Para obtener el número total de los resultados, es necesario desarrollar algunas técnicas de conteo, las cuales son: Permutaciones. Combinaciones.

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1 TÉNIAS DE ONTEO. ara obteer el úmero total de los resultados, es ecesario desarrollar alguas técicas de coteo, las cuales so:. ricipio fudametal de coteo. Diagramas de árbol.. Aálisis combiatorio. ermutacioes. ombiacioes. DIAGRAMAS DE ÁRBOL. El diagrama de árbol es ua técica gráfica empleada para eumerar todas las posibilidades lógicas de ua secuecia de evetos, dode cada eveto puede ocurrir e u úmero fiito de veces. Ejemplos resueltos. Ejemplo. ostruir el diagrama de árbol para ecotrar el total de posibles formas de resolver u exame de pregutas de falso o verdadero. rimera preguta. Seguda preguta. Tercera preguta. or lo tato el espacio muestral es: S {,,,,,,, }

2 ANÁLISIS OMBINATORIO. Los diagramas de árbol os sirve para mostrar gráficamete el úmero de resultados posibles de u feómeo, pero esta ordeació tiee u icoveiete, pues a medida que aumeta el úmero de objetos dicha ordeació se complica, por lo que hay que recurrir a otro proceso más secillo para determiar el úmero total de resultados. ara ello existe otras técicas tales como: ricipio fudametal de coteo. ermutacioes. ombiacioes. RINIIO UNDAMENTAL DE ONTEO. Si u eveto puede realizarse de formas diferetes, y si, cotiuado el procedimieto, u segudo eveto puede realizarse de formas diferetes, y si, después de efectuados, u tercer eveto puede realizarse de formas diferetes, y así sucesivamete, etoces el úmero de formas e que los evetos puede realizarse e orde idicado es el producto de ( ) ( ) ( ) Ejemplo. Ecotrar el total de posibles formas de resolver u exame de 0 pregutas de falso o verdadero. reguta úmero ormas de respoderla x x x x x x x x x 0 formas Explicació. E cada ua de las 0 preguta hay sólo dos formas de respoder, ya sea falso o verdadero. Ejemplo. E u parque hay ua baca co 5 lugares, si al parque asiste 5 hombres y mujeres que so amigos. De cuátas maeras se puede acomodar e la baca? Explicació. ormas de acomodarse e la baca. 9x8x7x6x5 50. E el primer asieto se puede setar cualquiera de los 9 amigos, para ocupar el segudo asieto o se cosidera al amigo que quedó setado e el primer asieto, por lo que queda 8 amigos elegibles para ocupar dicho asieto y así sucesivamete hasta ocupar los 5 asietos.

3 ERMUTAIONES. NOTAIÓN ATORIAL. Ates de iiciar co el estudio de las permutacioes es ecesario coocer el cocepto de otació factorial, se llama factorial al producto de los eteros positivos desde uo hasta y lo represetamos co el símbolo! (que se lee factorial). Así teemos que: 0!!!x!xx6!xxx 5! xxxx50 ERMUTAIONES. La otació factorial la podrás realizar e tu calculadora, sólo busca el símbolo! ó x! Ua permutació es ua forma e la que puede represetarse los evetos, e la que el orde e que aparece es muy importate; por ejemplo co los úmeros, y se puede hacer los siguietes arreglos;,,,, y, cada uo de ellos es ua permutació de los dígitos, y tomado los tres a la vez. Si sólo utilizamos dos de los tres dígitos tedríamos los siguietes arreglos;,,,, y y cada uo de ellos represeta catidades distitas etre sí. Las permutacioes represeta u arreglo ordeado de r objetos tomados de, e dode r. La fórmula para hallar el úmero de permutacioes es la siguiete: r! ( r)! Dode: úmero total de objetos. r es el úmero de objetos que se desea cosiderar de los dispoibles. La permutació la podrás realizar e tu calculadora, sólo busca el símbolo r.

4 Ejemplos resueltos. Ejemplo. Hallar el úmero de permutacioes que se puede formar co los úmeros,, 6 y 8. a) Si sólo se utiliza de estos úmeros. b) Si sólo se utiliza de estos úmeros. r! ( r)! r! ( r)!! ( )!!! xxx x x!! xxx ( )!! Los arreglos sería:,, 6, 6, 68, 86, 6, 6, 8, 8, 8 y 8. Los arreglos sería: 6, 6, 6, 6, 6, 6, 68, 86, 68, 68, 86, 86, 68, 86, 68, 68, 86, 86, 8, 8, 8, 8, 8, y 8. Ejemplo. La mesa directiva de ua escuela está itegrada por u presidete, u secretario y u tesorero; para ocupar estos puestos existe 8 cadidatos y cada uo de ellos puede ocupar uo de estos cargos. Determiar el úmero de formas distitas como puede quedar itegrada la mesa directiva. 8! 8! xxxx5x6x7x8 8 6x7x8 6 ormas distitas de ocupar los cargos. (8 )! 5! xxxx5 Ejemplo. E u bolsa hay pelotas de espoja; roja, verde, azul y amarilla. Si se extrae de la bolsa pelotas De cuatas formas distitas, puede aparecer?!! xxx ormas distitas de aparecer. ( )!! ermutacioes co repetició. o frecuecia se desea saber el úmero de permutacioes de objetos de los cuales alguos de sus elemetos so iguales, e este caso se utiliza la formula siguiete:! Dode:!!! es el total de elemetos del cojuto.!,! y! alores repetidos, diferetes.

5 Ejemplos resueltos. Ejemplo. uátas permutacioes diferetes puede formarse co todas las letras de las siguietes palabras?. a) Roca. omo todas las letras aparece ua sola vez etoces:!!!!! ()()()() b) ampaario. omo la letra a se repite veces a!!!! 0! xxxx5x6x7x8x9x0 x5x6x7x8x9x0 60, 800 permutacioes.! xx c) Estadísticas. omo la letra a se repite veces a, la letra s se repite veces s, la letra t se repite veces t y la letra i se repite veces i.!!!!!! (!)(!)(!)(!) ermutacioes co sustitució. xxx... x 79,8,600 9,979,00 ermutacioes. ()()()(!) 8 E este caso cada elemeto que participa e la permutació puede tomarse uevamete ates de elegirse el siguiete elemeto de la permutació. E u cojuto que tega objetos, etoces existirá maeras de elegir el objeto e cada ocasió, esto es: ()()() r Dode: úmero total de objetos. r es el úmero de objetos que se desea cosiderar de los dispoibles.

6 Ejemplo: De cuátas maeras puede elegirse a cartas de ua baraja iglesa de 5 cartas? a) o sustitució. Maeras de elegir las cartas. r ( 5) 0,608 b) Si sustitució. 5! 5! xx...x9x50x5x5 5 50x5x5,600 Maeras de elegir las (5 )! 9! xx...x9 cartas. OMBINAIONES. Ua combiació es ua forma de represetar evetos u objetos, e la que el orde de aparició o importa; por ejemplo si teemos los dígitos, y y si tomamos úicamete dos de estos dígitos se podría formar las siguietes combiacioes y permutacioes. ombiacioes. ermutacioes.,,, E ua combiació o es importate el orde e que aparezca los elemetos, mietras que e ua permutació si importa el orde de aparició de los elemetos. La fórmula para hallar el úmero de combiacioes es la siguiete: r! r!( r)! Dode: úmero total de objetos. r es el úmero de objetos que se desea cosiderar de los dispoibles. Las combiacioes la podrás realizar e tu calculadora, sólo busca el símbolo r

7 Ejemplos resueltos. Ejemplo. uátos equipos de Basquetbol se puede formar co u grupo de 9 jugadores, si se sabe que cada equipo está itegrado por 5 jugadores y cualquiera de ellos puede ocupar la posició que sea?! 9! 9! xxxx5x6x7x8x9 6x7x8x ormas. r!( r)! (5!)(9 5)! (5!)(!) (xxxx5)(xxx) xxx Ejemplo. E ua mesa de billar hay 6 bolas marcadas co los úmeros,, 6, 8, 0 y, se va a tomar al azar de estas bolas. De cuátas maeras diferetes se puede seleccioar estas bolas?! 6! 6! xxxx5x ormas. r!( r)! (!)(6 )! (!)(!) (xxx)(x) Ejemplo. La selecció mexicaa está itegrada por 5 jugadores e total, de los cuales tres so porteros, siete defesas, diez medios y cico delateros. a) De cuátas maeras puede el etreador itegrar u equipo de oce jugadores, si cualquiera de ellos puede ocupar cualquier posició?! 5! 5! 5 r!( r)! (!)(5 )! (!)(!) 5x6x7...x5.779x0,57,00 Equipos. 9,96,800 9,96,800 xxxx5x6x7x8x9x0xxxxx5...xx5 (xxx...x)(xx,,,, xx) b) De cuátas maeras puede itegrar el etreador e equipo que tega u portero, cuatro defesas, cuatro medios y dos delateros? De acuerdo al pricipio fudametal del coteo teemos que: * 7 * 0 * 5 *80*0*0 5, 9,000 Equipos. ara el portero es ya que existe porteros posibles para el equipo. ara los defesas es 7 ya que existe 7 defesas posibles para el equipo. ara los medios es 0 ya que existe 0 medios posibles para el equipo. ara los delateros es 5 ya que existe 5 delateros posibles para el equipo.

8 Ejemplo E u exame de matemáticas u estudiate tiee que respoder siete de u total de diez pregutas. a) Determiar el úmero de maeras e que puede respoder el exame.! 0! 0! xxxx5x6x7x8x9x0 8x9x ormas. r!( r)! (7!)(0 7)! (7!)(!) (xxxx5x6x7)(xx) xx 6 b) Determiar el úmero de formas de respoder el exame si detro de las siete pregutas que debe cotestar la y la 6 so obligatorias. omo pregutas de las siete que tiee que cotestar so obligatorias, sólo tedrá la opció de elegir 5 de las 8 que queda dispoibles.! 8! 8! xxxx5x6x7x8 6x7x ormas. r!( r)! (5!)(8 5)! (5!)(!) (xxxx5)(xx) xx 6 c) De cuátas formas puede respoder el exame si detro de las siete pregutas debe elegir de las primeras 6 pregutas y de las últimas pregutas? ara respoder de las seis primeras pregutas.! 6! 6! xxxx5x6 5x ormas. r!( r)! (!)(6 )! (!)(!) (xxx)(x) x ara respoder de las últimas pregutas.!!! xxx ormas. r!( r)! (!)( )! (!)(!) (xx)() De acuerdo al pricipio fudametal del coteo teemos que: Total de formas de cotestar 6 * 5* 60 ormas.

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