PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

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1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I. COMBINATORIA Variacioes ordiarias de elemetos tomados de k e k:! V, k = ; k< k! Variacioes co repetició: VR,k = k Permutacioes de elemetos: P =! Permutacioes de elemetos, co repetició: Combiacioes de elemetos, tomados de k e k: C, k = k P! k!. k! ; k< Combiacioes co repetició: Cr, k = C +k-1, k r!. s! r, s! 1.- Cuátos comités de 3 alumos puede elegirse etre ua clase de 30 alumos? 2.- Cuátos úmeros de tres cifras puede escribirse co los guarismos impares? 3.- De cuátas maeras distitas puede colocarse diez libros diferetes e ua estatería co capacidad para diez libros? 4.- Se quiere pitar las cuatro paredes de ua habitació. Dispoemos de pitura azul, verde, blaca, roja y amarilla. De cuátas maeras puede pitarse si cada pared ha de quedar pitada de u solo color? 5.- Cuátos úmeros de tres cifras puede formarse co tres sietes y dos ueves? 6.- De cuátas fichas costa el juego del domió? 7.- Cuátas quiielas distitas puede formarse? Cuátas de ellas tiee 7 uos, 3 equis y 4 doses? 8.- Co las letras de la palabra COCACOLA, cuátas palabras distitas puede formarse? Cuátas de ellas empieza por C y termia por A? 9.- Cuátos modelos de billete distitos debe imprimirse para cubrir las ecesidades de ua líea de tre co 10 estacioes? Alberto Vara 1

2 10.- E u curso hay 12 chicos y 10 chicas. Debe formarse ua comisió co 2 chicos y 2 chicas. De cuátas formas distitas puede hacerse? 11.- Dispoemos de 15 libros distitos: 6 de aveturas, 5 de poemas y 4 de deportes. De cuátas maeras puede colocarse e ua estatería de modo que quede jutos los de cada tema? 12.- U etreador de fútbol dispoes de 3 porteros, 5 defesas, 6 cetrocampistas y 5 delateros. Cuátos equipos diferetes puede formar? (Supó ua alieació: 1p-3d-5c-2d) 13.- Diez amigos se sieta e ua fila de 12 butacas, de cuátas formas puede hacerlo si todos está seguidos y además Luis y María se ha de setar jutos? 14.- Luisa tiee 6 aillos. De cuátas maeras puede colocarlos e los dedos de ambas maos, si usar los pulgares y u solo aillo e cada dedo, si los aillos so diferetes? Y si so iguales? II.- PROBABILIDAD Feómeos aleatorios. Ate todo, es importate aclarar que el azar o es desorde. Si, por u mometo, podemos pesar, ate u suceso icierto, que cualquier resultado puede darse, lo cierto es que, repetido este acotecer u úmero suficietemete elevado de veces, uos resultados aparece co más frecuecia que otros. El resultado de u hecho aislado e el que iterviee el azar es bie diferete de la acumulació de esos resultados. Esta acumulació sigue uas reglas defiidas que dista mucho de ser el caos. La rama de las Matemáticas que estudia las leyes del azar se llama Cálculo de Probabilidades. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. AZAR Y PROBABILIDAD La pricipal razó que os iduce al estudio matemático de los feómeos aleatorios es que el azar está presete e uestro etoro. Aalizaremos esta presecia e dos aspectos: leguaje y realidad. AZAR Y LENGUAJE E el leguaje ordiario, tato e las coversacioes como e la presa o literatura, ecotramos co frecuecia referecias al azar. Cuál es el sigificado atribuido a esta palabra?. El Diccioario del uso del español de M. Molier defie la cualidad de ser aleatorio como aquello que es "Icierto. Se dice de lo que depede de la suerte o el azar" siedo el azar la "supuesta causa de los sucesos o debidos a ua ecesidad atural i a ua iterveció itecioada humaa i divia". Muchos otros térmios so usados frecuetemete e el leguaje ordiario, co u sigificado similar, auque puede presetar matices difereciadores segú el cotexto. Etre ellos citamos los siguietes: casual, accidetal, evetual, fortuito, impesado, imprevisible, iesperado, ocasioal, por suerte. Igualmete, existe umerosas expresioes coloquiales, usadas co frecuecia e los juegos ifatiles, co este mismo sigificado: por chiripa, por chamba, de rebote, de rechazo, si querer, si ateció. Esta variedad de expresioes para referirse a u mismo cocepto da idea de la variedad de matices del mismo, así como de la clara apreciació del carácter imprevisible de ciertos feómeos por parte del idividuo, icluso desde edades tempraas. EL AZAR EN LA REALIDAD La presecia de feómeos imprevisibles e sus resultados o maifestacioes e la realidad que os rodea es bie patete. El carácter aleatorio de u feómeo es apreciado a través de la observació de múltiples aspectos del etoro, así como por medio de la realizació de actividades, (lazamieto de dados, fichas, moedas, extracció de bolas e uras, etc.) A título de ejemplo eumeramos alguos feómeos aleatorios e distitos ámbitos. Nuestro mudo biológico Muchas de las características heredadas e el acimieto o se puede prever de atemao, depede del azar: sexo, color del pelo, peso al acer, etc. Alguos rasgos como la estatura, úmero de pulsacioes por miuto, recueto de hematíes, etc., depede icluso del mometo e que so medidas. Otras aplicacioes se refiere al campo de la medicia. La posibilidad de cotagio o o de ua epidemia, la edad e que se sufre ua efermedad ifatil, la duració de u cierto sítoma, o la posibilidad de u diagóstico correcto cuado hay Alberto Vara 2

3 varias posibles efermedades que preseta sítomas parecidos varía de ua persoa a otra. El efecto posible de ua vacua, el riesgo de reacció a la misma o el modo e que se determia el recueto de glóbulos rojos a partir de ua muestra de sagre so ejemplos de situacioes e que el azar está presete. Cuado se hace prediccioes sobre: la població mudial o e ua regió dada para el año 2000; la posibilidad de extició de las balleas, se está usado estudios probabilísticos de modelos de crecimieto de poblacioes, de igual forma que cuado se hace estimacioes de la extesió de ua cierta efermedad o de la esperaza de vida de u idividuo. E agricultura y zootecia se utiliza estos modelos para prever el efecto del uso de fertilizates o pesticidas, evaluar el redimieto de ua cosecha o las cosecuecias de la extesió de ua epidemia, ube tóxica, etc. E el ámbito de la psicofisiología, observamos el efecto del azar sobre el cociete itelectual o e la itesidad de respuesta a u estímulo, así como e los tipos diferetes de caracteres o capacidades de los idividuos. El mudo físico Qué mejor ejemplo sobre feómeos aleatorios que los metereológicos? La duració, itesidad, extesió de las lluvias, tormetas o graizos; las temperaturas máximas y míimas; la itesidad y direcció del vieto so variables aleatorias. Tambié lo so las posibles cosecuecias de estos feómeos: el volume de agua e u patao, la magitud de daños de ua riada o graizo so ejemplos e los que se preseta la ocasió del estudio de la estadística y probabilidad. Depedemos de ciertas materia primas como el petróleo, carbó y otros mierales; la estimació de estas ecesidades, localizació de fuetes de eergía, el precio, etc., está sujetas a variacioes de u claro carácter aleatorio. El mudo social La familia, la escuela, el trabajo, el ocio está lleos de situacioes e las que predomia la icertidumbre. El úmero de hijos de la familia, la edad de los padres al cotraer matrimoio, el tipo de trabajo, las creecias o aficioes de los miembros varía de ua familia a otra. Podemos prever las pregutas del próximo exame?, quié gaará el próximo partido?,... Auque muchas persoas prefiere jugar e la lotería a u úmero capicúa, o quiere el úmero o e geeral úmeros muy bajos, todos tiee igual probabilidad de ser premiados. El mudo político El Gobiero, a cualquier ivel ecesita tomar múltiples decisioes que depede de feómeos iciertos y sobre los cuales ecesita iformació. Por este motivo la admiistració precisa de la elaboració de cesos y ecuestas diversas. El I.P.C. es ua magitud ecoómica sujeta a variacioes aleatorias. Pascal e el siglo XVII setó las bases para el estudio cietífico de las regularidades observadas e los juegos de azar. El cálculo de probabilidades es la rama de las matemáticas que estudia las leyes que rige los procesos o experimetos aleatorios. Proceso o experimeto determiista- experimeto que al repetirlo e aálogas codicioes se obtiee siempre el mismo resultado, siedo este resultado predecible. Proceso o experimeto aleatorio- experimeto que al repetirlo e aálogas codicioes jamás se quede predecir el resultado que se va a obteer. Los resultados puede diferir. Por ejemplo e el lazamieto de u dado, idéticas codicioes e el lazamieto o permite aveturar el resultado de la prueba, auque si, como veremos, u gra úmero de repeticioes de la misma os desvelará a qué costate, llamada probabilidad, tiede a agruparse las frecuecias relativas de aparició de ua cara determiada, cuestió que, por otro lado caracteriza a los procesos aleatorios. Ejemplos: 1. Observar el úmero de hijos varoes de ua familia seleccioada al azar. 2. Cotar el úmero de lazamietos de ua moeda hasta que aparezca cruz por primera vez. 3. Tiempo de espera e la parada de u autobús hasta su llegada. 4. Desviació del blaco de ua serie de proyectiles, lazados e idéticas codicioes. 5. Número de horas de fucioamieto de u lote de lámparas. El azar queda mejor defiido si se asocia a la ambigüedad o icertidumbre iherete al resultado de u experimeto aleatorio; su medida y cocreció e térmios uméricos, es lo que se cooce como probabilidad. Alberto Vara 3

4 ESPACIO MUESTRAL. SUCESOS ALEATORIOS. TIPOS DE SUCESOS. E u experimeto aleatorio, se puede eumerar las posibles realizacioes e uos hechos idescompoibles e otros más simples, llamados sucesos elemetales. Al cojuto de estos sucesos elemetales le llamamos Espacio muestral y se desiga por E. Ejemplos: 1. Del ejemplo 2 aterior sería E = 1, 2, 3, 4, Del ejemplo 3 aterior sería E 0,60 3. Lazar ua moeda E c, x 4. Lazar dos moedas E = cc, cx, xc, xx 5. Lazar u dado E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 El espacio muestral puede ser u cojuto: discreto -o puede darse hechos itermedios- fiito (ejemplos 3, 4 y 5) o ifiito umerable (ejemplo 1) o cotiuo -puede darse todos los hechos -siempre es ifiito (ejemplo 2, es posible cualquier valor etre 0 y 60). A cualquier subcojuto del espacio muestral se le deomia suceso aleatorio o simplemete suceso del experimeto. Se desiga por letras mayúsculas A, B, C... Si E es u cojuto co sucesos elemetales, el úmero de los posibles sucesos que puede darse es 2. Ejemplos : 1. Sucesos que puede darse al lazar u dado A = sacar putuacio par 2, 4, 6 B = obteer putuacio > 3 4, 5, 6 C = sacar umero primo 1, 2, 3, 5 Se puede dar el suceso imposible (p.e. al lazar dos dados ormales obteer como suma 1), o el suceso seguro E (p.e. obteer como máximo u 6 al lazar u dado ormal). c Suceso cotrario de A (A,A,A ) es el subcojuto complemetario de A respecto de E E E = De los ejemplos ateriores A = sacar putuacio impar 1, 3, 5 B = obteer putuacio 3 1, 2, 3 C = sacar umero compuesto 4,6 Ejercicio 1: Escribir el espacio muestral del lazamieto de 3 moedas, describe el suceso obteer al meos ua cara y el suceso cotrario. (obteer E por el diagrama de árbol). Ejercicio 2: Se laza u dado y ua moeda. Costruir el diagrama e árbol para dar el espacio muestral. Describir el suceso sacar úmero par. Ejercicio 3: E el lazamieto de dos dados, cuátos sucesos elemetales costituye el espacio muestral?. Dar ua expresió abreviada y especificar los sucesos elemetales del suceso B suma de sus caras igual a 7. Alberto Vara 4

5 OPERACIONES CON SUCESOS A partir de los sucesos asociados a u experimeto aleatorio, es posible geerar otros sucesos, mediate las operacioes uió, itersecció y diferecia. UNIÓN DE SUCESOS U suceso C se dice que es uió de los sucesos A y B ( C A B) si se da al meos uo de los sucesos A o B. (toda la zoa e blaco del dibujo represeta la uió de A y B, la zoa sombreada es el cotrario de la uió) A E = E A A A A E Ejemplo: Si al lazar u dado cosideramos los sucesos B = obteer putuacio > 3 4, 5, 6 A = sacar putuacio par 2, 4, 6 y el suceso el suceso C uió de estos dos sucesos será C = A B = 2, 4, 5, 6 INTERSECCIÓN DE SUCESOS U suceso D se dice que es itersecció de los sucesos A y B ( D A B) si se da los dos sucesos A y B. (la zoa e blaco del dibujo represeta la itersecció de A y B, la zoa sombreada es el cotrario de la itersecció) A E A A = A A = Si la itersecció de dos sucesos A y B es el suceso imposible A B = se dice que A y B so sucesos icompatibles - sucesos que o puede ocurrir a la vez. Ejemplo: Si cosideramos el experimeto y los sucesos del ejemplo aterior, el suceso itersecció de A y B será D 4, 6 par mayor que3 A B DIFERENCIA DE SUCESOS La diferecia del suceso A y el suceso B es otro suceso A B que recoge los casos e que se da A pero o se da B. A B A B Ejercicio 4: Comprobar la igualdad aterior co u diagrama y co los sucesos A y B de los ejemplos ateriores. La uió de dos sucesos A y B se puede expresar como la uió de sucesos icompatibles dos a dos A B ( A B) ( A B) ( B. A) PROPIEDADES DE LA UNIÓN E INTERSECCIÓN Comutativa: A B BA A B B A Asociativa: A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C Distributiva: A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Simplificativa: A (A B) A A (A B ) A Alberto Vara 5

6 LEYES DE MORGAN (A B) A B El suceso cotrario de la uió de dos sucesos es la itersecció de los dos sucesos cotrarios a los dados. (A B) A B El suceso cotrario de la itersecció de dos sucesos es la uió de los dos sucesos cotrarios a los dados. Ejercicio 5: Comprobar mediate diagramas las Leyes de Morga. Ejercicio 6: E ua comarca determiada emite tres emisoras de radio R1, R2 y R3. Desigado por A, B y C los sucesos ser oyete de R1, R2 y R3 respectivamete, se pide: a) Describe el sigificado de los sucesos : a.1 A B C a.2 A B C a.3 A ( B C) a.4 A ( B C) a.5 ( A B) b) Expresa e fució de A, B y C los sucesos : b.1 Ser oyete de las tres cadeas. b.2 Ser oyete de R2 pero o de R1 i de R3. b.3 Oir, R1 y R3 b.4 No oir la radio b.5 Sólo oir R1 y R2. b.6 Sólo oir ua emisora. b.7 No ser oyete de las tres cadeas b.8 Sólo oir dos cadeas PROBABILIDAD La teoría de probabilidades se ocupa de medir hasta qué puto se puede esperar que ocurra u suceso. A esa medida se la llama su probabilidad. Como cualquier otro vocablo importate, la probabilidad tiee muchos matices de sigificació y admite variedad de usos. U estudio de los térmios utilizados e el leguaje ordiario revela que el azar y la icertidumbre se aprecia como cualidades graduables. Etre lo cierto o lo seguro (lo que ocurrirá ecesariamete o lo que es verdadero si igua duda) y lo imposible (lo que o puede ocurrir uca) está lo probable: "se dice de lo que, e opiió del que habla, es más fácil que ocurra que deje de ocurrir". Para expresar estas tres circustacias (imposible, probable, seguro) existe ua gra variedad de térmios: posible, previsible, presumible, factible, viable. El primer iteto de defiir co rigor matemático la oció de probabilidad es debido a Laplace. Dió la defiició que se cooce como clásica de probabilidad de u suceso, que puede ocurrir solamete e u úmero fiito de modalidades, como la proporció del úmero de casos favorables al úmero de casos posibles, siempre que todos los resultados sea igualmete "probables". Icluso e su misma época esta defiició se ecotró iadecuada, o ofreció respuesta a la preguta de qué es realmete la probabilidad; sólo proporcioó u método práctico de cálculo de probabilidades de alguos sucesos secillos. LEY DE LAPLACE Veamos la ley del azar actuado e los sucesivos lazamietos de u dado homogéeo y regular, e el que aotamos el úmero de aparicioes de las caras impares: Nº de lazamietos / Nº de lazamietos/ frecuecias absolutas frecuecias relativas ,091 0,153 0,186 0,161 0,170 0, ,158 0,170 0,151 0,169 0,153 0, ,183 0,183 0,143 0,158 0,172 0,1667 se aprecia ua aproximació de las frecuecias relativas al valor 0, 16 1/ 6. Diremos etoces que la probabilidad de aparició de la cara 1 es 1/6, e idéticamete igual a las de las caras 3 o 5. Las probabilidades así asigadas se deomia a posteriori, por establecerse después de haber realizado la experimetació. Si ua experiecia aleatoria costa de sucesos elemetales y es razoable supoer, por razoes de simetría o ivestigació precedete, que iguo de ellos tiee más posibilidades de salir que los demás (so equiprobables) la probabilidad de cada uo de ellos es 1/. Las probabilidades de los sucesos se establece a Alberto Vara 6

7 priori, si ecesidad de experimetar. Si u suceso A costa de k sucesos elemetales, su probabilidad se calcula siguiedo la llamada, Ley de Laplace. p(a) º de casos favorables k º de casos posibles. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Que la frecuecia relativa se va estabilizado cuado aumeta el úmero de experiecias es pues ua verdad empírica (deducida de la experiecia), o demostrable pero sí reiteradamete comprobable. Su euciado es el pricipio básico del azar, que podemos euciar como sigue: Ley de los grades úmeros: Al realizar repetidamete ua experiecia aleatoria e las mismas codicioes, y cualquiera que sea el suceso S, existe el límite siguiete: lim f(s) f(s) º de veces que ha ocurrido el suceso S º de veces que se ha realizado la experiecia al valor de ese límite se le llama probabilidad de S. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD. CONSECUENCIAS La probabilidad es u úmero que se asiga a cada suceso y basádoos e lo visto ateriormete habrá de cumplir las siguietes codicioes : A.1 Para cualquier suceso S, p(s) 0 ya que es u cociete co umerador meor o igual que el deomiador. A.2 Si dos sucesos so icompatibles, A B, etoces la probabilidad de la uió es la suma de las probabilidades. p( AB) p( A) p( B) A.3 La probabilidad total es 1: p( E) 1 P.1 p( A) 1 p( A). Teemos que A A E y como todo suceso es icompatible co su cotrario podemos aplicar A.2 y aplicado tambié A.3 p( A A) p( A) p( A) p( E) 1 despejado p(a), obteemos la expresió buscada que es de gra utilidad para hallar la probabilidad de u suceso complicado mediate la del cotrario p( sacar al meos 1 cara ) 1 p( 0 caras) al lazar cuatro moedas. Como cosecuecia p( ) 0 P.2 Si A B, etoces : p( B A) p( B) p( A) como B es la uió de dos sucesos icompatibles A y B-A aplicado A.2 teemos p( B) p( B A) p( A) y despejado teemos la igualdad buscada. Como las probabilibades so úmeros positivos se deduce de P.2 la siguiete desigualdad p( A) p( B). P.3 Para dos sucesos cualesquiera, A y B se tiee que p( A B) p( A) p( B) p( A B). Como ya dijimos la uió de dos sucesos se puede poer como la uió de tres sucesos icompatibles dos a dos, teíamos A B ( A B) ( A B) ( B. A) y A ( A B) ( A B); B ( B A) ( A B), siedo las dos diferecias de los cojutos y la itersecció de ambos sucesos icompatibles, podemos dar que p(a B) p(a B) p((b A) p(a B)=p(A)-p(A B)+p(B)-p(A B)+p(A B) y simplificado obteemos la igualdad dada. Ejercicio 7: E el experimeto lazar tres moedas, calcula : a) Probabilidad de obteer sólo ua cara. b) Probabilidad de obteer al meos ua cara. c) Probabilidad de obteer exactamete dos caras. Ejercicio 8: Para gaar ua de cartas debemos coseguir u As o bie u Oros. Qué probabilidad teemos de gaar?. Alberto Vara 7

8 Ejercicio 9: E u cetro hay alumos repartidos así: Chicos Chicas Se elige al azar uo de ellos. Cuál es la probabilidad de Usa gafas que sea : a) chico; b) chica; c) use gafas; d) o use gafas; No usa gafas e) sea ua chica co gafas. f) Se elige alguie al azar y me dice que es ua chica. Cuál es la probabilidad de que use gafas?. Ejercicio 10: E ua residecia hay aciaos, de los que 519 fuma y 226 tiee afeccioes pulmoares. Pero sólo hay 31 que, auque o fume, tiee afeccioes pulmoares. Haz ua tabla de cotigecia y averigua: a) Cuátos hay que fume y tega afeccioes pulmoares?. b) Qué proporció de fumadores tiee afeccioes pulmoares?. c) Qué proporció de o fumadores tiee afeccioes pulmoares?. Qué proporció de efermos de pulmó so fumadores?. Resumiedo y de forma más teórica: - U feómeo es determiista cuado se puede predecir el resultado exacto de ua experiecia. - U feómeo es aleatorio o estocástico cuado o se puede predecir el resultado. Álgebra de Boole de los sucesos aleatorios. - Espacio muestral.- Espacio muestral de ua experiecia aleatoria es el cojuto de todos los resultados posibles de dicha experiecia. Se le suele desigar por E. - Suceso.- Suceso ligado a ua experiecia aleatoria es cualquier cuestió o proposició que se pueda formular sobre el resultado de la experiecia. - Suceso seguro.- Suceso seguro o espacio muestral es el suceso que siempre se verifica. - Suceso imposible.- El que uca se verifica (. - Suceso cotrario.- Si A es u suceso, su cotrario o complemetario, que lo represetaremos por A', es el que se verifica cuado o se verifica A. - Uió de sucesos.- Dados dos sucesos A y B, la uió de ellos, que se represeta por AB, es el suceso que se verifica cuado se verifica A ó B ó ambos. - Itersecció de sucesos.- La itersecció de los sucesos A y B (AB) es el suceso que se verifica cuado se verifica A y B. - Sucesos icompatibles.- Dos sucesos so icompatibles cuado o se puede verificar simultáeamete (AB = ). - Diferecia de sucesos.- A-B = AB'. Así que A' = E-A. - Iclusió de sucesos.- Diremos que el suceso A está icluido e el B, o que A implica B, si siempre que se verifica A tambié lo hace B. - Igualdad de sucesos.- A y B so iguales si A está icluido e B y B e A. Alberto Vara 8

9 Propiedades de la uió e itersecció de sucesos Para todo suceso A,B,C asociados a ua experiecia aleatoria se cumple: 1. Propiedad comutativa: AB = BA ; AB = BA 2. Asociativa: A(BC) = (AB)C ; ABC) = (AB)C 3. Simplificativa: A(BA) = A ; A(BA) =A 4. Distributiva: A(BC) = (AB)(AC) ; A(BC) = (AB)(AC) 5. Existecia de elemetos eutros. A = A ; AE = A 6. Propiedad del complemetario: AA' = E ; AA' = El cojuto de los sucesos asociados a ua experiecia aleatoria co las operacioes, y complemetariedad es u álgebra de Boole (S,' Cosecuecias. 1. Propiedades idempotetes: AA = A ; AA =A 2. Elemetos absorbetes: A = ; AE = E 3. Leyes de Morga: (AB)' = A'B' ; (AB)' = A'B' Álgebra fiita de sucesos Álgebra fiita de sucesos.- Diremos que u álgebra de Boole de sucesos es fiita cuado está formada por u úmero fiito de sucesos. Suceso compuesto.- U suceso A es compuesto si y sólo si existe sucesos A 1 y A 2 tales que A = A 1 A 2. Suceso simple o elemetal.- Todos suceso, distito del imposible que o sea compuesto. Sistema completo de sucesos.- Es u cojuto de sucesos A 1,A 2,...,A tales que so icompatibles dos a dos, y la uió de todos ellos es el suceso seguro. E geeral, llamamos suceso a cada uo de los subcojutos del espacio muestral E. Es decir el cojuto de todos los sucesos asociados a ua experiecia aleatoria es P(E). -Álgebra de sucesos Defiició.- "U cojuto de sucesos SP(E) es ua -álgebra si verifica: 1) Si A 1, A 2,...S etoces su uió tambié perteece a S. 2) Si AS etoces A'=E-AS" Frecuecia y probabilidad - Frecuecias: Defiició y propiedades. - Ley de los grades úmeros, o ley del azar, o ley de estabilidad de las series estadísticas. - Defiició frecuetista de probabilidad. - Defiició axiomática de Probabilidad.- "Sea E u espacio muestral y S ua -álgebra de sucesos asociada a E (S P(E)). Se defie probabilidad a ua aplicació p:sr que verifica: Alberto Vara 9

10 que p(a)0. 1) A cada suceso AS le correspode u úmero real p(a), llamado probabilidad del suceso A tal 2) Si A 1, A 2,..., so icompatibles dos a dos, etoces p( A ) = p(a ) ; para dos sucesos A y B icompatibles: p(ab) = p(a) + p(b) 3) La probabilidad del suceso seguro es 1: p(e) = 1." Las codicioes 1) y 2) correspode a la defiició de medida y la 3) es la caracteriza la medida de la probabilidad. La tera formada por el espacio muestral, la -álgebra S y la probabilidad p recibe el ombre de espacio probabilístico (E,S,p). - Propiedades de la probabilidad: a) p(a') = 1 - p(a) b) p() = 0 c) Si A B, etoces p(a )p(b) d) Si A y B so dos sucesos compatibles, etoces: p(ab) = p(a) + p(b) - p(ab) e) Si E es fiito co E = A i icompatibles dos a dos y equiprobables, etoces: p(a i ) = 1/, y además si A es u suceso uió de k sucesos de los ateriores p(a) = k/. Esta proposició recibe el ombre de Regla de Laplace. Probabilidad codicioada "Sea A u suceso de la -álgebra S tal que p(a)>0. Llamaremos probabilidad del suceso B codicioado por A, p(b/a), a la probabilidad de que ocurra B supuesto que haya ocurrido A". Viee dada por p(b/a) = [p(ab)]/p(a). - Propiedades de la probabilidad codicioada. - Teorema del producto: p(ab) = p(a).p(b/a) (Geeralizació) Sucesos idepedietes "Sea (E,S,p) u espacio probabilístico y sea A y B dos sucesos de la -álgebra S tales que p(a)>0 y p(b)>0. Se dice que los sucesos A y B so idepedietes, si y sólo si p(ab) = p(a).p(b)". -Probabilidad compuesta: "Sea A 1,...,A los sucesos elemetales del espacio probabilístico (E 1,S 1,p 1 ) y B 1,...,B m los de (E 2,S 2,p 2 ), llamamos producto cartesiao E 1 x E 2 al formado por los pares (A i,b j )". Los espacios probabilísticos so idepedietes si p(a i,b j )=p(a i ).p(b j ), si o so idepedietes p(a i,b j )=p(a i ).p(b j /A i ). Teorema de la probabilidad total "Sea A 1,..., A u sistema completo de sucesos. Si B es u suceso del que coocemos la probabilidades p(b/a i ) y si además se cooce las p(a i ), etoces: p(b) = p(a i ).p(b/a i )" Alberto Vara 10

11 Teorema de Bayes "Bajo las mismas hipótesis que el teorema aterior: p(a i ).p(b/a i ) p(a i /B) = p(a i ).p(b/a i ) III.- ESTADÍSTICA 1.- QUÉ ESTUDIA LA ESTADÍSTICA? La Estadística es la ciecia matemática que trata de proporcioar u método para el tratamieto sistemático de datos, para iferir coclusioes de los mismos y tomar decisioes razoadas tras su aálisis. La misió del estadístico es la de simplificar al máximo la iformació dispoible, a fi de que pueda ser clara y útil. Además, si el feómeo lo permite, tratará de iferir las leyes que explique el comportamieto de ese feómeo. Por tato, se puede distiguir dos aspectos de la Estadística: 1. El de la Estadística descriptiva, que se ocupa de examiar todos los elemetos de u cojuto, describir la iformació dispoible co la ayuda de tablas y gráficos, y de resumirla al máximo mediate los parámetros estadísticos, de maera especial co la media y la desviació típica. 2. El de la Estadística iferecial, que trata de geeralizar, para todo cojuto (població), los resultados obteidos al estudiar ua parte del mismo (muestra). 2.- TERMINOLOGÍA ESTADÍSTICA Població Es el cojuto de los elemetos que cumple ua determiada característica, que deseamos medir o estudiar. Muestra Es todo subcojuto de la població. La mayoría de los trabajos estadísticos se hace co muestras. El tamaño de la muestra es el úmero de elemetos que la forma. Idividuo u objeto.es cada uo de los elemetos de la població. El idividuo es la uidad poblacioal o muestral. Carácter y variable estadísticos. Carácter estadístico es cada ua de las propiedades o cualidades de las variables que puede estudiarse e ua població U carácter estadístico divide a la població e clases, cada ua de ellas se deomia modalidad del carácter estadístico. U carácter puede ser cuatitativo o cualitativo. Ua variable estadística es discreta cuado sólo puede tomar u úmero fiito ( o ifiito umerable) de valores. Se llamará cotiua cuado pueda tomar todos los valores reales de u itervalo (valores ta próximos como se quiera). Itervalos de clase. So cada ua de las partes e lasque puede agruparse los datos que se obtiee e u estudio estadístico. So de gra ayuda para simplificar grades cojutos de datos. a) Extremos de u itervalo: So sus umbrales iferior y superior. Lo ormal es cosiderar itervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha. b) Elecció de los extremos: Es coveiete que o coicida co igú valor de la variable. c) Marcas de clase: So los putos medios de cada itervalo. d) Logitud del itervalo: Es la diferecia etre sus extremos. Es coveiete que todos los itervalos tega la misma logitud; ello facilita los cálculos. Si los datos so muy dispersos habrá que optar por logitudes distitas. e) Número total de itervalos: Viee determiado por el recorrido de los datos y por la logitud deseada para cada itervalo. Alguos autores recomieda u úmero próximo a N (criterio de Norcliffe), otros dice que el úmero ideal es 1+3,3logN (criterio de Hutsberger), siedo N el total de elemetos represetados. E geeral etre 5 y 10 itervalos puede ser u úmero adecuado. Frecuecias Se llama frecuecia absoluta de u valor al úmero de veces que se repite éste. La frecuecia absoluta acumulada de u valor es la suma de todas las frecuecias absolutas de los valores meores o iguales al Alberto Vara 11

12 cosiderado. La frecuecia relativa de u valor se defie como el cociete etre la frecuecia absoluta de ese valor y el úmero total de datos cosiderados. Si multiplicamos por 100 cada frecuecia relativa se obtiee los porcetajes correspodietes. Los coceptos de frecuecias relativas y porcetajes acumulados so aálogos al de frecuecia absoluta acumulada. Si se defie itervalos de clase, las frecuecias se mide e cada itervalo como el úmero de elemetos que perteece a él. 3.- PRESENTACIÓN DE DATOS: TABLAS Y GRÁFICOS Los resultados de u trabajo estadístico puede presetarse co la ayuda de tablas y gráficos. Los gráficos permite ver de u modo rápido y global dicho resultado; las tablas de datos proporcioa el detalle. Tablas Ua tabla es ua matriz de datos co tatas filas y columas como sea ecesarias. E las filas cosigaremos los caracteres estudiados; e las columas se coloca los valores de frecuecias correspodietes. E cada caso se idicará: la fuete de datos, las uidades e que se ha medido, el título y el úmero de la tabla. Gráficos U gráfico estadístico debe ser ua represetació clara, fácil de leer y de eteder, y ajustado a los datos. U gráfico es simple si se refiere a las frecuecias absolutas o relativas; será acumulado cuado represete los valores de las frecuecias acumuladas. Como e las tablas hay que idicar la fuete de los datos y las uidades e que éstos ha sido medidos. Asimismo, coviee titularlos y umerarlos. 4.- TIPOS DE GRÁFICOS Los gráficos más frecuetes e Estadística so los siguietes: Diagrama de barras. So gráficos que asiga a cada valor de la variable ua barra proporcioal a su frecuecia. Histogramas So gráficos específicos para variables agrupadas por itervalos. Los histogramas asocia a cada itervalo u rectágulo de área proporcioal a la frecuecia correspodiete. Por tato, la altura del rectágulo depederá de la frecuecia represetada y de la logitud del itervalo. Poligoal de frecuecias Es la líea que ue los putos correspodietes a las frecuecias de cada valor o de los extremos de las barras; si los datos viee dados e itervalos, uirá los putos correspodietes a las marcas de clase. E este caso, covedrá distiguir etre poligoal simple y acumulativa. Diagrama de sectores Los gráficos tiee forma circular o semicircular. E el círculo, cada carácter viee represetado por u sector circular de ua amplitud proporcioal a su frecuecia. El radio del círculo depederá de la magitud represetada. Diagrama triagular Este diagrama se costruye sobre u triágulo equilátero, siedo cada lado u eje graduado de 0 a 100. Estos gráficos permite represetar a la vez tres modalidades, expresadas e porcetajes, de u mismo hecho. Pictogramas Estos gráficos se ayuda de imágees alusivas al tipo de datos represetados (coches, espigas, baloes...) Cartogramas So represetacioes sobre u mapa, sobre el que se idica catidades o colores de acuerdo co el carácter que se represeta. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Au grupo de 80 empleados se les ha realizado u test de habilidad espacial. E ua graduació de 0 a 100 ha obteido las siguietes putuacioes: Cofeccioa ua tabla apropiada para presetar estos resultados. Alberto Vara 12

13 2.- La siguiete tabla muestra la distribució de los muicipios españoles co meos de habitates: Habitates Número de muicipio Població Hasta De 101 a De 501 a De 1001 a De 2001 a TOTAL Fuete: I.N.E. (Auario El Mudo, 1993) Determia las marcas de clase, las frecuecias absolutas y relativas, frecuecias acumuladas absolutas y relativas, porcetajes y porcetajes acumulados de cada itervalo para los datos referidos a A partir de la tabla del problema aterior represeta gráficamete, mediate u histograma, el úmero de muicipios que había de cada tamaño e los años 1970, 1981 y Idica el título y la leyeda que cosideres ecesarios. 4.- La tabla siguiete muestra las emisioes de gases de iveradero e 1990 e la C.E.E.: Países Milloes TEC TOTAL CO 2 Metao CFC Alemaia (1) Bélgica (2) Diamarca España Fracia Grecia Holada Irlada Italia Portugal Reio Uido (1) Icluye sólo la atigua RFA; (2) Icluye Luxemburgo Fuete:WRI y OCDE (Auario El Muo, 1993). Represeta los datos totales de esta tabla mediate u diagrama de barras. Estadística descriptiva: Parámetros estadísticos 1.- PARÁMETROS ESTADÍSTIC0S Los parámetros estadísticos so úmeros que describe, de maera cocisa, el comportamieto y las características geerales de u cojuto de datos. Los parámetros que mide la tedecia cetral de los datos se llama medidas de cetralizació. Los más usuales so la moda, la mediaa, y la media. Los parámetros que mide la variació de los datos se llama medidas de dispersió. Las más empleadas so el rago, los cuartiles, la variaza y la desviació típica, especialmete las últimas. 2.- MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN La moda La moda es el valor que más se repite e u cojuto de datos. Si hay dos valores que se repite mayoritariamete y co igual frecuecia, la distribució se llama bimodal. Alberto Vara 13

14 La mediaa Es el valor del dato que queda e medio cuado todos los datos se ha ordeado de meor a mayor. Si e el cojuto estudiado hay u úmero par de datos, la mediaa es la media de los dos valores cetrales. Si los datos viee agrupados e itervalos puede hablarse de itervalo mediao. E este caso, si la mediaa se ecuetra e el itervalo [a, b), para precisarla, puede recurrirse a la fórmula: p( b a) Mediaa a dode, p es la posició que ocupa e el itervalo el valor de la m mediaa; y m, el úmero de idividuos e el itervalo [a, b). La media aritmética La media aritmética se calcula dividiedo la suma de los valores de todos los datos etre el úmero de ellos. Su fórmula es: x i x 1 i Media para datos agrupados: Si coocemos las frecuecias de cada valor, la media se calcula mediate la fórmula: fi x i x 1 i dode f i es la frecuecia de cada valor. Datos agrupados e itervalos: Todos los valores de cada itervalo toma el valor de la marca de clase correspodiete (valor cetral del itervalo). Se calcula de modo señalado ateriormete. La media poderada La media poderada se aplica cuado o todos los idividuos tiee el mismo peso. Su fórmula es similar a la de la media para datos agrupados, cambiado las frecuecias f i por los pesos p i, y el deomiador por la suma de todos los pesos, por lo que resulta: 3.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN x p i 1 i1 x p i p i i Amplitud (rago o recorrido) Es la diferecia etre el mayor y el meor valor de los datos cosiderados. Cuartiles So tres valores que divide al cojuto de datos, ua vez ordeado de meor a mayor, e cuatro grupos que cotiee todos el mismo úmero de éstos. Al primer cuartil se le llama cuartil iferior, el segudo cuartil es la mediaa, al tercer cuartil se le llama cuartil superior. La diferecia etre el cuartil superior y el iferior es el rago itercuartílico. Deciles y cetiles Los deciles so 9 valores que divide el cojuto de datos e 10 partes co igual úmero de idividuos cada ua. Los cetiles, o percetiles, so 99 valores que divide la totalidad e 100 partes co igual úmero de elemetos e cada ua de ellas. El cálculo de cuartiles, deciles y percetiles (e realidad todos so percetiles) para variables agrupadas por itervalos se efectúa de forma aáloga al cálculo de la mediaa, si más que teer e cueta que p Alberto Vara 14

15 represeta la posició del valor detro del itervalo de frecuecias dode se sitúe el percetil. La fórmula es, por tato: Percetil Variaza p( b a) a m Es la media aritmética de las diferecias al cuadrado de cada valor respecto de la media de todos ellos. Su fórmula es: 2 xi x i1 Equivalete a la fórmula aterior es: 2 Desviació típica (estádar) 2 dode es la letra griega sigma. x i1 2 i Esta es la medida de variabilidad de uso más frecuete. Se defie como la raíz cuadrada de la variaza. Por tato, su fórmula viee dada por: 2 x 2 i1 x x Tambié puede utilizarse, si es el caso, las fórmulas correspodietes para datos agrupados, multiplicado cada valor por su frecuecia absoluta. Sigificado de la media y de la desviació típica La desviació típica y la media so las dos medidas más utilizadas para describir u cojuto de datos. La media: Es el valor del promedio; el que se obtedría al repartir igualitariamete u todo etre sus elemetos. La desviació típica: Es ua medida de las diferecias habidas e ese reparto supuesto igualitario; a mayor desviació típica meos igualdad. Además, si la població de la que procede los datos se distribuye de u modo ormal, etoces, el 68% de los datos estará e el itervalo x, x, el 95% de los datos estará coteido e x 2 x 2 x 3, x 3, e los tres casos aproximadamete. i 2,, y el 99% de los mismos e el itervalo Coeficiete de variació Es ua medida objetiva de la dispersió de u cojuto de datos. Puede utilizarse para comparar dos poblacioes o muestras. Se defie como: Coeficiete de variació (CV) = x La muestra que tega u coeficiete de variació meor es la más homogéea o meos dispersa. PROBLEMAS PROPUESTOS Halla todos los parámetros de los problemas 1 y 2 del tema aterior. Alberto Vara 15

16 Estadística Iferecial DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Cuado se realiza u experimeto aleatorio y se hace u recueto de las frecuecias de cada suceso teemos ua distribució de frecuecias que suele presetarse mediate ua tabla de frecuecias. Cuado las frecuecias se sustituya por sus probabilidades teóricas tedremos ua distribució de probabilidad. Así pues, ua distribució de probabilidad es u modelo matemático (teórico) que trata de explicar los resultados de u experimeto aleatorio real. Este modelo permite asigar probabilidades a los distitos sucesos o realizar cojeturas si ecesidad de llevar a cabo el experimeto. La distribució de probabilidad puede ser discreta o cotiua depediedo de que explique feómeos de uo u otro tipo. La distribució de probabilidad más importate es la distribució ormal; es ua distribució cotiua. Se estudiará e el capítulo siguiete. E este capítulo vamos a estudiar la distribució biomial, que es discreta. Variable aleatoria Ua variable aleatoria es aquella que tome sus valores de acuerdo co los resultados de u experimeto aleatorio. Co más precisió podemos decir que, ua variable aleatoria es ua fució que asiga a cada suceso elemetal de u espacio muestral u úmero real. Las variables aleatorias suele desigarse por las letras mayúsculas X, Y. Z.... Ua variable aleatoria puede ser discreta o cotiua. Fució de probabilidad Sea X ua variable aleatoria discreta que tome los valores: x 1, x 2,..., x. Si a cada uo de estos valores de X se le asiga su probabilidad, esto es, p(x=x l ) =P 1, p(x=x2) = P 2,..., p(x = x ) = P etoces teemos defiida ua fució de probabilidad (o ua distribució de probabilidad). Tambié podemos escribir f(x i ) = p(x = x i ), i = 1, 2,... co f(x i ) 0 y i1 f ( x i ) 1 Uido a la fució de probabilidad se halla el cocepto de fució de distribució de dicha variable, que se defie como: F(x) = p(x x), o bie F(x) = xi x f ( x i ) Es decir, la fució F(x) mide la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores meores o iguales que x. EJEMPLO. a) El resultado del lazamieto de tres moedas es E= {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} Si represetamos por N el úmero de caras resultate, a los sucesos ateriores le asociamos los úmeros 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, y 0, respectivamete. N es la variable úmero de caras; N puede tomar, e este ejemplo, los valores 0, 1, 2 y 3. Esta variable es discreta. b) Las fucioes de probabilidad J() y de distribució F(), tomará los valores que se idica e la siguiete tabla: Alberto Vara 16

17 N f() = p(n=) 1/8 3/8 3/8 1/8 F() = p(n) 1/8 4/8 7/8 1 MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA Media Para ua distribució de frecuecias se teía x i1 f x i i i1 x f i i Aquí, como f i / tiede a la probabilidad P i, la expresió de la media será: x La media de ua variable aleatoria suele desigarse por la letra griega, A esta media se le llama tambié valor esperado o esperaza matemática de dicha variable, se desiga por E(X). Variaza Para el caso de ua distribució de frecuecias, teíamos: 2 2 fi ( xi x) i1 2 ( xi x) i1 Aquí, sustituyedo x por y f i / por p i, se tiee: La desviació típica será. fi ( xi x) pi xi pi i1 i1 i1 x i p i DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Esta distribució de probabilidad se asocia a feómeos aleatorios que se reduce a dos úicos resultados, como puede ser cara-cruz para ua moeda, hombre-mujer para las persoas o cumplir-o cumplir ua determiada propiedad. E geeral, estos resultados alterativos puede desigarse por los térmios éxito y fracaso, o si y o. Propiedades características 1. El resultado de ua prueba del experimeto aleatorio debe cocretarse e dos úicas opcioes complemetarias: éxito (E) o fracaso (F). 2. La probabilidad de éxito, p(e) = p; la probabilidad de fracaso, p(f) = q, siedo q= 1-p Estas probabilidades se matiee costates para cada ueva realizació del experimeto; es decir: 3. Cada esayo es idepediete del aterior. 4. Si repetimos veces el mismo experimeto, la variable aleatoria X expresa el úmero de éxitos e esas pruebas. Así pues, X puede tomar los valores 0, 1, 2,..., (éxitos). 5. Ua variable biomial de estas características, se dice que respode a los parámetros (úmero de repeticioes del experimeto) y p (probabilidad de éxito). Se escribe B(, p) Probabilidad de r éxitos Si X es ua variable biomial de parámetros y p, B(, p), etoces la probabilidad de r éxitos e las repeticioes del experimeto, viee dada por: p(x = r) = r p r.q -r 2 Alberto Vara 17

18 Dode se recuerda que p es la probabilidad de éxito; q la de fracaso. La probabilidad de que el úmero de éxitos sea meor o igual que r es, p(x r) = r r p r. q r0 r Se puede comprobar que p(x ) = r p. q r 0 r r Parámetros de ua distribució biomial La media de ua distribució biomial, B(, p) es x = =.p = (p+q) = 1 La desviació típica es. p. q EJEMPLO 2. a) Si jugamos a lazar u dado y apostamos al suceso obteer u 6, la probabilidad de éxito es p = 1/6; la de fracaso es q = 5/6. b) Si el dado se tire 10 veces, la probabilidad de teer 3 éxitos (de que e 3 ocasioes salga 6), es 10 p(x = 3) = c) E este caso estamos estudiado ua distribució biomial B(10, 1/6), de media = 10.1/6 = 10/6, y desviació típica = ' PROBLEMAS Distribució de probabilidad 1. Los dados que se usa pare rellear quiielas de fútbol tiee tres caras co el sigo 1, dos caras co el sigo X y ua co el sigo 2. Al lazar uo de estos dados 400 veces y observar el sigo de su cara superior se ha obteido los siguietes resultados: Sigo 1 X 2 f i Elabora ua tabla dode coste las distribucioes de probabilidad, y la fució de distribució de la variable aleatoria asociada. Solució: Sea S la variable aleatoria «sigo quiielístico de la cara superior del dado». De acuerdo co la cofecció de este dado se tiee: p{s= 1}= 3/6; p{s=x} = 2/6; p{s = 2} = 1/6 De este modo, y llamado f r (s i ) y f(s i ) a las distribucioes de frecuecia y probabilidad, y F(s i ) a la fució de distribució, se tiee: Sigo, s i 1 X 2 f r (s i ) 0,4925 0,33 0,1775 f(s i ) = p(s=s i ) 3/6 2/6 1/6 F(s i ) = p(s s i ) 3/6 5/ Las diaas que se usa pare el juego de dardos costa de círculos cocétricos umerados correlativamete del 1 al 10 comezado por la parte exterior. Después de observar miles de lazamietos de u jugador, se ha comprobado que las probabilidades de que éste acierte a los distitos úmeros so: Alberto Vara 18

19 Número Probabilidad 0,01 0,01 0,01 0,02 0,04 0,08 0,1 0,2 0,24 0,24 0,05 Calcula las probabilidades de que al lazar u dardo la putuació de ese jugador sea: a) superior a 7; b) o superior a 4; c) superior a 7 y o superior a 9; d) cuál es la putuació media esperada? Y la desviació típica? Solució: a) p(x > 7) = 0,24 + 0,24 + 0,05 = 0,s3 b) p(x 4) = 0,04 + 0,02 + 0,01 + 0,01 + 0,01 = 0,09 c) p(7 < X 9) = 0,24 + 0,24 = 0,48 d) = 0.0, , , , , , , , , , ,05 = 7,23 V(X) = 0 2.0, , , , , , , , , , ,05 - (7,23) 2 = 3,7971 Por tato, = 3, 7971 = 1, La distribució de probabilidad de ua variable aleatoria X viee dada por la tabla: X p(x) 0,18 0,25 0,3 0,12 0,15 a) Calcula las siguietes probabilidades: p(x 1); p(x 2); p(x 3); p(x 4); p(x 5) b) Halla la expresió de la fució de distribució asociada. Solució: a) p(x < 1) = O,18 p(x 2) = 0,18 + 0,25 = 0,43 p(x 3)=0,18+0,25+0,3=0,73 p(x4)=0,18+0,25+0,3+0,12=0,85 p(x5)=0,18+0,25+0,3+0,12+0,15= 1 b) Como ya sabemos, la fució de distribució determie las probabilidades acumuladas. Luego, F(x) = p(x x) = 0 si x 1 0, 18 si 1 x 2 0, 43 si 2 x 3 0, 73 si 3 x 4 0, 85 si 4 x 5 1 si 5 x Alberto Vara 19

20 4. Dada la fució de distribució 0 si x 14 0, 185 si 14 x 15 0, 458 si 15 x 16 0, 683 si 16 x 17 F(x) = 0, x 18 0, x 19 0, 985 si 19 x 20 1 si x 20 a) Calcula las siguietes probabilidades: p(x 17); p(x < 17); p(x 19); p(x > 15) b) p(16 < X 18); p(16 X 18) y p(16 X < 18); c) Justifica gráficamete los resultados del apartado b). Solució: a) Recuerda que p(x x) = F(x), luego: p(x 17) = F(17) = 0,891 p(x < 17) = p(x 17) - p(x = 17) = p(x 16) = F(16) = 0,683 p(x 19) = 1 - p(x < 19) = 1 - F(18) = 1-0,966 = 0,034 p(x > 15) = 1 - p(x 15) = 1 - F(15) = 1-0,458 = 0,542 b) p(l6 < X 18) = p(x 18) - p(x 16) = F(18) F(16) = 0,966-0,683 = 0,283 p(16 X 18) = p(x 18) p(x 15) = F(18) F(15) = 0,966-0,458 = 0,508 p(l6 X < 18) = p(x 17) p(x 15) = F(17) F(15) = 0,891-0,458 = 0,403 Media y variaza de ua distribució de probabilidad discreta 5. Ua variable aleatoria discretee tiee la siguiete distribució de probabilidad: X p(x) 0,185 0, m 0,208 5.m 0,019 m a) Calcula el valor de m pare que efectivamete se trate de ua distribució de probabilidad; b) halla la media, la desviació típica y el coeficiete de variació; c) cuál es la probabilidad de que X esté e el itervalo []? Solució: a) Como la suma de las probabilidades debe ser la uidad: 0, , m + 0, m + 0,019 + m = 1 Es decir, 0, m = 1 => m = 0,015. Por tato, p(x = 16) = 15. 0,015 = 0,225; p(x = 18) = 5. 0,015 = 0,075; p(x = 20) = 0,015 b) = 14. 0, , , , , , ,015 = 15,832 La variaza será: V(X) = , , , , , , ,015 - (15,832) 2 = 1,9 De dode, = 1, 9 = 1,38 y CV(X) = / = 0,087. Alberto Vara 20

21 c) [ -, + ] = [14,452, 17,212], luego p(x [14,452, 17,212] ) = p(x = 15) + p(x = 16) + p(x = 17) = 0, , ,208 = 0, U juego cosiste e lazar tres moedas: si sale tres caras o tres cruces, se gaa ptas. y, si se obtiee cualquier otro resultado, se pierde ptas. Se trata de u juego equitativo? Nota: E los juegos de diero, el valor esperado se cosidera desde el puto de vista del jugador. Es decir, si hay gaacia para el orgaizador, se cosidera egativo. Solució: Los posibles resultados que se obtiee al lazar tres moedas so: (C, C, C), (X, X, X), (C, X, X), (X, C, X), (X, X, C), (C, C, X), (C, X, C), (X, C, C). La probabilidad de gaar ptas. es p(3c o 3X) = 2/8. Por tato, la probabilidad de perder ptas. es 6/8. Para que el juego sea equitativo la gaacia o pérdida esperada debe ser cero. Dicho de otro modo, la media o esperaza matemática de la variable debe ser cero. Dado que: podemos afirmar que el juego es equitativo = = Distribució biomial 7. Supogamos que el porcetaje de estudiates que ha repetido curso algua vez es del 35 %. Si se toma 8 estudiates al azar, cuál es la probabilidad de que al meos 2 de ellos haya repetido curso? Solució: Se trata de ua distribució biomial de parámetros = 8 y p = 0,35. Luego la probabilidad de o haber repetido curso será q = 0,65. La probabilidad pedida es: p(x 2) = 1 - p(x 2) = 1 - p(x = 0) - p(x = 1) - p(x = 2) Siedo cada ua de estas probabilidades: p(x = 0) = p(x= 1)= p(x = 2) = 8 0 0,35 0,65 8 = 0, , ,65 7 = 0, ,35 2 0,65 6 = 0,2587 luego, p(x > 2) = 1 - p(x 2) = 1 - p(x = 0) - p(x = 1) - p(x = 2) = 1-0,4279 = 0,5721 Los resultados se ha obteido directamete de la tabla de distribució biomial. Para el primero, cruce de fila 8 0 y columa.35; pare el segudo, cruce de fila 8 1 y columa E 1992 el 20 % de las películas de cie proyectadas e España era de acioalidad española. Si tomamos ua muestra de seis películas, calcula la probabilidad de que haya: a) ua película española; b) tres o más películas españolas. Solució: Sea la variable aleatoria X = «úmero de películas españolas». La distribució de esta variable aleatoria es B(6, 0,2), puesto que hay 6 pruebas y la probabilidad de éxito de cada ua de ellas es de 20/100 = 0,2. a) p(x = 1) = 6 1 (0, 2). (0,8) 5 = 0,3932 b) p(x 3) = p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5) + p(x = 6) = 6 0 (0,2) 6 = 0, , , ,0001 = 0, (0,2) 3 (0,8) (0,2) 4. (0,8) (0,2) 5. (0,8) + 9. La probabilidad de que u jugador de balocesto haga ua caasta de tres putos es 0,15: a) si efectúa 9 lazamietos de tres putos, cuál es la probabilidad de que acierte al meos tres lazamietos?; y la probabilidad de fallar siete? b) cuátos lazamietos tiee que realizar pare que la probabilidad de meter al meos ua caasta sea mayor que 0,9? Solució: Sea la variable aleatoria X = «úmero de caastas de tres putos». La distribució de esta variable aleatoria es ua Alberto Vara 21