Tema 1: ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO. 2.- Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual.

Transcripción

1 1.- Carga eléctrica. Propiedades. 2.- Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual. 3.- Principio de superposición. 4.- Distribuciones continuas de carga. 5.- Ley de Gauss. Aplicaciones. 6.- Potencial electrostático. 7.- Energía electrostática de distribuciones.

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3 1.1.- Carga eléctrica. Propiedades. La carga es la cualidad de la materia responsable de la interacción electromagnética. - Dos barras de resina frotadas contra cuero se repelen. - Dos barras de vidrio frotadas contra seda se repelen. Pero... una de resina y otra de vidrio se atraen. Conclusión: hay dos tipos de electrificación, la positiva y la negativa.

4 1.1.- Carga eléctrica. Propiedades. Propiedades de la carga: 1.- Es dual: positiva o negativa. Cancelan sus efectos. 2.- Está cuantizada: existe una porción mínima, que es la carga del protón (o del electrón, si es negativa). C: Coulombio 3.- Se conserva localmente: si se crea una carga en un punto, de allí mismo surge otra carga opuesta. 4.- Toma el mismo valor en cualquier sistema de referencia. Esto no ocurre con la masa, según la Teoría de la Relatividad Especial.

5 1.2.- Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual. Ley de Coulomb atractiva o repulsiva según el producto de signos dirigida según la recta que une las cargas ley de inverso del cuadrado de la distancia distancia entre cargas vector unitario dirigido de q1 a q2 Explícitamente:

6 1.2 Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual. Campo de una carga puntual - Reinterpretamos la Ley de Coulomb: donde definimos Unidades: N/C - El campo eléctrico no depende de la existencia de q2, y está definido en todo el espacio.

7 1.2.- Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual. Representación del campo de una carga puntual Mediante vectores Mediante líneas de campo

8 1.3.- Principio de superposición Principio de superposición - El campo de un grupo de cargas es la suma vectorial de los campos producidos por cada carga. - Proviene del principio de superposición para fuerzas. Dos cargas iguales Dos cargas opuestas

9 1.3.- Principio de superposición. Interpretación de un diagrama de líneas de campo: - Las cargas positivas producen líneas y las negativas las reciben. - Su número es proporcional al valor de la carga. - Las líneas también pueden venir de (o escapar a) el infinito.

10 1.3.- Principio de superposición. Cómo se ve un grupo de carga a grandes distancias? - Las líneas acaban pareciéndose a las de una carga puntual de valor igual a la carga neta del grupo. - Esto ocurre para distancias mucho mayores que el tamaño del grupo.

11 1.4.- Distribuciones continuas de carga. Densidad volumétrica de carga Las distribuciones de carga son siempre discretas (conjunto de partículas), pero si son muchas podemos usar un modelo de medio continuo. Ejemplo: cuantos átomos de un gas hay en 1 mm3 en condiciones normales (p=1 atm, T=25o)?

12 1.4.- Distribuciones continuas de carga. Cálculo de carga asociada a un volumen Ejemplo: Partición del volumen en N elementos (2,3,2)

13 1.4.- Distribuciones continuas de carga. Campo producido por una distribución de carga en volumen Descomponemos el volumen en elementos dτ1, con carga dq1, que produce un campo Por superposición,

14 1.4.- Distribuciones continuas de carga. Otras distribuciones: - Superficiales: - Lineales o filiformes:

15 1.4.- Distribuciones continuas de carga. Ejemplo de cálculo: anillo cargado. Por simetría el campo es axial:

16 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones Concepto de flujo eléctrico (1) 1.- Campo uniforme a través de una superficie plana perpendicular: El flujo es proporcional al campo. 2.- Campo uniforme a través de una superficie plana oblicua.

17 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones Concepto de flujo eléctrico (2) 3.- Caso general: campo no uniforme a través de una superficie arbitraria. - Podemos interpretar (no definir) el flujo eléctrico como el número neto de líneas que atraviesa una superficie.

18 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones Flujo del campo de una carga puntual a través de una superficie esférica concéntrica:... sale independiente del radio de la superficie! Lo interpretamos diciendo que el mismo número de líneas atraviesan superficies de distinto radio.

19 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones Si la superficie cerrada elegida no es esférica, también es atravesada por las mismas líneas, luego Pero si la carga no está dentro, las líneas que entran, salen también, luego

20 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones Ley de Gauss (1) Cargas interiores: Carga exterior:

21 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones Ley de Gauss (2) Generalizando: El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dividida por la permitividad del vacío - El campo eléctrico que aparece en la ley es el campo creado por todas las cargas (interiores y exteriores). - La superficie cerrada S, que llamaremos superficie gaussiana, puede ser cualquiera y la elegiremos según nos convenga.

22 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones Aplicaciones: 1.- Campo de una carga puntual (reobtención) - Por simetría, - Elegimos una superficie gaussiana esférica, S(r) como cabía esperar!

23 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones. 2.- Campo de un cascarón esférico uniformemente cargado con carga total - También por simetría, - Sigue siendo adecuada una superficie gaussiana esférica. Flujo: - Evaluación de qint. Hay dos casos: - Por tanto: Idem carga puntual

24 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones 3.- Campo de una esfera uniformemente cargada con carga total - Mismo procedimiento. Flujo: - Evaluación de qint: Idem carga puntual

25 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones 4.- Campo de un hilo recto infinito uniformemente cargado con densidad lineal λ0 ojo! - Por simetría, - Superficie gaussiana cilíndrica, con r genérico y L arbitrario. - Flujo:

26 1.5.- Ley de Gauss. Aplicaciones 5.- Campo de un plano infinito uniformemente cargado con densidad lineal ρs0 - Por simetría, - Superficie gaussiana: prisma recto con bases paralelas al plano de carga, colocadas en z y -z. - Flujo:

27 1.- Carga eléctrica. Propiedades. 2.- Ley de Coulomb. Campo de una carga puntual. 3.- Principio de superposición. 4.- Distribuciones continuas de carga. 5.- Ley de Gauss. Aplicaciones. 6.- Potencial electrostático. 7.- Energía electrostática de distribuciones.

28 1.6.- Potencial electrostático. Recordatorio del concepto de trabajo: - El trabajo elemental es - Trabajo entre los puntos A y B a lo largo de un camino γ - En general, el trabajo depende del camino.

29 1.6.- Potencial electrostático. Teorema de la energía cinética (1) - La segunda ley de Newton, referida a una partícula sometida a varias fuerzas dice: - En un intervalo dt, se recorre un segmento. Multiplicando escalarmente: - Transformamos el 1er miembro: - Definimos la energía cinética

30 1.6.- Potencial electrostático. Teorema de la energía cinética (2) - Luego considerando el intervalo ta -> tb, que traslada la partícula de A a B: La variación de energía cinética de una partícula en un proceso es igual a la suma de trabajos realizados por todas las fuerzas que actúan sobre ella Escuetamente,

31 1.6.- Potencial electrostático. Trabajo de la fuerza de Coulomb (1) Integramos la fuerza de una carga sobre otra: (q1 en el origen) independiente de γ!

32 1.6.- Potencial electrostático. Trabajo de la fuerza de Coulomb (2) - Si el trabajo es independiente del camino entre los puntos inicial y final, decimos que la fuerza es conservativa. - El trabajo se puede expresar como una diferencia de una función de la posición, evaluada en A y B: donde Energía potencial electrostática de una carga en el campo de otra

33 1.6.- Potencial electrostático. Interpretación de la energía potencial - Consideramos un proceso que trae una carga q2 desde el infinito al punto r gracias a una fuerza F' que actúa a lo largo de la trayectoria γ. - Si parte y llega en reposo, el T. de la Energía Cinética da: Por tanto, Energía potencial = trabajo realizado por nosotros.

34 1.6.- Potencial electrostático. - Se denomina energía potencial porque es un trabajo recuperable. - Otras fuerzas conservativas que se estudian en mecánica: gravitatorias y elásticas en un muelle. Admiten también definir una energía potencial. - Lo contrario de fuerza conservativa es fuerza disipativa (rozamiento, de viscosidad, etc.).

35 1.6.- Potencial electrostático. Potencial creado por una carga puntual - Hemos definido para dos cargas puntuales - Definimos ahora potencial de una carga en un punto como el trabajo que hemos de realizar para traer la unidad de carga desde el infinito hasta ese punto, partiendo y llegando en reposo.

36 1.6.- Potencial electrostático. Potencial creado por un campo electrostático - Supongamos que existe un campo Este campo estará creado por cargas qi. - La fuerza electrostática ejercida sobre una carga q es la superposición de fuerzas producidas por las cargas individuales qi. - Como todas estas fuerzas son conservativas, la superposición también lo es. - Si traemos la carga q desde el infinito, T. Energía Cinética

37 1.6.- Potencial electrostático. Diferencia de potencial (d.d.p.) - Entre dos puntos A y B se establece una diferencia de potencial dada por - Si consideramos dos puntos infinitamente próximos, cuya separación es - Si α = 0, la disminución de V es máxima, y para ello debemos desplazarnos en la dirección de

38 1.6.- Potencial electrostático. Cálculo del potencial a partir del campo - Usamos la relación - Usamos como punto inicial el infinito, donde Ejemplo: Potencial de un cascarón esférico uniformemente cargado con carga total

39 1.6.- Potencial electrostático. Superficie equipotencial - Lugar geométrico de puntos para los que el potencial toma un mismo valor. ecuación implícita de una superficie - Ejemplo: superficies equipotenciales creadas por una carga puntual. Las equipotenciales resultan ser superficies esféricas. - Visualiza la función

40 1.6.- Potencial electrostático. Superficies equipotenciales y líneas de campo - Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales. En efecto, si nos desplazamos sobre una superficie equipotencial, Ejemplo: campo y potencial De dos cargas opuestas

41 1.6.- Potencial electrostático. Obtención del campo a partir del potencial - En coordenadas cartesianas: - Si elegimos - Haciendo lo mismo en las otras dos direcciones: grad =gradiente

42 1.6.- Potencial electrostático. Interpretación del gradiente de una función escalar dv es máxima cuando α = 0. El gradiente es un vector que apunta hacia la dirección de máxima variación de la función. Su módulo nos da la máxima variación por unidad de longitud.

43 1.6.- Potencial electrostático. Potencial de distribuciones de carga (1) - A partir del principio de superposición, para un conjunto de cargas, con - Si la distribución es continua,

44 1.6.- Potencial electrostático. Potencial de distribuciones de carga (2) - Para otras distribuciones sólo hay que adaptar dq: - Distribución superficial: - Distribución filiforme: Ejemplo: anillo uniformemente cargado Ejercicio: comprobar

45 1.7.- Energía electrostática de distribuciones. Trabajo de formación de una distribución Traemos q1 desde el infinito sin coste alguno: q2: q3:, etc. - Podemos demostrar que donde energía electrostática

46 1.7.- Energía electrostática de distribuciones. Energía electrostática de una distribución continua - Si la distribución es continua, Ejemplo: cascarón esférico con carga Q.

47 RESUMEN (1) - La carga es la cualidad de la materia responsable de la interacción electromagnética. Es dual, está cuantizada, se conserva localmente y no depende del sistema de referencia elegido. - La ley de Coulomb da la fuerza entre cargas, que resulta dirigida según la línea que las une, es proporcional a las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. - Un conjunto de cargas produce un campo en todo el espacio, obtenido por aplicación del principio de superposición. La fuerza sobre una carga de prueba es el producto de la carga por el campo en ese punto. - Las líneas de campo describen sus características.

48 RESUMEN (2) - Podemos describir distribuciones de carga y sus efectos mediante los conceptos de densidad lineal, superficial y volumétrica. - La ley de Gauss surge de la ley de Coulomb y del principio de superposición. Establece una relación entre el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga neta encerrada en ella. - La ley de Gauss permite obtener campos de distribuciones de carga con alta simetría. - Las fuerzas eléctricas son conservativas. Esto permite definir una energía potencial electrostática. - El potencial electrostático es el trabajo necesario para traer una carga desde el infinito, partiendo y llegando en reposo, dividido por la carga.

49 RESUMEN (3) - Obtenemos la diferencia de potencial entre dos puntos como menos la circulación del campo, y el campo como menos el gradiente del potencial. - Las superficies equipotenciales describen bien la distribución de potencial en una región. Las líneas de campo son perpendiculares a estas superficies. - Se define la energía electrostática de un sistema de cargas como el trabajo necesario para traerlas desde el infinito, partiendo y llegando en reposo. - Como resultado auxiliar importante, hemos establecido el concepto e interpretación de gradiente.