GLOSARIO: DICCIONARIO DE ÁLGEBRA LINEAL

Transcripción

1 GLOSRIO: DICCIONRIO DE ÁLGEBR LINEL utovalor λ y autovector x x = λx, sendo x =/ 0, de modo que det( - λi) = 0 Base de V Vectores ndependentes v 1,, v d, cuyas combnacones lneales dan como resultado todas las v de V Un espaco vectoral tene muchas bases! Base estándar para R n Columnas de la matrz dentdad de n por n (expresadas como, j, k en R 3 ) Cocente de Raylegh q(x) = x x /x x para una matrz smétrca : λ mn < q(x ) < λ max Los autovectores x alcanzan dchos extremos para λ mn () y λ max () Cofactor C Elmnar la fla y la columna j; multplcar el determnante por (- 1) +j Columnas lbres de Columnas sn pvotes; combnacones de anterores columnas Columnas pvote de Columnas que contenen pvotes tras una reduccón por flas; no son combnacones de anterores columnas Las columnas pvote conforman la base del espaco de columnas Combnacón lneal cv + dw o cv Suma de vectores y multplcacón de escalares j j Complemento de Schur S = D C -1 B B parece al realzar la elmnacón por bloques en [ ] C D Condconamento de la matrz 1 cond ( ) k( ) σ σ max mn = = = En x = b, la perturbacón relatva δ x x es menor que cond() veces la perturbacón relatva δ b b condconamento de la matrz mde hasta qué punto la salda es susceptble de cambar en funcón de los datos de entrada El Conjugado complejo z = a bpara cualquer número complejo z = a+ b De ahí zz = z Conjunto conectado (Spannng set) v 1,, v m para V odos los vectores de V son combnacones de v 1,, v m Cuatro subespacos fundamentales de = C(), N(), C( ), N( ) Dependenca lneal v 1,, v n Una combnacón dstnta de todas las c = 0 da como resultado cv Descomposcón de valor sngular (SVD) = UΣV = (U ortogonal) por (dagonal Σ) por (V ortogonal) Las prmeras columnas r de U y V son bases ortonormales de C() y de C( ), sendo v = σ u y el valor sngular σ > 0 Las últmas columnas de U y V son bases ortonormales de los espacos nulos de y Descomposcón polar = QH Q ortogonal, H (sem)defnda postva Desgualdad de Schwarz v w v w Entonces v w ( v v)( w w) s = C C Desgualdad trangular u + v u + v Para las normas matrcales + B + B 1

2 Glosaro Determnante = det( ) Se defne de la sguente manera: el det I = 1, el sgno camba al ntercambar flas y en todas las flas se cumple la lnealdad El = 0 cuando es sngular smsmo, B = B y 1 = 1 y = La fórmula extendda del det() consste en una suma de n! elementos, el método de desarrollo por cofactores (cofactor formula) utlza determnantes de tamaño n 1, sendo el volumen del paralelepípedo = det( ) Dagonalzacón Λ = S -1 S Λ = matrz de autovalores y S = matrz de autovectores tene que tener n autovectores ndependentes para que S sea nvertble oda k = SΛ k S -1 Dmensón del espaco vectoral dm(v ) = número de vectores en cualquer base para V Ecuacón característca Det( λi) = 0 Las n raíces son los autovalores de Ecuacón normal xˆ = b Da la solucón por mínmos cuadrados de x = b s es de rango n La ecuacón dce que (columnas de ) ( b xˆ ) = 0 Egshow utovalores y valores sngulares gráfcos de por (códgo de MLB o Java) Elmnacón Secuenca de operacones de flas que reduce a una matrz trangular superor U o a la forma reducda R = rref() Entonces = LU con los multplcadores l en L, o P = LU con ntercambos entre flas en P, o E = R sendo E una matrz nvertble Elpse (o elpsode) x x = 1 tene que ser una matrz defnda postva; los ejes de la elpse son vectores propos de, con longtudes 1 λ (Para x = 1 los vectores y = x se stúan en la elpse 1 1 y = y ( ) y = 1 que crea el códgo egshow; longtud de los ejes = σ ) Espaco de columnas de C() Espaco de todas las combnacones de las columnas de Espaco de flas C( ) = todas las combnacones de las flas de Vectores de columna por conveno Espaco nulo N() = Solucones para x = 0 Dmensón n - r = (# columnas) - rango Espaco nulo por la zquerda N( ) Espaco nulo de = espaco nulo por la zquerda de porque y = 0 Espaco vectoral V Conjunto de vectores tal que todas las combnacones cv + dw permanecen en V En la seccón 31 aparecen ocho reglas oblgatoras para cv + dw Espectro de = conjunto de autovalores {λ 1,,λ n } Rado espectral = λ max Exponencal e t = I + t + (t) /! + tene como dervada e t ; e t u(0) resuelve u ' = u Factorzacón de Cholesky = = para una matrz defnda postva CC ( L D)( L D) Factorzacón LU S la elmnacón conduce a U a partr de sn ntercambos de flas, la trangular nferor L con los multplcadores λ (y λ = 1) converte a U de nuevo en Factorzacones smétrcas = LDL y = QΛQ El número de pvotes postvos en D y de autovalores postvos en es el msmo Forma de Jordan J = M -1 M S tene s autovectores ndependentes, su matrz generalzada de autovectores M da J = dag(j 1,, J s ) El bloque J k es λ k I k + N k, donde todos los elementos de la dagonal 1 de N k son unos Cada bloque tene un autovalor λ k y un autovector (1, 0,, 0)

3 Glosaro 3 Forma escalonada reducda por flas R = rref() Pvotes = 1; ceros por encma y por debajo de los pvotes; r flas dstntas de cero de R conforman una base para el espaco de flas de Fórmula extendda para determnantes de n por n Det() es una suma de n! elementos, uno por cada permutacón P de las columnas Ese elemento es el producto de a 1α,, a nω de arrba abajo de la dagonal de la matrz reordenada, alternatvamente det( P ) = ± 1 Gro parcal (Partal pvotng) En una elmnacón, se elge como j-ésmo pvote al elemento dsponble con un valor absoluto más alto de la columna j Entonces, en todos los multplcadores l 1 El error redondeado (redondeo del error) está controlado (depende del condconamento de ) Grafo G Conjunto de n nodos conectados por m arstas dos a dos Un grafo completo tene todas las arstas n(n - 1)/ entre sus nodos Un árbol sólo tene n - 1 arstas y no contene cclos En un grafo drgdo, cada arsta tene una flecha de dreccón Inversa de una matrz -1 Matrz cuadrada de modo que -1 = I y -1 = I No exste la nversa s det = 0, rang() < n y x = 0 para un vector x dstnto de cero Las nversas de B y son B -1-1 y ( -1 ) Método de desarrollo por cofactores (cofactor formula) ( -1 ) = C /det Inversa por la derecha + S el rango de flas de es m, entonces en + = ( ) -1 se cumple que + = I m Inversa por la zquerda + S tene un rango de columnas n, entonces para + = ( ) -1 se da que + = I n Leyes de Krchhoff Ley de correntes: la suma algebraca (entrada menos salda) de las correntes que entran a cualquer nodo es cero Ley de voltajes: Las dferencas de potencal (caídas de tensón) en cualquer recorrdo cerrado suman cero Longtud x Raíz cuadrada de x x (Ptágoras en n dmensones) Matrces conmutables B = B S son dagonalzables, comparten n autovectores Matrces semejantes y B oda B = M -1 M tene los msmos autovalores que Matrz adjunta Ponendo c 1,, c n en la fla n y los unos de la fla n - 1 en la dagonal 1, obtenemos que det ( λi) = ± ( c + c λ + c λ +K ) 1 3 Matrz adyacente de un grafo Matrz cuadrada con a = 1 cuando hay una arsta que une el vértce con el vértce j; s no, a = 0 = para un grafo no drgdo Matrz aleatora rand(n) o randn(n) MLB crea una matrz con elementos aleatoros, con una dstrbucón unforme en [ 0 1 ] en el caso de rand, y con una dstrbucón normal estándar en el caso de randn Matrz antsmétrca K La transpuesta es -K, ya que K = -K j Los autovalores son magnaros puros, los autovectores son ortogonales, e Kt es una matrz ortogonal Matrz aumentada [ b ] x = b es resoluble cuando b se encuentra en el espaco de columnas de ; entonces [ b ] es del msmo rango que l realzar la elmnacón en [ b ] las ecuacones sguen sendo correctas 3

4 4 Glosaro Matrz crculante C Las dagonales constantes se agrupan en torno a ella como s fueran traslacones n 1 cíclcas (cyclc shfts) S odas las crculantes son C I + CS+ + C S Cx = convolucón c x utovectores en F 0 1 n 1 Matrz covaranza Σ Cuando un grupo de varables aleatoras x tene una meda = valor medo = 0, sus covaranzas Σ son las medas de x x j Con medas x, la matrz Σ = meda de ( x x)( x x) es una (sem)defnda postva; será dagonal s las x son ndependentes Matrz de cambo de base M Los vectores v j de la antgua base son combnacones mw de los vectores de la nueva base La relacón entre las coordenadas de c 1 v c n v n = d 1 w d n w n vene dada por d = Mc (Para n = tenemos que v 1 = m 11 w 1 + m 1 w, v = m 1 w 1 + m w ) Matrz de Fourer F Los elementos Fjk k n = e π producen columnas ortogonales F F = ni Entonces y = Fc es la transformada dscreta de Fourer (nversa) y j k n = c e π k Matrz de Hankel H Constante a lo largo de todas las antdagonales; h depende de + j Matrz de Hessenberg H Matrz trangular con una dagonal adyacente adconal dstnta de cero Matrz de Hlbert hlb(n) Elementos 1 1 j 1 H 1 ( j 1) x x dx 0 = + = Defnda postva, pero con una λ extremadamente pequeña y un condconamento alto mn Matrz de ncdenca de un grafo drgdo La matrz de ncdenca arsta-nodo de m por n tene una fla por cada arsta (nodo a nodo j), con los elementos 1 y 1 en las columnas y j Matrz de Markov M odos los m 0 y la suma de cada una de las columnas es 1 Mayor autovalor λ = 1 S m > 0, las columnas de M k se aproxman al autovector estátco/ estaconaro (steady state egenvector) Ms = s > 0 + j Matrz de Pascal PS = pascal(n) Matrz smétrca con elementos bnomales ( ) contenen todas el trángulo de Pascal con det = 1 (véase ndex para más propedades) 1 P S = P L P U Matrz de permutacón P Exsten n! permutacones de 1,, n; cada una de las n! permutacones de P tene las flas de I en el orden correspondente a dcha permutacón P pone las flas de en ese msmo orden P es producto de los ntercambos de flas P ; P será par o mpar (det P = 1 ó -1) dependendo del número de ntercambos Matrz de proyeccón P sobre un subespaco S La proyeccón p = Pb es el punto más cercano a b en S, el error e = b - Pb es perpendcular a S P = P = P, los autovalores son 1 ó 0, los autovectores están contendos en S o S S las columnas de = bases de S, entonces P = ( ) -1 Matrz de rango uno = uv 0 Los espacos de flas y columnas = rectas cu y cv Matrz de reflexón Q = I - uu El vector undad u se refleja en Qu = -u odos los vectores x del plano especular u x = 0 permanecen nvarables, porque Qx = x En la matrz de Householder Q = Q -1 = Q 4

5 Glosaro 5 Matrz de rgdez K x da los movmentos de los nodos en una estructura dscreta, mentras que Kx da las fuerzas nternas menudo K = C, donde C contene las constantes del muelle de la ley de Hooke y x = los alargamentos (deformacones) dervados de los movmentos x cosθ senθ Matrz de rotacón R = senθ cosθ rota el plano en θ y R -1 = R lo rota al revés en - θ Matrz ortogonal, autovalores e θ y e -θ, autovectores (1, ± ) Matrz de oepltz Matrz (de) dagonal constante (constant-dagonal matrx),de modo que sólo depende de j - Las matrces de oepltz, en el procesamento de señales, representan fltros que no varían con el tempo Matrz de Vandermonde V Vc = b da el polnomo p(x) = c c n-1 x n-1 con p(x ) = b en los puntos n V = (x ) j-1 y det V = producto de (x k - x ) para k > Matrz defnda postva Matrz smétrca con autovalores y pvotes postvos Defncón: x x > 0, a menos que x = 0 Matrz dagonal D d = 0 s j Dagonal por bloques: ceros fuera de los bloques cuadrados D =/ Matrz dagonalzable ene que tener n autovectores ndependentes (en las columnas de S; con lo cual automátcamente tene n autovalores dferentes) sí que S -1 S = Λ = matrz de autovalores Matrz de elmnacón (elmnaton matrx)= matrz elemental E Matrz dentdad con un λ adconal en el elemento, j ( =/ j) Entonces, en E, se resta λ veces la fla j de de la fla Matrz escalonada U El prmer elemento dstnto de cero (pvote) de cada fla va después del pvote de la fla anteror odas las flas de ceros van al fnal Matrz espaco nulo (null space matrx) N Las columnas de N son las solucones especales n - r para s = 0 Matrz hermtana H = = náloga compleja de una matrz smétrca: a a j = Matrz hpercúbca P La fla n + 1 cuenta vértces, arstas, caras, etc de un cubo contendo en R n P L L Matrz dentdad I (o I n ) Elementos sobre la dagonal = 1, elementos fuera de la dagonal = 0 Matrz ndefnda Matrz smétrca con autovalores de ambos sgnos (+ y -) Matrz nlpotente N lguna potenca de N es la matrz cero, N k = 0 El únco autovalor es λ = 0 (repetdo n veces) Ejemplos: matrces trangulares con dagonal cero Matrz normal N NN = N N, produce autovectores ortonormales (complejos) Matrz ortogonal Q Matrz cuadrada con columnas ortonormales, de modo que Q Q = I mplca Q = Q -1 Conserva las longtudes y los ángulos, Qx = x y (Qx) (Qy) = x y odo λ = 1, con autovectores ortogonales Ejemplos: Rotacón, reflexón, permutacón Matrz por bloques Una matrz se puede dvdr en bloques, medante partcones entre sus flas y/o sus columnas La multplcacón por bloques de B es posble cuando las formas de los msmos lo permten (las columnas de y las flas de B deben ser del msmo tamaño) 3

6 6 Glosaro Matrz semdefnda Una semdefnda (postva) es una matrz smétrca con x x > 0 para todos los vectores x sí, todos los autovalores λ 0 Carece de pvotes negatvos Matrz smétrca La transpuesta es =, y a = a j -1 tambén es smétrca odas las matrces de las formas R R, LDL y QΛQ son smétrcas Para todas las matrces smétrcas, los autovalores de Λ son reales y los autovectores de Q son ortonormales Matrz sngular Matrz cuadrada que no tene nversa: det() = 0 Matrz transpuesta Los elementos = es de n por m, es cuadrada, smétrca y j semdefnda postva Las transpuestas de B y -1 son B y ( ) -1 Matrz trdagonal t = 0 s j > 1-1 es de rango 1 por encma y por debajo de la dagonal H Matrz untara U = U =U 1 Columnas ortonormales (análoga compleja de Q) Método de dreccones conjugadas Secuenca de pasos (explcada al fnal del capítulo 9) conducentes a la resolucón de una defnda postva x = b, mnmzando 1 x x x b en subespacos de Krylov cada vez mayores Método de Gauss-Jordan Consste en nvertr por medo de operacones en las flas de [ I ] para obtener [ I -1 ] Método teratvo Secuenca de pasos encamnada a aproxmarse a la solucón deseada Método smplex de programacón lneal El vector de coste mínmo (mnmum cost vector) x* se halla desplazándose sucesvamente de un vértce a otro que mejore el anteror a través de las arstas de una fgura factble (cuando se cumplen las restrccones x = b y x > 0) El coste mínmo se halla en un vértce Multplcacón x = x 1 (columna 1) + + x n (columna n) = combnacón de columnas Multplcacón de matrces B El elemento, j de B es gual a (fla de ) (columna j de B) = ab k kj Por columnas: Columna j de B = veces la columna j de B Por flas: la fla de multplca a B Flas por columnas: B = suma de (columna k)(fla k)odas estas defncones equvalentes surgen de la regla de que B por x es gual a por Bx Multplcador λ La fla pvote j se multplca por λ y se resta de la fla para elmnar el elemento, j: λ = (elemento que se quere elmnar)/(j-ésmo pvote) Multplcdades M y GM La multplcdad algebraca M de un autovalor es el número de veces que aparece como raíz de det( - λi) = 0 La multplcdad geométrca GM es el número de autovectores ndependentes (= dmensón del espaco propo de λ) Norma de una matrz La norma es la rato máxma l x x σ max = Entonces x x y B B y + B + B Norma de Frobenus F 1 = a ; las normas l y l las sumas mayores de flas y columnas de a 6

7 Glosaro 7 Números de Fbonacc 0, 1, 1,, 3, 5, cumplen ( n n F = F + F = λ λ ) ( λ λ ) La tasa de n n n crecmento λ = (1 + 5 ) es el mayor autovalor de la matrz de Fbonacc 1 n n Números de Lucas L n =, 1, 3, 4, cumplen L = L + L = λ + λ, con los valores propos 1 1 λ, λ = (1± 5) de la matrz de Fbonacc n n n 1 0 Compárese L 0 = con Fbonacc Ondas (Wavelets) w jk (t) o vectores w jk Deforman y trasladan el eje de tempos para dar lugar a w jk (t) = w 00 ( j t - k) Los vectores procedentes de w 00 = (1, 1, -1, -1) serán (1, -1, 0, 0) y (0, 0, 1, -1) Ortogonalzacón de Gram-Schmdt para = QR Columnas ndependentes en, columnas ortonormales en Q Cada una de las columnas q j de Q es una combnacón de las j prmeras columnas de (y vceversa, de modo que R es trangular superor) Por conveno: dag(r) > 0 Pvote d El elemento de la dagonal (el prmero dstnto de cero) cuando se trabaja con una fla al realzar una proceso de elmnacón Plano (o hperplano) en R n Las solucones de a x = 0 defnen el plano (dmensón n - 1) perpendcular a a 0 Polnomo mínmo de El polnomo de grado más bajo para que m() = matrz cero Las raíces de m son autovalores, y m(λ) dvde a det( - λi) Producto de Kronecker (producto tensor) B Bloques a B, autovalores λ p ()λ q (B) Producto escalar x y = x y + L + x y El producto escalar complejo es 1 1 n n x y l realzar el producto escalar de vectores perpendculares, el resultado es cero (B) = (fla de ) (columna j de B) Producto exteror uv = columna por fla = matrz de rango uno Producto vectoral u v en R 3 Vector perpendcular a u y v, cuya longtud u v ( senθ ) = área del paralelogramo, calculada como el determnante de [ j k ; u 1 u u 3 ; v 1 v v 3 ] Propedad asocatva (B)C = (BC) Se pueden elmnar los paréntess para dejar BC Propedad dstrbutva (B + C) = B + C Se puede sumar prmero y luego multplcar, o multplcar prmero y luego sumar Proyeccón de p = a (a b/a a ) sobre la recta que atravesa a P = aa /a a es de rango 1 Pseudonversa + (nversa de Moore-Penrose) Matrz de n por m que nverte a, de modo que de espaco de columnas pasa de nuevo a espaco de flas, sendo N( + ) = N( ) + y + son las matrces de proyeccón sobre el espaco de flas y el espaco de columnas Rang( + ) = rang() Punto sngular de f(x 1,, x n ) Un punto donde las prmeras dervadas de f dan cero y la matrz de la segunda dervada (ϑ f/ϑxϑxj = matrz Hessana) no tene un valor defndo Rango r() = número de pvotes = dmensón del espaco de columnas = dmensón del espaco de flas Rango de columnas r = n Columnas ndependentes, N() = {0}, no hay varables lbres Rango de flas r = m Flas ndependentes, al menos una solucón para x = b, el espaco de columnas abarca la totaldad de R m Por rango de la matrz se entende rango de flas o rango de columnas Red Grafo drgdo con las constantes c 1,, c m asocadas a sus arstas 3

8 8 Glosaro Regla de Cramer para x = b B j es la matrz, en la que se ha susttudo la columna j por el vector b, y x = B j j Representacón de columnas (Column pcture) de x = b El vector b se converte en una combnacón de las columnas de El sstema sólo tene solucón cuando b se encuentra en el espaco de columnas de C() Representacón de flas (row pcture) de x = b Cada ecuacón produce un plano en R n ; éstos tenen su nterseccón en x Resolucón por mínmos cuadrados ˆx El vector ˆx, que mnmza el error e, resuelve ˆ x = b Entonces e = b xˆ es ortogonal para todas las columnas de Sstema resoluble x = b La parte derecha, b, pertenece al espaco de columnas de Solucón completa x = x p + x n para x = b (x p concreta) + (x n en el espaco nulo) Solucón partcular (concreta?) x p Cualquer solucón para x = b; a menudo las varables lbres de x p son = 0 Solucones especales para s = 0 Una de las varables lbres es s = 1, las otras son = 0 Subespaco S de V Cualquer espaco vectoral contendo en V, ncludos V y Z = {vector cero} Subespaco de Krylov K j (, b) Subespaco expanddo hasta b, b,, j-1 b Los métodos numércos aproxman -1 b a x j con una b - x j resdual en este subespaco Para establecer una buena base para K j sólo hay que multplcar por en cada paso Subespacos ortogonales odo v de V es ortogonal a todo w de W Suma de subespacos V +W Espaco de toda (v en V ) + (w en W) Suma drecta: dm(v +W) = dm V + dm W cuando V y W sólo comparten el vector cero Susttucón haca atrás Los sstemas trangulares superores se resuelven en orden nverso, de x n a x 1 eorema de Cayley-Hamlton p( λ) = det( λi) con p( ) = matrz cero eorema espectral = QΛQ La matrz smétrca real tene una λ real y una q ortonormal, de modo que q = λ q En mecánca, q da los ejes prncpales eorema fundamental El espaco nulo N() y el espaco de flas C( ) son complementos ortogonales (espacos perpendculares de R n de dmensones r y n - r) con respecto de x = 0 S se aplca a, el espaco de columnas C() es el complemento ortogonal de N ( ) ransformacón afín (v ) = v + v 0 = transformacón lneal más desplazamento ransformacón lneal Cada uno de los vectores v del espaco de entrada se transforma en (v) en el espaco de salda, y la lnealdad exge que (cv + dw) = c(v) + d(w) Ejemplos: multplcacón de matrces v, dferencacón en el espaco de funcones ransformada rápda de Fourer (FF) Factorzacón de la matrz de Fourer F n en matrces l = log n, realzando la permutacón S veces Para cada S sólo hacen falta n/ multplcacones, así que F n x y F -1 n c se pueden calcular con sólo nl multplcacones Revoluconaro raslacón cíclca (cyclc shft) S Permutacón con s 1 = 1, s 3 = 1,, s 1n = 1 Sus autovalores son raíces enésmas e π k/n de 1; sus autovectores son columnas de la matrz de Fourer F 8

9 Glosaro 9 raza de = suma de los elementos de la dagonal = suma de los autovalores de r B = r B Varable lbre x La columna queda sn pvote en la elmnacón Podemos dar cualquer valor a las varables lbres n - r, entonces x = b determna las varables pvote r ( s es resoluble!) Vector v en R n Secuenca de n números reales v = (v 1,, v n ) = punto en R n Vectores ndependentes v 1,, v k Nnguna combnacón c 1 v c k v k = vector cero, a menos que todos los c = 0 S las uves son las columnas de, la únca solucón para x = 0 es x = 0 Vectores ortonormales q 1,, q n Los productos escalares son qq = 0 s j j =/ y qq= 1 En la matrz Q con éstas columnas ortonormales se cumple que Q Q = I S m = n, entonces Q = Q -1 y q 1,, q n es una base ortonormal para R n : cada v = v q q ( j ) j Volumen del paralelepípedo Las flas (o columnas) de generan un paralelepípedo de volumen det() 3