Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO

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1 1 CAPÍTULO 1 Los números reles Orden de los números reles Un número que pertenezc los reles. 2 R / es positivo si está l derech del cero; esto se denot sí: > 0 o bien 0 < : 0 Un número que pertenezc los reles. 2 R / es negtivo si está l izquierd del cero; esto se denot sí: < 0 o bien 0 > : 0 El símbolo > se lee myor que". El símbolo < se lee menor que". 1 cnek.zc.um.mx: 14/ 5/ 2008

2 2 2 Cálculo Diferencil e Integrl I > b o bien b < quiere decir que está l derech de b o bien que b está l izquierd de ; tmbién signific que b > 0. b quiere decir que > b o bien que D b. El símbolo se lee myor o igul que". b quiere decir que < b o bien que D b. El símbolo se lee menor o igul que". Si dos números reles son positivos se cumple que su sum y su producto tmbién son números positivos: > 0 & b > 0 ) C b > 0 y tmbién b > 0: Ley de tricotomí. Se cumple un de tres: 2 R ) > 0 o bien D 0 o bien < 0: > 0, < 0: 0 < 0, > 0: D 5 > 0 & D 5 < 0: 0 D 3 < 0 & D 3 > 0: Es decir, dos puntos simétricos representn números reles con distinto signo. Culquier expresión que conteng uno de los cutro símbolos >, <, o bien se llm desiguldd. Un desiguldd const de dos miembros, lo que está escrito ntes del símbolo >, <, o bien se llm primer miembro y lo que está escrito después de culquier de esos símbolos se llm segundo miembro. Ejemplo Alguns desigulddes:

3 3 1.4 Orden de los números reles x C 1 > x 2 < x C x 1 7 C x > 8. Dos desigulddes en ls que prece en mbs el símbolo > o bien en mbs el símbolo < se dice que son del mismo sentido. Ejemplo Desigulddes del mismo sentido: > b & d > c. Ejemplo Desigulddes del mismo sentido: c < d & f <. Si en un desiguldd prece el signo > y en otr el signo < se dice que son de sentidos contrrios. Ejemplo Desigulddes de sentidos contrrios: > 7 & b < c. Alguns propieddes de orden son ls siguientes: Ley de tricotomí, un de tres: & b 2 R ) > b o bien D b o bien < b: A los dos miembros de un desiguldd se les puede sumr un mism cntidd y se obtiene otr desiguldd del mismo sentido que l dd: > b & c 2 R ) C c > b C c: Sbemos que 7 > 2, entonces sumndo 1 cd miembro de l desiguldd se obtiene otr desiguldd del mismo sentido que l originl: 7C1 > 2C1. En efecto, 8 > 3. Si multiplicmos los dos miembros de un desiguldd por un número positivo, se preserv el sentido de l desiguldd: > b & c > 0 ) c > b c: De 5 > 3 se tiene 5 2 > 3 2. En efecto, 10 > 6. Si multiplicmos los dos miembros de un desiguldd por un número negtivo, cmbi el sentido de l desiguldd: > b & c < 0 ) c < b c: De 6 < 8 se tiene.6/. 1/ >.8/. 1/. En efecto, 6 > 8.

4 4 4 Cálculo Diferencil e Integrl I Sumndo miembro miembro dos desigulddes del mismo sentido, se obtiene otr desiguldd del mismo sentido: > b & c > d ) C c > b C d: 1. 5 > 4 & 10 > 9 ) 5 C 10 > 4 C 9. En efecto, 15 > > 4 & 5 > 10 ) 5 5 > En efecto, 0 > 6. Trnsitividd: > b & b > c ) > c. c b 1. 6 > 4 & 4 > 2 ) 6 > 2. El cudrdo de culquier número distinto de cero es positivo: 2 C 1 > 0 pr 2 R. 1. El 1 es positivo: 1 D 1 2 > 0: 0 ) 2 > 0: 2. D 4 ).4/ 2 > 0. En efecto, 16 > 0: 3. D 5 ). 5/ 2 > 0. En efecto, 25 > 0: Culquier potenci de un número positivo es un número positivo: > 0. En efecto, 9 > 0. b > 0 ) b n > 0: D > 0. En efecto, 1 36 > 0: Culquier potenci pr de un número negtivo es un número positivo: < 0 ) n > 0 si n es pr.

5 5 1.4 Orden de los números reles 5. 4/ 2 > 0. En efecto, 16 > 0: Culquier potenci impr de un número negtivo es un número negtivo: < 0 ) n < 0 si n es impr:. 4/ 3 < 0. En efecto, 64 < 0: 0 < < b ) 0 < n < b n. < b < 0 ) 0 < 3 < 5 ) 0 < 3 2 < 5 2. En efecto, 0 < 9 < 25: { n > b n > 0 n < b n < 0 si n es pr; si n es impr < 2 < 0 ). 4/ 2 >. 2/ 2 > 0. En efecto, 16 > 4 > 0: 2. 4 < 2 < 0 ). 4/ 3 <. 2/ 3 < 0. En efecto, 64 < 8 < 0: 0 < < b ) 0 < np < np b pr n 2 N. 0 < 4 < 8 ) 0 < p 4 < p 8. En efecto, 0 < 2 < 2:8284. < b < 0 ) np < np b < 0 si n 2 N es impr. 64 < 8 < 0 ) 3p 64 < 3p 8 < 0. En efecto, 4 < 2 < 0.. / 2n D 2n y. / 2nC1 D 2nC1 con n 2 N. 1. Como 6 es pr.6 D 2 3/, entonces. 2/ 6 D 2 6 D Como 3 es impr.3 D 2 1 C 1/, entonces. 3/ 3 D 3 3. En efecto, 27 D 27. Si el producto de dos números es positivo y uno de ellos es positivo el otro tmbién lo es: b > 0 & > 0 ) b > 0:

6 6 6 Cálculo Diferencil e Integrl I.3/.8/ > 0 & 3 > 0 ) 8 > 0. El recíproco de un positivo es positivo: > 0 ) 1 > 0. El recíproco de un negtivo es negtivo: < 0 ) 1 < > 0 ) 7 1 > 0. En efecto, 1 7 > 0: 2. 5 < 0 ). 5/ 1 < 0. En efecto, 1 5 D 1 5 < 0: El cociente de dos números positivos es positivo: > 0 & b > 0 ) b > 0. 2 > 0 & 9 > 0 ) 2 9 > 0. m n p q, mq np. Ejercicios Soluciones en l págin 8 Determinr l relción de orden que hy entre los rcionles siguientes: y y y y y y Si, b son dos números reles tles que 2 Cb 2 D 0, qué se puede inferir cerc de los números, b? 8. Si, b son números reles tles que b & b, qué se puede inferir cerc de, b? Ejercicios Soluciones en l págin 8 1. Como 8 > 5, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd: 8 C c 5 C c, donde c 2 R : 2. Como 8 > 5, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd: 8c 5c, donde c > 0:

7 7 1.4 Orden de los números reles 7 3. Como 8 > 5, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd: 8c 5c, donde c < 0: 4. Como 8 > 5, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd: 8 C 8 5 C 5: 5. Como 5 > 0, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd: D 0/: 6. Como 5 > 0, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd: : 7. Como 5 > 0, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd: 5 0: 8. Como 5 < 0, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd:. 5/ 14 0: 9. Como 5 < 0, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd:. 5/ 13 0: 10. Como 8 < 5 < 0, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd:. 8/ 2. 5/ 2 : 11. Como 8 < 5 < 0, sustituy el signo? por el signo que proced en l siguiente desiguldd:. 8/ 3. 5/ 3 : 12. Cómo es el producto de dos números positivos? 13. Cómo es el producto de un número positivo por un negtivo? 14. Cómo es el producto de dos números negtivos?

8 8 8 Cálculo Diferencil e Integrl I Ejercicios Orden de los números reles, págin < 20 9 : 2 3 > 8 13 : D 7 3 : 10 3 < : D 2 5 : > 6 11 : 7. D 0, b D 0 : 8. D b : Ejercicios págin > 5, 8 C c > 5 C c : 2. 8 > 5 & c > 0 ) 8c > 5c : 3. 8 > 5 & c < 0 ) 8c < 5c : 4. 8 C 8 > 5 C 5 : > 0 : > 0 : 7. 5 < 0 : 8.. 5/ 14 > 0 : 9.. 5/ 13 < 0 : / 2 >. 5/ 2 : / 3 <. 5/ 3 < 0 : 12. Positivo. 13. Negtivo. 14. Positivo.

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