APUNTES DE MATEMÁTICAS

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1 APUNTES DE MATEMÁTICAS NÚMEROS NATURALES: Son los que utilizamos para contar Ejemplo: Contar el número de alumnos de la clase, escribir el número de la matrícula de un coche Se representan N{0,1,2, } Ejercicio: Nombra los números: : Escribe los números: Diecisiete mil cuatro Dos mil cuatro millones doscientos mil siete Tres billones cuatro mil veinte ORDENACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Se pueden ordenar: mediante los signos > (mayor que) y < (menor que) ; Ejemplo:1< (significa que el 1 es menor que ); 7> significa que 7 es mayor que. Ejercicio: Utiliza el signo > (mayor que) ó < (menor que) para comparar los números: Utiliza el signo > para ordenar todos los siguientes números: 12;;;2;;10 Utiliza el signo < para ordenar los siguientes números 0;20;;17;2 EXPRESIONES NUMÉRICAS: Los números naturales se pueden sumar (+), restar (-), multiplicar (x ó * ó ) y dividir (: ó ó / ). Las expresiones numéricas son operaciones indicadas en forma lineal en la que el resultado se pone después del signo igual. Ejemplo: +1, 17-12, 27/9, 12*0 EXPRESIONES NUMÉRICAS COMBINADAS Son expresiones numéricas con más de una operación. En estos casos hay que tener en cuenta el orden de prioridad de las distintas operaciones: 1º Se realizan los paréntesis 2º Se realizan las potencias y raíces (ya las veremos) º Se realizan multiplicaciones y divisiones º Por último se calculan las sumas y las restas: Ejemplo1: +*(2+) +(7) (Si un número está inmediatamente al lado de un paréntesis el número multiplica al contenido del paréntesis) Ejemplo 2: 12+* Ejercicio: Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones: ( 1) ( 8 2 ) + ( 0 / ) Calcula el valor del número que falta para que se cumpla la expresión numérica: ( )

2 NÚMEROS ENTEROS. Son números naturales (de contar) precedidos por un signo + ó -. Y el cero 0 Ej : +, -, Se representan Z{ -,-2,-1,0,+1,2,} Sirven para indicar un sentido de dos posibles: Tengo 2, que se representa por +2 ò 2 ; Debo 2 que se representa por -2. La temperatura sube º: (+º); la temperatura baja º : (-) estamos a 1 º bajo cero: (-1º) OPUESTO de un número entero es otro número entero con distinto signo. Ej: Op(-) + VALOR ABSOLUTO de un número entero es el valor del número sin el signo y se representa por el número entre dos líneas. Ej: Valor absoluto de - se representa como - y es igual a + ORDENACIÓN de números enteros: Se pueden ordenar teniendo en cuenta que para los negativos son mayores los números que tienen menor valor absoluto ( ->- ya que - grados es una temperatura más alta que -). Así por ejemplo: -8 < - < -1 < 1< OPERACIONES CON ENTEROS SUMA: Con el mismo signo : Se suman los números y se pone el signo que tienen: Ej (-) + (-) (-8) [Debo y debo, en total debo 8] (+) + (+) (+10) [Tengo y tengo, en total tengo 10] Con distinto signo: Se restan los números y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. Ej: (-) + (+) (-2) [Debo y tengo, en total tengo 2] RESTA : Para restar dos números al primero se le suma el opuesto del segundo. Ej: (-) - (-9) (-) + (+9) (+). También se puede interpretar como "de el segundo al primero hay..." Ej Siempre hemos dicho 7 - [De a 7 van ]. Aplicando lo mismo: (-) - (-9) + [De deber 9 a deber he ganado ] o también [de estar a -9 grados a estar a - grados la temperatura ha subido (+) grados. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: Multiplican o dividen normalmente y en cuanto al signo se sigue la siguiente "regla" + por : por : por : por : + - Ejemplo: si subo dos escalones (+2) cada segundo que pasa cuando pasen segundos (+) habré subido (+2) (+)(+) ; y hace segundos (-) estaré (+2) (-)(-8) escalones más abajo. Por la misma razón si bajo 2 escalones (-2) cada segundo que pasa (+1) dentro de 2 segundos (+2) habré bajado (-2) (+2)(-); y hace un segundo (-1) estaría (-1) (-2)(+2) escalones más arriba EJERCICIOS: Ordena de menor a mayor con el signo < los siguientes números: (-8),,(-10),0,,(-) 1.- Resolución de expresiones con varios elementos que se suman o se restan indistintamente los métodos más sencillos son los siguientes a) Conversión de restas en sumas ( al primero se le suma el opuesto del segundo), sumar luego lo positivo por un lado y lo negativo por otro y luego restar ambos valores: (-1) + (-2) - (-) - ( +) + ( +) (-1) + (-2) + (+) + (-) +(+) (+11) + (-7) +

3 b) Simplificación de paréntesis y signos: dos signo separados exclusivamente por un paréntesis se están multiplicando y se aplica la mencionada regla de producto de signos en números enteros. A continuación se suma lo positivo y lo negativo y luego se restan ambos resultados: (-1) + (-2) - (-) - (+) + (+) Calcula (+) + (+) + (-7) (-) + ( -) + (-9) ( +2) + ( -7) + (+) + (-) + (+8) + (-7) ( +) - ( +) ( -9) - (+) (-) - ( -) ( +) - (+2) - (+) (-)-(-)(-2) 10/(-2) + 10/((-)+2) - +(-)-(-7)-(+)+(-2)-(-1)

4 POTENCIAS Cuando un número natural se multiplica por sí mismo un número de veces se puede simplificar esta expresión en forma de Potencia: Exponente Sea la expresión: 2 2x2x2x2 1 Base Producto de potencias de la misma base: se suman los exponentes: 2 x 2 2x2x2x2x2x2x22 7 División de potencias de la misma base: se restan los exponentes: : 2 Potencia de otra potencia: se multiplican los exponentes: ( ) 2 Cualquier número elevado a la unidad es el mismo número: Cualquier número elevado a cero es la unidad Ejercicios: 8 2 x 8 x 8 (2 2 x 2 x 2 x 2) / (2 x 2 x 2 2 ) ( x 2 ) 2 / 2 [ 2 x ] 2 Resuelve los siguientes ejercicios: ( x 2 -x+ 9/) (x2-10/2) 2 / (8 2 / - 9) ( 2 x - 2 x 8) x ( ) x ( x - 2) / 10

5 POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS: Se aplican las mismas reglas que para los números naturales: a) Producto de potencias de la misma base : se suman los exponentes: (-) 2 * (-) (-) b) División de potencias de la misma base: se restan los exponentes: (-) / (-) (-) 2 c) Cualquier número está siempre elevado a la unidad: (-) (-) 1 d) Cualquier número elevado a cero es igual a la unidad: (-) 0 1 e) Para calcular la potencia de otra potencia se multiplican los exponentes: [ ( -) 2 ] (-) f) Como consecuencia de la definición de DIVISIÓN de potencias, una potencia con exponente negativo es igual a la inversa de la potencia con exponente positivo: (+) -2 1 / ( +) 2 Demostración: hagamos la división de las potencias: (+) / (+) (+) -2 Considerando los valores como potencias. Si en vez de esto desarrollamos las potencias y simplificamos nos queda: (+) * (+) * (+) 1. Como ambas expresiones son correctas : (+)*(+)*(+)*(+)*(+) (+) 2 (+) -2 1 / (+) 2. Ejercicios: Calcula: (-2) 2 (-2) - (-2)

6 RAÍCES La radicación es una operación inversa a la potenciación La raíz cuadrada de un número es otro número que multiplicado por sí mismo me da el primero: 2 2 porque 2x2 En las raíces cuadradas no se pone el número 2 como Índice da la índice de la raíz raíz La raíz cúbica de un número es otro que multiplicado tres veces por si mismo me da el primero: 27 porque xx27 La raíz enésima de un número es otro que multiplicado n veces por sí mismo me da el primero: 2 porque 2x2x2x2x2x2 Ejercicio Resuelve los siguientes ejercicios RAÍCES EN FORMA DE POTENCIAS: Las raíces se pueden escribir como potencias donde el exponente es la unidad dividida por el índice de la raíz. Ejemplo: 1 1 1/2 ; 8 8 1/ 2. Ejercicio: Escribe en forma de potencia las siguientes raíces: 27 Una vez convertidas en forma de potencias cumplen las mismas normas para el producto, división (las veremos más adelante). Ejercicios: Calcular las expresiones: ( 2 x 10-2 x 2 ) ( 8 x /) 9 x 2 + (2 ) 2 2 x 2-18 / x 2 ( x - ) 2 / ( x ) 7 + ( 12 x ) - ( 2 ) x 2 - x7 + ( ) Como signo de multiplicar se puede poner x,. ó

7 CÁLCULO DE LA RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO: x º Se separan las cifras de dos en dos de derecha a izquierda 2º Se busca un número que multiplicado por si mismo me dé el número o la pareja de números más a la izquierda (aproximando siempre por debajo) en este caso el 2. el resultado de multiplicar este número por sí mismo se pone debajo del número o pareja de la izquierda y se restan ambos º Multiplicamos por 2 el número buscado en el punto 2º y lo ponemos debajo del mismo º Bajamos la pareja de números siguiente. º Buscamos una cifra que añadida al final del resultado del punto º y multiplicada por la misma cifra se me aproxime lo más posible o me dé el numero exacto del punto º y se pone debajo del mismo restando ambos º Se pone la cifra hallada en el apartado a la derecha de la cifra del apartado 2º y se vuelve a repetir todo el proceso x x2 98 7x Resto

8 RAÍCES DE NÚMEROS ENTEROS: Se aplican las mismas reglas que para los números naturales, pero hay que tener en cuenta la regla de los signos en los productos de número enteros, lo que implica: a) Raíz cuadrada ( o par) de un número entero positivo tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa: (+ 9) ( +) ya que (+) * (+) (+9) pero también lo es (+ 9) (-) ya que (-) * (-) (+9) 1 ( +2) ya que (+2)*(+2)*(+2)*(+2) (+1) pero también ( -2) ya que (-2)*(-2)*(-2)*(-2) (+1) b) La raíz cuadrada o par de un número negativo no existe, Ya que no hay ningún número que multiplicado por sí mismo de negativo: ( 1) no existe ( 1) no existe c)la raíz cúbica o impar de un número positivo tiene una única solución positiva: (+ 8 ) (+2) ya que (+2)*(+2)*(+2) (+8) (+ 2) (+2) ya que (+2)*(+2)*(+2)*(+2)*(+2) (+2) d) La raíz cúbica o impar de un número negativo tiene una única solución negativa: ( 8 ) (-2) ya que (-2)*(-2)*(-2) (-8) ( 2) (-2) ya que (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2) (-2).- Representación en el plano de números enteros: Considerando dos rectas (una horizontal y otra vertical por tanto perpendiculares que formen un ángulo de 90º), definido el punto de corte como "origen " ó (0,0) y un segmento como la unidad, se pueden representar pares de números enteros como puntos del plano. Se toman los siguientes convenios: Son positivos los valores de la derecha y de arriba. Son negativos los valores de la izquierda y de abajo. El primer valor corresponde al eje horizontal y el segundo al vertical: (-1,) (2,) (-1,-2) (1,-)

9 NÚMEROS ENTEROS. MÁS PROBLEMAS 1.- Sobre los siguientes ejes de coordenadas representa las siguientes situaciones: Norte Oeste Este Sur Una persona está situada en el punto (2,-2) y camina tres pasos en dirección Este; luego camina pasos en dirección Norte. Más tarde camina 2 pasos en dirección Oeste, luego en dirección Sur y por último pasos en dirección Este. a) Representa el punto de partida y el recorrido que hace. b) Representa las coordenadas de los puntos en los que cambia de dirección 2.- Resuelve las siguientes expresiones: a) 2-1 b) /9 c) d) (-2/) 2-1/ e) 2 (-) - (-2) ( 27) f) - 2 (-2) + 2 g) 2 - -

10 MÚLTIPLOS Y DIVISORES Son múltiplos de un número aquellos otros que contienen la primero un número exacto de veces Ejemplo: múltiplos de 2 son 2,,, 8, 10. Son divisores de un número aquellos otros que están contenidos en el primero un número exacto de veces: Ejemplo: Son divisores de 10 son: 10,, 2, 1 Se dice que un número es divisible por otro cuando al dividir el primero por el segundo da de resto cero, o que el primero contiene al segundo un número exacto de veces. Ejemplo: 0 es divisible por 2 ya que 2*20 NUMEROS PRIMOS: Son aquellos que solo son divisibles por sí mismos y por la unidad. Son números primos 1, 2,,, 7,11, 1, 17, 19. REGLAS DE DIVISIBILIDAD Todo número par es divisible por 2 y por tanto es múltiplo de 2 Todo número terminado en 0 ó en es divisible por y por tanto es múltiplo de Todo número cuya suma de sus cifras es ó múltiplo de es divisible por Ejemplo 12 es divisible por tres ya que 1+2+ y es múltiplo de. se comprueba 12:1. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL EN FACTORES PRIMOS Consiste en convertir a un número en producto de potencias de números primos. Esto se realiza dividiendo sucesivamente el número por los números primos que son divisores del número. Ejemplo: Descomponer el número 12 en factores primos: se representa 12 es par por tanto es divisible por 2: 12/2; es par por tanto es divisible por 2 /2; es divisible por sí mismo /1 Por lo tanto Ejercicio: descomponer factorialmente los números: MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) DE DOS O MÁS NÚMEROS Es el mayor de los divisores comunes. Se calcula descomponiendo en factores primos los números y tomando los factores comunes con menor exponente. Ejemplo: MCD de 0 y 20: Haciendo la descomposición factorial: MCD (0,20) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) DE DOS O MÁS NÚMEROS.

11 Es el menor de los múltiplos comunes. Se calcula descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes con mayor exponente y los no comunes. Ejemplo: en el caso anterior m.cm (0,20) EJERCICIOS: 1.- En los números 1 y 20: Escribe los divisores de ambos: Escribe los divisores comunes de ambos: Escribe el máximo común divisor: Calcula el máximo común divisor haciendo la descomposición factorial Escribe los 10 primeros múltiplos Escribe los múltiplos comunes Escribe el mínimo común múltiplo Calcula el mínimo común múltiplo haciendo la descomposición factorial. 2.- Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números: 120 y y , 20 y 00

12 NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONES): FRACCIÓN Una es fracción es una división indicada: 2 es lo mismo que 2/ o que 2 : El número de arriba (numerador) expresa las partes que tomo y el número de abajo las partes en que está dividida la unidad: NUMERADOR DENOMINADOR 2 Se representa: Dónde el rectángulo representa la unidad o sobre lo que se aplica la fracción. Así pues 2 de 0 serán 0/20; FRACCIONES EQUIVALENTES: aquellas que expresan la misma cantidad o parte de la unidad. Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador de una fracción por un mismo número, el resultado es una fracción equivalente: 8 : 2 10 : 2 Por lo tanto: x 2 10 x 0 En las fracciones equivalentes el producto de los números en diagonal es constante: Simplificar una fracción consiste en dividir numerador y denominador por el máximo común divisor (MCD) de ambos para obtener una fracción equivalente a la anterior e irreducible. También se puede simplificar dividiendo sucesivamente por los números por los que sean divisibles hasta que ya no se pueda seguir: x 0 2 x x Máximo común divisor de 20 y 0 2 x : o bien: 0 : : 2 10 : : 2 1 :

13 REDUCIR A COMÚN DENOMINADOR dos o más fracciones consiste en calcular fracciones equivalentes a las anteriores que tengan el mismo denominador. Se puede hacer de dos formas: Método de los productos cruzados: se multiplica numerador y denominador de cada fracción por el producto de los otros denominadores: 2 2 x x , ---- ; , ; , x x Método del mínimo común múltiplo: se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone como denominador común en todas las fracciones. Para calcular el numerador de cada fracción se divide el Mínimo común múltiplo (mcm) por cada denominador y se multiplica por cada numerador , ; 2x mcm (, 8 ) 2 x 8 x 2 (2 : ) x 7 (2 : 8 ) x , ; , ; OPERACIONES CON FRACCIONES. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES. Cuando tienen el mismo denominador se suman o restan ) los numeradores y se pone el mismo denominador Cuando tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se procede como antes: ( m.c.m. de 2,, 8 2)

14 PRODUCTO DE FRACCIONES. Se multiplica los numeradores y se pone el resultado como numerador; luego se multiplican los denominadores y el resultado se pone como denominador: DIVISIÓN DE FRACCIONES. Se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la 2ª y el resultado se pone como numerador ; luego se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda y se pone el resultado como denominador: 1 2 EJERCICIOS. Calcula: / : + 2 EXPONENTES FRACCIONARIOS EN LAS POTENCIAS: Como ya hemos dicho las raíces se pueden poner en forma de potencia: Ej: 8 8 1/ 2; 2 2/ Para multiplicar potencias con igual base y exponentes fraccionarios se siguen las mismas reglas : se suman los exponentes. Para dividir potencias con igual base y exponentes fraccionarios se siguen las mismas reglas : se restan los exponentes. Para hacer una potencia de otra potencia se multiplican los exponentes: Ej / 8 2/ 8 (2/)+(2/) 8 8/12+/12 8 1/12 8 7/ 2 7/ 2 21/ 2 7/2 2 7 NUMEROS DECIMALES: Son los que utilizamos habitualmente para medir distancias, precios pesos Los números decimales se representan por una parte entera situada a la izquierda de una coma que separa la parte de fracción en décimas necesaria para completar la medida. Ejemplo si la longitud de una cuerda es metros y décimas de metro entonces el número decimal es:, cuerda metros y /10 de metro, metros REPRESENTACIÓN NUMÉRICA: Los números decimales se representan en la recta numérica en la que cada unidad está dividida en 10 partes iguales llamadas décimas; a su vez estas están

15 divididas en otras 10 partes iguales llamadas centésimas y así sucesivamente (milésimas, diezmilésimas ): , CONVERSIÓN DE FRACCIÓN A DECIMAL: Las fracciones son divisiones indicadas. Para covertir una fracción a decimal simplemente dividimos numerador por denominador: 1,2 A veces a dividir numerador por denominador se repite un número: 20,, CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN Es inmediato: se pone el número decimal sin comas como numerador y como denominador la 12 unidad seguida de tantos ceros como decimales haya: Ej 12,. 100 OPÈRACIONES CON NÚMEROS DECIMALES: Los números decimales se suman y restan como los enteros sin más precaución que poner las comas en línea: 0, + 78,08, + 78,08 8,8 0,+78,08 8,8 Para multiplicar los números decimales se multiplican como los enteros al resultado se cuentan tantos decimales de derecha a izquierda como decimales haya entre los dos números que se multiplican. Ej 12, x 0,0,172 Para dividir dos números decimales al divisor (el 2º número) se le quitan todos los decimales y al dividendo (el 1º número) se le quitan tantos decimales (o se añaden ceros si ya no tiene decimales ) como se hayan quitado en el anterior: Dividendo 2, / 0,02 200/2 Divisor Cociente 2, 0, Si quedan decimales en el dividendo (el 1º número) cuando se baje el primer número a la derecha de la coma (el 1º decimal) se pone igualmente la coma en el cociente.