Por ejemplo, lanzar al aire un dado o una moneda son experimentos aleatorios. Los experimentos aleatorios pueden ser simples o compuestos.

Transcripción

1 .- CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD Experimento aleatorio: Es aquel cuyo resultado depende del azar y, aunque conocemos todos los posibles resultados, no se puede predecir de antemano el resultado que se va a obtener. Por ejemplo, lanzar al aire un dado o una moneda son experimentos aleatorios. Los experimentos aleatorios pueden ser simples o compuestos. Son simples aquellos que constan de una sola etapa. Por ejemplo tirar una moneda Son compuestos si constan de varias etapas. Por ejemplo, tirar un dado 5 veces o tirar una moneda y luego sacar una bola de una bolsa. Los experimentos que no son aleatorios se llaman deterministas. Por ejemplo, son experimentos deterministas calentar agua a 00 ºC o soltar un lápiz, pues al calentar el agua sabemos de antemano que hervirá y al soltar el lápiz se caerá. Espacio muestral de un experimento aleatorio : Es el conjunto formado por todos los resultados que podemos obtener al hacer el experimento. El espacio muestral se representa con la letra E. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E {,, 3,, 5, 6 }, pues,,3,,5,6 son todos los posibles resultados que podemos obtener. Suceso aleatorio: Es el conjunto de todos, algunos o ningún resultado de un experimento aleatorio. Por tanto, un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Los sucesos se representan con letras mayúsculas. Por ejemplo, al lanzar un dado, A salir un número par {,, 6 } es un suceso. Suceso seguro: Es aquel que siempre ocurre al realizar el experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda el suceso A salir cara o cruz { C, X } siempre ocurre, pues al lanzar la moneda siempre saldrá cara o cruz. A es un suceso seguro. Observa que A coincide con el espacio muestral, E. Suceso imposible: Es aquel que nunca ocurre. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado el suceso A salir un numero mayor que 6 nunca ocurre. A es un suceso imposible. El suceso imposible es el conjunto "que no tiene ningún elemento". Este conjunto se llama conjunto vacío y se representa con el símbolo Suceso contrario o complementario : Dado un suceso A, el suceso contrario o complementario de A, que se c representa por A o también por A ) es aquel que ocurre cuando no ocurre A. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A salir numero par {,,6}, entonces el suceso contrario es c A no salir numero par salir numero impar {,3,5} Unión de sucesos : El suceso unión de A y B es el que se cumple cuando se cumple A ó se cumple B La unión de los sucesos A y B se representa por A U B Los elementos de A U B se obtienen tomando los elementos de A junto con los de B. Intersección de sucesos : El suceso intersección de A y B es el que se cumple cuando se cumple A y B a la vez La intersección de los sucesos A y B se representa por A B. Los elementos de A B se obtienen tomando los elementos comunes o repetidos de A y B. Por ejemplo, al lanzar un dado, si A salir par, B salir primo, entonces A U B salir par o primo {, 3,, 5, 6 } A B salir par y primo { } --

2 Sucesos incompatibles: Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo. En caso contrario, los sucesos son compatibles. Ejemplos: - Si sacamos una carta de la baraja, los sucesos A salir un basto, B salir una espada son incompatibles, pues no puede salir a la vez un basto y una espada - En el lanzamiento de un dado, los sucesos A salir un número par, B salir un número primo, son compatibles pues si sale, ocurren los dos a la vez: es un número par y también es un número primo. Probabilidad de un suceso: Para calcular la probabilidad de un suceso A se utiliza una fórmula que se llama regla de Laplace p(a) Número de casos favorables a que ocurra A Número de casos posibles Las propiedades más importantes de la probabilidad son: ) p(e), siendo E el suceso seguro ) p( ) 0, siendo el suceso imposible 3) p(a) p( A ) y p( A ) p(a) ) p(a U B) p(a) + p(b) p(a B) 5) Si A y B son sucesos incompatibles, entonces p(a U B) p(a) + p(b) Probabilidad condicionada: Dados dos sucesos, A y B, con p(b) 0, se llama probabilidad de A condicionada a B a la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B. La probabilidad de A condicionada a B se representa por p(a / B) y se puede calcular usando la fórmula: p(a / B) p(a B) p(b) Observa que despejando P(A B) de la fórmula anterior se obtiene: P(A B) P(B). P(A/B) Sucesos independientes: Dos sucesos A y B son independientes si p(a/b) p(a) y p(b/a) p(b) Se deduce que si A y B son independientes entonces p(a B) p(a) p(b) ACTIVIDADES En el experimento aleatorio de lanzar una moneda tres veces se consideran los siguientes sucesos: A: sacar al menos una cara y una cruz. B: sacar a lo sumo una cara. a) Determina el espacio muestral asociado a ese experimento y los sucesos A y B. b) Son incompatibles los sucesos A y B? c) Determina los sucesos contrarios de A y B c d) Determina A U B e) Calcula las probabilidades de A, B, A U B, A B, A y A/B y todos los resultados 9 impares son equiprobables. Si se tira el dado, cuál es la probabilidad de que salga un número menor que? Se tiene un dado trucado de forma que la probabilidad de cada resultado par es 3 A la Junta General de Accionistas de una empresa asisten 05 accionistas de los cuales 5 tienen menos de 0 años y 8 más de 60 años. Sometida a votación una propuesta, es rechazada por la tercera parte de los menores de 0 años, por la tercera parte de los que están entre 0 y 60 años y por personas mayores de 60 años; los demás la aceptan. a) Calcula la probabilidad de que, elegida una persona al azar, tenga menos de 0 años y haya aceptado la propuesta. b) La prensa afirmó que la propuesta había sido aceptada por el 80% de los asistentes, es correcta la afirmación? c) Si una persona ha rechazado la propuesta, cuál es la probabilidad de que tenga más de 60 años? (Selectividad Andalucía Junio 03) --

3 En un congreso de 00 jóvenes profesionales se pasa una encuesta para conocer los hábitos en cuanto a contratar los viajes por internet. Se observa que 0 son hombres y que, de estos, 8 contratan los viajes por internet, mientras que de las mujeres no emplean esa vía. Elegido un congresista al azar, calcula la probabilidad de que: a) No contrate sus viajes por internet. b) Use internet para contratar los viajes, si la persona elegida es una mujer. c) Sea hombre, sabiendo que contrata sus viajes por internet. (Selectividad Andalucía 0) 5 Una compañía de seguros ha hecho un seguimiento durante un año a coches de la marca A, a 0000 de la marca B y a de la C, que tenía asegurados, obteniendo que, de ellos, habían tenido accidente 650 coches de la marca A, 00 de la B y 50 de la C. A la vista de estos datos: a) Cuál de las tres marcas de coches tiene menos proporción de accidentes? b) Si, elegido al azar uno de los coches observados, ha tenido un accidente, cuál es la probabilidad de que sea de la marca C? (Selectividad Andalucía 0) 6 En IES de 00 alumnos, el 5% son chicos. También se sabe que hay 08 chicos que aprueban el curso y 77 chicas que suspenden. Se elige una persona al azar. a) Calcula la probabilidad de que la persona elegida apruebe el curso b) Halla la probabilidad de que suspenda, sabiendo que se ha elegido un chico c) Calcula la probabilidad de que sea chica, sabiendo que se ha elegido una persona que suspende d) Son independientes los sucesos A aprobar el curso, B ser chica? 7 Sean dos sucesos, A y B, tales que p(a) 0,5 p(b) 0, y p(a/b) 0,5 a) Halla la probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos. b) Son independientes los sucesos A y B? Razona la respuesta. (Selectividad Andalucía 0) 8 Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: p(a) 0,, p(b) 0,5 y p(a B) 0, a) Calcula las siguientes probabilidades: p(a U B), p(a/b), p(b/a) b) Razona si A y B son sucesos incompatibles. c) Razona si A y B son independientes. (Selectividad Andalucía 0) 9 Una urna A contiene tres bolas azules y cuatro rojas y otra urna B contiene dos bolas azules, dos rojas y dos negras. Se extrae, al azar, una bola de una de las urnas. a) Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja. b) Si la bola extraída resulta ser azul, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? (Selectividad Andalucía Septiembre 007) 0 En una urna A hay 0 bolas verdes y 0 rojas, y en otra urna B hay 5 verdes y 5 rojas. Se lanza un dado, de forma que si sale múltiplo de 3 se extrae una bola de la urna A y en el resto de casos se extrae una bola de la urna B. a) Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja. b) Si la bola extraída resulta ser de color verde, cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B? (Selectividad Andalucía Septiembre 03) Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urna A, que contiene 6 bolas blancas y negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Calcula: a) La probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B. c) La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blanca. (Selectividad Andalucía 0) En un instituto se ofertan tres modalidades excluyentes, A, B y C, y dos idiomas excluyentes, inglés y francés. La modalidad A es elegida por un 50 % de los alumnos, la B por un 30 % y la C por un 0 %. También se conoce que han elegido inglés el 80 % de los alumnos de la modalidad A, el 90 % de la modalidad B y el 75 % de la C, habiendo elegido francés el resto de los alumnos. a) Qué porcentaje de estudiantes del instituto ha elegido francés? b) Si se elige al azar un estudiante de francés, cuál es la probabilidad de que sea de la modalidad A? (Selectividad Andalucía Junio 000) -3-

4 3 En una empresa, el 65% de sus empleados habla inglés, y de éstos, el 0% habla también alemán. De los que no hablan inglés, el 5% habla alemán. Se escoge un empleado al azar: a) Cuál es la probabilidad de que hable ambos idiomas? b) Cuál es la probabilidad de que hable alemán? c) Cuál es la probabilidad de que, sabiendo que habla alemán, hable también inglés? (Selectividad Septiembre Andalucía 03) Una empresa dispone de tres máquinas A, B y C, que fabrican, respectivamente, el 60%, 30% y 0% de los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que fabrica A, el % de los de B y el 3% de los de C son defectuosos. Elegido, al azar, un artículo de los que se fabrican en la empresa: a) Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquina C? b) Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? (Selectividad Andalucía 0).- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Variable aleatoria: Es una forma de hacerle corresponder a cada resultado de un experimento aleatorio un valor real. Las v.a. se clasifican en: Variables aleatorias discretas: Son aquellas que toman valores aislados, x,x,., xn. Ejemplos: ) Tiramos un dado dos veces y sumamos los puntos obtenidos. Entonces X suma de los puntos, 3,,., es una v.a. discreta ) Lanzamos una moneda 5 veces y anotamos el número de caras que han salido. Entonces, X número de caras 0,,, 3,, 5 es una v.a. discreta También son v.a. discretas, por ejemplo, número de hijos de un matrimonio, número de asignaturas suspensas de un alumno, número de libros vendidos en una librería, edad de una persona, etc Variables aleatorias continuas: Son aquellas que pueden tomar todos los valores de un intervalo. Por ejemplo, elegimos al azar un alumno y le preguntamos su estatura. Sabemos que el más alto mide 90 cm y el más bajo 60 cm. Entonces X estatura [60,90] es una v.a. continua También son v.a. continuas, por ejemplo, longitud de un tornillo, nivel de agua de un embalse, temperatura en una ciudad, etc Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta: Se llama distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X que toma valores x, x,, xn al conjunto de probabilidades p p(x x), p p(x x),. pn p(x xn) O sea, la distribución de probabilidad son los valores pi p(x xi) --

5 Para calcular la distribución de probabilidad se puede hacer una tabla de probabilidades como la siguiente: xi pi p(x xi) x p. xn. pn x p A partir de la tabla se puede dibujar un diagrama de barras, llamado gráfico de probabilidades, representando en el eje horizontal los valores xi y en el eje vertical los valores pi Ejemplo: En el experimento aleatorio de lanzar un dado dos veces. Sea X nº de veces que sale el 6. X es una variable aleatoria discreta, pues X sólo toma los valores x i: 0, y Los resultados del experimento los podemos obtener mediante esta tabla: La distribución de probabilidad es: xi 0 Total pi p(x xi) 5 0,69 69,% 0 0,778 7,78% 0,078,78% pi 00% Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que salga el 6 menos de veces: P(X < ) p(x ) 35 0,97 97,%, que coincide con p(x 0)+p(X ) El gráfico de probabilidades sería: En todas las distribuciones de probabilidad discreta, se cumple: pi -5-

6 Parámetros de una variable aleatoria discreta: Los parámetros más utilizados son: Media aritmética o esperanza matemática: μ xi pi Desviación típica: σ σ Varianza: σ xipi μ μ xi pi Nota: La varianza también se puede calcular con la fórmula (xi ) pi Ejemplo: Vamos a calcular los parámetros de la distribución del ejemplo anterior: xi pi Total Media o esperanza matemática de X: Varianza de X: σ xi pi Desviación típica de X: μ xi pi xi pi xi pi , μ 0,778 0, σ σ 5 0,57 8 ACTIVIDADES Una urna contiene tres bolas numeradas con, y 3 ; otra urna contiene dos bolas numeradas con y 5. Se lanza un dado: si sale un número par se saca una bola de la primera urna y si sale impar se saca una bola de la segunda urna. Sea X número obtenido al sacar la bola. a) Calcula la distribución de probabilidad de X b) Halla la media y la desviación típica de X c) Dibuja el gráfico de probabilidades d) Halla la probabilidad de que el número que sale sea mayor que e) Calcula la probabilidad de que el número sea menor que 3 Sea X una variable aleatoria que expresa el número de personas que habitan en una vivienda elegida al azar. La distribución de probabilidad de X es la siguiente: xi pi 0,3 0,3 0,77 0,55 0,067 0,0 0,06 a) Comprobar que es una distribución de probabilidad. b) Hallar la probabilidad de que el nº de personas que viven en un hogar sea menor o igual que cuatro. c) Calcular la probabilidad de que al menos dos personas vivan en una vivienda. d) Obtener el número medio de personas que habitan en una vivienda. -6-

7 Actividades del libro obligatorias (unidad ) 3.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Si realizamos n veces el mismo experimento y le llamamos X número de veces que ocurre un suceso A, entonces X puede tomar los valores: 0,,, 3,., n. Llamamos p p(a). X es una v.a. discreta con n + valores. Decimos entonces que la variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad binomial B(n, p). Se representa así: X B(n, p) -7-

8 Ejemplos de distribuciones binomiales: 6 ) Tiramos un dado 5 veces; X número de veces que sale el 5. Entonces X B(5, ) ) La probabilidad de nacer niña es 0,65. Observamos 30 nacimientos; X número de niñas. Entonces X B(30;0,65) 3) La probabilidad de que al lanzar a canasta un jugador de baloncesto es 0,7. Lanza 50 veces; X número de aciertos. Entonces X B(50; 0,7) ) Lanzamos una moneda 5 veces; X número de cruces. Entonces X B(5; 0,5) Para calcular probabilidades en una distribución binomial es necesario repasar algunos conceptos básicos sobre números combinatorios: Factorial de un número n: Es el producto de n por los números naturales menores que él excluyendo el 0. El factorial de n se representa por n! y se lee n factorial. n! n.(n - ).(n - ) Ejemplos:! ;!. ; 3! ;!. 3.. y así sucesivamente 0! (por convenio) El factorial de un número también se puede hallar con la calculadora científica usando la función x! Por ejemplo, si queremos calcular 3!, el proceso es el siguiente: 3 x!. Nos da como resultado: Este resultado coincidiría con la multiplicación: Número combinatorio: Dados dos números naturales n y m con n m se define el número combinatorio n sobre m así: n m n! m!. (n m)! Propiedades básicas ) n n ) 3) n m m n n n 0 n Ejemplo: Ejemplo: n Ejemplo: ! 0!. (5 )!!. 3!!. 3! 5..3! 0 3!. (5 3)! 3!.! 3!.!. (5 5)!. 0!. 0!. (5 0)!. 5.! 5!. (5 )!.!.! n k n k La distribución de probabilidad en una B(n, p) es: pk p(x k) p.( p) k 5 3, k 0,,,, n Por ejemplo, en una B(5;0,), p3 p(x 3) 0,. 0,8 0. 0,008. 0,096 0, Parámetros de una distribución binomial B(n,p): Los parámetros más utilizados son: Media aritmética o esperanza matemática: μ np Varianza: σ np( p) Desviación típica: σ σ np( p) -8-

9 ACTIVIDADES Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida de 0,5. Si juega 8 partidos, calcula la probabilidad de que gane: a) Sólo uno b) Al menos uno c) Más de la mitad. La probabilidad de que salga cara con una moneda trucada es 0,5. Se lanza la moneda 7 veces. Calcula la probabilidad de que salgan: a) 3 caras b) Al menos caras c) A lo sumo 3 caras 3 Una encuesta revela que el 0% de la población es favorable a un político y el resto es desfavorable. Se eligen 6 personas al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Las 6 personas sean desfavorables. b) Al menos dos personas sean favorables Actividades del libro obligatorias (unidad ) -9-

10 .- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Consideremos la variable aleatoria continua X estatura de los chicos de 7 años. Supongamos que vamos preguntando a un número cada vez más grande de chicos por su estatura y dibujamos el histograma de frecuencias tomando clases o intervalos cada vez más pequeñas El polígono de frecuencias se ajusta cada vez más a una línea. La función f(x) cuya gráfica es esa curva se llama función de densidad de X. En este ejemplo se han tomado 0 intervalos de amplitud,5 cm. El área de cada rectángulo es la probabilidad de que un chico tomado al azar tenga estatura en el intervalo correspondiente. Por ejemplo, el área del primer rectángulo corresponde aproximadamente a p(53 < X < 5,5) Como hemos visto en el ejemplo anterior la probabilidad en una v.a. continua X corresponde a un área bajo la curva de densidad f. El área que hay a la izquierda de x a es igual a p(x < a) La función F(x) p(x < x) se llama función de distribución de la variable X Veamos algunas propiedades que nos sirvan para calcular probabilidades en una v.a. continua X. p(x > a) p(x < a) p( < X < ) p(a < X < b) p(x < b) p(x < a) P(X a) área del segmento que pasa por a 0. Luego, en las v.a. continuas, p(x a) 0 Por tanto, p(x a) p(x < a) ; p(x a) p(x > a); etc ACTIVIDADES Si X es una v.a. continua y p(x ) 0,, p(x > 3) 0,65. Calcula: a) p(x > ) b) p( < X < 3) c) p(x ) - 0 -

11 Actividad del libro obligatoria (unidad 5) 5.- DISTRIBUCIÓN NORMAL La mayoría de las variables aleatorias continuas tienen una función de densidad f(x) cuya gráfica tiene forma de campana. A esta gráfica se le llama campana de Gauss. La gráfica de la función de densidad (campana de Gauss) tiene la siguiente forma: Puedes observar que la gráfica es simétrica respecto de la recta vertical de ecuación x µ. Cuando la curva de densidad tiene esta forma diremos que X sigue una distribución normal de media µ y desviación típica σ. Se escribe así: X N(µ, σ) Las distribuciones de este tipo son muy corrientes en la vida real. Si µ 0 y σ, entonces a la distribución Z N(0,) se llama distribución normal tipificada y la gráfica de su función de densidad es la campana de Gauss de eje de simetría el eje Y - -

12 En la distribución normal N(0,), para calcular p(z < k) se usa la siguiente tabla: Usando la tabla se puede determinar p(z < k), con k entre 0 y,09. Si k > tomaremos como probabilidad. Ejemplo: Para hallar p(z <,) buscamos en la ª columna el número, y en la ª fila 0,0. La intersección nos da el valor 0,895. Por tanto, p(z <,) 0,895 También se puede usar la tabla en orden inverso para hallar el valor de k. Ejemplos: ) Supongamos que P(Z < k) 0,790. Buscamos 0,790 dentro de la tabla y vemos que le corresponde 0,5 (en la ª columna) y 0,08 (en la ª fila). Por tanto k 0,58 ) Supongamos que P(Z < k) 0,9376. En este caso 0,9376 no está en la tabla; los valores más próximos son 0,9370 (que corresponde a k,53) y 0,938 (que corresponde a k,5). Como 0,9376 está prácticamente a la misma distancia de los valores encontrados, tomaremos como k el punto medio de,53 y,5, es decir k,

13 Veamos algunas propiedades basadas en la simetría de la campana de Gauss que nos permiten calcular probabilidades en una distribución N(0,) p(z < a) p(z > a) p(z < a) p(z > a) p(z < a) Por ejemplo, p(z <,68) p(z >,68) Por ejemplo, p(z > 0,0) p(z < 0,0) 0,5080 p(z <,68) 0, ,065 p( a < Z < b) p(z < b) p(z < a) p( b < Z < a) p(a < Z < b) p(z < b) p(z < a) p(z < b) [ p(z < a) ] p(z < a) + p(z < b) Por ejemplo, p( 0, < Z <,) p(0, < Z <,) Por ejemplo, p(,5 < Z < 0,87) p(z <,) p(z < 0,) 0,863 0,655 0,089 p(z <,5) + p(z < 0,87) 0,89 + 0,8078 0,70 Tipificación de una distribución normal N(µ, σ) : Se puede demostrar que si X N(µ,σ), entonces la variable X N(0,). A este proceso se le llama tipificación de la variable. a X b a b En este caso: p(a < X < b) p( < < ) p( <Z< ) 5 X Por ejemplo, si X N(5,), entonces p( < X < 7) p( < < ) p( < Z < 0,5) Z p(z < ) + p(z < 0,5) 0,83 + 0,695 0,538 Teorema de De Moivre: Si tenemos una v.a. X que sigue una distribución binomial B(n,p) siendo np 5 y n( p) 5. Entonces la distribución binomial se puede sustituir por otra v.a. X que sigue una distribución normal N(np, np( p) ). De esta forma podemos calcular probabilidades de una B(n,p) de forma más sencilla. Se cumple: ) p(x a) p(a 0,5 < X < a + 0,5) ) p(x < a) p(x < a 0,5) 3) p(x a) p(x < a + 0,5) ) p(a < X < b) p(a + 0,5 < X < b 0,5) X 5) p(a b) p(a 0,5 < X < b + 0,5) ACTIVIDADES Usando la tabla de la distribución N(0,), calcula las siguientes probabilidades: a) p(z <,89) c) p(z > 0,0) d) p(,78 < Z < 3) h) p(z <,5) e) p(,5 < Z <,9) i) p(z,73) m) p(,9 < Z < 3,08) j) p(z >,75) n) p(,5 < Z < 0,7) f) p( 3,07 < Z <,77) k) p(z <,39) ñ) p( 0,39 < Z <,) b) p(z > ) g) p(z,3) l) p(z >,7) o) p(z < 0,7) p) p( 0,5 < Z <,79) Usando la tabla de la distribución N(0,) halla el valor de a que cumple: a) P(Z < a) 0,786 b) P(Z < a) 0,998 c) P(Z < a) 0,98 d) P(Z < a) 0,678 3 En una distribución X que sigue una N(8;), calcula: a) P(X 0) d) p(x > 6,5) e) P( X < 9) f) P(7 < X 8) e) P(Z < a) 0,7358 b) P(X 5) f) P(Z < a) 0,97 c) P(X < 7)

14 Actividades del libro obligatorias (unidad 5) - -

15 - 5 -