1 Números racionales

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1 8 _ 0-0.qxd //0 : Página Números racionales INTRODUCCIÓN Esta unidad desarrolla conceptos y técnicas ya conocidos de otros cursos. Sin embargo, es conveniente repasar las distintas interpretaciones que ofrecen las fracciones, las diferencias de interpretación de fracciones positivas y negativas, y la diferencia entre fracciones propias e impropias. A lo largo de la unidad se resolverán operaciones tales como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y obtención del común denominador de varias fracciones, que pondrán de manifiesto su utilidad para resolver problemas de la vida diaria. Conviene hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de las fracciones en distintos contextos. Además, se trabajará la relación entre los números racionales y los números decimales, aprendiendo a pasar de unos a otros. Se practicará la lectura y escritura de números decimales exactos y su expresión en forma de fracciones decimales. RESUMEN DE LA UNIDAD a d Dos fracciones y son equivalentes b c si se cumple que a c b d. racción irreducible es aquella que no se puede simplificar. Para comparar, sumar y/o restar fracciones, estas deben tener igual denominador. El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y con denominador, el producto de los denominadores. Para dividir fracciones se realiza el producto cruzado de los términos de cada una de ellas. El conjunto de los números racionales lo forman los números enteros y los números fraccionarios. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Reconocer las formas de representación que tiene una fracción. Numerador y denominador. Representación escrita, numérica, gráfica y en la recta. Utilización de dibujos y expresiones. Identificación de una fracción. Representación de una fracción.. Reconocer y obtener fracciones equivalentes a una dada. Obtención de fracciones equivalentes a una dada. Obtención de fracciones equivalentes. Determinación de si dos fracciones son equivalentes.. Amplificar y simplificar fracciones. Amplificación de fracciones. Simplificación de fracciones. racción irreducible. Obtener fracciones equivalentes por amplificación y simplificación. Reconocimiento de la fracción irreducible.. Reducir fracciones a común denominador.. Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.. Obtener la forma decimal de una fracción.. Reconocer los diferentes tipos de números decimales. Obtención del común denominador de varias fracciones. Comparación de fracciones. Suma y resta de fracciones. Multiplicación y división de fracciones. Expresión de fracciones en forma decimal. Decimal exacto. Decimal periódico puro. Decimal periódico mixto. Búsqueda del denominador común de dos fracciones. Ordenación de un conjunto de fracciones. Operaciones con fracciones. Operaciones combinadas. Obtención de la expresión decimal de una fracción. Distinción de los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos. ADAPTACIÓN CURRICULAR 8. Obtener fracciones a partir de números decimales. Expresión de números decimales como fracciones. Cálculo de la expresión fraccionaria de un número decimal exacto o periódico. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

2 8 _ 0-0.qxd //0 : Página RECONOCER OBJETIVO LAS ORMAS DE REPRESENTACIÓN QUE TIENE UNA RACCIÓN NOMBRE: CURSO: ECHA: Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador. Denominador Partes en que se divide la unidad. Numerador Partes que tomamos de la unidad. racción: NUMERADOR DENOMINADOR Denominador Dividimos la unidad en cuatro partes iguales. Numerador Tomamos tres partes del total. ORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UNA RACCIÓN Una fracción se puede representar de distintas formas: Representación escrita. Representación gráfica. Representación numérica. Representación en la recta numérica. REPRESENTACIÓN ESCRITA REPRESENTACIÓN NUMÉRICA REPRESENTACIÓN GRÁICA REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Dos quintos 0 Cuatro séptimos 0 Cuatro tercios 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

3 8 _ 0-0.qxd //0 0:9 Página Completa la siguiente tabla. REPRESENTACIÓN ESCRITA REPRESENTACIÓN NUMÉRICA REPRESENTACIÓN GRÁICA REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Cuatro quintos Siete quintos Partiendo del dibujo, halla la fracción que representa y escribe cómo se lee. a)... octavos b) c)... medios d) Cuál es la respuesta correcta? Rodéala. a) c) 8 ADAPTACIÓN CURRICULAR b) d) MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

4 8 _ 0-0.qxd //0 : Página OBJETIVO RECONOCER Y OBTENER RACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA NOMBRE: CURSO: ECHA: a c Dos fracciones y son equivalentes cuando el producto cruzado de numeradores y denominadores b d es igual. a c a d b c b d Las fracciones y son equivalentes, ya que. Dibuja las siguientes fracciones. a) c) e) 8 b) d) f) 0 Observando el ejercicio anterior vemos que algunas fracciones, a pesar de ser diferentes, nos dan el mismo resultado. Coloca en dos grupos estas fracciones. Grupo racciones que representan la mitad de la tarta. Grupo racciones que representan dos tercios de la tarta. Calcula tres fracciones equivalentes. a) 9 b) c) d) Halla el número que falta para que las fracciones sean equivalentes. 8 a) x b) c) 0 x x 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

5 8 _ 0-0.qxd //0 : Página OBJETIVO AMPLIICAR Y SIMPLIICAR RACCIONES NOMBRE: CURSO: ECHA: AMPLIICACIÓN DE RACCIONES Para obtener una fracción equivalente a otra fracción dada multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un número distinto de cero. Este método se llama amplificación. Observa que podemos obtener tantas fracciones amplificadas como queramos. Obtén una fracción equivalente y amplificada de. Las fracciones son equivalentes, es decir, representan el mismo número. y Calcula fracciones equivalentes por amplificación. a) b) Halla dos fracciones equivalentes. a) ADAPTACIÓN CURRICULAR b) c) d) 9 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

6 8 _ 0-0.qxd //0 : Página SIMPLIICACIÓN DE RACCIONES Simplificar una fracción es encontrar otra fracción equivalente a ella dividiendo numerador y denominador por un factor común. Observa que el proceso, al contrario que en la amplificación, no se puede realizar indefinidamente. Se termina al encontrar una fracción que no se puede simplificar. Esta fracción se llama fracción irreducible. Simplifica las siguientes fracciones. 0 : 0 : 0 y son equivalentes : 0 0 : y son equivalentes Amplifica y simplifica la siguiente fracción. Amplificar: Simplificar: : : Haz lo mismo con estas fracciones. a) Amplificar: Simplificar: : : b) 0 Amplificar: 0 Simplificar: 0 : : 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

7 8 _ 0-0.qxd //0 : Página OBJETIVO REDUCIR RACCIONES A COMÚN DENOMINADOR NOMBRE: CURSO: ECHA: COMPARAR RACCIONES Qué fracción es mayor, o? Representamos las fracciones con un dibujo y lo vemos fácilmente: El dibujo, sin embargo, no siempre es tan claro. Por tanto, vamos a aprender a hacerlo creando una fracción equivalente de cada fracción, con común denominador, es decir, tenemos que conseguir que el denominador de las dos fracciones sea el mismo. es el común denominador. Ahora, en lugar de comparar con, comparamos con. Como el denominador es común, comparamos los numeradores de y para saber cuál de las fracciones es mayor: > ; por tanto, > Recuerda que, dadas dos fracciones con igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Ordena estas fracciones COMÚN DENOMINADOR > > > > > > ADAPTACIÓN CURRICULAR MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

8 8 _ 0-0.qxd //0 : Página 8 BUSCAR EL DENOMINADOR COMÚN Queremos comparar las siguientes fracciones:, y. 0 Cuáles son los denominadores?, 0 y El común denominador será un número mayor que 0, y, pero que tenga a 0, y como divisores, por ejemplo: a) El número es mayor que 0, y, pero tiene a todos ellos como divisores? 0?? No tiene a 0 ni a como divisores, solo a. Por tanto, no sirve. b) El número es también mayor que 0, y. Pero veamos qué pasa cuando lo utilizamos: 0? Tampoco sirve, ya que no tiene a 0 como divisor. c) Probamos con el número El número 0 sirve como común denominador, aunque no es el único. Si continuásemos buscando encontraríamos más: 0, 90, Vamos a hallar fracciones equivalentes a las dadas, con denominador común 0: Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 0 si partimos de 0? 0? Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 0 si partimos de?? Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 0 si partimos?? 0 Por tanto:,, 0 0,, Ahora ordenamos las fracciones de mayor a menor: > > > > MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

9 8 _ 0-0.qxd //0 : Página 9 Ordena las siguientes fracciones:,,, y. Nos fijamos en los denominadores:...,...,...,...,... Queremos encontrar un número que contenga a todos los denominadores como divisores. El número más adecuado es. Cómo se calcula este número? : Cómo se calcula este número? : Ahora ordenamos de mayor a menor: REDUCIR RACCIONES A COMÚN DENOMINADOR 8 Reduce a común denominador estas fracciones: y. 9 Hallamos el m.c.m. de los denominadores. 9 m.c.m. (, 9) 9 El m.c.m. de los denominadores es el nuevo denominador de las fracciones. Completa la tabla. : RACCIONES REDUCIDAS A COMÚN DENOMINADOR ORDENADAS DE MENOR A MAYOR 8 9 : ADAPTACIÓN CURRICULAR,,,, MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 9

10 8 _ 0-0.qxd //0 : Página 0 SUMAR, OBJETIVO RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR RACCIONES NOMBRE: CURSO: ECHA: SUMA (O RESTA) DE RACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR La suma (o resta) de fracciones con igual denominador es otra fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma (o resta) de los numeradores. + Dibújalas + Un tercio más cuatro tercios son cinco tercios. SUMA (O RESTA) DE RACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, reducimos primero a denominador común y, después, sumamos (o restamos) sus numeradores. Haz esta suma de fracciones: +. Para sumar las fracciones hay que obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador. Nos interesa obtener el mínimo común denominador de y, en este caso. Ahora sumamos las fracciones con igual denominador: Realiza las siguientes operaciones. a) + b) MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

11 8 _ 0-0.qxd //0 : Página MULTIPLICACIÓN DE RACCIONES El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores: a b c d a c b d 0 Realiza las multiplicaciones de fracciones. a) e) b) 0 f) c) g) 8 d) 8 h) 0 DIVISIÓN DE RACCIONES La división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción, y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda: a b c a d : d b c : Realiza las siguientes divisiones de fracciones. a) 8 8 : e) : 8 b) 9 : f) : c) : g) : 8 d) h) 8 : : 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. ADAPTACIÓN CURRICULAR

12 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. Recuerda que, cuando se realizan operaciones combinadas, es decir, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones a la vez: Se hacen primero las operaciones de los paréntesis. Luego se resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. Por último, se operan las sumas y restas, en el mismo orden. En este caso, la operación queda divida en tres BLOQUES. + Realizamos las operaciones de cada bloque antes de sumar o restar: A B C A: Hacemos la multiplicación. B: Hacemos la división. C: No se puede operar. + Ahora realizamos las sumas y las restas: Solución : + : + : Realiza estas operaciones:. Tenemos dos bloques con los que debemos operar por separado: Como no hay sumas o restas fuera de los paréntesis, tiene prioridad el producto: Común denominador A: B: + A B No se puede operar. Tenemos que operar por partes, volviendo a dividir en bloques la operación. + I: No se puede operar. II: Realizamos la suma: + + I II 8 _ 0-0.qxd //0 0:0 Página

13 8 _ 0-0.qxd //0 : Página OBJETIVO OBTENER LA ORMA DECIMAL DE UNA RACCIÓN NOMBRE: CURSO: ECHA: Para obtener la forma decimal de una fracción o número racional se divide el numerador entre el denominador , 00 ORMA RACCIONARIA: ORMA DECIMAL: 0, 00, ORMA RACCIONARIA: ORMA DECIMAL:,, 0, ORMA RACCIONARIA: ORMA DECIMAL:,, Expresa en forma decimal estas fracciones y ordénalas. 9 a) c) e) 0 ADAPTACIÓN CURRICULAR b) d) f)... <... <... <... <... < <... <... <... <... <... MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

14 8 _ 0-0.qxd //0 :8 Página RECONOCER OBJETIVO LOS DIERENTES TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES NOMBRE: CURSO: ECHA: Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción para obtener su expresión decimal pueden darse estos casos. Si el resto es cero: Cuando el cociente no tiene parte decimal, tenemos un número entero. Cuando el cociente tiene parte decimal, decimos que es un decimal exacto. Si el resto no es cero: las cifras del cociente se repiten, la expresión decimal tiene infinitas cifras. Se obtiene un decimal periódico. Cuando la parte que se repite comienza desde la coma, se llama decimal periódico puro. Cuando la parte que se repite no comienza desde la coma, se llama decimal periódico mixto. Decimal 0,, exacto Decimal periódico puro, Decimal periódico mixto Completa la tabla, clasificando la expresión decimal de las fracciones en exactas, periódicas puras o periódicas mixtas. ORMA RACCIONARIA 9 0 ORMA DECIMAL DECIMAL EXACTO DECIMAL PERIÓDICO PURO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO, No Sí No Escribe en cada número las cifras necesarias para completar diez cifras decimales. a), e), b), f) 0, c), g), d) 0, h), MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

15 8 _ 0-0.qxd //0 : Página OBJETIVO 8 OBTENER RACCIONES A PARTIR DE NÚMEROS DECIMALES NOMBRE: CURSO: ECHA: Todo número decimal exacto o periódico se puede expresar en forma de fracción. Para ello hay que multiplicarlo por la potencia de 0 adecuada y realizar una serie de operaciones hasta obtener una fracción. NÚMEROS DECIMALES EXACTOS 0, Llamamos x a 0,. x 0, Multiplicamos por la unidad seguida 00x 00 0, de tantos ceros como cifras decimales tiene el número. 00x Simplificamos, si es posible. Completa la operación. x 00 x 8 0, x 0, 00x 00 0, 00x x 00 0, 8 Halla la forma fraccionaria de este número decimal. Por qué hemos multiplicado por 0 y no por 00? x 0, x 0, 0x 0 0, 0, ADAPTACIÓN CURRICULAR x 0, MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

16 8 _ 0-0.qxd //0 : Página Expresa estos números decimales como fracción. a) 0,0 Por qué valor multiplicamos? x 0,0 x 0, 0 b) 0, x 0, c) 0, x 0, d) 0, x 0, Expresa mediante un número decimal la parte gris de la figura. Escribimos de forma fraccionaria la parte gris de la figura. Pasamos a forma decimal. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

17 8 _ 0-0.qxd //0 : Página NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS PUROS Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal,,. Si, no tuviera infinitas cifras decimales, podríamos obtener la forma fraccionaria como en el caso de los números decimales exactos. Por tanto, no podemos actuar de esta manera., x, 0x 0, 0x, x,... 0,, 0 Tenemos que eliminar las infinitas cifras decimales., Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período. x, 0x 0, 0x, Simplificamos. 0x, x, 9x x 9 Realizando esta resta eliminamos la parte decimal. ADAPTACIÓN CURRICULAR x, Siempre hay que simplificar, si se puede, la fracción resultante. MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

18 8 _ 0-0.qxd //0 : Página 8 Completa las siguientes operaciones. a),, x, 0x 0x 0x x, 9x x, b),8,888 x,888 0,888 8,888 8,888 x,888 x,8 c), x x x, 8 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

19 8 _ 0-0.qxd //0 : Página 9 Calcula la forma fraccionaria de los números decimales. a), Multiplicamos por 00. x, 00x 00, 00x 00x x, 99x x, b), x, x c) 0, x 0,, ADAPTACIÓN CURRICULAR x 0, MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 9

20 8 _ 0-0.qxd //0 : Página 0 NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS MIXTOS Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal,,. Si actuamos como en el caso de los decimales puros, tenemos que: x, 0x 0, 0x, 0x, x, 9x 9, 9, x 9 No obtenemos una fracción. Hay que utilizar otro procedimiento., Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte periódica y no periódica. x, 00x 00, Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte decimal no periódica. 00x, 0x, 00x, 0x, 90x 9 Realizando esta resta eliminamos los decimales. Simplificamos. x 9 90 x, 0 MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

21 8 _ 0-0.qxd //0 : Página Expresa estos números decimales en forma de fracción. a),, x, 00x 00, 00x 0x 00x 0x, 90x x, b),8,888 x,888 x,8 c) 0, x ADAPTACIÓN CURRICULAR x 0, MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

22 8 _ 0-0.qxd //0 0:0 Página 8 Completa la siguiente operación., Multiplicamos por x,.000x.000,.000x.,.00x,.000x., 0x 00., 990x x, 9 Expresa como una fracción. x, x, Hay números decimales que no se pueden expresar como una fracción.,,,0 Estos números reciben el nombre de números irracionales. 0 Clasifica los siguientes números. a) 0, b), c), d), e), f), DECIMAL EXACTO DECIMAL PERIÓDICO PURO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO IRRACIONAL MATEMÁTICAS. ESO MATERIAL OTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.