4. Métodos de Solución PPL : Solución Algebraica: METODO SIMPLEX Primera Parte

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1 4. Métodos de Solución PPL : Solución Algebraica: METODO SIMPLEX Primera Parte Jorge Eduardo Ortiz Triviño jeortizt@unal.edu.co

2 En PL un sistema de producción se representa mediante un modelo o matriz en el que se incluyen: costos e ingresos generados por unidad de actividad (función objetivo). aportes y requerimientos de insumos y productos por unidad de cada actividad considerada (coeficientes insumo/producto). disponibilidad de recursos, especificaciones técnicas y empresariales a respetar (RHS).

3 Modelo General de PL Definición de variables: Sea xj = #... ; j = 1, 2, 3...n Función objetivo: Max. o Min. z = C1X1 + C2X CjXj CnXn Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3,..., m a11x1 + a12x a1jxj a1nxn = b1 a21x1 + a22x a2jxj a2nxn = b2.. ai1x1 + ai2x aijxj ainxn = bi.. am1x1 + am2x amjxj amnxn = bm Condiciones de signo para variables: toda xj 0 m = # total de restricciones, n = # de variables de decisión (originales) Cj, aij y bi son constantes (o parámetros) dados.

4 Métodos de Resolución Método Gráfico Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo. Método Algebraico (SIMPLEX) Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.

5 Métodos de Resolución GRAFICO Maximize Z = 400X X Sujeto a: 1 2 Where R1) 3X Z = the monthly 1 + 5X profit from 2 5,000 Fab Max and Multimax X = R2) the number X of Max 4X 2produced 3,000 each month Assy X = R3) the number X 1,X of 2 Multimax produced 0 each Nonnegativity month 2

6 Método de Resolución: Paso 2 Obtener la RSF X 2 3,000 2,000 R1 Fab X1 X2 0 1,000 1, ,000 A B R2 Assy X1 X , ,0 RSF C 1,000 2,000 3,000 X 1 11

7 Método de Resolución: X 2 3,000 2,000 Premisa: el punto optimo siempre se encuentra en uno de los vértices de la RSF. 1,000 A B 0,0 RSF C 1,000 2,000 3,000 X 1 11

8 Método de Resolución: Paso 3 Encontrar el Punto Optimo (2) X 2 3,000 2,000 1,000 A B Optimal Point 0,0 C 1,000 2,000 3,000 X 1 14

9 RESULTADOS Max Z = 400X X 1 2 Z = 400(715) (571) Z = $286,000 + $456,800 = $742,800 X1=715 X2=571 Z =742,

10 Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la técnica matemática de programación lineal. El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo.. El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo. La solución óptima del problema de programación lineal, si existe, es un punto extremo (vértice) del conjunto de soluciones factibles. El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución óptima del problema es finito.

11 Campo de Factibilidad Es el conjunto de posibilidades de producción que cumple con la condición de respetar todas las restricciones de un problema de decisión. De todas las alternativas técnicamente factibles, hay una sola que es óptima desde el punto de vista de la función a optimizar. Hay una serie de soluciones subóptimas que vale la pena explorar.

12 Tasa Marginal de Sustitución Técnica Es la relación técnica que define el reemplazo de dos actividades entre sí manteniendo constante el uso de un determinado recurso.

13 Ingreso Marginal Es el incremento en el resultado provocado por el ingreso en la solución de una unidad adicional de una actividad.

14 Costo de Oportunidad (Precio Sombra) Cuando el objetivo es maximizar el resultado, el Costo de Oportunidad es el beneficio que se deja de percibir por no contar con una unidad adicional de un recurso. El Costo de Oportunidad de un recurso se determina en base al mejor uso alternativo. En términos económicos, es equivalente al Valor del Producto Marginal del recurso. Los recursos escasos se asignan a aquellas actividades en las que el valor del producto marginal de cada recurso sea mayor.

15 Costo de Oportunidad (cont.) El valor de los recursos obtenido de acuerdo al criterio de VPMg es interno, propio de cada situación evaluada en función de las alternativas consideradas tanto en sus aspectos de mercado (costos y precios) como técnicos (funciones de producción asociadas a cada alternativa), y de la abundancia o escasez relativa de los recursos disponibles. Por consiguiente, el Costo de Oportunidad Interno de un recurso puede diferir de su valor de mercado.

16 Costo Marginal En un problema de maximización, el Costo Marginal es el incremento en el costo total resultante de agregar una unidad de actividad en la solución. En PL, el Costo Marginal de una actividad se calcula valuando los recursos consumidos por cada actividad según el Costo de Oportunidad Interno de los recursos.

17 Principio de Optimización (Simplex) En un problema de maximización, conviene incrementar la participación de una actividad en el plan en tanto el Ingreso Marginal sea mayor que el Costo Marginal que se incurra. Se llega a una solución óptima siguiendo un mecanismo iterativo, en la que cada solución mejora sobre la previa a partir de incluír actividades que aportan más que lo que cuestan. Se llega a una solución óptima cuando no hay sustituciones factibles que permitan lograr un resultado mayor. Para todas las actividades incluídas en el óptimo se cumple el principio: Ingreso Marginal = Costo Marginal

18 Costo de Sustitución (Costo Reducido) Indica la diferencia entre el Ingreso Marginal y el Costo Marginal para cada actividad. En una solución óptima, las actividades incluídas en el plan cumplen con la condición Ingreso Marginal = Costo Marginal, por lo que el Costo de Sustitución de las mismas es igual a 0. Las actividades no incluídas en el plan tienen un Costo Marginal mayor que su Ingreso Marginal. El Costo de Sustitución indica la magnitud de esta diferencia.

19 Solución óptima Una solución es óptima para una situación determinada en relación a precios relativos, funciones de producción, disponibilidad de recursos y restricciones empresariales especificadas. Cualquier alteración en los supuestos empleados va a tener un impacto cierto en el resultado obtenido y eventualmente en el nivel o composición de las actividades incluídas en la solución.

20 Información obtenida Resultado (óptimo) Dimensión de cada actividad en la solución Costo de Sustitución de las actividades Uso de cada recurso Costo de Oportunidad de cada recurso Rango de precios dentro del cual no se modifica la dimensión de las actividades en la solución (ceteris paribus) Rango dentro del cual se mantiene el Costo de Oportunidad de cada recurso (ceteris paribus)

21 Soluciones degeneradas Cuando en la solución hay menos variables con valores positivos que cantidad de restricciones, la solución es degenerada. En general la degeneración no es un problema, pero a veces puede ocurrir que haya soluciones óptimas alternativas que no son fáciles de identificar. Costos de sustitución igual a 0 o costos de oportunidad igual a 0 son indicadores de soluciones degeneradas.

22 Solución no factible Soluciones fallidas Posibles causas: error en la formulación (p.ej. una desigualdad con signo equivocado), o problema con restricciones incompatibles. Solución no limitada El modelo fue formulado de tal modo que la función objetivo puede aumentar (en un problema de maximización) o disminuír (en un problema de minimización) sin límites. Posibles causas: falta incluír alguna restricción esencial o se introdujo algún coeficiente con signo equivocado.

23 Forma Estándar de un PPL Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX La forma estándar pasa por realizar los siguientes cambios: 1º Conversión de desigualdades en igualdades (ecuaciones) a.- Restricción menor o igual ( ) Para transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar su lado izquierdo con una variable de holgura. Esta representa la cantidad disponible del recurso que excede al empleo que le dan las actividades. Ej. 6X1 + 4X2 24 F.e 6X1 + 4X2 + h1 = 24 (h1 cantidad no utilizada de recurso) h1 0

24 Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX b.- Restricción mayor o igual ( ) Las restricciones de este tipo comúnmente determinan requerimientos mínimos de especificaciones. En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa el requerimiento mínimo del lado izquierdo, sobre el requerimiento mínimo del derecho ( cuanto falta para cumplir con lo pedido). Ej. X1 + X2 800 X1 + X2 - r1 = 800 r1 0 Sin embargo la F.E pasa por hacer un ajuste más: F.E X1 + X2 - r1 + t1 = 800 r1, t1 0 t1 = variable artificial (se necesita para generar la solución inicial del simplex)

25 d.- Restricción de igualdad (=) Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Aquí la estandarización pasa sólo por incorporar una variable artificial. Ej. X1 + X2 = 800 X1 + X2 + t1 = 800 t1 0 Como las variables artificiales no tienen sentido, es importante que el simplex las deje fuera al comienzo del procedimiento y esto se logra al penalizar la inclusión de las variables artificiales en la función objetivo con un coeficiente M muy grande que para el caso de maximizar es - M y para el caso de minimizar es + M.

26 Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX 2º Cambios de variables a.- Variables no restringidas Algunas veces las variables de decisión pueden tomar cualquier valor real. Xi s.r.s Cambio de variable Xi = Ui Vi Ui. Parte positiva de Xi Vi. Parte negativa de Xi Ej. X1 + X2 24 X1 0, X2 s.r.s Luego X2 = U2 V2 F.E. X1 + U2 V2 + h1 = 24

27 b.- Variables negativas Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Algunas veces las variables de decisión pueden tomar negativos. Xi 0 Cambio de variable Yi = Xi Donde Yi 0 Ej. X1 + X2 40 X1 0, X2 0 Luego Y2 = X2, o bien X2 = - Y2 F.E. X1 - Y2 + h1 = 40

28 Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX 3º Cambio en criterio de optimización Muchas veces el objetivo no es maximizar. MIN (Z) Cambio de variable: Z* = -Z MIN Z = MAX ( Z*) Ej. MIN [ Z = X1 + X2 ] Z* = -Z F.E MAX [ Z* = -X1 X2]

29 Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX EJEMPLO MIN (Z = 15X1 + 10X2 20X3) S/A R1) X1+2X2+4X3 30 R2) 5X1+5X2+3X3 = 40 R3) X1 + X2 + X3 70 R4) X1 s.r.s; X2 0; X3 0 Cambios de variable: Z* = -Z X1=U1-V1 X2=-Y2

30 Métodos de Resolución ALGEBRAICO SIMPLEX Forma Estándar Z* + 15 U1-15 V1-10 Y2-20 X3 + M t1 + M t2 = 0 U1 - V1-2 Y2 + 4 X3 - r1 + t1 = 30 5 U1-5 V1-25 Y2 + 3 X3 + t2 = 40 U1 - V1 - Y2 + X3 + h1 = 70

31 Problemas típicos Problema del transporte Problema de flujo con coste mínimo en red Problema de asignación Problema de la mochila (knapsack) Problema del emparejamiento (matching) Problema del recubrimiento (set-covering) Problema del empaquetado (set-packing) Problema de partición (set-partitioning) Problema del coste fijo (fixed-charge) Problema del viajante (TSP) Problema de rutas óptimas

32 Problema de la mochila Escoger un grupo de productos que maximice el valor total sin exceder el espacio disponible Max s.a. x n j 1 j a j n j 1 x j c 0, 1 j x b j n objetos a j : espacio que ocupa el objeto j c j : valor del objeto j b: volumen de la mochila x j : 1 si se escoge el objeto j