Números Naturales (N)

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1 Teoría de Conjuntos Números Naturales (N) Recuerda que: Un conjunto es una colección o agrupación de personas, animales o cosas. Los conjuntos generalmente se simbolizan con letras mayúsculas y sus elementos se colocan entre llaves y separados por comas. A = {a, b, c} B = {, } H = {Luis, Pedro, Juan, María} L = {2, 4, 6, 8, 10, 12} D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, } 1 Observa que: 1) Los conjuntos: A, B, H y L son finitos (tienen un número determinado de elementos) 2) El conjunto D es infinito (tiene un número indeterminado de elementos) El conjunto de los números naturales se simboliza con la letra N, y su representación en forma de conjunto es: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } Su Representación Gráfica es:

2 Usando los símbolos: 2 : pertenece a : no pertenece a Podemos escribir: a) 2 N se lee: 2 pertenece al conjunto de los números naturales b) 4 N se lee: 4 no pertenece al conjunto de los números naturales c) ½ N se lee: ½ no pertenece al conjunto de los números naturales Ejercicios: Completa con los símbolos ó, según corresponda 1) 9 N 4) 0 N 2) 8 N 5) 12 N 3) 7,3 N 6) ¼ N Orden en N Al comparar dos números naturales, ubicados en la recta numérica, será mayor el que esté más a la derecha y menor el que esté más a la izquierda a) 2 es menor que 5 porque 2 está a la izquierda del 5 en la recta numérica b) 6 es mayor que 3 porque 6 está a la derecha del 3 en la recta numérica Usando los símbolos: < : menor que > : mayor que

3 Los ejemplos anteriores también los podemos escribir así: a) 2 < 5 se lee: 2 es menor que 5 b) 6 > 3 se lee: 6 es mayor que 3 3 Ejercicios: Completa con los símbolos > ó <, según corresponda 1) 9 4 3) 3 0 5) 1 7 2) 2 5 4) 0 6 6) 4 1 Adición en N Operaciones Básicas en N La adición de dos números naturales a y b da como resultado otro numero natural c. donde a y b son los sumandos y c es la suma. Ejemplo: = ó 23 sumandos Sustracción en N sumandos suma 148 suma La sustracción de dos números naturales a y b da como resultado otro número natural c, donde a se llama minuendo, b se llama sustraendo y c se llama diferencia Ejemplo: = minuendo ó 164 sustraendo minuendo sustraendo diferencia 263 diferencia

4 Multiplicación en N El multiplicación de dos números naturales a y b da como resultado otro número natural c. donde a y b son los factores y c es el producto. 4 Ejemplo: 125 (125) (23) = ó 375 factores factores producto producto División en N Sean D y d dos números naturales de modo que d no sea cero (d 0). Dividir D d significa hallar un numero natural c y un numero natural r de modo que D = d. c + r con r menor que d. el numero D se llama dividendo, el numero d se llama divisor, el numero c se llama cociente y el numero r se llama resto o residuo de la división. La división es exacta si r = 0; en caso contrario, es inexacta. Dividendo divisor Residuo cociente Dividendo divisor Residuo cociente

5 Ejercicios: Realiza las operaciones que se te indican 1) = 2) ) ) ) ) ) ) ) Ecuaciones en N Observa la siguiente igualdad: Fíjate que: x 3 5 a) Hay una cantidad desconocida x, la cual llamaremos incógnita o variable b) La igualdad se satisface o se cumple, solo cuando x 2 N Diremos que x 3 5 es una ecuación en N Una ecuación es una igualdad que solo se cumple para determinados valores de la incógnita o variable. Algunos ejemplos de ecuaciones son: a) 3x + 2 = 17 b) 5x 4 = 1 c) x + 3 = 8 d) 8y + 3 = 11 e) 7x = 14

6 Observaciones: 1. Las expresiones que están a ambos lados del signo de igualdad (=), se llaman miembros de la ecuación. Así tenemos: 3x + 2 = 11 6 Primer Miembro Segundo Miembro 2. Cada uno de los números o expresiones de la forma: que constituyen los miembros de una ecuación, reciben el nombre de: términos de la ecuación. Notas importantes: a) b) es un literal que representa es un valor desconocido y, recibe el nombre de: incógnita o variable c) Está sobreentendido que el coeficiente: está multiplicando a la variable:, es decir: Ejemplo: 3x + 2 = 11 Términos: Coeficiente de la Variable: 3 3. Cuando la variable esté aparentemente sola, en realidad está sobreentendido que el coeficiente es uno (1), es decir:

7 a) b) 7 Ejercicios: 1. Indica cuales de las siguientes expresiones son ecuaciones y cuáles no. Justifica tu respuesta 1) 7 3 = 4 2) 2x + 4 = 12 3) 3y + 1 = 28 4) x + 1 < 4 5) 6 + x = 8 2. Determina en cada una de las siguientes ecuaciones la variable, los términos, el primero y segundo miembro y el coeficiente del ó los término(s). 1) x 11 = 3 2) 7x + 7 = 14 3) 1 + y = 11 4) 3x 5 = 19 5) 7 + 3x = 37 6) 4z 2 = 6 7) 3x + 1= 2x + 5 8) 5z 1= z + 7

8 Solución de Ecuaciones en N Dada la ecuación: x + 4 = 6 La igualdad se satisface cuando x = 2, por ello decimos que x = 2 es una solución de la ecuación, es decir: La solución de una ecuación es el valor de la incógnita o variable que hace que la igualdad sea cierta. Ejemplo: La solución de: 4x + 1 = 13 es: x = 3 ya que: (4) (3) + 1 = 13 Resolver una ecuación, es hallar su solución, es decir el valor de la incógnita que la satisface. Método Práctico para Resolver Ecuaciones Para resolver una ecuación en N, de la forma: ax b c Procedemos así: 1. Pasamos b al otro miembro de la ecuación, cambiando de signo. Es decir, si b tiene signo positivo, pasa con signo negativo y viceversa. 2. Pasamos a al otro miembro, dividiendo a) Resuelve la ecuación: 3x 4 7 3x 4 7 3x 7 4 3x 3 3 x 3 x 1 Para comprobar el resultado, sustituimos: x 1, en la ecuación, así: 3x 4 7 ( 3)(1)

9 b) Resuelve la ecuación: 4x x x x x 4 x 5 c) Resuelve la ecuación: 8x 24 8x x 8 x 3 9 Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica el resultado 1) x ) 10x 100 2) x ) 3x 2 8 3) x 6 6 9) 5x ) x ) 6x ) 5x 15 11) 2x 5 5 6) 6x 30 12) 4x 3 9

10 10 Hay situaciones planteadas en lenguaje cotidiano en las que se usan los números naturales, que se pueden expresar utilizando un lenguaje matemático, es decir mediante símbolos, números y signos. Fíjate en las siguientes situaciones y cómo se expresan utilizando una ecuación: Expresión en lenguaje cotidiano Ecuación Un número más veinte es igual a cuarenta x Un número menos doce es igual a cinco x 12 5 El doble de un número más cuatro es igual a catorce 2x 4 14 El triple de un número más dos es igual a veintitrés 3x 2 23 El triple de un número menos ocho es igual a diez 3x 8 10 El doble de un numero es igual a dieciséis 2x 16 El triple de un número es igual a veintisiete 3x 27 Ejercicios: 1. Expresa las siguientes situaciones a través de ecuaciones: 1) Un número más ocho es igual a veinticinco 2) El doble de un número menos dos es igual a diez 3) El triple de un número es igual a treinta 4) Un número menos diecisiete es igual a doce

11 Solución de Problemas Usando Ecuaciones en N Para resolver problemas usando ecuaciones, se deben seguir los siguientes pasos: 1. Comprender el problema: se deben distinguir los datos y lo que se quiere calcular o la incógnita 2. Escribir la ecuación: La ecuación se escribe de acuerdo a la situación planteada 3. Resolver la ecuación: se debe obtener el valor numérico de la incógnita o variable 4. Verificar el resultado: comprobar que la solución satisface las condiciones del enunciado del problema. Ejemplo: El doble de un número más cuatro es igual a doce, Cuál es el número? 1. sea x el número buscado 2. 2x x x x 8 8 x 2 x 4 4. Verificación: 2x 4 12 ( 2)(4) Ejercicios: Resuelve los siguientes problemas, usando ecuaciones: 1) Qué número sumado con cincuenta da como resultado sesenta y ocho? 2) El triple de un número más cuatro es igual a veintidós, Cuál es el número? 3) El doble de un numero menos quince es igual a siete, Cuál es el numero? 4) Un número más once es igual a veinticuatro, Cuál es el número? 5) Un número más dieciocho es igual a veintitrés, Cuál es el número? 11

12 Números Enteros (Z) El conjunto de los números enteros se simboliza con la letra Z, y su representación en forma de conjunto es: { } Su representación gráfica es: Subconjuntos Notables en Z En el conjunto de los números enteros resaltan los siguientes subconjuntos notables: Conjunto de los números enteros positivos con el cero: { } Conjunto de los números enteros positivos sin el cero: { } Conjunto de los números enteros negativos con el cero: { } Conjunto de los números enteros negativos sin el cero: { } Conjunto de los números enteros diferentes de cero: { } Usando los símbolos: : pertenece a : no pertenece a Podemos escribir:

13 a) b) c) d) Ejercicios: Completa con los símbolos ó, según corresponda 1) 4) 7) 2) 5) 8) 3) 6) 9) 13 Orden en Z Al comparar dos números enteros, ubicados en la recta numérica, será mayor el que esté mas a la derecha y menor el que esté mas a la izquierda. a) -2 es menor que 5 porque -2 está a la izquierda de 5 en la recta numérica b) 7 es mayor que 2 porque 7 está a la derecha de 2 en la recta numérica Usando el símbolo: < : menor que > : mayor que Los ejemplos anteriores también los podemos escribir así: a) -2 < 5 se lee: -2 es menor que 5 b) 7 > 2 se lee: 7 es mayor que 2

14 Ejercicios: Completa con los símbolos > ó <, según corresponda 1) 3) 5) 2) 4) 12 6) 14 Valor Absoluto de un Número Entero El valor absoluto de un número entero se define así: Si a es un número entero (a { a) b) c) Operaciones Básicas en Z Adición de Números Enteros Caso 1: Adición de Enteros de Igual Signo a) Se halla la suma de los valores absolutos, de los sumandos b) A la suma obtenida se le coloca el signo común (si los sumandos o la suma son positivos puede omitirse el signo +, y se considera sobreentendido)

15 a) b) c) ( d) ( 15 Caso 2: Adición de Enteros de Diferente Signo a) Se halla la diferencia de los valores absolutos (el mayor menos el menor) b) A la diferencia obtenida se le coloca el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto. a) b) c) d) e) Otra forma de resolver el ejemplo anterior es: f) ( (

16 Ejercicios Efectúa las Siguientes Adiciones: 1) 7) 2) 8) 3) ( 9) 4) ( 10) 5) 11) ( 6) 12) ( 16 Propiedades de la Adición de Enteros a) Conmutativa Si a y b son números enteros (, en general se cumple: a) b) b) Asociativa Si a, b y c son números enteros (, en general se cumple: Ejemplo: a) ( [ ] ( ) ( 6

17 c) Existencia del Elemento Neutro Si a es un número entero (, existe el número entero cero (0 en general se cumple: 17 b ( d ( d) Existencia del Elemento Simétrico u Opuesto Todo número tiene su opuesto:, tal que, en general se cumple: Ejercicios ( ( b Indica, en cada caso, el nombre completo de la propiedad aplicada ( 2 3) 4) ( [ ] [ ] ( Sustracción de Números Enteros Para hallar la diferencia de dos números enteros, se le adiciona al primero, el opuesto del segundo, es decir: (

18 b c d 18 Ejercicios: Efectúa las siguientes sustracciones: Adiciones y Sustracciones Combinadas Sin Signos de Agrupación Eliminación de paréntesis Los paréntesis, en las adiciones y sustracciones, se pueden eliminar según el signo que los preceda, tomando en cuenta las siguientes consideraciones: 1) Si el signo es + o no tiene signo, se elimina el paréntesis (con el signo +); y los números que están dentro conservan su signo. a) b) 2) Si el signo es, se elimina el paréntesis (con el signo ); y los números que están dentro cambian de signo.

19 a) b) c) Ejercicios: Elimina, en cada caso, los paréntesis: 19 1) 2) 3) 4) ( Adiciones o Sustracciones Sin Paréntesis Para efectuar adiciones o sustracciones que no tengan paréntesis, se deben considerar los signos + ó que están delante de cada número. 1) Si son signos iguales, se halla la suma de los números, y al resultado se le coloca el signo común. a) b) c) d) 2) Si son signos diferentes, se halla la diferencia de los números y se coloca el signo que preceda al número que tenga mayor valor absoluto. a) b)

20 Adiciones y Sustracciones Combinadas Sin Signos de Agrupación En este caso se agrupan los números con signos iguales; se halla la suma de los positivos y, aparte, la de los negativos y finalmente se halla la diferencia respectiva. 20 Ejercicios: Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones combinadas: Adiciones y Sustracciones Combinadas Con Signos de Agrupación Cuando un ejercicio tenga varios signos de agrupación; se eliminan según el signo que los preceda, + ó, de manera análoga a la eliminación de paréntesis. Primero se eliminan los paréntesis, luego los corchetes y después las llaves. Ejemplo: { [ ( ] } { [ ] } { }

21 Ejercicios En cada caso, elimina los signos de agrupación y resuelve 1) 2) ( 3) [ ( ] 4) [ ( ] 5) { [ ( ]} 6) {[ ( ] } 21 Multiplicación de Números Enteros Para multiplicar dos números enteros, se multiplican los valores absolutos de los factores y luego: a) El producto será positivo, si los factores tienen el mismo signo b) El producto será negativo, si los factores tienen signos diferentes a c b = 24 d Ejercicios. Efectúa las siguientes multiplicaciones

22 Propiedades de la Multiplicación de Enteros a) Conmutativa Si a y b son números enteros (, en general se cumple: a) 22 b) b) Asociativa Si a, b y c son números enteros ( Ejemplo: a) [ ] [ ] c) Existencia del Elemento Neutro 6, en general se cumple: Si a es un número entero (, existe el número entero uno (1 en general se cumple: b d

23 d) Distributiva de la Multiplicación Si a, b y c son números enteros (, en general se cumple: 23 ( [ ] ± ( a ) ( c ) [ ] ( ± ( a ) ( c ) ( [ ] [ ] ( Ejercicios 1) Identifica, en cada caso, la propiedad aplicada ( [ ] [ ] ( 2 3) 4) ( [ ] 2) Aplica, en cada caso, la propiedad distributiva 1 ( [ ] 2 ( [ ] 3 [ ] ( 4 [ ] (

24 División de Números Enteros Para dividir dos números enteros, se divide el valor absoluto del dividendo entre el valor absoluto del divisor, y luego: a) El cociente será positivo, si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo b) El cociente será negativo, si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes 24 a b c d Ejercicios: Efectúa las siguientes divisiones 1 4 ( 7 10 ( 2 ( ( 3 ( Recuerda que: Reducción de Términos Semejantes El término de una ecuación es una expresión numérica o una combinación de números y literales de la forma: Donde:

25 Nota importante: cuando la variable no tiene exponente se sobreentiende que es 1 y cuando no aparece la variable se sobreentiende que su exponente es 0 Es decir: y 25 Las siguientes expresiones son Ejemplos de términos: a) coeficiente: variable: exponente: b) coeficiente: variable: exponente: c) coeficiente: variable: exponente: d) coeficiente: variable: exponente: e) coeficiente: variable: exponente: f) coeficiente: variable: exponente: g) coeficiente: variable: exponente: Dos términos son semejantes si tienen la misma variable elevada al mismo exponente. Por ejemplo, los siguientes términos son semejantes: a) b) Por otro lado, los siguientes términos no son semejantes: a) Por que? b) Por que? Los términos semejantes se pueden reducir a un solo término, que será semejante a los términos dados, y cuyo coeficiente será el resultado de los coeficientes.

26 Realiza la reducción de los siguientes términos semejantes: 26 a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( Ejercicios: Reduce los siguientes términos semejantes: 7) 8) 9) 10) 11) 12)

27 Ecuaciones en Z Los procedimientos para resolver ecuaciones en Z son los mismos que utilizamos para resolver ecuaciones en N, la única diferencia es que la solución es un número entero. a) 27 b) 2 2 c) ( 6 6 d) (6 4 Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones: 1) 7) ( 2) ( 8) 3) 9) 4) 10) 5) ( 11) 6 6) ( 12) (

28 Resolución de Problemas Usando Ecuaciones en Z En la resolución de problemas, usando ecuaciones en Z, se siguen los mismos pasos de la resolución de problemas, usando ecuaciones en N. Ejemplo: El triple de un número más quince es igual a tres Cuál es el número? 1) Sea x el numero buscado 2) 3) 28 4) Verificación: Ejercicios: Resuelve los siguientes problemas: 1) El doble de un número es igual a menos ocho. Cuál es el número? 2) Un número más cinco es igual a menos quince. Cuál es el número? 3) El triple de un número es igual al número más catorce. Cuál es el número? 4) Un número más dos es igual a menos diez menos el triple del número. Cuál es el número? 5) Un número más nueve es igual a tres menos dos veces el número. Cuál es el número? 6) La suma de tres números consecutivos es menos doce. Cuáles son los tres números?

29 7) Si la cantidad de dinero que debe Leonor aumentada en sesenta mil bolívares es igual a treinta mil bolívares. Cuánto debe Leonor? 8) Si el doble de la cantidad de dinero que debe Eduardo es igual a ochenta y dos mil bolívares menos noventa y seis mil bolívares. Cuánto dinero debe Eduardo? 9) Si la profundidad en metros a la que se encuentra un buzo estudiando la fauna marina es igual a menos seis metros. A qué profundidad se encuentra el buzo? 10) Si el número del piso en el que se encuentra un ascensor más cinco es igual a dos. En qué piso se encuentra el ascensor? Potenciación de Números Enteros con Exponente Natural Si a es un numero entero y n un número natural, llamaremos potencia enésima de a, al número entero que se obtiene al multiplicar el número a, por si mismo, n veces; es decir: ( Siendo: 29 Convendremos en aceptar que: Las potencias se leen según los siguientes ejemplos: 1) se lee: tres elevado a la ocho 2) se lee: siete elevado a la cuatro 3) ( se lee: menos dos elevado a la cinco

30 Cuando los exponentes son 2 ó 3, entonces: 1) se lee: cuatro elevado al cuadrado 2) se lee: ocho elevado al cubo Escribe, en el lugar correspondiente: la base, el exponente y como se lee cada una de las siguientes potencias Base de la Potencia: 5 Exponente de la Potencia: 2 Se lee: cinco elevado al cuadrado Base de la Potencia: ( Exponente de la Potencia: 7 Se lee: menos cuatro elevado a la siete 2. Calcula las siguientes potencias: a) ( b) 3. Expresa como una potencia cada uno de los siguientes productos: a) ( b) ( Ejercicios: 1. Escribe, en el lugar correspondiente: la base, el exponente y como se lee cada una de las siguientes potencias Base de la Potencia: Exponente de la Potencia: Se lee:

31 Base de la Potencia: ( Exponente de la Potencia: Se lee: Base de la Potencia: Exponente de la Potencia: Se lee: Base de la Potencia: ( Exponente de la Potencia: Se lee: 2. Calcula las siguientes potencias 3. Expresa como una potencia cada uno de los siguientes productos 31 ( ( Signos de las Potencias Considerando los resultados del ejercicio 2, podemos concluir: 1) Si la base es positiva, la potencia es positiva (ver ejercicios 1, 2, 3 y 4) 2) Si la base es negativa y el exponente par, la potencia es positiva (ver ejercicios 7, 9 y 11) 3) Si la base es negativa y el exponente impar, la potencia es negativa (ver ejercicios 6, 8, 10 y 12)

32 Ejercicios Determina, sin efectuar cálculos, el signo de las siguientes potencias: ( ( 32 Propiedades de la Potenciación en Z 1. Multiplicación de Potencias de Igual Base El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores, es decir: Si ( Nota importante: Cuando no aparezca un signo entre las potencias se sobreentiende que es un signo de multiplicación (. ) 2. División de Potencias de Igual Base El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor, es decir: Si

33 33 ( ( ( ( ( ( 3. Potencia de una Potencia Para hallar la potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes, es decir: Si ( [( ] ( 4. Potencia de un Producto Para hallar la potencia de un producto, se eleva cada factor al exponente de la potencia, es decir: Si ( ( [ ] (

34 [ ] ( ( ( Potencia de un Cociente Para hallar la potencia de un cociente, se eleva el dividendo y el divisor al exponente de la potencia, es decir: Si ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ( ( Ejercicios: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la potenciación en Z ( (

35 [( ] ( [( ] [ ] [ ] [ ] [ ] Operaciones Combinadas 35

36 Múltiplos y Divisores División de Números Enteros Dados dos enteros ( se llama cociente entero de a un número entero tal que: 36 Si entonces: Donde: Observaciones: a) Si el resto es igual a cero ( ) entonces y por lo tanto la división de es exacta b) Si el resto es distinto de cero ( ) entonces y por lo tanto la división de es inexacta. Definición: Un número entero divide a otro entero si y solo si la división de es exacta. 1) C

37 Comprobación: 37 2) C Comprobación: Los divisores de un número entero n, es un conjunto formado por todos los números enteros que dividen a n. Dicho conjunto se denota: D(n) y los elementos de este se obtienen dividiendo n por: 1, 2, 3,.., n y tomando de estos últimos aquellos que dividen a n 1) Determina los divisores de 2 ( { }

38 2) Determina los divisores de ( { } Ejercicios: 1) Siempre un número entero tiene un solo divisor? 2) Determina los divisores de los siguientes números: a) 6 b) 7 c) 14 d) 20 e) 26 3) Resuelve las siguientes divisiones y comprueba cada caso: 1) 5) 2) 6) 3) ( 7) 4) 8) (

39 Múltiplos de un Número Entero Sean dos números enteros, decimos que: si existe un entero tal que: 39 a) b) Los múltiplos de un número entero n se simbolizan: ( y se determinan multiplicando, dicho número, por: 1, 2, 3, 4,... 1) Determina los múltiplos de 3 ( { } ( { } 2) Determina los múltiplos de 5 ( { } ( { } Ejercicios: Determina los múltiplos de: a) 2 b) 4 c) 7 d) 10

40 Números Primos y Compuestos Un numero entero, mayor que 1, se llama primo si tiene exactamente dos divisores distintos. Un entero se llama compuesto si no es primo, es decir, un número es compuesto si tiene más de dos divisores. Para saber si un número es primo o no, basta con averiguar si dicho número, además de ser divisible por si mismo y por la unidad, lo es también por otro u otros números. Veamos si 2 es primo Indiquemos por: ( los divisores de 2, luego: ( { } Entonces el 2 es primo ya que solo tiene 2 divisores: el 1 y el mismo 2 Veamos si 3 es primo Indiquemos por: ( los divisores de 3, luego: ( { } Entonces el 3 es primo ya que solo tiene 2 divisores: el 1 y el mismo 3 Veamos si 4 es primo Indiquemos por: ( los divisores de 4, luego: ( { } Entonces el 4 es compuesto ya que tiene más de 2 divisores 40 Nota Importante: el 1 no es ni primo ni compuesto ya que solo tiene un divisor Método Práctico para Determinar si un Número es Primo o Compuesto Para determinar si un número es primo o compuesto, basta con dividir, dicho numero entre todos los números primos menores que él, y si se llega, sin obtener cociente exacto, a una división inexacta en la que el cociente sea igual o menor que el divisor,

41 41 se concluye que el número dado es primo. Si hay alguna división exacta, entonces el número dado es compuesto. 1) Determina, usando el Método Práctico, si el número: 139 es un número primo o compuesto Dividiendo 139 entre los números primos menores que él tenemos: Como en la división:, el cociente: 10 es menor que el divisor: 13, y la división es inexacta, entonces se concluye que el número: 139 es primo. 2) Determina, usando el Método Práctico, si el número: 145 es un número primo o compuesto Dividiendo 145 entre los números primos menores que él tenemos: Como en la división:, la división es exacta, entonces se concluye que el numero: 145 es compuesto. 1) Determina, usando el Método Práctico, si los siguientes números son números primo o compuesto a) 33 b) 49 c) 77 d) 120 e) 151

42 Criterios de Divisibilidad 42 Los Criterios de Divisibilidad son reglas prácticas que nos permiten asegurar si un número es divisible por otro, sin necesidad de hacer la división. Criterio de Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2, si termina en cero ó cifra par ( 0, 2, 4, 6, 8 ) 10 es divisible por 2, ya que termina en es divisible por dos, ya que termina en es divisible por 2, ya que termina en es divisible por 2, ya que termina en es divisible por 2, ya que termina en 8 En cambio, los números: 121, 253 y 677 no son divisibles por 2, porque no terminan en cifra par. Criterio de Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es divisible por es divisible por 3, ya que la suma de las cifras: 8+4+0= 12, Es divisible por es divisible por 3 ya que =15, es divisible por 3 En cambió los números: 253, 1384 y no son divisibles por 3, porqué la suma de sus respectivas cifras no es divisible por 3 Criterios de la Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros, o forman un número divisible por 4.

43 800 es divisible por 4, ya que sus dos últimas cifras son ceros es divisible por 4, ya que sus dos últimas cifras forman un número divisible por es divisibles por 4 Por qué? es divisibles por 4 Por qué? En cambió los números: 126, 3849 y 350 no son divisibles por 4. Por qué? 43 Criterios de la divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5, si su última cifra es 0 ó es divisible por 5, ya que termina en es divisible por 5, ya que termina en es divisible por 5, Por qué? es divisible por 5, Por qué? En cambio, los números: 1343 y no son divisibles por 5. Por que? Criterios de la divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es divisible por es divisible por 9, ya que 7+0+2= 9, Es divisible por es divisible por 9, ya que =18, es divisible por es divisible por 9, Por qué? En cambio los números: 1999 y no son divisibles por 9 Por qué?

44 Criterios de la divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10, si su última cifra es es divisible por 10, ya que su última cifra es es divisible por 10, ya que su última cifra es es divisible por 10, Por qué? es divisible por 10, Por qué? En cambio los números: 121 y 305 no son divisibles por 10 Por qué? 44 Ejercicios: Completa la siguiente tabla, usando los criterios de divisibilidad Divisible por: Si 3 No 4 No Si 5 Si 9 10 Descomposición de un Número en sus Factores Primos Un número se puede descomponer, de varias formas, como producto de sus factores. Por ejemplo; el número 20 se puede descomponer así: 20 = ( 1 ) ( 20 ) 20 = ( 2 ) ( 10 ) 20 = ( 4 ) ( 5 ) 20 = ( 2 ) ( 2 ) ( 5 )

45 45 Solamente en el último caso, todos los factores que aparecen son números primos. Por ello decimos que: 20 = ( 2 ) ( 2 ) ( 5 ) = Es la descomposición de 20, como producto de sus factores primos Para descomponer un número, como producto de sus factores primos, procedemos así: 1. Se divide el numero dado entre el menor numero primo, posible 2. El cociente resultante se divide entre el menor numero primo, posible 3. El proceso continua hasta que se obtenga un cociente primo, el cual se divide entre si mismo 4. Se expresa el numero dado como producto de los números primos utilizados = = = = Ejercicios: Descomponga, los siguientes números, como producto de sus factores primos: a) 12 b) 36 c) 60 d) 75 e) 28 f) 140 g) 235

46 Máximo Común Divisor Determinemos el máximo común divisor de 6 y 12. Sea D(6) y D(12) el conjunto de los divisores positivos de 6 y 12, respectivamente. D(6) = 1, 2, 3, 6 D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12 Los divisores comunes de 6 y 12 son: 1, 2, 3 y 6 El mayor divisor común 6, es llamado máximo común divisor. Para indicar el máximo común divisor de 6 y 12, escribimos: M.C.D. (6, 12) = 6 Método Práctico para Calcular el M.C.D Para calcular el M.C.D de dos o mas números, se descomponen los números, dados, en sus factores primos y luego se multiplican, entre si, los factores comunes, tomados con su menor exponente. Ejemplo: Calcula: M.C.D. (45, 120) = = M.C.D. (45, 120) = 3. 5 =

47 Ejercicios: 47 Calcula: a) M.C.D. (18, 36) b) M.C.D. (72, 180) c) M.C.D. (45, 60) d) M.C.D. (15, 25, 75) Mínimo Común Múltiplo Determinemos el mínimo común múltiplo de 2 y 3. Sea M(2) y M(3) el conjunto de los múltiplos positivos de 2 y 3, respectivamente. M(2) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, M(3) = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, Los múltiplos comunes de 2 y 3 son: 6, 12, 18, El menor múltiplo positivo común 6, es llamado mínimo común múltiplo de 2 y 3, lo cual escribimos: m.c.m. (2,3) = 6 Método Práctico para Calcular el m.c.m Para calcular el m.c.m de dos o más números, se descomponen los números, dados, en sus factores primos y luego se multiplican, entre sí, los factores comunes y no comunes, tomados con su mayor exponente.

48 Ejemplo: Calcula: m.c.m. (36, 75) 48 Ejercicios: = = m.c.m.(36, 75) = = = = = = = 900 Calcula el M.C.D y el m.c.m de: a) 3 y 4 b) 18 y 36 c) 80 y 120 d) 4, 8, y 12 e) 24, 36 y 60

49 Números Racionales (Q) Llamaremos conjunto de los números racionales, y lo simbolizaremos con la letra Q, 49 al conjunto de todas las fracciones de la forma: es decir:, - a) b) En cambio: a) b) c) Fracciones Especiales La fracción:,se llama fracción nula y se identifica con el cero, es decir: a) b) La fracción:, se llama fracción unidad y se identifica con el uno, es decir: a) b)

50 La fracción:, se identifica con el entero que figura en el numerador, es decir: 50 a) b) De este último caso podemos deducir que cualquier entero se puede expresar como un racional, agregándole el denominador uno (1), esto quiere decir que: todo número entero es racional. Significa además, que todos los elementos de Z, están incluidos en Q ó también que Z es subconjunto de Q, lo cual se denota así:. Gráficamente se expresa: Q Z

51 Expresiones Decimales 51 Hemos visto en el curso anterior, que los números Racionales pueden ser representados tanto por fracciones como por Expresiones Decimales. Para determinar la Expresión Decimal de un Número Racional, basta con dividir el numerador entre el denominador, en cuyo caso solo es posible obtener uno de los siguientes tipos de Expresiones Decimales: 1. Expresiones Decimales Exactas Son aquellas en las que al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un cociente exacto, por lo tanto tienen un número determinado de decimales. a ,8 b , Expresiones Decimales Periódicas Son aquellas en las que al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un cociente inexacto, por lo tanto tienen un número infinito de decimales con una cifra o grupo de cifras que se repite a ,33 1 b ,

52 En las Expresiones Decimales Periódicas debemos reconocer: a) El Periodo: es la cifra o grupo de cifras que se repite y se simboliza con un arco Ejemplo: Periodo Parte Entera b) El Anteperiodo: es la cifra o grupo de cifras comprendido entre el periodo y la parte entera Ejemplo: Periodo Anteperiodo Parte Entera 3. Expresiones Decimales No Periódicas Son aquellas en las que al dividir el numerador entre el denominador se obtiene un cociente inexacto, por lo tanto tienen un número infinito de decimales sin una cifra o grupo de cifras que se repite Observa las siguientes Expresiones Decimales: 2, , , Estas Expresiones Decimales no son Periódicas ya que no tienen una cifra o grupo de cifras que se repite Nota Importante: En el presente curso no profundizaremos en el estudio de las Expresiones Decimales No Periódicas ya que lo haremos posteriormente 52

53 Ejercicios: 1. Calcula la Expresión Decimal correspondiente a los siguientes Números Racionales: Simboliza las siguientes Expresiones Decimales Periódicas y luego señala la parte entera, el periodo y el anteperiodo La Expresión Decimal Periódica que no tiene anteperiodo recibe el nombre de Expresión Decimal Periódica Pura, y aquella que si lo posee recibe el nombre de Expresión Decimal Periódica Mixta. Ejemplos de Expresiones Decimales Periódicas Puras: Ejemplos de Expresiones Decimales Periódicas Mixtas:

54 Ejercicios: Escribe en el segmento colocado a la derecha de las siguientes Expresiones Decimales el nombre correspondiente 54 Aproximaciones de Expresiones Decimales La aproximación de un numero decimal es un proceso que consiste en redondear dicho decimal a un número determinado de cifras decimales. Para realizar la aproximación de un número decimal a 1, 2, 3, decimal(es), basta con observar la cifra siguiente y tomar una de las siguientes decisiones: 1. Si la cifra decimal siguiente es menor que 5, la anterior queda igual y se eliminan las restantes 2. Si la cifra decimal siguiente es igual o mayor que cinco la cifra anterior se aumenta en una unidad y se eliminan las restantes. Nota Importante: Cuando se hace una aproximación de una Expresión Decimal se usa el símbolo: se lee: Aproximadamente igual a 1. Escriba la aproximación, con una cifra decimal, del número: 2,358 que 2. Escriba la aproximación, con dos cifras decimales, del número: 15, Escriba la aproximación, con cuatro cifras decimales, del número:

55 Ejercicios: Escriba la aproximación, con una cifra decimal, del número: 15, Escriba la aproximación, con dos cifras decimales, del número: 23, Escriba la aproximación, con tres cifras decimales, del número: 4. Escriba la aproximación, con una cifra decimal, del número: 8,472 Representación Gráfica de Racionales en la Recta Numérica Para realizar la Representación Grafica de un Números Racional se calcula la Expresión Decimal, correspondiente, después se escribe la Aproximación con una cifra decimal y finalmente se ubica en la Recta Numérica Haga la Representación Grafica de los siguientes Racionales: a , b , Ejercicios: Calcula la Expresión Decimal correspondiente a los siguientes Números Racionales:

56 Fracciones Equivalentes Se llaman fracciones equivalentes las que representan la misma parte de la unidad dividida. Las fracciones: y son equivalentes (, si satisfacen la siguiente relación: Ejemplo: ya que (1)(4)=(2)(2) Simplificación de Fracciones Si dividimos los dos componentes de una fracción (numerador y denominador), por un entero n, obtendremos una fracción equivalente a la dada, este proceso se denomina simplificación de fracciones. a) observa que y son equivalentes ya que (8)(3)=(12)(2) 56 b) Ejercicios: Simplifica las siguientes fracciones: 1) 2) 3) 4) Nota Importante: Cuando el numerador y el denominador son primos, la fracción no se puede simplificar.

57 Método del Máximo Común Divisor Fracción Irreducible 57 Observa las siguientes simplificaciones de a) (simplificando por 2) b) (simplificando por 4) c) (simplificando por 8) Las fracciones:, y son equivalentes a: de estas, la única que no se puede simplificar mas es: por esto se dice que es la fracción irreducible de De los ejercicios anteriores podemos deducir que para obtener la fracción irreducible de basta con dividir el numerador y el denominador entre el M.C.D (16, 24) Ejemplo: Obtenga la fracción irreducible de: a) Se calcula el M.C.D del numerador y el denominador, de la fracción dada = = M.C.D. (96, 120) = = (8) (3) =

58 b) Se divide el numerador y el denominador, de la fracción dada, por el M.C.D calculado. 58 Por lo tanto, la fracción irreducible de es Ejercicios: Halle la fracción irreducible de las siguientes fracciones, usando el método del máximo común divisor 1) 2) 3) 4) Método de las Simplificaciones Sucesivas El método de las simplificaciones sucesivas consiste en aplicar simplificaciones sucesivas a una fracción dada hasta obtener su fracción irreducible. Ejemplo: Halle la fracción irreducible de:, usando el método de las simplificaciones sucesivas. Ejercicios: Halle la fracción irreducible de las siguientes fracciones, usando el método de las simplificaciones sucesivas 1) 2) 3) 4)

59 Adición de Racionales Caso 1: Adición de Números Racionales con Igual Denominador La suma de dos números racionales con igual denominador es otro número racional, cuyo numerador es la suma de los numeradores y el denominador es el mismo, es decir: 59 a) b) c) ( Ejercicios: Efectúa las siguientes adiciones: 1) 2) 3) 4) 5)

60 Caso 2: Adición de Números Racionales con Distinto Denominador 60 a) b) ( ) ( Nota Importante: siempre que sea posible, se debe simplificar el resultado obtenido Ejercicios: Efectúa las siguientes adiciones: Sustracción de Números Racionales Caso 1: Sustracción de Números Racionales con Igual Denominador La diferencia de dos números racionales con igual denominador es otro número racional, cuyo numerador es la diferencia de los numeradores y el denominador es el mismo, es decir:

61 61 a) ( b) Ejercicios: Efectúa las siguientes sustracciones: ( ) ( ) Caso 2: Sustracción de Números Racionales con Distinto Denominador a) ( b) ( ) ( Nota Importante: siempre que sea posible, se debe simplificar el resultado obtenido

62 Ejercicios: 62 Efectúa las siguientes sustracciones: ( ) Multiplicación de Números Racionales El producto de dos números racionales es otro número racional, cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores, es decir: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( )

63 Ejercicios 63 Efectúa las siguientes multiplicaciones: ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) División de Números Racionales Método 1: Cambiar de División a Multiplicación Para calcular el cociente de dos números racionales basta con multiplicar el dividendo por el inverso del divisor, es decir: Método 2: Aplicar la Doble C a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( )

64 Ejercicios 64 Efectúa las siguientes divisiones, usando los dos métodos dados: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Ecuaciones en Q Las ecuaciones en los números racionales se comportan exactamente iguales que las ecuaciones en N y en Z. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b)

65 c) 65 d) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

66 66 Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones en Q 1) 2) 3) 4) 5) ( ) 6) (

67 Potenciación de Números Racionales con Exponente Entero 67 La potenciación es una multiplicación de factores iguales. En los números enteros vimos que la potencia de elevada a la, es decir:, se obtiene multiplicando la base por si misma, tantas veces como lo indica el exponente, es decir: ( a) b) Similarmente, en los números racionales tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercicios: Calcula las siguientes potencias: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

68 Por su importancia, destacaremos las siguientes potencias: 68 1) Potencia de Exponente 1 ( ) Todo número elevado a la uno es igual al mismo número ( ) ( ) 2) Potencia de Exponente 0 ( ) Todo numero no nulo elevado a cero es igual a uno ( ) ( ) 3) Potencia de Exponente Negativo En general se cumple que: ( ) ( ) Es decir: La potencia de un número racional, no nulo, con exponente negativo, es igual a la potencia del inverso del número con exponente positivo

69 69 a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( c) ( ) ( ) ( d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( Ejercicios: Calcula las siguientes potencias: ( ) ( ) ( ( ) ( ) Propiedades de la Potenciación en Q 1. Multiplicación de Potencias de Igual Base El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores, es decir: Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )

70 Nota importante: Cuando no aparezca un signo entre las potencias se sobreentiende que es un signo de multiplicación (. ) División de Potencias de Igual Base El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor, es decir: Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3. Potencia de una Potencia Para hallar la potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes, es decir: Si *( ) + ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

71 4. Potencia de un Producto Para hallar la potencia de un producto, se eleva cada factor al exponente de la potencia, es decir: 71 Si *( ) ( )+ ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Potencia de un Cociente Para hallar la potencia de un cociente, se eleva el dividendo y el divisor al exponente de la potencia, es decir: Si *( ) ( )+ ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

72 Ejercicios: Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la potenciación en Z 1) ( ) ( ) 2) ( ) ( ) 3) ( ) ( ) 4) ( ) ( ) 5) ( ) ( ) 72 6) [( ) ] 7) [( ) ] 8) *( ) ( )+ 9) *( ) ( )+ 10) *( ) ( )+ 11) *( ) ( )+ 12) *( ) ( +

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