VECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector

Transcripción

1 VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema cartesiano y cuyo punto final es el punto de coordenadas (a, b). Los números a y b se llaman componentes del vector. Los puntos se representan con letras mayúsculas A, B, C. Los vectores se representan de la forma A, B, C o de la forma v, w

2 VECTORES. Un vector (Vector posición) en el espacio es una terna ordenada de números reales A(a, b, c), Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema cartesiano y cuyo punto final es el punto de coordenadas (a, b, c). Los números a, b y c se llaman componentes o coordenadas del vector

3 Ubicación de puntos en el espacio Ubicar los puntos (2, -5, 3), (-2, 5, 4), (3, 3, -2)

4 VECTORES El vector AB que va desde el punto A = x 1, y 1, z 1, vector posiciòn OA, hasta el punto B = x 2, y 2, z 2, vector posicion OB, se define de la forma: AB =OB OA = x 2, y 2, z 2 x 1, y 1, z 1 = x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 = B - A Este vector puede representarse saliendo del origen hasta el punto de coordenadas x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 o puede representarse saliendo desde el punto A hasta el punto B, (traslación), como indica la figura.

5 CARACTERISTICAS DE LOS VECTORES La Longitud, norma o magnitud de un vector se halla usando el teorema de Pitágoras en el plano o el espacio. A =(a, b) entonces A = a 2 + b 2 B = (a, b, c) entonces B = a 2 + b 2 + c 2 La distancia entre dos puntos A(x 1, y 1, z 1 ) y B(x 2, y 2, z 2 ) o la magnitud del vector AB Que va desde el punto A hasta el punto B Viene dado por

6 Dirección de un vector La dirección de un vector viene dado por los ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes. La dirección de un Vector en el plano A(a, b) viene dada por el ángulo que el vector forma con el eje x, y que se puede hallar con θ x = tan 1 ( b a ) Como A = a 2 + b 2 entonces otra forma de hallar el ángulo es con Cos θ= a a 2 +b 2 o sen θ= b a 2 +b 2

7 Vector Unitario Si A es diferente de cero, entonces el vector unitario de magnitud 1 y que tiene la misma dirección del vector A se define de la forma: U A = A A Si A = (a, b) entonces U A = a, a 2 +b 2 b a 2 +b 2 = cosθ, senθ Donde θ es el ángulo que el vector forma con ele eje x (dirección del vector). Un vector A se puede expresar como el producto de su magnitud A por un vector unitario que tenga la dirección del vector A es decir A = A U A Todo vector del plano o del espacio se puede escribir usando vectores unitarios i, j, k que representan a los ejes cartesianos: Eje x: En el plano i = (1,0) En el espacio i = (1, 0, 0) Eje y: En el plano j = (0,1) En el espacio j = (0, 1, 0) Eje z: En el espacio k = (0, 0, 1)

8 Vectores unitarios i, j, k Un vector en el plano se puede escribir como A = (a, b) o A = a i + b j Un vector en el espacio se puede escribir como A = (a, b, c) o A = ai + bj + ck A = A U A = A (cosθ, senθ) = A (cosθi + senθj) v,uni.en la direccion de A

9 Igualdad de vectores Dos vectores son iguales si y sólo si son del mismo orden o tamaño y sus componentes correspondientes son iguales, es decir: x 1, y 1, = x 2, y 2 x 1 = x 2, y 1 = y 2 x 1, y 1, z 1 = x 2, y 2, z 2 x 1 = x 2, y 1 = y 2, z 1 = z 2

10 Multiplicación escalar - vector Para multiplicar un escalar k R por un vector, A(a, b) o B(a, b,c), cada componente del vector se multiplica por el escalar. ka = k(a, b) = (ka, kb) kb = k(a, b, c) = (ka, kb, kc) Si k = 2 y A = (-2,, 3) Si k = 3 y B = (2, 3, -5) ka = 2(-2, 3) = (-4, 6) kb = 3(2, 3, -5) = (6, 9, -15)

11 Multiplicación escalar - vector Geométricamente, el múltiplo escalar de un vector v y un escalar c es el vector que tiene c veces la longitud de v: Si c es positivo, cv tiene la misma dirección que v. Si c es negativo, cv tiene dirección (sentido) opuesta. Dos vectores son paralelos si son múltiplos escalares entre si, es decir, si uno se obtiene al multiplicar el otro por un escalar: A es paralelo B si se cumple que existe un numero real k tal que A = k B

12 -Deben ser mismo orden o tamaño Suma de vectores -La suma se realiza componente a componente

13 Suma de vectores Método grafico del polígono para Sumar varios vectores (Cabeza con Cola) Sea A = (-2, 3, -1), B = 3, 0, 4, C = (4, 2, 3) entonces A + 2B - C = (-2, 3, -1)+ 2 3, 0, 4 (4, 2, 3) = ( , , ) = (0, 1, 4)

14 Resta de vectores A B = A + (-B) Para realizar la resta gráficamente, seguido del vector A se dibuja el vector B, el cual tiene sentido contrario al vector B, y el vector resultante es el vector que va desde el inicio del vector A hasta la flecha del vector B. Escriba aquí laecuación.

15 Producto punto o escalar de vectores El producto punto o escalar de vectores es una operación entre vectores que genera un escalar (numero real). Sea A = (a 1, a 2, a 3 ) y B = (b 1, b 2, b 3 ) dos vectores. Se define el producto punto entre A y B, el cual se representa por A B, de la siguiente forma A B = (a 1, a 2, a 3 ) (b 1, b 2, b 3 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Sea A = (a 1, a 2 ) y B = (b 1, b 2 ) dos vectores. Se define el producto punto entre A y B de la siguiente forma A B = (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 El producto punto entre un vector y el mismo nos da como resultado la magnitud del vector al cuadrado: A A = A 2 Sea A = (a 1, a 2, a 3 ). A A = (a 1, a 2, a 3 ) (a 1, a 2, a 3 ) = a 1 a 1 + a 2 a 2 + a 3 a 3 = a a a 3 2

16 Angulo entre vectores A partir de la ley de los cosenos se deduce una nueva formula para el producto punto de vectores: Si A y B son dos vectores entonces podemos definir el producto punto entre A y B de forma A B = A B cosθ Donde θ es el ángulo que forman ambos vectores A B Despejando cosθ obtenemos cos θ = A B La cual nos da el ángulo que forman los vectores A y B

17 Vectores Perpendiculares Dos vectores son perpendiculares u ortogonales si forman un ángulo de Pero como el cos 90 0 = 0 y cos θ = A B A B entonces se concluye que: Dos vectores son perpendiculares si su producto punto da cero, es decir, si se cumple que A B = 0

18 Rectas en el espacio Sea una recta L en el espacio que pasa por el punto P(x 1, y 1, z 1 ) y que es paralela al vector V = (a, b, c), el cual llamaremos el vector director de la recta, enonces la ecuación vectorial de la recta L viene dada por: (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t (a, b, c) o r(t) = (x 1, y 1, z 1 ) + t (a, b, c) donde t es una variable real

19 Rectas en el espacio Si una recta L pasa por los puntos P(a 1, b 1, c 1 ) y Q(a 2, b 2, c 2 ) entonces: El vector director de la recta viene dada por el vector PQ = ( a 2 a 1, b 2 b 1, c 2 c 1 ) Tomando cualquiera de los dos puntos dados, la ecuación vectorial de la recta L viene dada por: (x, y, z) = (a 1, b 1, c 1 ) + t ( a 2 a 1, b 2 b 1, c 2 c 1 ) r(t) = (a 1, b 1, c 1 ) + t( a 2 a 1, b 2 b 1, c 2 c 1 ) Vector director de la reecta El vector PQ es paralelo al Vector v, por lo tanto PQ = t v o El Angulo que forman dos rectas viene dado el ángulo que forman sus vectores directores.

20 Rectas en el Plano Sea L una recta en el plan o que pasa por los puntos P(a 1, b 1 ) y Q(a 2, b 2 ) entonces: El vector director de la recta (es equivalente a la pendiente de la recta) viene dada por el vector PQ = ( a 2 a 1, b 2 b 1 ) Tomando cualquiera de los dos puntos dados, la ecuación vectorial de la recta L viene dada por: (x, y) = (a 1, b 1 ) + t ( a 2 a 1, b 2 b 1 ) o r(t) = (a 1, b 1 ) + t ( a 2 a 1, b 2 b 1 ). Teniendo en cuenta que la pendiente entre dos puntos del plano P(a 1, b 1 ) y Q(a 2, b 2 ) viene dada por m = y = b 2 b 1 y que el vector director de la recta x a 2 a 1 viene dado por PQ = ( a 2 a 1, b 2 b 1 ), entonces m = b 2 b 1 a 2 a 1 PQ = ( a 2 a 1, b 2 b 1 )

21 AREA DE UN PARALELOGRAMO Si dos vectores u y v determinan un paralelogramo, como se muestra en la figura, donde θ es el ángulo entre estos vectores, entonces, el área del paralelogramo viene dada por Área = u v senθ El área del triangulo que determinan los mismos vectores viene dada por Área = 1 2 u v senθ

22 Proyecciones

23 Producto cruz de vectores

24 Producto cruz de vectores

25 Planos

26 Distancia de un punto a un plano

27 Distancia de una recta a un plano

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