1 pr otener uno myor. El resultdo de sumr dos números nturles ulesquier es siempre otro número nturl, pero esto no siempre suede on l rest. Por ejemplo, no puede resolverse l operión 0 7. El onjunto de los números nturles está formdo por quellos números que sirven pr ontr ; = {1 ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ;...} En osiones se onsider l 0 omo número nturl. En este so, se lo simoliz 0. 0 = {0 ; 1 ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ;...} En el onjunto de los números nturles todo elemento tiene su siguiente + 1 y todo elemento distinto de 1 tiene su nterior, 1. 11

3 El onjunto de los números enteros Si se nliz hor el prolem 1.. de l págin 10: Enontrr todos los números que verifin que l multiplirlos por su siguiente se otiene por resultdo 0. Se llm onjunto soluión de un euión l onjunto formdo por tods sus soluiones. Se lo simoliz S. Este prolem puede trduirse trvés de l euión x (x + 1) = 0. Es senillo reonoer que el número 4 verifi l euión porque 4. 5 = 0. Con lo ul en el onjunto de los números nturles el onjunto soluión de l euión es: S = {4}. Si solo se piens en números nturles, l soluión es úni. Pero si se dmite el uso de números enteros, tmién ourre que ( 5). ( 4) = 0. Es deir, pree otr soluión x = 5. El onjunto soluión en el onjunto de los números enteros es S = {4 ; 5} Prolem Es posile enontrr un número que l restárselo 0 dé por resultdo 7? Al número se lo llm opuesto de. Por ejemplo: 5 es el opuesto de 5; 7 es el opuesto de 7, porque ( 7) = 7; 0 es el opuesto de 0, porque 0 = 0; es el opuesto de y es el opuesto de. El opuesto de un número es negtivo undo ese número es positivo; es positivo undo ese número es negtivo y es 0 undo Si se piens este prolem en términos de euiones, l expresión que lo represent es l siguiente: 0 x = 7. No hy ningún número nturl que, restdo l 0 dé por resultdo 7. Esto quiere deir que no hy soluión pr est euión dentro del onjunto de números nturles. Luego S = ø. Pr enontrr l soluión de est euión es neesrio definir un nuevo onjunto de números, el de los enteros, que se simoliz. Está formdo por los números nturles, el 0 y los opuestos de los números nturles. Puede definirse: = {... ; ; ; 1 ; 0 ; 1 ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ;...} enumerndo sus elementos de mner inomplet. En este onjunto l soluión es S = { 7} El onjunto de los números enteros es tmién un onjunto infinito y no hy un número entero que se el menor de todos ni tmpoo un número entero que se el myor de todos. Es deir, en este onjunto no existen ni primer elemento ni último elemento. Uiión en l ret numéri Prolem En l siguiente ret numéri están uidos el 0 y el 8. Dónde se ui el número 5? Dónde se uin los números 1 y? Pr resolver este prolem, un posiilidd es intentr uir el número 1. Pr ello es onveniente uir el 4, justo en el punto medio entre 0 y 8. Luego el en el punto medio entre 0 y 4 y finlmente el 1 entre 0 y. Determind l posiión del 1, es senillo señlr l uiión del 5: ese número es Cpítulo 1. Números Reles.

4 Es deir, pr uir los números nturles en un ret, st on señlr el 0 y el 1, o se, elegir un unidd en l ret, luego, el se ui un unidd de distni l dereh del 1, el un unidd de distni l dereh del, etéter. Pr uir el número 1 en est ret lnz on tomr l mism unidd de medid pero pr l izquierd. Entones: En l ret puede oservrse que ddos dos números enteros distintos, el que está más l dereh en l ret numéri será el myor. Por ejemplo, 5 está l dereh de y 5 >. En el onjunto de los números nturles se puede oservr que el más grnde es el que está más lejos del ero. Sin emrgo, est propiedd dej ser iert en el onjunto de los números enteros, y que, por ejemplo, 10 está más lejos del 0 que En el onjunto de los números enteros todo elemento tiene su siguiente o onseutivo + 1 y todo elemento tiene su nterior, 1. Por ejemplo: 6 es el siguiente de 7, y el nterior de 5; 450 es el nterior de 451 y 1 es el nterior de 1. Prolem 4. Cuántos números enteros hy ente 10 y 14?. Cuántos números enteros hy entre 0 y 04? y entre 400 y 16?. Hy lgun form de lulr l ntidd de números enteros que hy entre dos números enteros p y q? Entre 10 y 14 están solmente los números enteros 11, 1 y 1, es deir hy tres números enteros. Pr hllr los números enteros entre 0 y 04 hy que ontr los números 0, 01 hst 0. Pr ser uántos hy, se puede relizr l uent 04 ( 0) = 607. Pero en este álulo se está onsiderndo el número 0, entones hy que restrle uno: = 606. Es deir, hy 606 números. Pueden resumirse los resultdos en l siguiente tl: Entre... hy... Cuántos son? 10 y 14 (11, 1 y 1) = 4 ; 4 1 = = 0 y y ( 0) = = ( 400) = = 7 04 ( 0 ) 1 = ( 400) 1 = 7 Pr hllr los números enteros que hy entre p y q (p < q) se lul l difereni q p y se otienen los números entre p y q, pero inluyendo p. Al restr 1 se exluye l número p. Puede deduirse entones que entre dos números enteros ulesquier, l ntidd de números enteros que hy entre ellos es siempre finit y se lul hiendo q p 1. A prtir de est propiedd se die que el onjunto de números enteros es un onjunto disreto. 4 En el onjunto de los números enteros, el myor entre dos números es el que está uido en l ret numéri más l dereh. Todo número nturl tiene un siguiente, que se otiene l sumrle 1. Todos, exepto el 1, tienen demás un elemento nterior que se otiene restndo 1 l número. En el so de los números enteros, todos tienen nterior y siguiente. Ddo un número entero, su nterior es 1 y su siguiente + 1. Entre dos números enteros y ( > ) hy siempre un ntidd finit de números enteros y ést es extmente 1. Si =, l ntidd de números enteros entre ellos es 0. Est propiedd de los números enteros se onoe on el nomre de disretitud. Si se quiere ontr uántos números enteros hy desde hst (es deir, los que hy entre y tmién y ) es ntidd es + 1. Si =, hy 1. 1

5 Divisiilidd Uno de los tems más importntes en el onjunto de los números enteros es el de l divisiilidd, tl omo se propone en el siguiente prolem. Prolem 5 Sen y n números enteros tles que = 5. n + 7, hllr el resto de dividir por 5. Ddos dos números enteros y ( distinto de 0), existen únimente dos números enteros q y r, llmdos respetivmente oiente y resto, tles que =. q + r, siendo r myor o igul que 0 y menor que. Pr resolver est uestión, un posiilidd es omenzr explorr signándole n lgunos vlores, tl omo se muestr en l tl: n 5. n + 7 Resto l dividirlo por Un número entero es pr Aprentemente el resto siempre es. Pero, ómo se puede her pr estr seguros de undo se lo puede esriir que el resto siempre es? omo =. k, on k. Como = 5. n + 7 es posile trnsformr est expresión en otr equivlente Un número entero es impr undo se lo puede esriir omo =. k + 1, = 5. n + 7 = n = 5 (5n + 1) + on k. múltiplo de 5 L últim expresión muestr que el número es dos uniddes myor que un múltiplo de 5. Y omo l dividir un múltiplo de 5 por 5, su resto es ero, l dividir un número dos uniddes myor que un múltiplo de 5, el resto es. 4 Un número entero es primo undo tiene extmente utro divisores: el 1, el 1, el número y su opuesto. Por ejemplo 1 es primo porque sus únios divisores son 1, 1, 1 y 1, en mio 4 no es primo porque, demás de 1,1, 4 y 4 tiene y omo otros divisores. 1 y 1 no son números primos porque tienen extmente dos divisores: 1 y 1. Prolem 6 Cuáles son los posiles restos que se otienen l dividir un número entero por:.?.? Si es un número entero pr, entones l dividirlo por se otiene un ierto oiente q y resto 0. Entones =. q on q. Si es un número entero impr, entones l dividirlo por se otiene un ierto oiente n y resto 1. Entones =. n + 1 on n. Si es divisile por, l dividir por se otiene un oiente m y resto 0.Entones =. m on m. Si no es divisile por, l dividir por se otiene un oiente n y un resto que puede ser 1 o. Entones, puede ser que =. n + 1 on n o = n + on n. Si = k. on,, k entones es múltiplo de o es divisor de. En generl puede deirse que si y son números enteros entones: es divisile por, si existe un número entero k tl que =. k. Si no es múltiplo de entones existen números enteros q y r tles que: =. q + r y 0 < r <. 14 Cpítulo 1. Números Reles.

6 Euiones Con los números enteros se pueden resolver lguns euiones que no tenín soluión en. Prolem 7 Pr d un de ls euiones siguientes, hllr el onjunto soluión en y en.. x + 5 = 1. 4x = 0. x = d. x² = 100 e. x² = 64 f. x² = 4 g. x 4 = 16 h. x³ = 7 i. x³ = 64 L euión x + 5 = 1 no tiene soluión en porque no existe ningún número nturl que sumdo 5 dé por resultdo 1, luego S =. Sin emrgo, l euión tiene soluión en y es x = 1 5 = 4. S = { 4}. L euión 4x = 0 tiene soluión en pero no en porque: x = 0 : 4 = 5 luego S = { 5} y S =. L euión x = no tiene soluión en ni en porque ningún número entero multiplido por d. S = S =. L euión x = 100 tiene un úni soluión en que es 10. S = {10}. Sin emrgo, tiene dos soluiones en : 10 y 10, y que 10 = 100 y ( 10) = 100. S = { 10 ; 10}. Est euión introdue un prolem en los lásios despejes usdos l resolver euiones, que onviene nlizr. L resoluión x = 100 x = 100 x =10 es válid pr resolver l euión en, pero no en, y que se pierde un soluión. En estos sos se dee tener presente que hy dos números enteros que elevdos l udrdo dn 100 y estos números son 10 (l ríz udrd de 100) y 10 (el opuesto de l ríz udrd de 100). L euión x = 64 puede resolverse de l siguiente mner: x = 64 x = 8 o x = 8 Entones S = {8} y S = {8 ; 8} Cundo se intent resolver l euión x = 4, se oserv que ningún número entero elevdo l udrdo d negtivo. Luego est euión no tiene soluión en ni en. S = S =. L euión x 4 = 16 x = o x = porque 4 = 16 o ( ) 4 = 16. Entones S = {} y S = { ; }. Ls onsideriones nteriores son neesris en los psjes de potenis pres ríes; los que ontienen potenis impres no tienen myores difiultdes. x = 7 x =, ddo que el únio número entero que elevdo l uo d 7 es. S = S = {}. x = 64 x = 4 porque el únio número entero que elevdo l uo d 64 es 4. S =, S = { 4}. Se simoliz S l 4 onjunto soluión de un euión en el onjunto de los números nturles. De igul form S es el onjunto soluión en el onjunto de los números enteros. Los números perteneientes 0 que tienen ríz udrd en 0 se llmn udrdos perfetos. Por ejemplo: 6 es un udrdo perfeto porque _ 6 = 6. Si es un udrdo perfeto, entones: En 0 : x = x = En : x =, 0 x = o x = 1. Cuántos números enteros hy desde 154 hst 501?. Si = 79, propongn un número entero de form tl que entre y hy 5 números enteros. Expliquen ómo lo pensron.. Deidn si d un de ls siguientes firmiones es verdder o fls. Justifiquen l deisión.. L ntidd de números primos que hy entre 40 y 50 es l mism que hy entre 70 y 80.. Todos los números enteros que terminn en 1 y son myores que 10 y menores que 50 son primos. ACTIVIDADES 15

7 El onjunto de los números rionles Si se retom el prolem 1.. Si se onoe que 9 vees el udrdo de un número es 4, de qué número se trt? Es posile trduir este prolem on l euión 9x² = 4 Si x es un número entero, l elevrlo l udrdo seguirá siendo entero y l multiplirlo por 9, el resultdo será un múltiplo de 9, on lo uál nun d 4. Est euión no tiene soluión en. Pr dr respuest prolems omo éste se define otro onjunto de números. El onjunto de números rionles, que se simoliz, es el onjunto formdo por todos los números que pueden ser expresdos omo frión, es deir, omo oiente de dos números: entero y nturl. EL onjunto de los números rionles es: = {x/x =, on y }. Puede pensrse tmién que el denomindor es un número entero, sin emrgo = = S es el onjunto soluión en. Los números enteros son friones de denomindor 1, lo que demuestr que el onjunto de los números enteros está inluido en el de los rionles. Además, el onjunto de los nturles está inluido en el de los enteros. Simólimente: En un digrm de Venn, puede mostrrse est relión entre los onjuntos: = { x/x =, on y }. En este onjunto numério l euión 9x² = 4 tiene dos soluiones y. Luego S = { ; }. Así omo los números enteros son un extensión de los nturles (porque los ontienen), los rionles son un extensión de los enteros, y que todo número entero puede ser pensdo omo un frión on denomindor 1. El onjunto de los números rionles es tmién un onjunto infinito y no hy un número rionl que se el menor de todos ni tmpoo un número rionl que se el myor de todos; es deir, omo ourre on los enteros, no hy ni primer ni último elemento. Prolem 8 Si es un número rionl, es ierto que no existe ningún otro número rionl entre y + 1? Si es un número entero, + 1 es el entero siguiente y no existe otro número entero entre ellos. Pero, difereni de los enteros, en no tiene sentido hlr de siguiente ni de nterior. Por ejemplo, es un número rionl, pero + 1 = 5 no es su siguiente porque hy otros números rionles que están entre ellos, omo 6 7 que se otiene l sumr on 1. Como 1 es menor que 1 y myor que ero, entones 7 6 está entre y 5. Los números rionles no vn sltndo de 1 en l ret omo los enteros. 16 Cpítulo 1. Números Reles.

8 Uiión en l ret numéri Los números rionles tmién pueden uirse en l ret numéri, omo se muestr ontinuión. Prolem 9 Uir el número 1 en l siguiente ret numéri. 0 1 Pr resolver este prolem hy vris posiiliddes. Un es señlr l uiión de 1, omo opuesto de 1, pr luego dividir en tres l distni entre 0 y Otr form es dividir en tres prtes igules l distni entre 0 y 1, mrr 1 pr luego uir 1 omo opuesto de 1 : En l siguiente ret se pueden uir tmién otros números rionles, por ejemplo: _ _ 4 8 Se puede oservr que los números rionles están más pretdos en l ret que los enteros. Números deimles Los números rionles pueden tmién expresrse omo deimles, omo propone el siguiente prolem. Prolem 10 Qué números vn en ls sills lires en ls siguientes tls? Frión Deiml , 5 Frión Deiml ,...,6 1 Frión Deiml... 1,... 0, Relizr el psje de l expresión frionri deiml es senillo. Por ejemplo, l esritur deiml de 1 5 es 0,5 porque 1 dividido 4 d 0,5; l esritur deiml de 4 es,5, pues st on her l uent. Ls expresiones deimles de tods ls friones siempre tienen prte deiml finit o tienen prte deiml periódi. El período no tiene que empezr neesrimente en l primer ifr deiml. En el so en que el período no omienz en l primer ifr deiml se die que l expresión deiml es mixt. 17

9 Psje de deiml frión: 1. Pr números rionles uyo desrrollo deiml es finito omo por ejemplo x =,461, se multipli por l unidd seguid de eros hst que quede un número entero. En este so x = 461 x = Pr números rionles uyo desrrollo deiml es periódio no mixto, omo x = 5, ), se multipli por l unidd seguid de eros hst que quede un número deiml on el mismo período que el originl. En este ejemplo se multipli por 10 y se otiene 10 x = 5, ). Luego se restn ls euiones otenids, y qued un euión uyos oefiientes son todos enteros. 10 x x = 5, ) 5, ) 9 x = 48 x = 48 9 = 16. Pr números deimles periódios mixtos, omo por ejemplo x =,84 ), se multipli l euión dos vees por l unidd seguid de eros hst otener números rionles on igul desrrollo deiml periódio, no mixto. En este so se multipli por 100 y por 1000 y se otiene: 100 x = 8, 4 ) 1000 x = 84, 4 ) Se restn luego ms igulddes otenids y quedn expresds solo on números enteros x 100 x = 84, 4 ) 8, 4 ) 900 x = 146 x = = Cómo se psrá de un expresión deiml su equivlente frionri? Pr relizr este proeso pueden presentrse distintos sos, omo se muestr en l siguiente tl. prte deiml... finit periódi mixt igul ero Ahor es posile ompletr l tl Frión Números deimles on... x = 0, 100 x = x = 100 x = 0, º5 (1) Se multiplin mos miemros por x = 5,º5 () Se restn ls euiones () y (1) : 100 x x = 5,º5 0,º5 99. x = 5 x = 5 99 Deiml 0,5, 5 prte enter... distint de ero x = 1, 10 x = 1 x = 1 10 x =,º5 (1) Se multiplin mos miemros por x = 5,º5 () Se restn ls euiones () y (1) 10 x x = 5,º5,º5 9 x = x = 9 x =,6 1 ) (1) Se multiplin mos miemros por x = 61, 1 ) () Se multiplin mos miemros de (1) por x = 6, 1 ) () Se restn ls euiones () y () : 1000 x 100 x = 61, 1 ) 6, 1 ) 900 x = 05 x = = Frión Deiml,5 0,,6 1 Frión Deiml 1, 0, 5 0,1 18 Cpítulo 1. Números Reles.

10 Prolem 11 Cuántos números rionles hy entre 1 y? Unos untos de ellos pueden listrse fáilmente: 1, ; 1,8 ; 1,5 ; 1,761 ; et. Pero, pr poder deidir uántos hy, se propone el siguiente rzonmiento: Se lul el promedio entre el 1 y el, luego entre el 1 y el promedio nterior y sí siguiendo: Promedio entre... Resultdo 1 y 1,5 1 y 1,5 1,5 1 y 1,5 1,15 1 y 1,15 1, y 1,065 1, ,5 1,5 1,15 1,065 1,015 El promedio entre dos números distintos y es el número +. Este número es distinto de y de y está uido entre mos en l ret numéri. De est mner se hn enontrdo 5 números rionles entre 1 y. Pero el proeso de promedir l 1 on el promedio otenido en el pso nterior puede ontinurse indefinidmente. Puede pensrse que, en lgún momento, se llegrá l 1, sin emrgo, esto no es sí porque, en ulquier pso, el promedio se reliz entre el 1 y el promedio del pso nterior (que es myor que 1), oteniéndose un número que está entre mos, por lo que es d vez más próximo 1, pero myor que él. Como este proeso puede seguir indefinidmente, hy infinitos números rionles entre 1 y. De igul mner puede proederse on ulquier pr de números rionles distintos; por lo tnto el onjunto de los números rionles no es disreto sino denso. Cuántos números rionles hy entre 0, 9 ) y 1? Si se supone que 0, ) 9 es menor que 1, entones deerín existir infinitos números rionles entre ellos, omo entre ulquier pr de rionles distintos. Pero es imposile enontrr tn siquier uno que se myor que 0, ) 9 y menor que 1. Esto no ontrdie l propiedd de densidd de este onjunto ddo que si se esrie el número 0, 9 ) en su form frionri se otiene que x = 0, 9 ) (1) 10 x = 9, 9 ) () restndo () (1) 9 x = 9 x = 1. Luego 0, 9 ) = 1 y entones estos dos números son igules. El onjunto de los números rionles no es un onjunto disreto omo sino que es un onjunto denso ddo que entre dos números rionles distintos siempre es posile enontrr infinitos números rionles. 4 Otr form de ver que 0, 9 ) = 1 es: 0, 9 ) =. 0, ) = Como 0, ) = 1 0, 9 ) =. 1 = 1 Lo mismo suede on todos los deimles on período 9. Por ejemplo: 7, 9 ) = 8; 6,59 ) = 6,6. 4. Hllen utro números rionles entre 9, ) 7 y 9,8. Expresen dos de ellos omo frión y los otros dos omo deiml. 5. Ordenen de menor myor d un de ls dos lists siguientes de números rionles:. 8, 9 ) ; 8,9 ; 8,º98 ; 8,º89 ; 8, ) 8 ; 9 ; 8,98 ; 8,99.., 58 ;,5 ) 8 ;,5º8 ;,58 6. Los números, 5 y,5 5 son igules? Justifiquen sus respuests desde l expresión deiml y desde l expresión frionri de mos números. 7. Resuelvn ls siguientes euiones. Indiquen su onjunto soluión en :. x 4 = 5x (x + ) = 1 4x. (1 x) = d. x = 144 e. x = 11 f. x 64 = Sin resolverls, indiquen uáles de ls siguientes euiones tienen soluión en y en.. x 100 = x = 10. 4x = 18 d. x : = 4 e. x + 10 = f. 1x = 1 g. 4x = 16 h. x : ( ) = 4 9. Resuelvn ls siguientes euiones en. Esrin el onjunto soluión.. x 1 = (x + ) = 1. 5x + 1 = 8 d. x = ACTIVIDADES

11 El onjunto de los números irrionles Si se retom el prolem 1.d de l págin 10: Cuáles son ls medids de los tetos de un triángulo retángulo isóseles si se se que su áre es,5 m²? Como el triángulo es retángulo isóseles, sus dos tetos son igules. Como demás el áre es,5 m², qued expresd l euión: x x. x =,5 x² = 5 x Ls ríes udrds de números primos son siempre irrionles. El onjunto de los números irrionles es quel uyos elementos tienen desrrollo deiml infinito, no periódio. Diho onjunto se simoliz on l letr. Est euión no tiene soluión en el onjunto de los números rionles porque no existe ningún número rionl que elevdo l udrdo dé por resultdo 5. Apree entones un nuevo onjunto numério, el de los números irrionles. El desrrollo deiml de los números rionles, es finito o periódio. Quedn fuer de este tipo de números quellos uyo desrrollo deiml es infinito pero no periódio, omo por ejemplo: 5, π =, , Estos números son números irrionles. El ldo del triángulo nterior mide 5 y es un número irrionl. Otros números irrionles son ; 7 y 4 /. Uiión en l ret numéri Definiión de poteniión: on exponente nturl: Siendo y N 0 :..... si N > 1 N vees N = si N = 1 1 si N = 0 y 0 no está definid si N = 0 y = 0 Los números irrionles tmién tienen lugr en l ret. Prolem 1 Dónde estrá uido el número 5 en l ret numéri? Pr uir el número 5 es posile relizr lo que sigue: on exponente entero negtivo: y N : N = ( 1 ) N on exponente frionrio: Si [0 ; + ) y M es un frión: N M/N = ( N ) M = N _ M Se onstruye sore l ret numéri un triángulo retángulo uyos tetos tengn longitud y 1. Por el Teorem de Pitágors l hipotenus del triángulo mide 5. Con un ompás se he entro en el 0 y, on rdio igul l hipotenus, se trz un ro que interseque l ret. Ese vlor de interseión es l uiión de 5. 0 Cpítulo 1. Números Reles.

12 El onjunto de los números reles El onjunto formdo por todos los números rionles y todos los números irrionles se denomin onjunto de los números reles. En el siguiente digrm de Venn se pueden oservr ls reliones de inlusión entre los distintos onjuntos numérios. Este onjunto tiene l propiedd de llenr l ret numéri. Cd número rel es un punto en l ret numéri y d punto de l ret numéri es un número rel. Al onjunto de los números reles se lo simoliz. El onjunto de los números reles es tmién un onjunto denso, es deir, entre dos números reles distintos siempre hy infinitos números reles (tnto rionles omo irrionles). Por ejemplo, en el intervlo (0 ; ) hy infinitos números rionles y tmién hy infinitos números irrionles. Allí se uin los números de l form 1 n, siendo n ulquier nturl. Con l inorporión de los números irrionles pueden resolverse euiones que no tienen soluión en omo por ejemplo: x = 7 x = 7 o x = 7. Entones S = { 7 ; 7 } x = 9 5 x = _ 5 9 = 5 o x = 5. Entones S = { 5 ; 5 } No ostnte, hy euiones que no tienen soluión en. Si se retom el prolem 1. e. Enontrr, si existe, un número uyo udrdo se 1., U = El onjunto de los números reles es el que está formdo por todos los números rionles y todos los números irrionles. = U Si y dos números reles, on < : pr nomrr todos los números reles que están entre y se us l notión ( ; ), que se lee intervlo ierto (////////) pr nomrr todos los números desde hst inlusive, se us [ ; ], y se lee intervlo errdo [////////] pr nomrr todos los números reles myores que se us ( ; + ). (/////////// pr nomrr todos los números reles menores que se us ( ; ). ///////////) En este prolem qued plnted l euión x = 1. Sin emrgo undo se multipli un número rel por sí mismo el resultdo siempre es positivo. No existe entones ningún número rel que elevdo l udrdo dé 1. Luego S =. S es el onjunto soluión de un euión en el onjunto de los números reles. 10. De l siguiente list de números, indiquen uáles son irrionles: 1 1 ; 4π ; 4 ; 5 ;,14... ; 7 5 ; 6,1 ; 150 ; 8 / ; 1, ) 6 ; Cuántos números hy en el intervlo [ 5 ; 1] que sen:. nturles?. enteros?. rionles? d. irrionles? e. reles? En los sos en que hy un ntidd finit, muéstrenlos todos; si son infinitos, muestren utro de ellos. 1. Resuelvn ls siguientes euiones e indiquen su onjunto soluión en.. x = 8. x = 64. x 7 = d. x 4 = 81 8 ; 9,1) 4; ( 1 4 ) 1. Completen el udro olondo un ruz undo el número que enez l fil pertenee l onjunto numério que enez l olumn: 4,45 101, ACTIVIDADES

13 Módulo o vlor soluto de un número rel Un onepto importnte en el onjunto de los números reles es el de módulo o vlor soluto. El módulo o vlor soluto de un número rel x es l distni que hy en l ret numéri entre 0 y x. Se lo simoliz x. Por ejemplo: x = Si x : x si x 0 x si x < 0 5 = 5 = Otros ejemplos son: 5,4 = 5,4 ; 0 = 0 ; π = π. Por ser un distni, el módulo de ulquier número rel es siempre positivo o ero. Prolem 1 Enuentren, en d so, todos los números reles que verifiquen lo pedido.. Su módulo es 4.. Su módulo es menor que 5.. Su distni l ero es myor que dos. Si x y + U {0}: ΙxΙ= x = o x = Si x y + ΙxΙ< < x < x ( ; ) Como se ve en l figur, hy dos números uyo módulo es 4: 4 y 4. En términos de euiones, est situión puede ser representd de l siguiente mner: x = 4 uyo onjunto soluión es S = {4 ; 4}. Hy dos números uyo módulo es 5: 5 y 5. Todos los números que estén entre ellos dos tendrán un distni l 0 menor que 5. En términos de euiones est situión puede plnterse sí: x < 5 uy soluión es S = ( 5 ; 5) es deir, el intervlo ierto ( 5 ; 5). (////////////////////////) Si x y + : ΙxΙ > x > o x < x ( ; ) ( ; + ) Hy dos números uyo módulo es : y. Todos los números que son myores que están un distni l 0 myor que. Pero tmién los números menores que están un distni del 0 myor que.un vez más, en términos de euiones, l situión puede esriirse sí: x > y tiene,entones, soluión S = ( ; ) ( ; + ) ////////) (/////// 0 ACTIVIDADES 14. Resuelvn ls siguientes euiones e indiquen su onjunto soluión:. x = 10. x = 4. x = 0 d. x = 5,1 15. Resuelvn ls siguientes ineuiones, dndo su onjunto soluión:. x 6. x > 1. x 8 d. x <, Cpítulo 1. Números Reles.

14 Operiones on números reles Pr resolver situiones que involurn números irrionles que son ríes de números enteros, l úni mner de esriirlos en form ext es expresándolos omo rdiles, y que es imposile notr sus infinits ifrs deimles no periódis. Se trjrá hor, sore l opertori on este tipo de números. Prolem 14 En l figur se ven dos udrdos de áres 8 m y m respetivmente. Clulr el perímetro de l figur somred. d e f g Como el áre del udrdo grnde es 8 m², entones: = g = gf = f = 8 m Como el áre del udrdo hio es m², luego: = e = ed = d = m Pr lulr l longitud del segmento hy que enontrr el resultdo de 8. 8 = 4. Se esrie l 8 omo = 4. Luego = m. De l mism form df = m. El perímetro de l figur somred es: + g + gf + fd + de + e = ( )m = ( ) m = 8 m. Pr resolver otros álulos se puede proeder omo en este ejemplo. Prolem 15 Comprr, en d so, los siguientes números. Se pli l propiedd distriutiv de l rdiión respeto de l multipliión. 8 = Se resuelve l ríz ext. 8 = Se oper.. on. on +. ( ) ( + 4 ) on 6 6 L poteniión y l rdiión son distriutivs respeto de l multipliión y de l división. Simólimente: Si, y n, 0, se umple que: (. ) n = n. n ( : ) n = n : n Si 0, > 0 y n, n > 1, se umple que: n. = n. n n n = n

15 Pr poder omprr los números plntedos en. es onveniente trnsformr ls expresiones en otrs equivlentes. Pr logrrlo, es posile relizr lo siguiente: En un expresión lgeri o en un número que teng por divisor un rdil puede multiplirse dividendo y divisor por otro rdil onveniente, de modo de otener un expresión equivlente que teng por divisor un número rionl. Est trnsformión se llm rionlizión. ( + ) ( ) = ( + ) = + + ( ) = + =. = ( ) = Entones, Si se trt de omprr + + = + Se multiplin el numerdor y denomindor por. = Se oper, simplifindo l expresión otenid. = lo que indi que mos números son igules... ( ) ( + )( ) =. ( ) ( ) 4. ( ). ( = ) 4 on se puede reurrir l siguiente téni: = + Se oper. Se multiplin el numerdor y denomindor por. Se oper utilizndo l propiedd de difereni de udrdos. Entones, + =. Si se trt de omprr los números ( ) ( + 4 ) y 6 6 se puede pensr de l siguiente mner: Se desrrolln los udrdos de los inomios y qued: ( ) ( + 4 ) = [( ) + ( ) ] [( ) (4 ) ] Expresiones que tengn por divisor un sum ompuest por uno o dos rdiles (de índie ) pueden rionlizrse multiplindo el numerdor y denomindor por l rest de esos rdiles. ( ) ( + 4 ) = ( 6 + ) ( ) ( ) ( = 4 ) = = Como ( ) ( + 4 ) = , el resultdo es menor que 6 6, y que se le rest 61. Entones: ( ) ( + 4 ) < 6 6. ACTIVIDADES 16. Relien ls siguientes operiones e indiquen el resultdo en form simplifid:. 4 _ _ 0. ( 7 ) 1 (8 7 ) 17. Compren los siguientes pres de números:. 7 y y +. (4 ) y ( ). ( + ) d y Esrin un expresión equivlente d un de ls dds donde los rdiles estén en el numerdor Cpítulo 1. Números Reles.

16 Resoluión de euiones Prolem 16. Es ierto que x = es soluión de l euión x +. (1 x) = 5 4x?. Cuáles son tods ls soluiones de l euión nterior? Pr ser si un número es soluión de un euión puede reemplzrse l vrile por ese número y ver si l verifi, es deir, si se onvierte en un iguldd numéri verdder. ( ) +. (1 ) 5 4 Se reemplz x por d vez que pree. + [1 + ( ) ] 5 4 Se desrroll el udrdo del inomio y se oper. + (1 + ) = = Como se h llegdo un iguldd verdder (5 4 = 5 4 ), es soluión de l euión. Es x = l úni soluión de l euión? Se simplifi, se pli l propiedd distriutiv y se oper. Pr responder est pregunt no lnz on lo relizdo en., y que eso no permite ser si lgún otro número verifi l euión. Pr ser si es l úni soluión, dee resolverse l euión. x + (1 x) = 5 4x x +. (1 x + x ) = 5 4x x + 4x + x = 5 4x x 4x + 4x = 5 x = x = o x =. Entones, no es l úni soluión. El onjunto soluión es S = { ; } Hy propieddes de los números reles que son útiles pr enontrr soluiones diferentes tipos de euiones. Sore el nálisis de ess propieddes y ómo resolver ess euiones trtn los siguientes prolems. Prolem 17 Qué vlores de x verifin ls siguientes euiones?. (x 1). (x + 5) = 0. x.( x 1). (x + ) = 0. x x = 0 d. x 4 = 0 x + e. 4x x 1 = 1 x es equivlente ( x ), es deir que primero se elev l udrdo l número y luego se otiene su opuesto, por lo que el resultdo será siempre negtivo o ero. Si y :. = 0 = 0 o = 0 En mtemáti deir = 0 o = 0 equivle deir que vle 0, vle 0 o mos vlen 0. Como en l euión (x 1). (x + 5) = 0 se trt de un produto entre dos expresiones (x 1) y (x + 5), diho produto es 0 undo lgun de ells se 0. Es deir undo x 1 vlg 0 o undo x + 5 vlg 0. Entones: (x 1). (x + 5) = 0 x 1 = 0 o x + 5 = 0 x = 1 o x = 5 Luego, S = {1 ; 5}. 5

17 Definiión de división: Ddos dos números reles y, distinto de 0, : = =. 0 : 5 = 0, porque 0 = 5. 0; Por qué l definiión pide que el divisor no se 0? 7 : 0 no se puede resolver porque si existe un tl que 7 : 0 = 7 =. 0, luego 7 = 0 y esto es imposile. 0 : 0 tmpoo se puede resolver porque l operión no tendrí soluión úni. Pr enontrr l soluión de l euión x. ( x 1). (x + ) = 0 se puede pensr de mner similr l so nterior: x. ( x 1). (x + ) = 0 x + = 0 x = x 1 = 0 x = 1 o x = 1 x = 0 Con lo ul, S = {0 ; 1 ; 1 ; }. El modo de trjo utilizdo en l resoluión de ls euiones nteriores es fértil pr resolver un euión omo: x x = 0 L expresión x x puede trnsformrse en otr equivlente extryendo ftor omún x. Así, quedrá expresd omo un produto igul 0. S = {0 ; } x x = 0 x. (x ) = 0 x = 0 o x = 0 x = 0 o x =. Pero hy que ser un poo más uiddoso si se trt de usr ls soluiones de un euión omo l siguiente: x 4 x + = 0 x 4 x + = 0 x 4 = 0 x = 4 x = o x =. Si y on 0: = 0 = 0. Pero l soluión x = nul l divisor, pues + es 0; por lo tnto, x = no puede formr prte de l soluión. Luego, S = {}. L euión x 4x 1 = 1 puede ser trtd de l siguiente mner: 4x x 1 = 1 4x = 1. (x 1) 4x = x 1 x = 1 + x = 1 Definiión de rdiión: Ddos y n un número nturl impr myor que uno: n = n = Ddos + U {0}, + U {0} y n un número nturl pr: n = n = Pero x = 1 es el vlor que nul el denomindor, pues. 1 1 es 0. Entones x = 1 no puede ser soluión. Como es l úni que surgió de l resoluión, entones S = ø. Esto suedió porque =. y = son expresiones equivlentes exepto undo vle 0. Por ejemplo: 0 = 1. 0 es un iguldd, pero no existe 0:0. Prolem 18 Es lo mismo elevr un número l udrdo y luego extrer su ríz que extrer su ríz y luego elevrlo l udrdo? Elevr un número l udrdo y luego extrer su ríz se represent x. Si se prue pr lgunos vlores, por ejemplo: x = = 9 = o x = 4 ( 4) = _ 16 = 4 En el primer so, se otiene el mismo número. Esto ourre pr todos los vlores de x myores o igules que 0. Es deir: si x 0, x = x (puede simplifirse udrdo y ríz). En el segundo so, se otiene el número opuesto. Esto ourre on todos los vlores de x que son negtivos; es deir, si x < 0, x = x (no puede simplifirse udrdo y ríz). Sintetizndo lo nterior, elevr l udrdo un número y luego extrerle ríz udrd equivle lulr el módulo de diho número. 6 Cpítulo 1. Números Reles.

18 En mio, extrer l ríz de un número y luego elevr l udrdo se esrie: ( x ) Si se prue on lgunos vlores se otiene: x = 9 ( 9 ) = = 9 o x = 4 entones, ( _ 4) que no se puede resolver porque no está definid l ríz udrd de un número negtivo. Este álulo ontiene ls misms operiones que el nterior pero en distinto orden; es sustnilmente distinto: solo está definido pr vlores positivos o ero. Es posile onluir entones que x no es lo mismo que ( x ). El nálisis nterior permite pensr en l úsqued de soluiones de distints euiones. Si x : x si x 0 x = x si x < 0 Diho de otr mner: x = x Si x + U {0} : ( x ) = x Prolem 19 Busr ls soluiones de ls siguientes euiones:. x = 81. (x + ) = 81. x 5 = d. x + 5 = x + 1 Un form de resolver l primer euión es pensr en uáles son los números que elevdos l udrdo dn 81. De llí se otiene que, Otr form de resolverl es: x = 81 x = 9 o x = 9 x = 81 x = _ 81 Se extre ríz udrd en mos miemros. x = 9 x = 9 o x = 9 Se us l propiedd nterior. Se us l definiión de módulo. Pr resolver (x + ) = 81 se puede proeder de mner similr: (x + ) = 81 (x + ) = _ 81 x + = 9 x + = 9 o x + = 9 x = 6 o x = 1 Pr resolver x 5 = el primer pso puede onsistir en trtr de desherse de l ríz udrd pr lo ul se elevn mos miemros l udrdo. Hy que tener en uent que pr que l ríz udrd esté definid dee umplirse que x 5 0: x 5 = x 5 = 4 x = x = 9 Y pr resolver l euión x + 5 = x + 1 se puede pensr en el siguiente reorrido: x + 5 = (x + 1) x + 5 = x + x + 1 x + x x = 0 x 4 = 0 x = o x = Si,, 0 y 0: = =. Sin emrgo, x = verifi l euión iniil, pero x = no pues: si x =. + 5 = + 1 =, si x =.( ) + 5 = = 1 Esto se dee que l expresión = no es equivlente l expresión =. Con un vlor negtivo de, puede ser iert un de ls igulddes y no l otr. Por ejemplo: 9 = ( ) pero 9. Por lo tnto, este método de resoluión puede usrse, pero teniendo en uent que pueden preer resultdos que no son soluiones y que deen ser desrtdos. Pr evitr ese inonveniente puede plnterse iniilmente l ondiión que dee umplir x + 1. En este so, x x 1. Así, solo qued por ver que los resultdos de l euión umpln l ondiión; x = l umple (por eso es soluión) y x = no (por eso no lo es). 7

19 Ineuiones Ineuiones lineles Prolem 0 Enontrr todos los números que son soluión de ls siguientes ineuiones:. x + > 5. x 1. 7 < 4x Sen, y x números reles: x + < x < x + > x >. x <, >0 x <. x <, <0 x > Pr enontrr l soluión de l primer ineuión se puede proeder de l siguiente mner: x + > 5 x > 5 x > x > : x > 1 L ineuión tiene infinits soluiones, todos los vlores de x que verifin x > 1. Pr indir el onjunto soluión se puede esriir el intervlo orrespondiente S = (1 ; + ) o representrlos en l ret numéri: 0 (/////////////////////// 1 Al resolver l segund ineuión se otiene: x 1 x + 1 x x : ( ) x 9 El mio del signo de l desiguldd ourre porque es un número negtivo. El onjunto soluión es: S = [ 9 ; + ) y su representión en l ret numéri: [//////////////////////// 9 0 L terer ineuión es un ejemplo de un ineuión dole. 7 < 4x < 4x + 1 y 4x + 1 9, quedn por resolver dos ineuiones: < x < < x y x < 7 < 4x + 1 y 4x < 4x y 4x < 4x y 4x 8 8 : ( 4) > x y x 8 : ( 4) > x y x x < y x Ls dos ondiiones deen umplirse en simultáneo porque están onetds por y, por lo que dee relizrse l interseión entre ells: \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\) [////////////////////// 0 El onjunto soluión es: S = [ ; ) 8 Cpítulo 1. Números Reles.

20 Ineuiones udrátis Prolem 1. Cuáles son los números reles que verifin l ineuión: x 4?. Cuáles son los números reles que verifin l ineuión: x >? Existen distints forms de resolver l primer ineuión. Un form, es pensr en qué números elevdos l udrdo dn menores o igules que 4. Estos números deen ser menores que, pero tmién myores que. Entones S = [ ; ]. Otr form de herlo es: x 4 x 4 x x. Luego, S = [ ; ] Los números que elevdos l udrdo dn myores que verifin: x > x > x > x > o x < L soluión es S = ( ; ) ( ; + ). Prolem Pr qué vlores de x se verifi (x + ).(x 5) > 0? Como un produto de dos números es positivo undo mos números tienen el mismo signo: (x + ).(x 5) > 0 Luego: S = ( ; ) (5 ; + ). Prolem x + > 0 y x 5 > 0 o x + < 0 y x 5 < 0 x > y x > 5 o x < y x < 5 (\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ (//////////// 5 \\\) /////////////////) 5 S 1 = (5 ; + ) S = ( ; ) Cuáles son los números que verifin l ineuión: x x + 4 < 0? Como un oiente es negtivo undo el dividendo es positivo y el divisor es negtivo o vievers: x x + 4 < 0 x + > 0 y x 4 < 0 o x + < 0 y x 4 > 0 x > y x < 4 o x < y x > 4 \\\\\\\\\\\\\\\\\\) (//////////////////// 4 o //////) (\\\\\\\\ 4 S 1 = ( ; 4) o S = ø L regl de los signos de l multipliión y de l división puede ser esrit simólimente de l siguiente mner: y :. > 0 (>0 y >0) o (<0 y <0). < 0 (>0 y <0) o (<0 y >0) Si demás 0: > 0 (>0 y >0) o (<0 y <0) < 0 (>0 y <0) o (<0 y >0) Es deir, el produto y el oiente de dos números reles son positivos undo mos números tienen el mismo signo y son negtivos undo mos números tienen distinto signo. Luego: S = ( ; 4) 9

21 ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 19. Deidn uál de los siguientes números es myor: = o = ( 4 4 ) ( 4 4 ). 0. Esrin un fórmul que permit otener todos los múltiplos de 8. Muestren, usándol, que el número 808 es uno de ellos. 1. Cuál es el resto de dividir 4 n + 17 por 4? Y por 6?. Resuelvn ls siguientes ineuiones e indiquen su onjunto soluión:. x 10. x >. x,1 d. x < e. x < 0 f. x 0 g. x 5 h. x < i. x < 6,1. L esuel pitgóri estuvo ompuest por un grupo de mtemátios griegos liderdos por Pitágors (siglo V.C.). Se triuye ellos l lsifiión de los números nturles (myores que 1) en perfetos, undntes y defiientes. A d número se le lul l sum de sus divisores positivos (sin ontrlo él). El número es perfeto undo l sum de esos divisores oinide on él, es defiiente undo es menor que él y es undnte undo es myor que él.. Clsifiquen los siguientes números nturles: 4, 6 y 6.. Hllen los dos primeros números nturles que sen perfetos. 4. Los pitgórios tmién estudiron quellos pres de números nturles en los que l sum de los divisores positivos de uno (sin ontrlo él mismo) oinide on el otro y vievers. Llmron migos estos pres de números.. 1 y 15 no son números migos. Verifíquenlo.. 0 y 84 son números migos. Prueen est firmión.. Thit In-Qurr (siglo IX) fue un mtemátio áre, que se oupó de relizr trduiones del griego y del sirio. Al trduir un de ls ors de los pitgórios, relizó un porte vlioso: hlló un form de generr pres de números migos, que es l siguiente. Si p, q y r son números primos positivos tles que p =. n 1, q =. n 1 1 y r = 9. n 1 1 (on n ε y n > 1), entones los números x = n. p. q e y = n. r son pres de números migos. Muestren que el pr de números migos indidos en. son el menor posile y enuentren el próximo pr de migos.. Hllen utro terns pitgóris. Verifiquen que umplen el Teorem de Pitágors.. Enuentren hor dos terns pitgóris que ontengn lgún número irrionl. Verifiquen que umplen el Teorem de Pitágors. 6. Se supone, sin ertez, que los griegos fueron quienes tuvieron los primeros ermientos on los números irrionles. Ellos hlron de segmentos inonmensurles (hoy se dirí segmentos de longitud irrionl). En un diálogo entre Teeteto, migo de Pltón, y Sórtes (en l primer mitd del siglo IV.C.) disutín sore los números inonmensurles: oservron que distintos pres de números ern inonmensurles y que l rzón de sus udrdos podí o no serlo (lrión: l rzón entre dos números es el oiente entre ellos) y son irrionles. Cómo es l rzón de sus udrdos?. y 5 tmién son irrionles. Cómo es l rzón de sus udrdos? 7. Esrin un fórmul que genere todos los números enteros que tienen resto l dividirlos por 4. Justifiquen, usndo l fórmul, que 75 tiene resto l dividirlo por 4 y que 5, no. 8. Propongn tres pres de números y que umpln que entre mos hy 6 números enteros y y sen... I. positivos. II. negtivos. III. uno positivo y otro negtivo. 9. Hllen dos números rionles y dos irrionles que estén entre:. y 0,7 8. y En un luldor se dividieron dos números enteros. En l pntll preió esrito: 6, El oiente entre los dos números elegidos, es rionl o irrionl? Justifiquen. 1. Ls siguientes firmiones son flss. Justifíquenls.. Culquier se, el número es negtivo.. Culquier se, el número ( ) es negtivo.. Si = 6, el número ( 1 ) es irrionl.. Hllen el vlor de l expresión x + x 1 undo x = Los pitgórios propusieron un form de otener terns de vlores enteros que umpln el que hoy se onoe omo Teorem de Pitágors. Sin emrgo, est versión pree un modifiión de lo que y onoín los ilonios, por lo que es posile que no se un porte totlmente originl de los griegos. Ls terns propuests tienen l form p, p 1 y p + 1, siendo p un nturl impr myor que 1.. Indiquen el onjunto soluión de ls siguientes euiones e ineuiones:. + 4 x + = 1. ( x + 1). (x 5). x = 0. x + 4 > 5 d. x 9 e. x + 5x = x f. 4 + (x + ) = 1 g. 1 4 x h. (x + 5) > x + i. x x 1 4 j. x Cpítulo 1. Números Reles.

22 AUTOEVALUACIÓN Elijn, en d so, ls lterntivs orrets: Culquier se el vlor rel de x. 1. A. x = 4 es un soluión de l euión x 4 x 16 = 0 x 16 x + 4 = 0 1 x = 4 B. Un euión uy soluión es S = ø es... 1 x = 5 1 x = 0 1 x 4 = 0 1 x = C. = 0 es equivlente... = 0 y = 0 = 0 y 0 0 y = 0 d 0 y 0 D. Un euión que tiene soluión en es... x = 1 4 Ningun de ls nteriores. x = 8 x = 5 d x 4 = 1. Ls firmiones verdders son: d e f Culquier se el número rel x, se umple que x = ( x ). Existen números reles pr los ules l expresión x no está definid. Culquier número irrionl elevdo l udrdo d por resultdo un número rionl. Hy euiones que no tienen soluión en el mpo de los números reles. Existen números rionles que son enteros. d d El siguiente de, es,4. d Solo undo x es myor o igul que 0. Solo undo x es menor que 0. Solo undo x es entero. 5. L expresión x está definid: d Culquier se el vlor rel de x. Solo undo x es myor o igul que 0. Solo undo x es menor que 0. Solo undo x es entero. 6. Culquier número irrionl elevdo l udrdo d por resultdo un número: Entero. Irrionl. 7. Entre 4,51 y 4,5... d No hy números rionles. No hy números irrionles. Hy infinitos números irrionles. Hy números enteros. Rionl. Rel. 8. El onjunto soluión de l euión 6 x 6 x = 0 es {6} { 6} {6 ; 6} d ø 9. El onjunto soluión de l ineuión ( ; 0) (1 ; + ) x x 1 < 0 es: (1 ; + ) (0 ; + ) d (0 ; 1) d. El únio número que umple simultánemente ls siguientes ondiiones: es primo, pertenee l intervlo ( 80 ; 70), l sum de ls ifrs de su módulo es un udrdo perfeto, es: Un soluión de l euión 4x + (x ) = 11 es: d 7 71 d Un soluión omún ls ineuiones x y x + 8 < 16 es: 4. x = ( x ) 7 4 d 1