Tema 1. Cálculo diferencial

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 1. Cálculo diferencial"

Transcripción

1 Tema 1. Cálculo diferencial 1 / 57 Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten formular de manera precisa la dependencia de una magnitud respecto de otra.

2 Introducción. 2 / 57 Por ejemplo, La presión P a que está sometido un gas depende (es función) de la temperatura T del gas, P = f(t) La dinámica de poblaciones estudia la evolución del número de individuos de una población, N, a lo largo (en función) del tiempo, N = N(t).

3 Definición formal de función. 3 / 57 Definición. Llamaremos función real de variable real a cualquier aplicación (o correspondencia unívoca) definida en una parte, D, de R, que tome valores en R (o en una parte de R), lo que denotaremos por f : D R R. El conjunto D se llama dominio de la función.

4 Gráfica de una función 4 / 57 Sea f : D R R una función. Si para cada a D consideramos el punto del plano (a, f(a)), obtenemos una curva que se conoce como gráfica de la función.

5 Estudio de funciones 5 / 57 Dominio. Simetrías. Continuidad. Asíntotas verticales. Asíntotas horizontales y oblicuas. Cortes con ejes. Signo de la función. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

6 Dominio Dada una función f : D R R, el conjunto D se llama dominio de la función. Salvo que expresamente se diga lo contrario, entenderemos que el dominio de una función definida mediante su expresión analítica es el mayor conjunto de números reales donde es posible definir la función. 6 / 57

7 Operaciones con funciones 7 / 57 Sean f : D f R R y g : D g R R tales que D f D g. Definimos la suma de f y g, f + g, y el producto de f por g, f g, como las funciones (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) g(x), respectivamente, para cada x D f D g, es decir, el dominio de la suma y del producto de f y g es D f+g = D f g = D f D g.

8 Operaciones con funciones 8 / 57 Sean f : D f R R y g : D g R R tales que D f D g. Definimos el cociente de f entre g, f/g, como la función (f/g)(x) := f(x)/g(x), para cada x (D f D g ) \ {x D g g(x) = 0}, es decir, el dominio del cociente de f entre g, D f/g, es D f D g excepto los valores de x que anulan al denominador, g.

9 Operaciones con funciones 9 / 57 Sea f : D f R R. Definimos el producto de f por un número real λ, λ f, como la función para cada x D f. (λ f)(x) := λ f(x),

10 Operaciones con funciones 10 / 57 Sean f : D f R R y g : D g R R dos funciones tales que D f g(d g ). Se define la composición de g con f, que se denota por f g, como: (f g)(x) := f (g(x)), para cada x {x D g g(x) D f }, es decir, el dominio de la composición de g con f, D f g, lo forman aquellos números reales de D g cuya imagen por g está en D f.

11 Funciones elementales 11 / 57 Se llaman funciones elementales a las que se obtienen a partir de sumas, diferencias, productos, cocientes y composición de funciones polinómicas, racionales, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

12 Simetrías 12 / 57 Una función f : D R R, es par si f( x) = f(x), x D.

13 Simetrías 13 / 57 Una función f : D R R, es impar si f( x) = f(x), x D.

14 Continuidad 14 / 57 Una función f : D R es continua en a D si existe el límite lim x a f(x) y lim x a f(x) = f(a) Diremos que la función f es continua en un intervalo I D si es continua cada uno de los puntos del intervalo I.

15 Teorema de Bolzano 15 / 57 Teorema. Sea f : D R R continua en [a, b] D. Si f(a) < 0 < f(b) ó f(b) < 0 < f(a) entonces existe c (a, b) tal que f(c) = 0.

16 Teorema de Bolzano Geométricamente, esto significa que la gráfica de una función continua en un intervalo que cambia de signo en los extremos del intervalo, debe cruzar el eje OX en, al menos, un punto. 16 / 57

17 Teorema de Bolzano 17 / 57 El teorema de Bolzano proporciona una condición suficiente para que la ecuación f(x) = 0 tenga al menos una solución en el intervalo [a, b] : Basta con que f sea continua en [a, b] y que el signo de f(a) sea distinto del signo de f(b) para tener la certeza de que existe c (a, b) tal que f(c) = 0.

18 Signo. Puntos de corte con los ejes 18 / 57 Los puntos de corte con el eje OX corresponden a las soluciones de la ecuación f(x) = 0 Si esta ecuación no tiene ninguna solución, entonces la gráfica no corta al eje OX. El punto de corte con el eje OY es (0, f(0)) si 0 D. Si el 0 no está en el dominio de la función, es decir, 0 D, entonces la gráfica no corta al eje OY.

19 Asíntotas Verticales 19 / 57 Sea f : D R R una función. Definición. La recta x = a es asíntota vertical de f en a, si al menos uno de los dos límites laterales en a es infinito (más o menos infinito), es decir, si lim x a +f(x) = ± ó lim x a f(x) = ±. La recta x = a es asíntota vertical cuando la gráfica de la función f se acerca a la recta x = a cuando x tiende hacia a por la derecha o cuando x tiende hacia a por la izquierda.

20 Asíntotas Verticales 20 / 57

21 Asíntotas Verticales 21 / 57

22 Asíntotas Verticales 22 / 57

23 Asíntotas Horizontales 23 / 57 Definición. La recta y = c es una asíntota horizontal de f si lim x + f(x) = c ó lim x f(x) = c La recta y = c es asíntota horizontal cuando la gráfica de la función f se confunde con la recta y = c cuando x tiende hacia + o cuando x tiende hacia, respectivamente.

24 Asíntotas Horizontales 24 / 57

25 Asíntotas Horizontales 25 / 57 Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas: una cuando x tiende a + y otra cuando x tiende a.

26 Asíntotas Oblicuas Definición. La recta y = bx + c, b 0, es una asíntota oblicua de f si lim x + (f(x) (bx + c)) = 0 ó lim x (f(x) (bx + c)) = La recta y = bx + c, b 0, es una asíntota oblicua de f cuando gráfica de f se confunde con la recta y = bx+c cuando x tiende hacia + o cuando x tiende hacia. respectivamente. 26 / 57

27 Asíntotas Oblicuas 27 / 57

28 Asíntotas Oblicuas 28 / 57 Si hay asíntota horizontal cuando x tiende hacia + (respect. ) no puede haber asíntota oblicua cuando x tiende hacia +, (respect. ) y viceversa.

29 Cálculo de Asíntotas Oblicuas 29 / 57 La recta y = bx + c (b 0) es asíntota oblicua de f en + si, y sólo si, b = lim x + f(x) x y c = lim x + (f(x) bx). Análogamente para

30 Derivada 30 / 57 Definición. Sean f : D R R una función y a D. Se dice que f es derivable en a si lim x a f(x) f(a) x a R, es decir, si existe el límite de f(x) f(a) x a hacia a y no es infinito. cuando x tiende Al valor de este límite se le llama derivada de f en a y se denota por f (a) o df dx (a)

31 Significados de la derivada 31 / 57 f (a) = lim x a f(x) f(a) x a Si f es derivable en a, entonces y = f (a)(x a) + f(a) es la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)). Esta recta tangente es la gráfica de la función lineal que más se aproxima a f en dicho punto (a, f(a)).

32 Significados de la derivada 32 / 57 f (a) = lim x a f(x) f(a) x a

33 Significados de la derivada 33 / 57 Desde un punto de vista físico, la derivada de f en a es la velocidad en el instante t = a de un móvil cuyo recorrido respecto del tiempo, t, viene dado por f(t).

34 Derivadas de las funciones más sencillas 34 / 57 Funciones constantes y = k y = 0 Funciones lineales y = k x y = k Funciones potenciales y = x n y = n x n 1 y = n x y = 1 n n x n 1

35 Álgebra de derivadas. Regla de la cadena (f + g) (a) = f (a) + g (a). (f g) (a) = f (a) g(a) + g (a) f(a). (λ f) (a) = λ f (a). ( ) f (a) = f (a) g(a) g (a) f(a) g (g(a)) 2 Regla de la cadena: (f y) (a) = f (y(a)) y (a), es decir, df df dy (y(a)) = (y(a)) dx dy dx (a). 35 / 57

36 Tabla de derivadas. Func. logarítmicas y = Log a(x) y = 1 x Log a(e) y = Ln(x) y = 1 x y = Log a(f(x)) y = 1 f(x) Log a(e) f (x) Func. exponenciales y = a x y = e x y = a f(x) y = a x Ln(a) y = e x y = a f(x) Ln(a) f (x) 36 / 57

37 Tabla de derivadas. 37 / 57 Potencias de funciones y = f(x) g(x) y = g(x) f(x) g(x) 1 f (x) +f(x) g(x) Ln(f(x)) g (x)

38 Tabla de derivadas 38 / 57 Función seno y = sen(x) y = sen(f(x)) Función coseno y = cos(x) y = cos(f(x)) y = cos(x) y = cos(f(x)) f (x) y = sen(x) y = sen(f(x)) f (x) Función tangente y = tg(x) y = 1 cos 2 (x) = 1 + tg2 (x) y = tg(f(x)) y 1 = cos 2 (f(x)) f (x)

39 Teoremas Fundamentales Cálculo Diferencial 39 / 57 Teorema. Si una función f es derivable en un punto a, entonces es continua en a.

40 Teorema De Rolle 40 / 57 Teorema. Si una función f : D R R es continua en [a, b] D, derivable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe c (a, b) tal que f (c) = 0. El teorema de Rolle proporciona una condición suficiente para que la ecuación f (x) = 0 tenga alguna solución en el intervalo [a, b].

41 Teorema De Rolle 41 / 57 Geométricamente, el teorema de Rolle viene a decir que si f está en las hipótesis de dicho teorema, entonces existe algún punto de su gráfica en el cual la tangente es horizontal (paralela al eje OX).

42 Teorema del valor medio de Lagrange 42 / 57 Teorema. Si una función f : D R R es continua en [a, b] D y derivable en (a, b) entonces existe c (a, b) tal que f (c) = f(b) f(a). b a

43 Teorema del valor medio de Lagrange 43 / 57 Geométricamente, el teorema del valor medio nos dice que la tangente en algún punto de la gráfica de una función f, continua en [a, b] y derivable en (a, b), es paralela a la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

44 Regla de L Hôpital. 44 / 57 Teorema. Sean f y g dos funciones derivables en algún intervalo simétrico de centro a tales que f(a) = g(a) = 0. Entonces, si existe lim x a f (x) g (x), también existe lim x a f(x) g(x) y coinciden, es decir, f (x) lim x a g (x) = lim f(x) x a g(x).

45 Crecimiento y decrecimiento 45 / 57 Sean f : D R R e I D. La función f es creciente en I si x < y f(x) f(y). La función f es decreciente en I si x < y f(x) f(y).

46 Crecimiento y decrecimiento Teorema. Sea f : D R R una función es derivable en un intervalo I D. (a) Si f (x) > 0, para todo x I, entonces f es creciente en I. (b) Si f (x) < 0, para todo x I, entonces f es decreciente en I. 46 / 57

47 Máximos y mínimos 47 / 57 Definición. La función f alcanza un máximo relativo en el punto (a, f(a)), a D, si existe δ > 0 tal que f(x) f(a) para todo x (a δ, a + δ). Si f(x) f(a) para todo x D, se dice que f tiene un máximo absoluto en el punto (a, f(a)).

48 Máximos y mínimos 48 / 57 Definición. La función f alcanza un mínimo relativo en el punto (a, f(a)), a D, si existe δ > 0 tal que f(x) f(a), para todo x (a δ, a + δ). Si f(x) f(a), para todo x D, se dice que f tiene un mínimo absoluto en el punto (a, f(a)).

49 Máximos y mínimos 49 / 57 Una función continua en a tiene un máximo relativo en ese punto si es creciente en (a δ, a) y decreciente en (a, a + δ), para algún δ > 0, es decir, si es creciente a la izquierda de a y decreciente a su derecha. Una función continua en a tiene un mínimo relativo en ese punto si es decreciente en (a δ, a) y creciente en (a, a + δ), para algún δ > 0, es decir, si es decreciente a la izquierda de a y creciente a su derecha.

50 Máximos y mínimos 50 / 57 Teorema. Si f tiene n derivadas continuas en un entorno de a tales que f (a) = f (a) =... = f n 1) (a) = 0 y f n) (a) 0 y n es par, entonces { f n) (a) > 0 f tiene un mínimo local en a f n) (a) < 0 f tiene un máximo local en a

51 Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión 51 / 57 Definición. La función f es cóncava en I si para todo a y b I el segmento que une a los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) queda por encima de la porción de la gráfica de f correspondiente al intervalo [a, b].

52 Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión 52 / 57 Definición. La función f es convexa en I si para todo a y b I el segmento que une a los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) queda por debajo de la porción de la gráfica de f correspondiente al intervalo [a, b].

53 Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión 53 / 57 Definición. Se dice que (c, f(c)), c D, es punto de inflexión de f si existe δ > 0 tal que f es cóncava (ó convexa) en (c δ, c) y convexa (ó cóncava) en (c, c + δ).

54 Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Teorema. Si f tiene segunda derivada en I, entonces, f es cóncava en I si, y sólo si, f (x) > 0, x I y f es convexa en en I si, y sólo si, f (x) < 0, x I. Si f tiene n derivadas continuas en un entorno de a tales que f (a) =... = f n 1) (a) = 0 y f n) (a) 0 y n es impar y mayor o igual que 3, entonces f tiene un punto de inflexión en a. 54 / 57

55 Aproximación lineal 55 / 57 Definición. Si una función f(x) es derivable en un punto x = a, se llama aproximación por la recta tangente o aproximación lineal de f en x = a a la función lineal L f(a) (x) = f(a) + f (a)(x a)

56 Aproximación polinómica (grado 2) Definición. Sea f : D R R una función y sea a un punto de su dominio D. Si f es dos veces derivable en a, se llama polinomio de Taylor de segundo grado de f en a a la función P 2 f(a) : R R, definida por P 2 f(a) (x) = f(a) + f (a)(x a) f (a)(x a) 2 56 / 57

57 Aproximación polinómica (grado 2) Ejemplo. El polinomio de Taylor de la función exponencial e x en el punto x = 0 es: P n (x) = e 0 + e 0 x + 1 2! e0 x n! e0 x n = 1 + x + x 2! + + xn n! 57 / 57

Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.

Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 0.. Concepto de derivada. Definición. Sea f : S R R, a (b, c) S. Decimos que f es derivable en a si existe: f(x) f(a)

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura Índice la cadena Tabla de Dada una función f : D R R,

Más detalles

Derivación. Aproximaciones por polinomios.

Derivación. Aproximaciones por polinomios. Derivación... 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Matemáticas (Grado en Químicas) Contenidos Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Outline Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Definición

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL 9. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS

CÁLCULO DIFERENCIAL 9. UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL 9 UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS SOLUCIONES DE LA COLECCIÓN DE PROBLEMAS - CAPÍTULO 3 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

Más detalles

= f (a) R. f(x) f(a) x a. recta por (a, f(a)) de pendiente f(a+h2) f(a) recta tangente por (a, f(a)) de pendiente f (a)

= f (a) R. f(x) f(a) x a. recta por (a, f(a)) de pendiente f(a+h2) f(a) recta tangente por (a, f(a)) de pendiente f (a) 1 1. DERIVACIÓN 1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS PRINCIPALES Definición 1.1. Derivada. Sea f una función definida en un intervalo abierto I con a I. Decimos que f es derivable en a si existe y es real el

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES a. Dominio de definición: D = Dom f() = { R eiste f()} b. Puntos de corte con los ejes: Con el eje OX (abscisas): f() = 0 : (,0). Ninguno, uno o más puntos. Con el eje

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DOMINIO - Polinomio : D = R - Cocientes : D = R {puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par : D = {Lo

Más detalles

BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Crecimiento y decrecimiento. Extremos absolutos y relativos. Concavidad y convexidad. Asíntotas.

Más detalles

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca

Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo

Más detalles

Tipos de funciones. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas

Tipos de funciones. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto

Más detalles

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2 UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como

Más detalles

TEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q).

TEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q). TEMA 4: DERIVADAS 1. La derivada de una función. Reglas de derivación 1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la inclinación de la curva en ese punto. Si

Más detalles

Cálculo Diferencial de una Variable

Cálculo Diferencial de una Variable Departamento de Matemática Aplicada Universitat Politècnica de València, España Fundamentos Matemáticos para la Ingenieria Civil Esquema Esquema de la exposición Definición. Interpretación geométrica de

Más detalles

Matemáticas Febrero 2013 Modelo A

Matemáticas Febrero 2013 Modelo A Matemáticas Febrero 0 Modelo A. Calcular el rango de 0 0 0. 0 a) b) c). Cuál es el cociente de dividir P(x) = x x + 9 entre Q(x) = x +? a) x x + x 6. b) x + x + x + 6. c) x x + 5x 0.. Diga cuál de las

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.4: La derivada y sus propiedades básicas. La Regla de la cadena. El concepto de derivada aparece en muchas situaciones en la ciencias: en matemáticas

Más detalles

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x)

x = 0, la recta tangente a la gráfica de f (x) CÁLCULO DIFERENCIAL JUNIO 004 1. Sea la función e y = estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos ecepto en =0. Creciente si < 0. No tiene asíntotas

Más detalles

Aplicaciones de las Derivadas

Aplicaciones de las Derivadas Tema 4 Aplicaciones de las Derivadas 4.1 Introducción Repasaremos en este Tema algunas de las aplicaciones fundamentales de las derivadas. Muchas de ellas son ya conocidas por tratarse de conceptos explicados

Más detalles

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE

TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]

Más detalles

Teorema de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo), de Weiestrass.

Teorema de los extremos absolutos (del supremo y el ínfimo), de Weiestrass. CALCULO DIFERENCIAL TEMA 1 : PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Teorema del signo. Sea f:[a,b] >R una función continua en (a,b) entonces si f(x0)"0, existe un entorno E(x0,) en que f tiene el mismo

Más detalles

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!

www.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid! CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,

Más detalles

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN FUNCIONES.FUNCIONES ELEMENTALES. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN 1 FUNCIONES FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una relación que asocia a cada número real, (variable independiente),

Más detalles

DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD

DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD DERIVADAS, LÍMITES Y TEOREMAS DE DERIVABILIDAD Aplicando el teorema de los incrementos finitos a la función f(x) = x 2 + 4x - 2 en los extremos [-1, 3] hallar x o El teorema de Lagrange dice que: f(3)

Más detalles

CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García

CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica

Más detalles

Derivada y diferencial

Derivada y diferencial Derivada y diferencial Una cuestión, que aparece en cualquier disciplina científica, es la necesidad de obtener información sobre el cambio o la variación de determinadas cantidades con respecto al tiempo

Más detalles

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2

UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD = 3 2 UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como

Más detalles

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B

Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,

Más detalles

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES I ) DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN: Es el conjunto de puntos donde tiene sentido realizar las operaciones indicadas en el criterio de definición de la

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tema 8 Límites de funciones, continuidad y asíntotas Matemáticas II º Bach 1 TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite

Más detalles

APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO

APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO APUNTES DE FUNCIONES PARA 4º ESO - DEFINICIÓN: Una función es una relación entre dos magnitudes, X e Y, de forma que a cada valor de la magnitud X corresponde un único valor y de la magnitud Y. : variable

Más detalles

Capítulo 2: Cálculo diferencial de una y varias variables

Capítulo 2: Cálculo diferencial de una y varias variables Capítulo 2: Cálculo diferencial de una y varias variables (Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología) Departamento de Matemáticas Universidad de Murcia Contenidos Límites y continuidad Límites laterales

Más detalles

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función

Más detalles

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media

Más detalles

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad y Laterales Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: y Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico y Esquema Laterales 1 Laterales 2 y Esquema Laterales

Más detalles

Cálculo Diferencial en una variable

Cálculo Diferencial en una variable Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas

Más detalles

x + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím

x + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím UNIDAD Asíntota horizontal: 8 +@ + + = y = es asíntota horizontal hacia +@ (y > ). + + + + = = = 0 8 @ 8 +@ y = 0 es asíntota horizontal hacia @ (y < 0). CUESTIONES TEÓRICAS 30 Qué podemos decir del grado

Más detalles

RESUMEN TEÓRICO DE CLASES

RESUMEN TEÓRICO DE CLASES Página 1 RESUMEN TEÓRICO DE CLASES Página 2 Tema 1. Inecuaciones Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos: >; ;

Más detalles

FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales:

FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO. El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales: FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes

Más detalles

Gráficamente: una función es continua en un punto si en dicho punto su gráfica no se rompe. Función continua en x = 0 Función no continua en x = 0

Gráficamente: una función es continua en un punto si en dicho punto su gráfica no se rompe. Función continua en x = 0 Función no continua en x = 0 Funciones continuas Funciones continuas Continuidad de una función Si x 0 es un número, la función f(x) es continua en este punto si el límite de la función en ese punto coincide con el valor de la función

Más detalles

PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Considera la función f(x)= x 3 + px donde p es un número real. Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica f(x) en el punto de abscisa

Más detalles

Teoría Tema 9 Representación gráfica de funciones

Teoría Tema 9 Representación gráfica de funciones página 1/24 Teoría Tema 9 Representación gráfica de funciones Índice de contenido Gráficas de funciones...2 Gráfica de una parábola...3 Gráfica de un polinomio de grado 3...6 Gráfica de un cociente de

Más detalles

Apuntes de Funciones

Apuntes de Funciones Apuntes de Funciones El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación

Más detalles

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Definición. Sea f :]a, b[ R y x 0 ]a, b[. Sedicequef es derivable en x 0 si existe f(x lim 0 +h) f(x 0 ) h 0 h yesfinito. En ese caso denotaremos por

Más detalles

Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función

Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición

Más detalles

2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS 2.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON

2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS 2.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON Cap. Continuidad de funciones.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO. CONTINUIDAD DE FUNCIONES CONOCIDAS.3 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO OBJETIVOS:

Más detalles

CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR

CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende

Más detalles

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3.- FUNCIONES ELEMENTALES

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3.- FUNCIONES ELEMENTALES 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3.- FUNCIONES ELEMENTALES 1 1.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS Concepto de función. Una función es una forma de hacerle corresponder a un valor x un único

Más detalles

Derivadas. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid

Derivadas. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta

Más detalles

Página 322. 3. Representa: a) y = b) y = c) y = cos 2x + cos x. a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales:

Página 322. 3. Representa: a) y = b) y = c) y = cos 2x + cos x. a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: Página. Representa: e e a) y = b) y = c) y = cos + cos e a) y = Dominio: D = Á {0} No es simétrica. Asíntotas verticales: f () = +@ 8 0 f () = +@ 8 0 + Asíntota vertical: = 0 f () = 0. Además, f () > 0

Más detalles

ANDREA CALVO GARCÍA Nº 6 2º C

ANDREA CALVO GARCÍA Nº 6 2º C FUNCIONES ANDREA CALVO GARCÍA Nº 6 2º C Bach. INDICE FUNCIONES... 3 1. Funciones reales de variable real.... 4 2. Clasificación de funciones.... 6 3. Puntos de corte con los ejes.... 9 4. Signo de una

Más detalles

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se

Más detalles

Curvas en paramétricas y polares

Curvas en paramétricas y polares Capítulo 10 Curvas en paramétricas y polares Introducción Después del estudio detallado de funciones reales de variable real expresadas en forma explícita y con coordenadas cartesianas, que se ha hecho

Más detalles

CLASE 2. Sergio Stive Solano Sabié. Agosto de 2011. Catálogo de funciones básicas Transformaciones de funciones Combinaciones de funciones

CLASE 2. Sergio Stive Solano Sabié. Agosto de 2011. Catálogo de funciones básicas Transformaciones de funciones Combinaciones de funciones CLASE 2 Sergio Stive Solano Sabié Agosto de 2011 CLASE 2 Sergio Stive Solano Sabié Agosto de 2011 Función lineal Definición 1.1 Decimos que y es una función lineal de x, si la gráfica de y es una recta.

Más detalles

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones

Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a

Más detalles

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN UNIVERSIDADES P ÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO 215-216 MATERIA: MATEMÁTICAS II MODELO INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN Después

Más detalles

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas:

1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: 1 1. DERIVACIÓN 1. Hallar los extremos de las funciones siguientes en las regiones especificadas: b) f(x) x (x 1) en el intervalo [, ] y en su dominio. DOMINIO. D R. CORTES CON LOS EJES. Cortes con el

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Límites y continuidad.. Límites El ite por la izquierda de una función f en un punto 0, denotado como 0 f() es el valor al que se aproima f() cuando se acerca hacia 0 por la izquierda. De igual forma,

Más detalles

RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN f y LA DE SU INVERSA f -1

RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN f y LA DE SU INVERSA f -1 RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN f y LA DE SU INVERSA f -1 Sabemos que la función inversa 1 Si f a b, entonces f b a 1 f (o recíproca) de f cumple la siguiente condición: Por lo tanto: 1 f f 1

Más detalles

Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas

Tema 1 Las Funciones y sus Gráficas Tema Las Funciones y sus Gráficas..- Definición de Función y Conceptos Relacionados Es muy frecuente, en geometría, en física, en economía, etc., hablar de ciertas magnitudes que dependen del valor de

Más detalles

Problemas de 4 o ESO. Isaac Musat Hervás

Problemas de 4 o ESO. Isaac Musat Hervás Problemas de 4 o ESO Isaac Musat Hervás 5 de febrero de 01 Índice general 1. Problemas de Álgebra 7 1.1. Números Reales.......................... 7 1.1.1. Los números....................... 7 1.1.. Intervalos.........................

Más detalles

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714)

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011 Función Constante: Se

Más detalles

TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA : CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1. Continuidad de una función en un punto Entre las primeras propiedades de las funciones aparece el concepto de continuidad. Durante mucho tiempo fue asumida como una idea

Más detalles

TIPOS DE FUNCIONES. Ing. Caribay Godoy Rangel

TIPOS DE FUNCIONES. Ing. Caribay Godoy Rangel TIPOS DE FUNCIONES Repasar los conceptos de dominio, rango, gráfica, elementos esenciales y transformaciones de las funciones: lineal, cuadrática, racional, trigonométrica, exponencial y logarítmica. FUNCIONES

Más detalles

EJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com.

EJERCICIOS PAU MAT II CC SOC. ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com. FUNCIONES 1- a) Dada la función:, Definida para 0, 0, encontrar el punto (x,y) que maximiza f sujeto a la restricción x+y=36. b) Calcular: Aragón 2014 Opción A Junio 2- Dada la función: Calcular: a) Dominio

Más detalles

FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. 1 Introducción Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales es la de poder expresar los valores

Más detalles

En este capítulo obtendremos los resultados básicos del cálculo diferencial para funciones reales definidas sobre R o sobre intervalos.

En este capítulo obtendremos los resultados básicos del cálculo diferencial para funciones reales definidas sobre R o sobre intervalos. Capítulo 6 Derivadas 61 Introducción En este capítulo obtendremos los resultados básicos del cálculo diferencial para funciones reales definidas sobre R o sobre intervalos Definición 61 Sea I R, I, f :

Más detalles

N = {1, 2, 3, 4, 5,...}

N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Números y Funciones.. Números Los principales tipos de números son:. Los números naturales son aquellos que sirven para contar. N = {,,, 4, 5,...}. Los números enteros incluyen a los naturales y a sus

Más detalles

1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES

1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1 1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES Definición 1.1. Sea f : R n R, ā R n y v R n. Se define la derivada direccional de f en ā y en la dirección de v como:

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio

Más detalles

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento

Más detalles

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x. Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio

Más detalles

Profesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE

Profesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE TEMA 5: DERIVADAS. APLICACIONES. ÍNDICE 5..- Derivada de una función en un punto. 5...- Tasa de variación media. Interpretación geométrica. 5..2.- Tasa de variación instantánea. Derivada de una función

Más detalles

Tema I : Funciones reales de variable real. Límites y continuidad

Tema I : Funciones reales de variable real. Límites y continuidad Tema I : Funciones reales de variable real. Límites y continuidad 1. La recta real : intervalos y entornos. 2. Funciones reales de variable real. 3. Funciones elementales y sus gráficas. 4. Límites de

Más detalles

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y

Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite. f(x) f(a) Si f y g son derivables en a, entonces fg es derivable en a y 4. Derivabilidad 1 Una función f es derivable en un punto a de su dominio si existe el límite f (a) = lím x a f(x) f(a) x a f(a + h) f(a) = lím, h 0 h y es un número real. El número f (a) se denomina derivada

Más detalles

TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES.

TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES. TEMA: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. TIPOS DE FUNCIONES. Definición: Una función es una relación entre dos variables x e y de manera que a cada valor de la variable x le corresponde un único valor

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada (Modelo 2 del 2012) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada (Modelo 2 del 2012) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada (Modelo del 01) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 011-01 Opción A Ejercicio 1, Opción A, Modelo de 01 Sea la

Más detalles

MATE 3031. Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77

MATE 3031. Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77 MATE 3031 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 77 Qué es una función? MATE 3171 En esta parte se recordará la idea de función y su definición formal.

Más detalles

5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas. Recta tangente

5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas. Recta tangente 5. Aplicaciones de la Derivada 5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas Recta tangente Desde la escuela primaria se sabe que la recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta

Más detalles

Concepto de espacio vectorial. Propiedades. Distintos espacios vectoriales. El espacio real tridimensional.

Concepto de espacio vectorial. Propiedades. Distintos espacios vectoriales. El espacio real tridimensional. Otras páginas Matemáticas 2º MATEMÁTICAS II Álgebra: Espacios Vectoriales Concepto de espacio vectorial. Propiedades. Distintos espacios vectoriales. El espacio real tridimensional. Combinación lineal.

Más detalles

IES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 7 Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n de la opción A de septiembre, modelo de 7 3x+ Sea f: (,+ ) R la función definida por f(x)= x. [ 5 puntos] Determina

Más detalles

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán

Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales. Eduardo Liz Marzán Apuntes de cálculo diferencial en una y varias variables reales Eduardo Liz Marzán Diciembre de 2013 Índice general 1 Preliminares 1 11 Introducción 1 12 La relación de orden en el conjunto de los números

Más detalles

. Matemáticas aplicadas CCSS. Ejercicios modelo Selectividad 2000-2011

. Matemáticas aplicadas CCSS. Ejercicios modelo Selectividad 2000-2011 1. CÁLCULO DE DERIVADAS Ejercicio 1. (001) Calcule las funciones derivadas de las siguientes: Lx a) (1 punto) f ( x) = (Lx indica logaritmo neperiano de x) x 3 b) (1 punto) g( x) = (1 x ) cos x 3 1 c)

Más detalles

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto

Más detalles

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Derivada de una función en un punto. Función derivada. Sea f () una función de una variable definida en un intervalo abierto (a, b) y sea (a, b). Se dice que f es

Más detalles

UNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp.

UNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp. República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II FUNCIONES Ing. Ronny Altuve Esp. Ciudad Ojeda, Septiembre de 2015 Función Universidad

Más detalles

Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo

Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo página 1/9 Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo Índice de contenido Dominio de una función...2 Rango o recorrido de una función...3 Simetría...4 Periodicidad...5

Más detalles

PROGRAMA DE CURSO. Horas de Trabajo Personal 6 10 3,0 2,0 5,0. Horas de Cátedra

PROGRAMA DE CURSO. Horas de Trabajo Personal 6 10 3,0 2,0 5,0. Horas de Cátedra PROGRAMA DE CURSO Código MA100 Nombre Introducción al Cálculo Nombre en Inglés Calculus SCT Unidades Docentes Horas de Cátedra Horas Docencia Auxiliar Horas de Trabajo Personal 6 10 3,0 2,0 5,0 Requisitos

Más detalles

RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II

RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II 1. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y CONTINUIDAD 1.1. FUNCIONES ELEMENTALES (No tienen puntos angulosos) Tipo de función f (x) Dom (f) Continuidad Polinómicas P(x) R Racional P(x)/Q(x)

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.7: Aproximación de funciones. Desarrollo de Taylor. Aproximación lineal. La aproximación lineal de una función y = f(x) en un punto x = a es la

Más detalles

= y. Así pues, el domino lo forman los números x para los cuales existe el valor de f (x)

= y. Así pues, el domino lo forman los números x para los cuales existe el valor de f (x) UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Tema 6 Funciones Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento de A uno

Más detalles

Derivadas e integrales

Derivadas e integrales Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Definiciones 3 2. Herramientas 5 2.1. Reglas de derivación............................

Más detalles

Derivadas e integrales

Derivadas e integrales Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................

Más detalles

Polinomios. 1.- Funciones cuadráticas

Polinomios. 1.- Funciones cuadráticas Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial

Más detalles

TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TEMA 7 DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS CCSSI º Bac TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición : Se llama

Más detalles

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Funciones Exponenciales y Logarítmicas Funciones Exponenciales y Logarítmicas 0.1 Funciones exponenciales Comencemos por analizar la función f definida por f(x) = x. Enumerando coordenadas de varios puntos racionales, esto es de la forma m,

Más detalles

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS

Más detalles

Anexo 1 ÁLGEBRA I.- Operaciones en las Expresiones Algebraicas II.- Factorización y Operaciones con las Fracciones III.- Funciones y Relaciones

Anexo 1 ÁLGEBRA I.- Operaciones en las Expresiones Algebraicas II.- Factorización y Operaciones con las Fracciones III.- Funciones y Relaciones Anexo 1 ÁLGEBRA I.- Operaciones en las Expresiones Algebraicas 1.- Adición y sustracción 2.- Multiplicación 3.- División 4.- Productos especiales 5.- Triángulo de Pascal II.- Factorización y Operaciones

Más detalles