Método Simplex: Encontrado una SBF

Transcripción

1 Método Simplex: Encontrado una SBF CCIR / Matemáticas euresti@itesm.mx CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 1 / 31

2 Determinación de SBF Determinación de SBF El método Simplex visto requiere que se tenga una SBF, pero cómo hallarla? Existen dos métodos disponibles: El método de la M grande. El método Simplex de las dos fases. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 2 / 31

3 Método de la M grande Método de la M grande 1 Modifique las restricciones para que los segundos miembros sean mayor o igual que cero. 2 Identifique las restricciones del tipo = y las del tipo. 3 Convierta a la forma estándar. 4 A cada una de las restricciones identificadas añada una variable artificial a i (Con restricciones a i 0). 5 Sea M un número positivo muy grande. Si el problema es de minimización, sume M a i a la función objetivo. Si es de maximización, sume M a i. 6 Aplique el Simplex. Si al terminar el Simplex... todas las variables artificiales son cero, entonces se ha encontrado el óptimo al problema original. existe alguna variable artificial con valor positivo en la solución óptima encontrada, entonces el problema original tiene región factible vacía. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 3 / 31

4 Ejemplo 1 Ejemplo 1 Resuelve el siguiente modelo PL: Minimice z = 2 x x 2 sujeto a con x 1, x /2 x 1 + 1/4 x x x 2 20 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 4 / 31

5 Ejemplo 1 Ejemplo 1 Resuelve el siguiente modelo PL: Minimice z = 2 x x 2 sujeto a con x 1, x 2 0. Solución La forma estándar queda: 1/2 x 1 + 1/4 x x x 2 20 sujeto a con x 1, x 2, s 1, e 1, a 1 0. Minimice z = 2 x x 2 + M a 1 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + s 1 = 4 2 x x 2 e 1 + a 1 = 20 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 4 / 31

6 Ejemplo 1 La versión matricial de queda: z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 RHS VB z 0 1/2 1/ s a 1 como la matriz no es reducida en z, s 1 y a 1 hagamos R 1 R R 3 : z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 RHS VB z 0 1/2 1/ s a 1 la cual representa la solución básica z = 2000, s 1 = 4, a 1 = 20, x 1 = 0, x 2 = 0 y e 1 = 0. La cual se deduce que no es óptima. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 5 / 31

7 Ejemplo 1 De la matriz z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 RHS VB z 0 1/2 1/ s a 1 x 2 16 = 4/(1/4) 8.66 = 20/3 deducimos que la variable no básica entrante es x 2 y que la variable básica saliente es a 1. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 6 / 31

8 Ejemplo 1 Para cambiar la variable básica a 1 por la variable no básica x 2 hacemos sobre la Tabla Simplex z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 RHS VB z 0 1/2 1/ s a 1 x 2 las operaciones: 1.- R R 3, 2.- R 1 R R 3, 3.- R 2 R R 3, para obtener: CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 7 / 31

9 Ejemplo 1 Para cambiar la variable básica a 1 por la variable no básica x 2 hacemos sobre la Tabla Simplex z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 RHS VB z 0 1/2 1/ s a 1 x 2 las operaciones: 1.- R R 3, 2.- R 1 R R 3, 3.- R 2 R R 3, para obtener: z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 RHS VB z s x 2 La cual representa la SBF z = 20, x 1 = 0, x 2 = 20/3, s 1 = 7/3, e 1 = 0 y a 1 = 0. La cual es óptima. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 7 / 31

10 Ejemplo 2 Resuelve el siguiente modelo PL: Ejemplo 2 Minimice z = 2 x x 2 sujeto a con x 1, x /2 x 1 + 1/4 x x x 2 36 x 1 + x 2 = 10 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 8 / 31

11 Ejemplo 2 Resuelve el siguiente modelo PL: Ejemplo 2 Minimice z = 2 x x 2 sujeto a con x 1, x 2 0. La forma estándar queda: 1/2 x 1 + 1/4 x x x 2 36 x 1 + x 2 = 10 Minimice z = 2 x x 2 + M a 1 + M a 2 sujeto a 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + s 1 = 4 2 x x 2 e 1 + a 1 = 36 x 1 + x 2 + a 2 = 10 con x 1, x 2, s 1, e 1, a 1, a 2 0. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 8 / 31

12 Ejemplo 2 La versión matricial de queda: z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB z 0 1/2 1/ s a a 2 como la matriz no es reducida en z, s 1, a 1 y a 2 hagamos R 1 R R 3 y R 1 R R 4 : z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB z 0 1/2 1/ s a a 2 la cual representa la solución básica z = 46000, s 1 = 4, a 1 = 36, a 2 = 10, x 1 = 0, x 2 = 0 y e 1 = 0. No es óptima. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 9 / 31

13 Ejemplo 2 De la matriz z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS z 0 1/2 1/ s a a 2 16 = 4/(1/4) 12 = 36/3 10 = 10/1 deducimos que la variable no básica entrante es x 2 y que la variable básica saliente es a 2. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 10 / 31

14 Ejemplo 2 Para cambiar la variable básica a 2 por la variable no básica x 2 hacemos sobre la Tabla Simplex z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB z 0 1/2 1/ s a a 2 x 2 las operaciones: 1.- R 1 R R 4, 2.- R 2 R R 4, 2.- R 3 R 3 3 R 4 para obtener: CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 11 / 31

15 Ejemplo 2 Para cambiar la variable básica a 2 por la variable no básica x 2 hacemos sobre la Tabla Simplex z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB z 0 1/2 1/ s a a 2 x 2 las operaciones: 1.- R 1 R R 4, 2.- R 2 R R 4, 2.- R 3 R 3 3 R 4 para obtener: z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB z 0 1/ /4 3/2 s a x 2 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 11 / 31

16 Ejemplo 2 z x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB z 0 1/ /4 3/2 s a x 2 La cual representa la SBF z = 6030, x 1 = 0, x 2 = 10, s 1 = 3/2, e 1 = 0, a 1 = 6 y a 2 = 2. La cual es óptima. Como el valor de a 1 = 6 > 0, entonces la región factible al PL original es vacía. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 12 / 31

17 Comentarios Comentarios Cómo escoger M? Normalmente funciona que M sea al menos 100 veces más grande que el más grande de todos los coeficientes en el Tableau. Algún problema? El uso de grandes números puede traer errores de redondeo. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 13 / 31

18 El Método de las 2 Fases El Método de las 2 Fases 1 Modifique las restricciones para que los segundos miembros sean mayor o igual que cero. 2 Identifique las restricciones del tipo = y del tipo. 3 Convierta a la forma estándar. 4 A cada una de las restricciones identificadas añada una variable artificial a i (Con restricciones a i 0). 5 En la fase I, se cambia la función objetivo por minimizar w = a i y aplique el Simplex. 6 El óptimo encontrado puede caer en alguno de los siguientes casos: CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 14 / 31

19 El Método de las 2 Fases Caso I: Si en el óptimo w > 0, el problema original tiene región factible vacía. Caso II: Si en el óptimo w = 0 y las variables a i son no básicas, borre de la solución óptima las variables artificiales a i y del Tableau final las columnas correspondientes a ellas y reemplace el renglón cero por la función objetivo del problema estándar. Pivotee y aplique el Simplex. La solución óptima que encontrará corresponde a la solución óptima. Caso III: Si en el óptimo w = 0 y hay al menos una variable artificial como básica, entonces se borran las variables artificiales no-básicas y aquellas variables del problema original cuyo coeficiente en el renglón cero es negativo. Reemplace el renglón cero por la función objetivo del problema estándar sin las variables borradas. Pivotee y aplique el Simplex. La solución óptima que encontrará corresponde a la solución óptima. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 15 / 31

20 Ejemplo 3 Ejemplo 3 Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL: Minimice z = 2 x x 2 sujeto a con x 1, x /2 x 1 + 1/4 x x x 2 20 x 1 + x 2 =10 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 16 / 31

21 Ejemplo 3 Ejemplo 3 Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL: sujeto a Minimice z = 2 x x 2 1/2 x 1 + 1/4 x x x 2 20 x 1 + x 2 =10 con x 1, x 2 0. La forma estándar es: Min z = 2 x x 2, sujeto a con x 1, x 2, s 1, e /2 x 1 + 1/4 x 2 + s 1 = 4 2 x x 2 e 1 = 20 x 1 + x 2 = 10 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 16 / 31

22 Ejemplo 3 Fase I: Minimizar w = a 1 + a 2 sujeta a: 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + s 1 = 4 2 x x 2 e 1 + a 1 = 20 x 1 + x 2 + a 2 = 10 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 17 / 31

23 Ejemplo 3 Fase I: Minimizar w = a 1 + a 2 sujeta a: 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + s 1 = 4 2 x x 2 e 1 + a 1 = 20 x 1 + x 2 + a 2 = 10 La Tabla del Simplex queda: w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/2 1/ s a a 2 Observe que las variables a 1 y a 2 no están sustituidas en el renglón cero, pues sus coeficientes alĺı no son cero. Para reducir hacemos las operaciones R 1 R R 3 y R 1 R R 4. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 17 / 31

24 Ejemplo 3 Observamos que siendo un problema de minimización, la variable no básica con el coeficiente positivo mayor en el renglón de la función es x 2 ; determinamos las relaciones para obtener la variable básica saliente. w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/2 1/ s a 1 x a CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 18 / 31

25 Ejemplo 3 Observamos que siendo un problema de minimización, la variable no básica con el coeficiente positivo mayor en el renglón de la función es x 2 ; determinamos las relaciones para obtener la variable básica saliente. w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/2 1/ s a 1 x a Por tanto, la variable saliente es a 1 ; haciendo R 3 1/3 R 3, R 1 R 1 4 R 3, R 2 R 2 1/4 R 3 y R 4 R 4 1 R 3 dan: w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB 1 2/ /3 4/3 0 10/3 w 0 5/ /12 1/12 0 7/3 s 1 0 1/ /3 1/3 0 20/3 x 2 0 2/ /3 1/3 1 10/3 a 2 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 18 / 31

26 Ejemplo 3 Observamos que siendo un problema de minimización, la variable no básica con el coeficiente positivo mayor en el renglón de la función es x 2 ; determinamos las relaciones para obtener la variable básica saliente. w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/2 1/ s a 1 x a Por tanto, la variable saliente es a 1 ; haciendo R 3 1/3 R 3, R 1 R 1 4 R 3, R 2 R 2 1/4 R 3 y R 4 R 4 1 R 3 dan: w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB 1 2/ /3 4/3 0 10/3 w 0 5/ /12 1/12 0 7/3 s 1 0 1/ /3 1/3 0 20/3 x 2 0 2/ /3 1/3 1 10/3 a CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 18 / 31

27 Reconociendo a x Ejemplo 3 1 como variable entrante y a a 2 como saliente hacemos las operaciones R 4 3/2 R 4, R 1 R 1 2/3 R 4, R 2 R 2 5/12 R 4, y R 3 R 3 1/3 R 4 para obtener: w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w /8 1/8 5/8 1/4 s /2 1/2 1/2 5 x /2 1/2 3/2 5 x 1 El punto es óptimo y w = 0. Termina la fase I y se reconoce el caso II: se tiene una solución básica factible, es decir, se tiene un extremo de la región factible: x 1 = 5, x 2 = 5 y s 1 = 1/4. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 19 / 31

28 Reconociendo a x Ejemplo 3 1 como variable entrante y a a 2 como saliente hacemos las operaciones R 4 3/2 R 4, R 1 R 1 2/3 R 4, R 2 R 2 5/12 R 4, y R 3 R 3 1/3 R 4 para obtener: w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w /8 1/8 5/8 1/4 s /2 1/2 1/2 5 x /2 1/2 3/2 5 x 1 El punto es óptimo y w = 0. Termina la fase I y se reconoce el caso II: se tiene una solución básica factible, es decir, se tiene un extremo de la región factible: x 1 = 5, x 2 = 5 y s 1 = 1/4. La fase II comienza con parte de la tabla anterior pero con la función objetivo original: z x 1 x 2 s 1 e 1 RHS VB z /8 1/4 s /2 5 x /2 5 x 1 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 19 / 31

29 Ejemplo 3 La matriz anterior no está reducida: hacemos las operaciones R 1 R R 4 y R 1 R R 3 para obtener: z x 1 x 2 s 1 e 1 RHS VB /2 25 z /8 1/4 s /2 5 x /2 5 x 1 Afortunadamente, no hubo necesidad de ningún calculo adicional pues el punto es óptimo: x 1 = 5, x 2 = 5 para una evaluación de z = 25. Normalmente, esto no ocurre así. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 20 / 31

30 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL: Minimice z = 2 x x 2 sujeto a con x 1, x /2 x 1 + 1/4 x x x 2 36 x 1 + x 2 =10 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 21 / 31

31 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL: sujeto a Minimice z = 2 x x 2 1/2 x 1 + 1/4 x x x 2 36 x 1 + x 2 =10 con x 1, x 2 0. La forma estándar queda: Min z = 2 x x 2. Sujeto a 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + s 1 = 4 2 x x 2 e 1 = 36 x 1 + x 2 = 10 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 21 / 31

32 Ejemplo Fase I: Minimizar w = a 1 + a 2 sujeto a 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + s 1 = 4 2 x x 2 e 1 + a 1 = 36 x 1 + x 2 + a 2 = 10 sujeto a x 1, x 2, s 1, e 1, a 1, a 2 0. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 22 / 31

33 Ejemplo Fase I: Minimizar w = a 1 + a 2 sujeto a 1/2 x 1 + 1/4 x 2 + s 1 = 4 2 x x 2 e 1 + a 1 = 36 x 1 + x 2 + a 2 = 10 sujeto a x 1, x 2, s 1, e 1, a 1, a 2 0. w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/2 1/ s a a 2 Observe que las variables a 1 y a 2 no están sustituidas en el renglón cero, pues sus coeficientes alĺı no son cero. Se reduce haciendo R 1 R R 3 y R 1 R R 4. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 22 / 31

34 Ejemplo Para determinar las variables entrante y saliente obtenemos w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/2 1/ s a a 2 x CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 23 / 31

35 Ejemplo Para determinar las variables entrante y saliente obtenemos w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/2 1/ s a a 2 x Realizando las operaciones R 1 R 1 4 R 4, R 2 R 2 1/4 R 4 y R 3 R 3 3 R 4 para obtener: w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/ /4 3/2 s a x 2 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 23 / 31

36 Ejemplo Para determinar las variables entrante y saliente obtenemos w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/2 1/ s a a 2 x Realizando las operaciones R 1 R 1 4 R 4, R 2 R 2 1/4 R 4 y R 3 R 3 3 R 4 para obtener: w x 1 x 2 s 1 e 1 a 1 a 2 RHS VB w 0 1/ /4 3/2 s a x 2 El punto es óptimo, por tanto la fase I concluye. Como el valor de w no es cero, se deduce que la región factible para el problema original es vacía (Caso I). CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 23 / 31

37 Ejemplo 5 Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL: Ejemplo 5 Maximice z = 40 x x x x 6 sujeto a x 1 x x 5 = 0 2 x 1 + x 2 2 x 5 = 0 x 1 + x 3 + x 5 x 6 = x 2 + x 3 + x x 5 + x 6 = 4 con x i 0 para i = 1,..., 6. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 24 / 31

38 Ejemplo 5 Ejemplo Resuelve el siguiente modelo PL: Ejemplo 5 Maximice z = 40 x x x x 6 sujeto a x 1 x x 5 = 0 2 x 1 + x 2 2 x 5 = 0 x 1 + x 3 + x 5 x 6 = x 2 + x 3 + x x 5 + x 6 = 4 con x i 0 para i = 1,..., 6. La forma estándar queda: max z = 40 x x x x 6. sujeta a x 1 x x 5 + a 1 = 0 2 x 1 + x 2 2 x 5 + a 2 = 0 x 1 + x 3 + x 5 x 6 + a 3 = x 2 + x 3 + x x 5 + x 6 + a 4 = 4 con x i 0 para i = 1,..., 6 y a j 0 para j = 1, 2, 3, 4. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 24 / 31

39 Ejemplo 5 Fase I: La matriz del Simplex queda: w x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 1 a 2 a 3 a 4 RHS VB w a a a a 4 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 25 / 31

40 Ejemplo 5 Fase I: La matriz del Simplex queda: w x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 1 a 2 a 3 a 4 RHS VB w a a a a 4 Para reducir hacemos R 1 R R 2, R 1 R R 3, R 1 R R 4 y R 1 R R 5 : w x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 1 a 2 a 3 a 4 RHS VB w a a a a CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 25 / 31

41 Ejemplo 5 La variable entrante es x 5 y la saliente es a 1 ; haciendo R 2 1/2R 2, R 1 R 1 3 R 2, R 3 R R 2, R 4 R 4 1 R 2 y R 5 R 5 2 R 2 : w x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 1 a 2 a 3 a 4 RHS VB 1 3/2 7/ / w 0 1/2 1/ / x a 2 0 1/2 1/ / a a 4 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 26 / 31

42 Ejemplo 5 La variable entrante es x 5 y la saliente es a 1 ; haciendo R 2 1/2R 2, R 1 R 1 3 R 2, R 3 R R 2, R 4 R 4 1 R 2 y R 5 R 5 2 R 2 : w x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 1 a 2 a 3 a 4 RHS VB 1 3/2 7/ / w 0 1/2 1/ / x a 2 0 1/2 1/ / a a 4 NL NL 6 4/3 En el siguiente paso x 2 es la variable entrante y a 4 es la variable básica saliente. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 26 / 31

43 Ejemplo 5 Haciendo: R 5 1/3 R 5, R 1 R 1 + 7/2 R 5, R 2 R 2 + 1/2 R 5 y R 4 R 4 + 1/2 R 5 entra x 2 sale a 4 : w x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 1 a 2 a 3 a 4 RHS VB 1 1/3 0 5/6 1/6 0 7/6 1/ /6 7/3 w 0 1/3 0 1/6 1/6 1 1/6 1/ /6 2/3 x a 2 0 2/3 0 5/6 1/6 0 7/6 1/ /6 7/3 a 3 0 1/3 1 1/3 1/3 0 1/3 1/ /3 4/3 x 2 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 27 / 31

44 Ejemplo 5 Haciendo: R 5 1/3 R 5, R 1 R 1 + 7/2 R 5, R 2 R 2 + 1/2 R 5 y R 4 R 4 + 1/2 R 5 entra x 2 sale a 4 : w x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 1 a 2 a 3 a 4 RHS VB 1 1/3 0 5/6 1/6 0 7/6 1/ /6 7/3 w 0 1/3 0 1/6 1/6 1 1/6 1/ /6 2/3 x a 2 0 2/3 0 5/6 1/6 0 7/6 1/ /6 7/3 a 3 0 1/3 1 1/3 1/3 0 1/3 1/ /3 4/3 x 2 N 2 En el siguiente paso x 3 es la variable entrante y a 3 es la variable básica saliente. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 27 / 31

45 Ejemplo 5 Haciendo R 4 6/5 R 4, R 1 R 1 5/6 R 4, R 2 R 2 1/6 R 4 y R 5 R 5 1/3 R 4 : Sale a 3 y entra x 3 quedando w x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 1 a 2 a 3 a 4 RHS VB w 0 1/ /5 1 2/5 2/5 0 1/5 1/5 1/5 x a 2 0 4/ /5 0 7/5 2/5 0 6/5 1/5 14/5 x 3 0 3/ /5 0 4/5 1/5 0 2/5 2/5 2/5 x 2 Hemos alcanzado el óptimo. Como w = 0, entonces la región factible no es vacía y arranca la fase II. Estamos en el caso III: debemos borrar las columnas de las variables auxiliares no básicas (a 1, a 3 y a 4 ) y aquellas variables del problema original (las x s) con coeficiente negativo en el renglón de la función objetivo (x 1 ). CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 28 / 31

46 Ejemplo 5 La fase II inicia borrando las columnas de las variables a 1, a 3, a 4 y x 1 ; y reemplazando el renglón de la función objetivo por la función original: z x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 2 RHS VB z /5 1 2/5 0 1/5 x a /5 0 7/5 0 14/5 x /5 0 4/5 0 2/5 x 2 Para continuar debemos reducir la matriz. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 29 / 31

47 Ejemplo 5 Reduciendo queda: z x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 2 RHS VB /5 0 16/5 0 27/5 z /5 1 2/5 0 1/5 x a /5 0 7/5 0 14/5 x /5 0 4/5 0 2/5 x 2 CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 30 / 31

48 Ejemplo 5 Reduciendo queda: z x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 2 RHS VB /5 0 16/5 0 27/5 z /5 1 2/5 0 1/5 x a /5 0 7/5 0 14/5 x /5 0 4/5 0 2/5 x NL NL 0.5 Como el problema es de maximización, la variable entrante es x 6 y al hacer los cocientes correspondientes vemos que la saliente es x 5. CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 30 / 31

49 Ejemplo 5 Haciendo que x 6 entre y que salga x 5 mediante las operaciones: R 2 5/2 R 2, R 1 R /5 R 2, R 4 R 4 + 7/5 R 2 y R 5 R 5 4/5 R 2 : z x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 a 2 RHS VB z /2 5/ /2 x a /2 7/ /2 x x 2 Siendo un problema de maximización, vemos que hemos alcanzado el óptimo con z = 7 para x 2 = 0, x 3 = 7/2 y x 6 = 1/2; las no básicas del problema original x 1 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0; las artificiales deben ser cero (tanto básicas como no básicas). CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 31 / 31