Cálculos aproximados y estimaciones. Logaritmos

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1 Cálculos aproximados y estimaciones. Logaritmos J Güémez Facultad de Ciencias Universidad de Cantabria Enero 21, Estimaciones Cómo estimar la longitud de un objeto? Método de la media geométrica. 2 Constantes universales En Física hay muchas magnitudes que son constantes universales aparecen involucradas en muchos fenómenos diferentes y su conocimiento permite realizar cálculos sencillos sobre muchos procesos físicos. En la Tab. 1 se proporcionan algunas constantes universales así como sus valores redondeados en orden de magnitud. Para mejor recordarlas, se han redondeado a múltiplos de 3 o de 6. 3 Cálculos. Logaritmos y potencias 1. Principio de Wheeler. En primer lugar debe recordarse lo que John Archibald Wheeler 1 denomina primer principio moral de un físico: Nunca se debe hacer un cálculo sin conocer antes el resultado. Aunque esta afirmación parezca un oxímoron, pues se supone que uno hace el cálculo precisamente para conocer el resultado, lo que se quiere decir es que antes de cualquier cálculo numérico preciso se 1 El inventor del nombre black hole (hoyo o agujero negro) 1

2 Nombre Símbolo Valor SI Aproximación Constante Gravitación Universal G 6, Gravedad terrestre g 9,81 10 Constante de Boltzmann k 1, Número de Avogadro N A 6, Constante de los gases R 8, 31 6 Constante de Planck h 6, Velocidad de la luz en vacío c 2, Carga del electrón e 1, Masa del electrón m e 9, Pi π 3,14 3 e e 2,72 3 Tabla 1: Algunas constantes universales, sus valores en el SI y sus aproximaciones en orden de magnitud. deben hacer consideraciones y estimaciones sencillas, posiblemente incluso aproximaciones crudas, que permitan conocer aproximadamente la solución 2. Si esto no se hace de forma sistemática, la probabilidad de equivocarse al hacer cálculos tiende a uno con inusitada rapidez. Una revisión de las dimensiones de las magnitudes empleadas y de la coherencia dimensional de las expresiones a las que se ha llegado suele ser una buena forma, y rápida, de detectar posibles errores. El punto anterior está directamente relacionado con el uso indiscriminado de calculadoras de bolsillo en la resolución numérica de problemas. Debe recordarse aquí que las calculadoras funcionan bien si se aprietan las teclas adecuadas, lo que no siempre sucede. Trabajar sistemáticamente con números expresados en forma de potencias de 10 ayuda mucho en los cálculos, sobre todo a la hora de simplificar expresiones complejas. Estas estimaciones deben proporcionar al menos el orden de magnitud del resultado buscado. En este mismo sentido es importante intentar conservar hasta el final las variables en forma literal, sin sustituirlas por sus valores numéricos cada vez que aparecen, y sólo sustituirlas en la expresión final. De esta forma se tarda menos tiempo en el cálculo, pues muchos pasos intermedios se evitan al simplificarse entre sí, y hay que hacer muchos menos cálculos. 2 Enrico Fermi y Lev Landau son conocidos por su especial habilidad para hacer esto en las situaciones más variadas. 2

3 1. Segundo principio moral de un físico: Nunca se debe hacer un experimento sin conocer antes el resultado. La idea es que sólo puede haber una sorpresa al realizar un experimento si previamente se ha desarrollado una teoría y se espera una relación numérica concreta. Si ésta se obtiene dentro del intervalo de error, se diseña otro experimento. Si no se obtiene el resultado esperado, hay que revisar toda la instalación. Sólo cuando uno está completamente seguro de que el resultado es genuino puede empezar a suponer que se encuentra con un efecto no previsto y que tiene una posibilidad de avanzar en el conocimiento. 4 Logaritmos 4.1 Propiedades de los logaritmos Los logaritmos son una herramienta matemática muy útil a la hora de llevar a cabo cálculos numéricos. Dado un cierto número, a, y una cierta base b, se dice que el número c es el logaritmo de a en base b cuando se tiene que a = b c, y se nota c = log b a. Del mismo modo, a es el antilogaritmo de c en base b. Los logaritmos simplifican los cálculos debido a que transforman los cálculos de productos, divisiones, elevar a potencias y calcular raíces cuadradas en cálculos de sumas y restas. Esto se debe a las propiedades de las potencias, y de los logaritmos: b c b d = b c+d ; (b c ) d = b cd. Los exponentes pueden ser tanto positivos, b 3 = bbb, como negativos b 2 = 1/b 2 o fraccionarios b 3/2 = b 3. Dada la definición de logaritmo, no es difícil demostrar las siguientes propiedades de los mismos: log b (a 1 a 2 ) = log b a 1 + log b a 2 ; a 1 log b a 2 = log b a 1 log b a 2 ; log b (a) n = n log b a. 3

4 Si hay que multiplicar dos números, n 1 y n 2, se elige una misma base, b, y se obtienen los logaritmos de cada uno de ellos en esa base, de tal forma que n 1 = b c 1 : n 2 = b c 2, n 1 n 2 = b c 1+c 2. Se calcula ahora el antilogaritmo de c 1 + c 2 en base b y así se obtiene el producto de los dos números. Aunque parece que no se gana mucho con esta forma de realizar el cálculo, cuando hay muchas operaciones implicadas, se consigue ahorrar mucho tiempo. Una base de logaritmos importante 3 es 10 y existen tablas de logaritmos decimales calculados con gran precisión. Otras bases de logaritmos importantes son 2 y el número e, base de los logaritmos naturales. Dado que los logaritmos de un mismo número en dos bases diferentes se transforman utilizando un factor fijo, sólo se necesita una tabla de logaritmos. Así, si se quiere obtener el logaritmo en base 2 de 7 y se sabe que el logaritmo en base 10 de 7 es 0,85, entonces, como 7 = 10 0,85 = 2 c, tomando logaritmos en base 10, se tiene que 0, 85 = c log 10 2, y como se sabe que log 10 2 = 0, 30, se tiene finalmente que log 2 7 = 1 0, 30 log , 81. Luego para transformar un logaritmo en base 10 en un logaritmo en base 2 sólo es necesario multiplicarlo por 3,32. Una transformación semejante se puede obtener para cualquier otra base. Una base muy importante es e = 2, , la base de los logaritmos neperianos 4. El logaritmo en base 10 de este número se puede estimar haciendo e 2 7 log 10 e log = 0, 43, 3 N. David Mermin, Logarithms!, Am. J. Phys. 46, 101 (1978) 4 Ian Bruce, Napier s logarithms, Am. J. Phys. 68, 148 (2000) 4

5 que se aproxima al valor real log e = 0, A su vez, el logaritmo neperiano de 10 será e x = 10 x = ln 10; x log e = 1 ln 10 = 1 log e = 2, 30, que se compara muy bien con el valor real ln 10 = 2, Con log e 10 = 2, 302, log 1 0e = 1 = 0, 434, 2, 30 un número A se puede poner como A = 10 a = e q, de donde q = a0.434 ó a = q Cálculos con logaritmos Para realizar prácticamente todos los cálculos que se necesitan es sólo necesario recordar un número: log 10 2 = 0, que es el logaritmo decimal de 2, es decir, que 10 0, = 2, Pero recordando que log , 30 (un error de 1 en 300) se consigue casi lo mismo. Para obtener este resultado, se puede considerar lo siguiente. Puesto que 2 10 = 32 2 = y se tiene que 10 3 = log 10 2 = 3 log 10 2 = 0, 30; 10 0,3 2, 0. Se pueden recordar otros números, pero hay algunas reglas para recordarlos. Por ejemplo, que log , 48 se puede recordar considerando que 3 2 = 9 y que 2 3 = 8, por lo que el logaritmo de 3 debe ser un poco más de 3/2 del logaritmo de 2. Como 4 = 2 2, su logaritmo es 0,60. Como 5 = 10/2, entonces 5 = 10 log 5 10/10 0,30 y log 5 = 1 log 2 0, 70. Como 6 = 3 2, log 6 0, 78. los logaritmos de 8 y 9 son 3 log 2 0, 90 y 2 log 3 0, 96, respectivamente. Y como , entonces log 7 (1 + log 5)/2 0, 85. 5

6 Número log 10 Número log ,85 1,25 0,10 8 0,90 1,6 0,20 9 0,96 2 0, ,0 2,72 0,43 e 0, , ,0 4 0, ,0 5 0,70 1/ ,78 1/6-0,78 Tabla 2: Valores aproximados de los logaritmos decimales de algunos números. Qué valores podemos esperar para 10 0,10 o para 10 0,20. Puesto que 2 1, 41, entonces 10 0,15 1, 4. En cualquier caso es bueno recordar que 10 0,10 1, 25 y que 10 0,20 1, 6 1. Calcular la raíz cuadrada de 487. Una forma aproximada el método asirio de calcular raíces cuadradas es encontrar un número aproximado, y aproximar como 487 = x, se puede aproximar 487 = (20 + x) x + de donde x 87/40 2, 2. Por tanto , 2. Puesto que , su logaritmo debe estar próximo a 2 0, = 2, 7. Dividiendo este número por 2, se tiene 1,35. Su antilogaritmo es 10 0,35 10, que debe ser del orden de 21 ó 22. El valor correcto es 487 = 22, Calcular la raíz quinta de 487 (A = 487 1/5 ). Ahora el método asirio es algo más difícil de aplicar. Pero tomando logaritmos, se tiene que log 487 1/5 2, 7 5 0, 54, por lo que su antilogaritmo debe ser del orden de 3,1 ó 3,2. El valor correcto es 487 1/5 = 3, 45. Con el método asirio 487 = x, de donde x = 0, 6. 6

7 3. Calcular Aproximando se tiene que de donde y A = 297 ( ( ) /1,2 51 ) 1/1,2 ( ) /1, , 50 log A (2 + 0, 48) + 1 (1 + 0, 70) 2, 5 + 1, 4 = 3, 9, 1, 2 El resultado correcto es Calcular P a partir de Aproximando Por tanto A 10 0, ln P [ ] 760 = , [ ] , [ ] , , 7 2 P 760 exp( 2) Como ln 10 = 2, 30, e /2,3 10 0,8 1/6 0, 16. Por tanto P 122. El resultado correcto es Calculo del número de granos de trigo en tablero de ajedrez. La suma Con A = 10 b = 2 64, se tiene que A = 10 19,2 = 1, Si cada metro cuadrado de trigo produce 10 3 espigas, a 10 2 granos por espiga, se necesitan 1, km 2 de cultivos. la superficie de España es km 2. 7

8 4.3 Aproximación de funciones En ocasiones hay que realizar cálculos aproximados de funciones. En esos casos resulta muy útil tener en cuenta los siguientes resultados: 1. (1 + x) x = (1 + x) 1 = 1 x + x 2 x 3 + x 4 Si x 1, entonces (1 + x) 1 1 x y (1 x) x. Por ejemplo 1 1, 1 = 0, 909; 1 = 1, 11. 0, 9 2. ln(1 + x) ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 Si x 1, entonces ln(1 + x) x y ln(1 x) x Por ejemplo ln 1, 1 = 0, 095; ln 0, 9 = 0, e x e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + Si x 1, entonces e x 1 + x y e x 1 x Por ejemplo 4. sen x e 0,1 = 1, 11; e 0,1 = 0, 905. sen x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + Si x 1, entonces sen x x y sen ( x) x Por ejemplo 5. cos x sen 0, 1 = 0, 0998; sen 0, 1 = 0, cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + Si x 1, entonces cos x 1. Por ejemplo 5 Estimación de errores cos 0, 1 = 0, 995. Una medida experimental sin su barra de error no tiene significado físico. Ajuste por mínimos cuadrados. Obtención y significado. 8