(2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX

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1 (2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA Ax = b Forma Standard y Base factible (repaso). Expresión de las v. básicas en función de las no básicas. Forma tabular. CAMBIO DE BASE CON CONSERVACIÓN DE LA FACTIBILIDAD. Casos singulares. Región no acotada. Cambio degenerado de base. CONCEPTO DE COSTE REDUCIDO. Cambio de base con disminución de la f.obj. Cálculo de los costes reducidos. ALGORITMO DEL SÍMPLEX Forma tabular. Fórmulas matriciales. Ejemplos INICIALIZACIÓN DEL ALGORITMO. (fase 0) Método de las variables artificiales.

2 FORMA STANDARD DE UN P. P.L. Tras transformaciones, todo P.P.L. puede expresarse de la forma: ( m n ) Todas las variables x i están sujetas a x i 0, i = 1, 2, n Todos los términos de la derecha b i son no negativos: b i 0, i = 1, 2, m La matriz de coeficientes A es de pleno rango: Hay m columnas de A tales que al formar una matriz B con ellas, ésta es inversible. Todos los paquetes para P.L. convierten automáticamente a la forma Standard Investigación Operativa

3 DEFINICIÓN DE BASE FACTIBLE. Sistema Ax = b, x 0 B= DEFINICIÓN: B es base factible si: 0 B es una base asociada al conjunto de índices {1, 4, 5} I. Investigación Operativa

4 Sistema Ax = b, x 0 B base asociada a I B = {1, 4, 5} 0 Investigación Operativa

5 Una estrategia para resolver el P.P.L. consiste en: 1. Determinar si F=. 2. En caso contrario, determinar una s.b.f. (vértice) de F inicial 3. Visitar s.b.f's hasta encontrar una que sea solución de (P) 4. Determinar si la s.b.f. solución es única o existen otras soluciones.

6 En este tema: Se desarrolla un método para saltar de una s.b.f. a otra vecina. (CONSERVACIÓN DE LA FACTIBILIDAD). En cada salto se mejora la función objetivo. Se detecta si se alcanza una solución de (P) o bien si el problema es no acotado. Finalmente, se desarrolla un método para encontrar una s.b.f. inicial o bien detectar que F=. ALGORITMO DEL SÍMPLEX

7 FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA LINEAL Ax=b Respecto del conjunto de índices I B = {1, 4, 5} B x B + N x N = b B -1 ( B x B + N x N ) = B -1 b x B + B -1 N x N = B -1 b x B + Y x N = y 0

8 FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA LINEAL Ax=b Para el conjunto de índices asociados a una base B, I B ={i 1, i 2,, i m } x B + Y x N = y 0 0 si B es base factible Columnas básicas Columnas no básicas Investigación Operativa

9 CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD I B = {1, 4, 5} x 1 x 2 La forma canónica expresa la dependencia de las variables x B respecto de las x N x B (x N ) = y 0 - Y x N Para x N = 0, x B (0) = y 0 ; el punto x R = (y 0, 0 ) es un vértice del Poliedro. Si B es una base factible: x B (0) 0; Incrementando x N desde 0 encontraremos otros puntos x B (x N ) 0. Se incrementa una sola v. No básica. El resto se mantienen a cero Investigación I.O.E. Diploística Operativa

10 CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD 1 2 x 2 I.O.E. Investigación Operativa

11 PIVOTACIÓN Investigación I.O.E. Diplomatur Operativa

12 CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD ENTRA VARIABLE NO BÁSICA -> SALE VARIABLE BÁSICA Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

13 CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD CASOS SINGULARES: I B = {1, 4, 5} x 1 x 2 Incrementando x 2 al menos una v. básica crece indef. Se detecta dirección de crecimiento ilimitado de la región factible Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

14 CAMBIO DE BASE CON CONSERVACION DE LA FACTIBLIDAD CASOS SINGULARES: Se obtiene el mismo punto Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

15 Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

16 Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

17 x 1 x 2 I.O.E. Diplo Investigación Operativa

18 x 1 x 2 Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

19 TEMA 2.c RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX Semana 2. Sesión 2 Concepto de coste reducido. Expresión de las v. básicas en función de las no básicas. Cambio de base con disminución de la f.obj. Cálculo de los costes reducidos. ALGORITMO DEL SÍMPLEX Forma tabular. Fórmulas matriciales. Ejemplos Investigación I.O.E. Diplomatura Operativ de Estadística

20 B x B + N x N = b B -1 ( B x B + N x N ) = B -1 b x B + B -1 N x N = B -1 b x B (x N ) = y 0 - Y x N x B + Y x N = y 0 Investigación I.O.E. Diplomaturaa Operativ

21 CAMBIOS DE BASE DIMINUYENDO EL VALOR DE LA F.OBJETIVO Se quieren encontrar las soluciones del problema de P.L. Investigación Operativa I.O.E. Diplomatura

22

23 Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

24 CÁLCULO DE LOS COSTES REDUCIDOS Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

25 DISPOSICIÓN EN FORMA TABULAR Y FÓRMULAS MATRICIALES. Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de

26 I.O.E. I.O.D. Diplomatura de Estadística

27 x 3 B A x 1 VÉRTICE A x 2 Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

28 C x 3 B VÉRTICE B x 1 x 2 VÉRTICE C ÓPTIMOS ALTERNATIVOS Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadística

29 x 3 C F Recorriendo las diferentes bases encontraríamos los puntos C, D, E, F. En todos ellos la f.obj. tiene igual valor: z* = 220/15. G E D x 1 Cualquier punto G sobre la cara tendrá igual valor para la f.obj. ( COMPROBADLO) x 2 Investigación I.O.E. Diplomatura Operativa de Estadístic

30 EFICACIA DEL ALGORITMO SÍMPLEX En el ejemplo anterior se examinan sólo 3 de los 9 vértices del poliedro. Hay ejemplos en los que el algoritmo debe examinarlos TODOS (Klee-Minty, 1972). PEOR CASO POSIBLE. x 3 x 1 x 2 Investigación Operativa I.O.E. Diplomatura de Estadística

31 EFICACIA DEL ALGORITMO SÍMPLEX En los problemas reales con n=nºvar. >> m=nº restr. : ( A =... ) Nº medio de iteraciones k m, k entre 1 y 3!!!! En la actualidad el SÍMPLEX continúa siendo un algoritmo presente en casi todos los paquetes de soft. para P.L.

32

33 I.O.E. I.O.D. Diplomatura de Estadística

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36 Sesión 2.c RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX Semana 3. ALGORITMO DEL SÍMPLEX (Repaso) Forma tabular. Fórmulas matriciales. Inicialización del algoritmo. (fase 0) Objetivos. Detección de problemas infactibles. Método de las variables artificiales. Problema auxiliar. Casos. Ejemplos Investigación Operativa I.O.E. Diplomatura de Estadística

37 I.O.E. I.O.D. Diplomatura de Estadística

38 IDENTIFICACIÓN DE BASES INICIALES FACTIBLES. No es posible identificar una base inicial factible Investigación Operativa í

39 IDENTIFICACIÓN DE BASES INICIALES FACTIBLES. VARIABLES ARTIFICIALES Y PROBLEMA AUXILIAR: Se construye un "problema auxiliar" con las mismas variables y coeficientes en las restricciones que en el problema original. Se añaden las variables artificiales ( 0): Una por cada fila con una variable de exceso. Una por cada fila sin variable de exceso ni de holgura. La función objetivo del problema auxiliar es la suma de las Variables artificiales. I.O.E. Dtica Investigación Operativa í i

40 I.O.E. Dica Investigación Operativa í i

41 Para el problema auxiliar se obtiene una base inicial factible de forma inmediata Investigación Operativa í i

42 SOLUCIÓN del PROBLEMA AUXILIAR Casos: a) El problema auxiliar presenta una solución óptima con las variables auxiliares a i = 0 Se obtiene una base inicial factible para el problema original. El problema original tiene REGIÓN FACTIBLE no vacía. b) El problema auxiliar presenta una solución óptima con alguna variable auxiliar a i > 0 No se puede hallar base inicial factible para el problema original. El problema original tiene REGIÓN FACTIBLE vacía. í i

43 RESOLVER í

44 í

45 í

46 I.O.E. I.O.D. Diplomatura de Estadística

47 RESOLVER í

48 í i

49 1/112 í i

50 PRÁCTICA 1 Seguimiento de las iteraciones del SÍMPLEX mediante LINDO MAX 3 X1 + 2 X2 SUBJECT TO 2) 2 X1 + X2 <= 100 3) X1 + X2 <= 80 4) X1 <= 40 END

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