COMBINACIONES CON REPETICIÓN. cajas, teniendo en cuenta que cada caja puede

Transcripción

1 COMBINACIONES CON REPETICIÓN Tenemos objetos idénticos para distribuir en n cajas distintas de cuántas formas distintas se pueden introducir los objetos en las n contener los objetos? cajas, teniendo en cuenta que cada caja puede Elegimos de las n cajas para colocar en ellas los objetos, pudiendo elegir la misma caja más de una vez. 42

2 La alineación de las n cajas da lugar a n tabiques de separación entre las cajas. ooo oo oooo ooo o o Hay que elegir la posición de objetos (ceros) ó de (n ) tbi tabiques (unos) deentre un ttld total de (n ) + elementos. CR n, n n n (Jacob Bernouilli, 700) 43

3 Combinación con repetición es una Selección no ordenada de elementos escogidos entre n tipos diferentes de elementos, donde el mismo elemento se puede elegir hasta veces. El número de selecciones no ordenadas es CR n, n n n 44

4 Ejemplo En una pastelería hay 2 clases de pasteles. Un cliente desea comprar 24 pasteles, de cuántas formas puede hacer su elección? ooo oo oooo ooo o o Hay que elegir = 24 pasteles de un conjunto con n = 2 clases distintas de pasteles. 45

5 La alineación de las n = 2 cajas da lugar a n = tabiques de separación entre las cajas. Hay que elegir la posición de = 24 pasteles ó la posición de n = tabiques de entre un total de (n ) + = 35 elementos. CR n 2,

6 Ejemplo Cuántos resultados distintos t saldrán al lanzar tres dd dados iguales a la vez? Solución Hay que elegir tres resultados ( = 3) A={,2,...,6} con n = 6 cajas. del conjunto Si i = nº de veces que sale i en los dados, entonces i CR n 6,

7 Si tenemos objetos idénticos para distribuir en n cajas distintas, teniendo en cuenta que cada caja puede contener objetos, se puede considerar que elegimos i objetos de tipo i para alguna nupla n,, con 0 y n i y i i Combinación con repetición de objetos elegidos entre n es una solución entera no negativa de la ecuación n n n 0 CR n, i n 48

8 Ejemplos ) El número de soluciones enteras no negativas de la ecuación es CR n 5, 30 0 i 30 2) De cuántas formas se pueden seleccionar 8 piezas de fruta de una cesta que contiene manzanas, naranjas y peras si el orden en que se seleccionan las piezas no se tiene en cuenta? 0 2 i tiene 0 8 CR n 3, 8 45 soluciones 49

9 U l ió t iti d l ió Una solución entera positiva de la ecuación n es una combinación con repetición de objetos elegidos entre n tipos de objetos de modo que se elige, al menos, un objeto de cada tipo º se elige un objeto de cada tipo n, de una única manera. 2º se eligen n objetos de los n tipos, de n n CR n, n n n maneras distintas. t 50

10 Ejemplos ) El número de soluciones enteras positivas de la ecuación es CR n 5, i 2) De cuántas formas se pueden repartir 5 caramelos idénticos entre 4 niños, si cada niño recibe al menos un caramelo? 2 3 i 4 5 CR n 4,

11 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN Tenemos n objetos de m tipos distintos, con i objetos idénticos de cada tipo i, i,, m, m n para distribuirenn ib i cajas distintas, t de cuántas formas distintas se pueden introducir los n objetos en las n cajas, teniendo en cuenta que cada caja contiene un único objeto? 52

12 Permutación con repetición es una selección ordenada Permutación con repetición es una selección ordenada de n objetos de m tipos distintos, con i objetos idénticos d i i i detipo i, i,, m ycon l º d l i d d di i n m El nº de selecciones ordenadas distintas es m n n n n PR m 2 m n PR 3 2 n n! ll ió ú li ó i m n n n PR m m!!! 53 llamamos a esta epresión número multinómico. Departamento de Matemática Aplicada. ETSIInf. UPM.

13 Ejemplos ) Cuántas palabras distintas se pueden formar con todas las letras de ABRACADABRA? 2) Cuántassucesionesde longitud 5 conlasletras lt { a, b, c, d, e } se pueden formar, de modo que haya 7 a, 3b, 2c, 2d ye? 54

14 3) Un niño reparte 45 cromos entre 3 amigos, regalando 0 cromos a cada amigo, de cuántas formas puede hacerlo? 4) De cuántas formas se pueden distribuir a cuatro jugadores manos de 5 cartas utilizando una baraja de 52 cartas? 55

15 Soluciones ) 5,2,2,, ! PR ! 2! 2!!! 2) PR ,3,2,2, 5 5! 7!3! 2! 2!! 3) 0,0,0, PR ! 0!0!0!5! 4) PR ,5,5,5, ! 5!5!5!5!32! 56

16 PRINCIPIO DE LA CRIBA (ó de inclusión-eclusión) Si A y B son conjuntos finitos, no vacíos, entonces card ( A B)= card ( A ) card ( B ) card ( A B) Ejemplos ) Hallar las permutaciones de {, 2,..., 9} que empiezan por ó que terminan en 9. 57

17 2) En una encuesta realizada a un conjunto de 00 personas se obtienen bi los siguientes i resultados: 25 personas van al cine y al teatro 20 personas no van al cine ni al teatro y van al cine el doble de personas que al teatro. Averiguar el número de personas que van sólo al cine y el número de personas que van sólo al teatro. 58

18 Soluciones ) U = { permutaciones de {, 2,..., 9} } A = {permutaciones de U que empiezan por } B = { permutaciones de U que terminan por 9 } card A = 8! card B = 8! A B = { permutaciones empiezan por y terminan por 9 } card ( A B ) = 7! card ( A B ) = card A card B card ( A B ) = 5.7! 59

19 2) Sean U = { personas } A = {personas van al lteatro} t B = {personas van al cine} A B = {personas que van al cine y al teatro} entonces card U = 00 y se verifica card B = 2 card da card d(a B ) = 25 card ( A B ) = card U card (A B ) = card U card ( A B ) = 80 card A card B = card ( A B ) + card ( A B ) = 05. Por tanto, card A = 35, card B = 70 60

20 PRINCIPIO DE LA CRIBA (ó de inclusión-eclusión) Si A, B y C son conjuntos finitos, no vacíos, entonces card (A B C) = = card (A) card (B) card (C) card (A B) card (A C) card (B C) + + card (A B C) 6

21 Ejemplos ) En el conjunto de los números naturales menores o iguales que 500, hallar cuántos números no son múltiplos de 2, ni de 3, ni de 5. 2) Hallar las permutaciones de {, 2,..., 9} que contengan a una de las sucesiones 23, 456,

22 Soluciones ) Sean N 500 = n, n 500 A = n 500 / n es múltiplo de 2 card A = 250 B = n 500 / n es múltiplo de 3 card B = 66 C = n 500 / n es múltiplo de 5 card C = A B = n 500 / n es múltiplo de 2 y de 3 A C = n 500 / n es múltiplo de 2 y de 5 B C = n 500 / n es múltiplo de 3 y de 5 A B C = n 500 / n es múltiplo de 2, de 3 y de 5 card ( A B ) = 83, card ( A C ) = 50, card ( B C ) = 33 card (A B C) = 6 card (A B C) = 366 Por tanto, card (A B C ) = card (A B C) = card N 500 card (A B C) = 34 63

23 64

24 2) A = permutaciones que contienen 23 B = permutaciones que contienen 456 C = permutaciones que contienen 789 card A = card B = card C = 7. 6! = 7! A B = permutaciones que contienen 23 y 456 A C = permutaciones que contienen 23 y 789 B C = permutaciones que contienen 456 y 789 card ( A B ) = card ( A C ) = card ( B C ) = 5! A B C = permutaciones que contienen 23, 456 y 789 card (A B C) = 3! Entonces, card (A B C) = 3. 7! 3. 5! + 3! =

25 COMBINACIONES CON REPETICIÓN LIMITADA Ejemplos ) Cuántos n, n < 0 4, cumplen que la suma de sus cifras es 25? n i ) Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación = 7 2 5, 3 2 6, 4 3 7? 66

26 3) Al lanzar tres dados distintos a la vez, en cuántos resultados posibles la suma es 0? 4) Un niño dispone de un juego de 30 palitos y los dispone en forma de escalera con 4 tramos, según indica la figura. a) Cuántas escaleras diferentes puede construir? b) Y si en cada uno de los tres primeros tramos debe haber a lo sumo 7 palitos? 67

27 Soluciones ) Sean X = soluciones no negativas de 25 A i = soluciones de X con 0. Entonces i card X Ai card X i CR n4,25 4CR n4,5 CR n4, card X = CR n=4,=25 4 = 4 card A i = 4CR n=4,= = card (A i A j ) = CR n=4,=5 3 = 4 = 0 68

28 2) Se definen las variables y 2, y 3, y 4, entonces la ecuación se transforma en y y2 y3 8 0 yi 3 Sean X = soluciones no negativas de y y2 y3 8 A i = soluciones de X con 4. card X 3 Ai card X CR n3,8 3CR n3,4 CR n3,0 2 i card X = CR n=3,=8 y i = 3 card A i = 3 CR n=3,= = card (A i A j ) = CR 2 2 n=3,=0 3 = 0 69

29 3) Hay que elegir tres resultados, cuya suma sea =0 del conjunto A = {, 2, 3 } con n = 3 cajas, al menos un elemento de cada caja. Sean i número que aparece en el dado i, entonces hay que resolver la ecuación i 6 0 i 5 70

30 Sean X = soluciones no negativas de A i = soluciones de X con 6. i card X 3 A i card X 2 3 i 3, 7 3 n3, CR n CR card X = CR n=3,=7 = 3 card daa i = 3CR n=3,= 2 = 3 = 0 7

31 4) a) Sea i = nº de palitos que coloca en el tramo de escalera i-ésimo, entonces el nº de escaleras diferentes que puede construir es el nº de soluciones enteras de la ecuación 2 3 i i 4 26 esto es, CR n 4,

32 b) Si en cada uno de los tres primeros tramos debe haber a lo sumo 7 palitos, entonces el nº de escaleras diferentes es el nº de soluciones enteras de la ecuación ,, 7, ,, 6, Si A i = {soluciones de =26 / i entonces la solución es 7}, i=,2,3 73